1、碩士學位論文師范生數感意識與數感教學水平調查研究摘要本研究旨在對數學專業師范生（以下簡稱師范生）數感意識和數感教學水平 調查的基礎上，查明師范生在數感意識和數感教學方面存在的不足，并在系統分 析其原因的基礎上提出解決問題的策略。本次研究主要采取問卷調查法、訪談法、綜合分析法。隨機抽取的6所高等 師范院校的120名數學專業大四學生作為樣本接受了調查。綜合調查結果顯示：1、師范生在數感意識方面存在的主要不足是：對數感及數感的教學意義認 知水平很低，對數感的認知主要停留在主觀感受階段，對數感教學意義的認知明 顯不足；數感水平與適應數感教學上存在較大差距，主要體現在：運用數感解題 的比例很低；數感體系

2、不完備，在某些方面存在明顯不足；運用數感的意識和傾 向差。師范生在數感意識方面存在不足的原因主要是：師范生對數感與數感教學 意義知識的學習不足；師范生在義務教育階段接受的數學教育在數感培養方面存 在不足；師范生在高中、大學階段數感水平呈現不增反降的趨勢；數感水平本身 在測量上存在的難度對調查結果的影響。2、師范生在數感教學方面存在較大不足，主要表現在：不能結合教學內容 和課程標準要求形成具體的數感培養目標；開發適合學生數感發展的教學資源的 能力不足；缺少對學生數感發展情況進行有效考核的方法。主要原因是：較低的 數感水平對數感教學的限制；一般的教學策略難以適應數感教學的特殊性；國內 數感教學研究

3、水平較低，可供師范生借鑒、參考的資源有限。在對問題原因的分析基礎之上，結合師范生自身實際，筆者提出了以下的建 議：第一，師范生應該自覺地增進自身數感，以適應未來的數感教學；第二，師范生應加強對數感教學意義的認識；第三，師范教育中應加強對數感教學方法的研究和教學，從根本上提高師范 生的數感教學水平。最后，筆者根據自己對數感教學的體會，形成了一篇數感教學的教學設計， 供師范生和后來研究者參考。數感數感意識數感教學 師范生AbstractThe goal of this study is to find out the problems in number sense and teaching of

4、 number sense of noemal studengs based on a series of investigations and to propose some strategies to solve these problems.Maily, this study adopted questionnaire method, interviewing method and comprehensive analysis method. 120 normal students majored in mathematics from 6 colledges were investig

5、ated as a sample. The results of investigations showed:The problems on number sense of normal students were: The level of number sense of them could hardly fit the teaching of number sense fbr their low percent of suing number sense, poor system of number sense and poor tendency to use number sense;

6、 The level of normal studengs from Hebei province on knowledges of number sense and teaching significance of number sense was very low.The reasons fbr problems on number sense of them were: They had hardly learned kownledges of number sense and teaching significance of number sense; The number sense

7、 teaching was poor in their stadge of compulsory education; The level of number sense of them dropped a little in their stadges of senior high school and college school; The difficulty of investigetion on the level of number sense had affected the results of the investigetions.The problems on number

8、 sense teaching of normal students were: They couldnt find proper teaching objectives according to content of courses and curriculum standards; They couldnt develop ample teaching materials on number sense to fit number sense teaching;They couldnt examine number sense of their students effectively.T

9、he reasons for problems on number sense teaching of them were: Their low level of number sense couldnt fit the teaching of number sese; Their common teaching strategies couldnt fit the teaching of number sense;There was no ample information on the teaching of number sense inland which could be refer

10、red to by them.Based on the reasons fbr problems they had and their own actual situations, we proposed some suggestions:First, normal students from Hebei province had to improve their level of number sense to fit number sense teaching;Second, they had to learn more knowledges of number sense and tea

11、chingsignificance of number sense；Third, normal college should urgently study number sense teaching and make sure their studengts have a high level of teaching of number sense.At last, we created a teaching design based on our understanding of number sense teaching and we hoped that this design was

12、helpful to noemal students and further research.number senseknowledge of number sensenumber sense teachingnormal students TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark19 o Current Document h 摘要IIIAbstractIV引言1 HYPERLINK l bookmark47 o Current Document h 第一章 文南犬綜述2 HYPERLINK l bookmark50 o Current Document h 數感

