1、投資學專題5：利率期限構造實際復旦大學金融研討院 張宗新.Outline債券利率曲線、即期利率與遠期利率的根本概念;利率期限構造的實際假說及其實證方法；利率期限構造的構造與擬合方法；利率期限構造的動態估計方法Vasicek模型和CIR模型；.第一節債券收益率曲線與期限構造一、收益率曲線描畫債券到期收益率和到期期限之間關系的曲線叫做收益率曲線。我們可以將收益率 表示為年到期的債券如今應支付的年利率，也就是說在時間區間 上的平均年利率。對到期前不支付利息的債券而言，收益率是由債券目前的價錢和面值到期價錢的比值求出。假設 表示該比值，那么： .債券收益率曲線與期限構造收益率曲線普通具備以下特點：1短

2、期收益率普通比長期收益率更富有變化性；2收益率曲線普通向上傾斜；3當利息率整體程度較高時，收益率曲線會呈現向下傾斜甚至是倒轉的外形。.dec14,2021 YTD國債vs.SSE 公司債.債券收益率曲線與期限構造二、利率期限構造 1.即期利率vs.遠期利率即期利率spot rates是定義期限構造的根本利率，即期利率 是指已設定到期日的零息票債券的到期收益率，它表示的是從如今 到時間t的貨幣收益。利率和本金都是在時間t支付的。遠期利率forward rates指的是資金的遠期價錢，它是未來兩個日期間借入貨幣的利率，也可以表示投資者在未來特定日期購買的零息票債券的到期收益率。.Spot rate

3、 VS. forward ratespot ratesDiscount factor.forward rates.債券收益率曲線與期限構造2. 貼現因子和現值一旦即期利率確定，很自然就要在每一個時間點上，定義相應的貼現因子 discount factors 。未來現金流必然經過這些因子成倍添加，已得到相當的現值。.零息券零息券是指當前以一固定的價錢買入債券，到期后期限為T可以贖回1元。在利率不動搖且短期利率為的情況下，很顯然存在： 假定短期利率是可變但可確定的。 表示t時辰當期的利率，稱為短期利率short rate,那么： .Simple interest VS. Compound inte

4、rest. 2遠期利率與零息券由于現實世界利率是不確定的，因此有必要進一步對利率可變的情形進展分析。根據公式10.1和遠期利率公式，可得： 這里， 是目前債券的價錢， 是當期看來時辰的遠期利率。債券收益率曲線與期限構造.第二節傳統利率期限構造實際與實證利率期限構造的早期實際或傳統實際假說，對不同期限債券利率之間關系的解釋主要有三種：1預期假說expections hypothesis ；2流動性偏好假說liquidity preference hypothesis ；3市場分割假說market segmentation hypothesis 。. 流動性貼水 收益率曲線 到期收益率 即期利率

5、期限 .利率預期假說實際的實證檢驗 利用1996年5月至2006年10月上交所國債回購利率進展利率預期假說檢驗。從上交所回購利率的相關系數看，回購利率之間存在很大的相關性。尤其是長期之間存在較為明顯的正相關。R003R007R014R028R091R182R0031R0070.85421R0140.80930.94801R0280.77310.92280.96111R0910.73510.89740.94210.97951R1820.71980.88370.93050.97240.99471.在此根底上，對上交所回購利率進展了單位根檢驗。檢驗結果闡明，除R003之外，都存在1個單位根，這闡明序

6、列不平穩。進展一階差分為平穩序列，即I1。在確定了不同到期期限的國債回購利率序列均為一階單整之后，即可經過利用多變量框架下Johansen協整檢驗。檢驗結果闡明，在1%的顯著性程度上存在一個隨機向量，即闡明我國國債回購市場上存在一個隨機趨勢，這也驗證了利率期限構造預期假說在我國國債回購市場上是成立的。.利率期限風險溢價的實證檢驗利率期限風險風險溢價，是利率期限構造假說所隱含的重要條件。國外學者從不同角度對這一問題進展了大量研討。其中比較具有代表性的的研討是Campbell and Shiller等那么用t時點知的即期利率期限構造信息來解釋期限風險溢價。詳細的回歸模型可表示為： :t時點知的n期

7、即期利率 ; :長短期利差(yield Spread)，反映了收益率曲線的斜率。 研討結果闡明，各類期限債券的期限風險溢價并沒有隨期限添加而單調添加，這闡明長短期利差對期限風險溢價的時變性具有解釋才干。.不同期限段債券組合的統計特征及回歸結果張雪瑩2006的研討：經過對于各期限段的國債組合，其風險溢價序列的均值、規范差等統計特征，以及用長短期利差進展回歸的結果，如表所示。 債券組合的剩余期限平均期限風險溢價 (%)期限風險溢價的標準差(%)7年 6.68220.878-3.811(-0.769)0.295(2.161)5.668(2.056)0.199注：括號內為參數的t值。.第三節收益率曲線

8、的擬合及運用靜態模型最為常見的方法包括樣條法 (Splines Method) 和 Nelson Siegel 模型等 。動態模型是從假設利率服從某種方式的隨機微分方程出發，經過隨機微分方程推導出一個實際上的利率期限構造。 .一、收益率曲線的擬合方法1.樣條法1多項式樣條法由麥克庫隆茨Mc Culloch于1971年提出的, 它的主要思想是將貼現函數用分段的多項式函數來表示。在實踐運用中，多項式樣條函數的階數普通取為三，從而保證貼現函數及其一階和二階導數都是延續的。下式表示期限為t的貼現函數：2指數樣條法指數樣條法那么是思索到貼現函數根本上是一個隨期限添加而指數下降的函數，它是瓦西塞克Vasi