13、的概念2 HYPERLINK l bookmark64 o Current Document h 數感的外在表現3 HYPERLINK l bookmark83 o Current Document h 1.3數感與其他數學能力的相關性4 HYPERLINK l bookmark89 o Current Document h 學生數感水平調查5 HYPERLINK l bookmark99 o Current Document h 1.5在職教師數感現狀與數感教學現狀調查6 HYPERLINK l bookmark104 o Current Document h 數感教學方法的研究6 HYPE

14、RLINK l bookmark111 o Current Document h 其他零散的研究7 HYPERLINK l bookmark116 o Current Document h 第二章問題提出與研究思路8 HYPERLINK l bookmark119 o Current Document h 2.1發展學生數感的意義8 HYPERLINK l bookmark127 o Current Document h 2.2國內中小學學生數感現狀9 HYPERLINK l bookmark133 o Current Document h 2.3如何改善國內中小學生數感現狀的一些分析10 H

15、YPERLINK l bookmark143 o Current Document h 問題的提出與研究目的11 HYPERLINK l bookmark149 o Current Document h 研究方法與研究思路11 HYPERLINK l bookmark155 o Current Document h 第三章 數感及數感的相關概念的界定12 HYPERLINK l bookmark158 o Current Document h 數感12 HYPERLINK l bookmark171 o Current Document h 數感的主要表現方面14 HYPERLINK l bo

16、okmark179 o Current Document h 第四章師范生數感意識調查16 HYPERLINK l bookmark182 o Current Document h 調查對象16 HYPERLINK l bookmark185 o Current Document h 調查問卷的設計16 HYPERLINK l bookmark188 o Current Document h 數感水平調查結果164.3.1數感運用的比例17數感體系的完整性18數感水平分布214.3.4訪談結果與數感水平調查結果的修正22 HYPERLINK l bookmark203 o Current Do

17、cument h 4.4數感及數感教學意義認知水平調查結果23數感認知水平調查結果234.4.2數感教學意義認知水平調查結果24 HYPERLINK l bookmark208 o Current Document h 第五章師范生數感教學水平調查28 HYPERLINK l bookmark211 o Current Document h 調查方法和過程28 HYPERLINK l bookmark217 o Current Document h 5.2教學設計的評價標準28 HYPERLINK l bookmark224 o Current Document h 調查結果29調查對象的教學

18、設計295.3.2師范生數感教學水平分析34 HYPERLINK l bookmark262 o Current Document h 第六章問題原因分析37 HYPERLINK l bookmark265 o Current Document h 6.1對師范生在數感意識方面存在問題的分析37 HYPERLINK l bookmark268 o Current Document h 6.2對師范生在數感教學方面存在問題的分析38 HYPERLINK l bookmark273 o Current Document h 第七章一些建議40 HYPERLINK l bookmark320 o C

19、urrent Document h 總結48 HYPERLINK l bookmark323 o Current Document h 致謝49 HYPERLINK l bookmark326 o Current Document h 參考文獻50附 錄52國外曾有過這樣一個調查：當一個六年級學生被問到“115.4 x 0.315 =36351 正確的小數點位置時，幾乎所有學生都會回答3.6351。為什么呢？他們說：被乘 數的小數位數是1,乘數的小數位數是3,所以積的小數位數應該是4,因此結 果就是3.6351。很明顯結果是錯誤的，因為115.4100,100 x0.315=31.5,所以結果

20、一定比31.5 要大，不可能是3.6351。調查中的學生，能夠準確無誤地回憶起小數乘法的運算 規則，因此不假思索地給出了一個“正確答案。還有這樣的一個例子：當學生被問到旦與叫哪個大時，大多數學生都會選1218擇通分，然后作出比較；或者把這兩個分數化為小數，然后再比較。但也有少數 學生會給出如下的比較方法:因為兩個分數都接近L 1- 而U所以12工1218 1818 1218 12像這樣的例子還有很多，所有的這些例子，都與數學教學中的數感有密切關 系。上面的幾個例子告訴我們，數感對于數學學習是極為重要，調查也顯示了當 前數學教學中存在的一個突出問題，那就是學生的數感亟待提高。這樣的問題引起了國內

21、外研究者的極大關注。“數感這一概念在40多年前 應運而生。培養學生的數感也成為了很多國家新一輪課程改革的一個基本日標。這也是本論文研究的出發點。第一章文獻綜述“數感”一詞首次出現在上世紀70年代。40年來，數感和數感教學引起了國 內外數學教育者越來越濃的興趣，數感方面的研究成果也越來越多。為了更好地 吸收前人的研究成果并便于筆者選取自己的研究方向，筆者首先對這些研究成果 作了梳理。綜觀這些研究成果，主要集中在以下幾個方面：1.1數感的概念對于數感概念的定義，國內外很多專家和學者給出了自己的看法。有的觀點 是相近的，但有的觀點則有很大不同。現在主要的觀點整理如下：國外的學者有以下幾種觀點：數感是

22、關于數量的直覺。1數感是一個數字與運算的組織化良好的概念網。這個概念網有助于辨別 數字相對和絕對大小、對運算作質和量的判斷、判斷計算結果是否合理、以及進 行心算。2數感是一種數字的直覺，它從數字意義的不同表述中得以體現。3數感是一種對數字和數字關系的良好直覺。4數感是指一個人對數字和運算的理解以及運用這種理解靈活地作出數學 判斷、形成有效解題策略的能力和傾向。5國內的學者有以下幾種觀點：數感是一個人主動地、自覺地或自動化地理解數字和運用數字的態度與 意識。6數感是人們對數字和運算的一種理解，以及處理現實生活中數字情境的 能力。7與“語感* “美感等相似，數感是一種“直感。是一個人對數字、數量關

23、 系等的敏感。8數感是人們對數的感悟，既有感知的成分又有思維的成分。9數感是人們對數字關系和數字模式的意識，以及運用這種意識靈活地解 決數字問題的能力。10數感主要指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。11 綜上，由于不同研究者對數感認知的角度和深度不同，在數感的具體定義上千差萬別。但是，綜合來看，所有這些定義都關注了兩點：其一，數感的基礎。 數感是在對數的意義、數字關系、運算意義、運算律等理解的基礎之上發展起來 的。脫離這個基礎，數感無從談起。因此數感不是先天而得；其二，數感的外在 表現。數感的外在表現，研究者不約而同地認為具有良好數感的人能夠靈活地解 決數學問題。數感的概念是

24、數感方面的研究的起點和基礎。由于在這個問題上，國內外學 者存在較大分歧，因此各自的研究側重點有所不同。盡管如此，對數感的進一步 的研究并沒有停止，而且產生了很多認可度很高的成果。1.2數感的外在表現對于數感的外在表現，不同研究者也給出了不同的看法。國內外比較有代表 性的有：Sowder認為數感主要表現在以下方面：a、能充分理解數的含義；b、能發展數與數之間的多種關系；c、能明白數的相對大小和絕對大小；d、能理解運算對數的影響。12Yang D C, Reys等認為數感主要表現在以下方面：a、能用多種方法表示數；b、能認識數的相對大小和絕對大小；c、能精選并使用基準量和基準尺度；d、能分解與重組

25、數字；e能理解運算對數字的相對影響；f、能靈活恰當地進行估算和心算。13McIntosh等人認為數感主要表現在以下幾個方面：a、理解數的意義與大小；b、理解并能運用數的等價表示；c、理解運算的意義和作用；d、理解并能運用等價表達式；e靈活地選擇計算和計數策略進行心算、筆算和計算器運算；f、熟練運用基準量和基準尺度。14我國在2011年修訂的義務教育階段數學課程標準中沒有明確說明數 感表現在哪些方面。但是，其對數感的表現范圍的界定似乎更加廣闊，與國外的 界定有較大不同。例如，在北京自然博物館有一塊展板：“1983年初在東北地區進行的航行調 查表明，在7000平方米的山林中僅發現兩只老虎，因此東北

26、虎被列為一級保護 動物。具有良好數感的人應該能發現，7000平方米只相當于個標準的操場， 這肯定是一個錯誤，正確的應該是7000平方千米。15類似的例子還有很多，表明我國對數感表現的界定更偏向于解決現實問題， 因此在義務教育階段數學課程標準(2011)中，有這樣的一句話：“建立數感有 助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關系。即切1.3數感與其他數學能力的相關性數感早期的研究主要是集中在培養學生數感的意義上。研究表明培養學生數 感具有重要的意義，具體表現在：數感與數學成績的相關性培養學生數感能否促進學生的數學成績，數學成績好的學生數感是不是一定 好等，前人通過調查和研究，