9、cek和弗隆戈Fong在1982年提出的，該方法將貼現函數用分段的指數函數來表示。其方式如下：.2.尼爾森-辛格爾Nelson-Siegel 模型尼爾森和辛格爾在1987 年提出了一個用參數表示的瞬時 (即期限為零的) 遠期利率函數。由此我們可以求得即期利率的函數方式：.這個模型中只需四個參數, 即 , 根據式中的即期利率, 我們可以得到相應的貼現函數, 從而計算債券的模型價值用以擬合市場數據。雖然參數的個數不多, 但這樣的函數方式曾經有足夠的靈敏度來擬合收益率曲線的規范外形，遞增的、遞減的、程度和倒置的外形，如下圖。.3. 文雅森Svensson模型文雅森將Nelson-Siegel 模型作

10、了推行, 引進了另外兩個參數 , 而得到如下的即期利率函數：這個模型也被稱為擴展的Nelson-Siegel 模型，這一模型在計算短期債券價錢時的靈敏性大大加強。.二、利率期限構造的數據擬合一Matlab工具的利率期限構造擬合得出零息票收益率曲線，通常的方法是所謂的息票剝離法。息票剝離法將息票從債券中進展剝離并在此根底上估計無息票債券利率程度，詳細計算方法如下：設 為某債券的到期期限， 表示現金流；F表示債券的面值；P表示債券全價； 即期利率，根據債券定價公式從而得到：bootstrap method_01.M .收益率曲線的擬合及運用結合買賣所國債價錢數據和Nelson-Siegel模型，運

11、用非線性最優化算法，采用Matlab軟件估計得到的參數分別為： =3.9085, =-3.2874， =2.5628；三個參數的變化分別看作是即期利率曲線截距、斜率和曲度的變化。 利率期限構造 .對樣本內一切時點的數據進展估計，就可以得到每個時點的利率期限構造。.收益率曲線的擬合及運用二基于SAS的利率期限構造擬合1、模型擬合方法多項式樣條、Nelson-Siegel及Svensson擴展模型是最為常用且較成熟的模型。模型擬合的過程實踐上就是估計模型參數的過程，期限構造的估計可以經過建立樣本債券的實踐價錢與實際價錢之間誤差值的目的函數并使其最小來實現。2、樣本的選擇債券樣本的選擇對于構成合理的

12、期限構造有著至關重要的影響，樣本的不穩定性將會導致期限構造的擬合出現艱苦偏向。樣本的穩定性詳細將涉及樣本本身價錢的穩定性、數量的穩定性以及債券期限分布的穩定性。.收益率曲線的擬合及運用3、多項式樣條法擬合利用軟件，根據前述多項式樣條的表達式以及目的函數，基于2006年6月30日經過挑選后的18只債券，采用息票剝離法(bootstrap method)來擬合上證固定利率國債的即期收益率曲線。多項式樣條法擬合效果 .收益率曲線的擬合及運用4、Nelson-Siegle-Sevensson方法擬合.收益率曲線的擬合及運用5、擬合結果的比較.第四節 利率動態模型及其估計一、常用的利率動態模型一平衡模型

13、單因子假定瞬間短期利率的風險中性過程是隨機的，并且只需一個不確定性來源(單因子)。隨機過程包括漂移和動搖率兩個參數，它們只與短期利率r有關，與時間無關。Merton在1973年首先提出了一個最簡單的單因子模型： 。這里， 和 都為常數。長期而言，利率的動搖具有均值回歸mean reversion的特征。.利率動態模型及其估計1、Vasicek模型在Vasicek模型中，短期利率r的變動為以下方式的隨機過程：假定目前的瞬間利率 ，那么未來某一時點s其瞬間利率的條件期望值和方差為：給定風險價錢 ，在時點t時，到期日為T的零息票價錢為：而利率期限構造為： .利率動態模型及其估計2、CIR模型Cox,

14、 Ingersoll 和Ross1985提出的CIR 模型的初衷是為了抑制Vasicek 模型的利率可以為負的缺陷。該模型的一個最大的優點在于，它同時可以模擬較長期利率的時間行為。但也有一個不當之處，就是當要素從單個擴展到多個時，再假定每個要素都是非負的顯然有點不合理。假設假定一切要素的和是非負的，那么是較為合理的。.利率動態模型及其估計二無套利模型1、Ho-Lee模型Ho和Le于1986年首先提出了無套利利率模型。該模型將期初的利率期限構造作為輸入變量，以二項分布構造推導出利率期限構造的動態變化。在延續時間下，瞬間利率的SDE為：2、BDT模型Black,Derman & Toy(1990)提出的BDT模型，假定瞬時利率為對數的正態分布，模型中除了包含期初利率期限構造的信息，還將動搖率利率期限構造視為輸入變量。延續的BDT模型的SDE為：.利率動態模型及其估計3、HJM模型Heath,Jarrow&Monton(1990,1992)提出的N因子延續時間模型，是以外生方式指定遠期利率的動搖，而利率期限構造為遠期利率的