27、使這些問題的答案逐步明朗。研究表明，數感與數學成績，尤其在小學和初中階段，具有顯著的相關性。 培養學生數感能夠明顯促進學生的數學成績。數感和數學成績的相關性顯著的原 因主要是數感與數學思維水平、估算能力、計算能力等密切相關。17數感與數學效能感效能感是心理學上的專有名詞，是指人們對其行為能力的自我信念。簡單地 說，就是指自信心。數學效能感指的就是學好數學的信心。學好數學的信心對一 個學生來說是至關重要的，那么數感和數學效能感之間有怎么樣的關系呢？喬福強等人的研究表明：數感與數學效能感之間存在顯著相關性。數感一方 面可以直接促進數學成績，另一方面，數感可以通過促進數學效能感，間接促進 數學成績。

28、這就是說，培養學生數感，有利于激發學生的數學學習興趣，增 強學生學習數學的信心。數感與符號意識符號意識主要是指能夠理解并且運用符號來表示數、數量關系和變化規律， 知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性。既然數感包括對數、數量關系的感悟，那么數感和符號意識之間是否存在關 系呢？馬云鵬等人的研究表明，在解決數字推理問題時，如果學生能夠意識到數 字運算的代數性質，并且試圖表達出這種代數性質，他們就由此邁出了數感向符 號意識發展的步伐。因此培養學生的數感有助于符號意識的發展。191.4學生數感水平調查既然培養學生數感具有重要意義，那么當前的學生的數感水平如何呢？當前 的數學教育是否能夠有

29、效地發展學生數感呢？上世紀八九十年代，國內外進行了 很多關于學生數感水平的調查。如Mohini Mohamed, Jacinta Johnny的學生數 感調查，Sare Sengula , Hande Gulbagcia的土耳其五年級學生在十進制數方面 的數感調查，謝茜對我國5、6、7年級學生數感現狀的調查研究。調查結果顯示：學生的數感水平很低。例如，有調查顯示，學生在十進制數方面的數感 非常差。主要原因是對標準算法的大量使用和對數的意義理解不深，甚至存在很 多錯誤的認識。20在數感的諸多方面中，學生在判斷運算結果合理性方面表現最差，在比 較數的相對大小方面表現最好。Yang D C在五年級學

30、生數感水平測試以及數 感與數學成績相關性調查中的調查發現：第一，學生在比較數的相對大小方面 表現最好，而在判段運算結果合理性方面表現最差；第二，女生在比較數的相對 大小方面比男生要好一些，盡管這樣的差別并不明顯；第三，學生的數學成績與 數感水平顯著相關。陽1謝茜、張開敏等人的調查結果也表明了這一點。數感與年齡、性別的關系學生的數感水平會隨著年齡的增長不斷增強。謝茜在對我國5、6、7年級 學生數感現狀的調查研究中的研究表明：隨著年級的升高，從整體上來看，學 生的數感逐步上升。在數感的各個方面，7年級的學生與其他兩個年級都有著顯 著性的差異；對于5年級和6年級的學生來說，除了基準量的運用之外，在數

31、感 的其他四個方面都存在著顯著的差異。學生的數感與性別之間，不存在明顯的相關。張開敏在關于成都市中小學 生數感的理論與調查研究中寫道：“從數感整體來講，兩個年級的男女生之間 不存在顯著的性別差異。Yang DC等人的調查也表明了這一點。22數感水平的地區差異除了關注本地區學生的數感現狀之外，各地區學生數感的差異性研究也有很 多，如Piijo Aunio, Jessie Ee, Swee Eng Audrey等人的香港、芬蘭、新加坡 兒童數感調查及比較研究，Pirjo Aunio ? MarkkuNiemivirta等人的中國與芬 蘭兒童數感水平調查與比較研究。研究表明，各地區兒童的數感會在某些

32、方面存在差異，但整體差異不大。研 究進一步表明，這些差異的產生與語言、文化相關性較小，主要原因是教學方法 的差異。23綜合以上的研究成果，我們可以看出：各國學生的數感水平都較低，與培養目標相去甚遠。學生數感水平與性別、語言、文化等沒有明顯相關。數感較低的主要原因是：由于對數感的研究起步較晚，從理論到實踐都 不夠成熟。長期以來，從數學教育目標到數學教學實踐，數感的培養都沒有得到 重視。歸根結底，要從根本上改善這種狀況，還是要從改革教學方式和學生學習 方式上入手。不斷提高在職教師對數感的重視，不斷改善教學方式和學生學習方 式，是提高學生數感的必由之路。1.5在職教師數感現狀與數感教學現狀調查由于教

33、師在教學中的扮演著重要角色，因此在職教師的數感現狀、數感教學 現狀也成為了研究者關注的對象，如的TsaoYL臺灣小學數學教師對數感相關 知識的理解。研究表明：在職教師對數感的涵義及重要性認識不夠。TsaoYL在臺灣小學數學教 師對數感相關知識的理解中的調查研究表明：臺灣的小學教師很少有聽說過“數 感這個詞。參與調查的9名教師中，有6名從來沒有聽說過，有2名聽說過一 次，僅僅有1名教師對數感作過深入的研究。參與調查的教師都認為數感就是對 數字的良好的直覺和敏感性，數感良好的學生能夠很好地理解數字的意義和數字 關系，并能夠運用多種策略解題。24在職教師在組織教學時，注重培養學生的運算能力，忽視學生

34、數感的發 展。LinYC在數感和數感教學中的研究表明：在四則運算的教學中，在職 教師更傾向于讓學生重復使用和記憶四則運算的法則。這種教學方式關注工具性 知識的學習，對發展學生數感卻沒有幫助。251.6數感教學方法的研究目前的研究主要集中在這一方面，也涌現出了很多研究成果。例如：Burns等人的研究表明，在傳統的算術教學中，教學重心是四則運算法則 和學生計算能力。這種教學會嚴重阻礙學生數學思維的發展，不利于學生數感的 培養。26HsuCJ等人的研究表明，學生的數感可以通過精心設計的教學活動、有 效的講授以及營造良好的學習環境得到發展。例如相比于傳統的教授方式，分組 教學更有助于學生數感的發展，因

35、為分組教學中，學生有更多的探索、交流和思 考的機會。27研究表明，與單純借助教科書教學相比，融合更多的現實活動的教學更 加有助于學生數感的發展。Yang D C在數感的學習：將現實活動整合到三年 級課堂中寫道，調查結果顯示，實驗組(在教學中設計培養數感的現實活動)在 數感測試中的表現要明顯優于控制組(按照教科書進行教學)的表現。28與傳統的教學方式相比，借助現代科技手段的教學更加有助于學生數感 的形成。YangDC在通過科技化的教學促進6年級學生的數感中寫道：“實 驗組在數感方面的表現明顯優于控制組。T檢驗進一步表明，實驗前后，實驗組 的學生在數感方面有了明顯的提升，而控制組的學生在數感方面并

36、沒有明顯變 化。另外，實驗組學生的學習態度也得到了明顯的改善。陽刃我國大陸也有很多學者進行了這方面的研究，如史寧中、呂世虎的數感與 數感教學，馬云鵬、史炳星的認識數感與發展數感，徐文彬、喻平的數感 及其形成與發展，等等。以上是到目前為止，關于數感的主要研究領域和研究成果。1.7其他零散的研究師范生數感水平調查國外和我國臺灣地區少量研究表明：師范生的數感水平較低，為了提高學生 的數感水平，必須首先提高師范生的數感水平。30高等數學教育對數感的影響Julie Castronovo, Silke M. Gobel的研究表明，高等數學教育對數感的促進作 用很小。31關于數感的其他領域的研究較為零散，而

37、且不夠系統，在此不一一列舉。第二章問題提出與研究思路本次研究的問題是在深刻認識發展學生數感的必要性、清楚了解當前國內中 小學生數感現狀并深入分析其原因之后，結合筆者自身的研究條件慎重提出的。 具體如下：2.1發展學生數感的意義發展學生數感，尤其是小學生數感成為了當前數學教育的一個重點。最新修 訂的義務教育階段數學課程標準中明確提出：“在數學課程中，應當注重發 展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推 理能力和模型思想。對于發展學生數感的意義，課程標準中強調：“建立數感， 有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關系。那2 總結國內外的研究并深入

38、分析之后，筆者認為發展學生數感的意義主要包括以下 三個方面：發展學生數感對于數學學習本身來說具有重要意義，主要體現在：a、早期數感的建立，對后續數學的學習有著基礎性的重要作用；研究表明，數感是學生在學習早期應該發展的最具有基礎性的數學概念之 -O在早期的學習中發展學生數感，能夠為后續的更復雜的數學概念學習(包括 數位的學習，四則運算的學習，等等)做好準備。總之，早期學習中數感的建立 對學生整個數學學習生涯有著決定性的作用。33b、發展學生數感能夠提高學生問題解決的能力。在美國第三次國家教育進展評估之數學學科進展評估中已經明確指出了 當時美國數學教育的不足之一就是學生的問題解決能力低下。數感的概

39、念也是在 此基礎上提出的。學生解決問題的能力低下，究其原因是在對問題的理解、對解題方法的理解 以及方法的選擇上存在問題。而發展學生數感,其實質就是要加強學生深入思考, 加深對數學概念、數學方法的理解。因此，發展學生數感能夠提高學生問題解決 的能力。很多調查研究，也表明了這一點。例如Jeemy Louange和Jack bana在 七年級學生數感與問題解決能力的關系中寫道：調查結果顯示，數感和問題 解決能力之間有著顯著的聯系。這對于教師來說，無疑具有重要的啟示意義。34發展學生數感對于學生的非智力因素培養具有重要意義，具體體現在， 發展學生數感能夠培養學生的探索精神和創新精神。培養學生的探索精神

40、和創新精神是數學學科本身的價值之一。但是，在數學 教學和學習中，單純地記憶數學知識和技能顯然不利于培養學生的探索精神和創 新精神。發展學生數感，其中一個重要的要求就是要對所學知識、技能等進行深 入思考，形成感悟，在此基礎上發展靈活多樣的解題策略。在這樣的過程中，學 生的探索精神和創新精神必然能得到更好培養。發展學生數感能夠更好地滿足社會對人才的需求。進入21世紀，科學技術的進步日新月異。尤其是電子計算機的逐步普及， 更加削弱了傳統的數學教育的地位。社會發展需要數學教育培養出更多能夠解決 更難數學問題的人才。在這樣的社會需求面前，發展學生數感，進一步提升學生 的數學素養成為了數學教育不可推卸的責

41、任。發展學生數感，伴隨著學生數學思 維能力的提高和解決問題能力的提高，我們的學生將更加適應社會的發展需求。2.2國內中小學學生數感現狀發展學生數感已經成為當前數學教育的一個重要方面，這一觀點已經得到了 國內外的一致認可。但與課程標準對發展學生數感的重視和要求相比，國內中小 學生數感現狀卻不盡如人意：與其他國家或地區的情況類似，我國中小學生的數 感水平很低。綜合國內學者的調查研究，我國中小學生數感現狀的主要特點是：數感的整體水平較低大量的調查研究表明我國中小學生數感水平整體較低，主要體現在運用數感 解決問題的意識單薄，利用數感解決問題的能力低，解題方面創新性差。張開敏、Yang DC、謝茜等人的

42、調查研究證實了這一點。數感發展不均衡，城鄉差異明顯受我國城鄉二元經濟結構影響，城鄉教學條件、教學水平、教育受重視程度 等差異明顯。受以上諸多因素的影響，城鄉學生數感水平差異明顯。廣大農村學 生的數感水平明顯低于同等學力的城方學生。數感發展緩慢從2001至2011年十年以來，先后多次的調查研究表明，國內中小學生數感 水平的整體提升不明顯，發展緩慢。總之，在發展學生數感方面，我國面臨的任務復雜而艱巨。2.3如何改善國內中小學生數感現狀的一些分析造成我國中小學學生數感水平較低、城鄉差異明顯、發展緩慢的原因是多方 面的。概括地說，我們可以有以下幾方面的考慮：我國數感研究起步較晚，數感與數感教學方面的理

43、論體系不完善；城鄉在經濟條件、辦學條件、師資配備等方面的差異；教師自身、教材編寫等方面存在的不足。在以上3個方面中，本研究重點關注教師自身方面存在的不足。那么為了適 應數感教學，教師應該做好哪些準備呢？為了發展學生數感，教師必須做好多方面的準備。在諸多準備之中，完備的 數感專業知識和較高的數感教學水平是最重要的，具體表現在：1、發展學生數感，要求數學教師具備完備的數感專業知識相關研究表明，數學專業知識對數學教師來說是極其重要的，因為專業知識 會對教師如何教和教什么產生重要的影響。35例如,Alajmi的研究表明，如果教師要教授學生如何判斷運算結果的合理性, 那么教師本身必須能夠認識到判斷運算結

44、果合理性的重要性和價值。Schifter的 研究進一步表明，數學教師必須掌握數學的一些基本思想，并認識到數學的學習 是一個長期的細致的工程。進一步講，有效的數學教學需要教師對數學的深入理 解。總之，一系列的研究都表明了數學專業知識對數學教師的重要性。362007年，Alajmi和Reys在科威特進行了數感方面的研究表明，八年級學生 對運算結果合理性判斷方面存在明顯不足。同時，研究表明，相比于對運算結果 合理性的判斷，當地教師更看重如何得到精確的運算結果，這也成為了學生在判 斷運算結果合理性方面存在明顯不足的一個重要原因。37在數感教學中，數學教師應該具備的數感專業知識主要包括兩方面：對數感及數

45、感教學意義的準確理解；良好的數感水平。為了便于表達，對數感及數感教學意義的理解和數感水平，統稱為數感意識。2、發展學生數感，要求數學教師具備較高的數感教學水平教學水平是對教師的教學的整體評價，主要包括教學目標的確定是否恰當、 教學資源是否充足、教學策略的運用是否有效、教學效果評價是否合適等。教師 的數感教學水平體現在數感教學的全過程，直接影響著數感教學效果。數感教學水平較高的教師能夠在具體教學中，結合教學實際，恰當選取數感 培養目標并開發出足夠的數感教學資源，采取有效教學策略，最終數感培養目標。 相反，數感教學水平較低的教師可能會在數感目標制定、數感教學策略等方面出 現問題，影響數感目標的實現

46、。因此，具備較高的數感教學水平是數學教師在發展學生數感時必備的另一個 重要條件。2.4問題的提出與研究目的經過上述分析，筆者作出了當前中小學數學教師數感意識和數感教學水平較 低的推斷。在這一方面，國外和我國臺灣地區已有一些研究。盡管這些研究成果 具有較高的參考價值，但考慮到之前研究的時效性和地域性的局限，對我國中小 學教師數感專業知識和教學水平展開系統的調查研究仍有必要。但受筆者自身研究條件所限，本次研究的對象定為數學專業師范生（主要包 括高等院校本科學生和專科學生，以下簡稱師范生）。此外，師范生是未來的數 學教師，改善師范生的數感教學水平，對于改善整個教師隊伍的數感教學水平具 有重要的意義。

47、綜合以上的考慮，本次研究的目的是：（1）通過調查，查明師范生數感意識水平；（2）通過調查，查明師范生數感教學水平；（3）深入分析調查結果，提出解決問題的策略。2.5研究方法與研究思路本次研究的調查部分主要采取問卷調查和訪談，結果處理主要參考文獻并結 合自身工作經驗。結合本次研究的問題和研究目的，研究主要包括以下三部分：1、調查前的準備工作準備工作主要有：相關概念的界定（第三章）。2、實施調查與調查結果統計這一部分包括：師范生數感意識調查（第四章）；師范生數感教學水平調查 （第五章）。3、分析問題原因，提出改進建議這一部分包括：問題原因分析（第六章）；提出改進建議（第七章）。第三章數感及數感的相

48、關概念的界定數感及數感的相關概念是本次研究的基礎。但由于之前的研究存在分歧，因 此有必要首先對數感的概念重新界定，3.1數感關于數感概念的定義，當下認可程度較高的主要有以下幾個：數感是指一個人對數字和運算的一般理解以及運用這種理解靈活地作出 數學判斷、形成有效解題策略的能力和傾向。數感，是一種對數字和數字關系的良好的直覺。數感是一個數字與運算的組織化良好的概念網。這個概念網有助于辨別 數字相對和絕對大小、對運算作質和量的判斷、判斷計算結果是否合理、以及進 行心算。數感主要是關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。建 立數感有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關

49、 系。在數感概念的定義上，存在諸多爭論，其主要原因是其中摻雜了太多的個人 看法，而忽略了這個概念產生的背景以及這個概念的發展性。孤立地去看這個概 念或只憑借個人對其的理解來定義，必然產生混亂而無法達成一致。筆者認為應 該首先研究概念產生的背景，進而用發展的眼光，來給出一個相對客觀的定義。1、從數感產生的背景來看數感數感最早是在上世紀七八十年代由美國學者Carpenter等人提出。Carpenter 曾多次參加美國國家教育進展評估(NAEP),主要負責數學教育進展評估。而數 感也是其在分析NAEP的數據時首次提出的。換句話說，數感這個概念是在美 國當時的數學教育狀況的基礎上提出的。因此要了解數感

50、產生的背景，我們需要 必須了解上世紀七八十年美國數學教育的狀況。我們以第三次國家教育進展評估之數學學科進展評估(第二學段)一文問 參考，來看看當時美國的數學教育狀況。其主要調查結果和建議如下：a、1978-1982年間，13歲兒童在數學上取得了明顯進步(5%),但是其中大 部分是在較低層次的數學技能上取得的這些較低層次的數學技能包括辨認圖形形狀，利用直尺測量線段長度，閱讀 簡單圖象或圖表，進行簡單的四則運算等。b、學生對基礎概念的理解水平很低文中舉了這樣的例子：在3.04x5.3結果估算測試中，13歲兒童中只有20.7% 能夠選擇出正確估算結果16,其余大部分學生選擇了 1.6,160,或者1

51、600o 17 歲學生在這方面的表現并不比13歲學生強太多，他們中只有36.6%能夠選擇出 正確估計結果。c、教師需要在培養學生解決問題的能力上投入更多的時間和精力，尤其是 在培養學生對數學問題的理解上調查結果顯示，學生問題解決能力低下，除非是在課本上出現過的例題。這 種狀態的主要原因是，很多問題學生能夠解決卻不知道為什么要這么做，也不理 解題目中的已知條件和問題的關系。d、學生對問題解決的認識和對數學的認識大多數學生認為解決問題的方法比解決問題本身更重要，而知道為什么能使 用這種方法來解決，比會用這種方法解題更重要。但對于數學的認識，大多數學生認為數學是由很多孤立的、一成不變的結論 組成的，

52、而且數學的學習主要是靠記憶。38還有其他方面的一些結論，由于和本次研究無關，不再列舉。我們可以把當時美國數學教育存在的問題做一下歸納，從學生回答問題的情 況和對數學的認識上，我們很容易發現，當時數學教育的重心是數學知識和技能 的學習和運用，而忽視了學生對數學知識和技能的理解。因此才會有學生只會解 題而不會思考，并且認為數學的學習主要是靠記憶。究其根本，是數學的功能在 隨著時代的進步在發生變化，進入21世紀，科技日新月異，尤其是電子計算機 的廣泛使用，單純依靠數學知識和技能就能解決現實所有問題的時代已經過去， 對數學學習我們應該提出更高的要求。具體而言，數學教學的重心應該由原先的 注重知識與技能

53、掌握轉變為注重理解和創新。因此，從數感這個概念本質上看，數感是對數學知識和技能的理解和感悟。 具體而言，既然是“數感，那么這種理解和感悟應該是關于數和數的運算等方面 的理解與感悟。2、用發展的眼光來重新審視數感在了解了數感概念提出的背景和其本質之后，很多學者又對數感作了進一步 地研究，包括從心理學、神經學、教育學等諸多方面。這樣的研究讓我們對數感 的認識更加全面更加立體化。因此，從這個角度來說，諸多定義形式也是必然會 出現的，但這并不會對我們的認識造成混亂。綜合以上兩個方面的分析，從數學教育研究需要出發，本次研究決定采用以 下的兩種定義：數感是指一個人對數字和運算的一般理解以及運用這種理解靈活

54、地作出 數學判斷、形成有效解題策略的能力和傾向。數感主要是關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。“理解和“感悟從本質上說是相近的，因此，這兩種定義實質是相近的，前 者更具體，后者則更概括。3.2數感的主要表現方面如果用發展的眼光來看數感的表現，隨著算術方面的知識擴充和深化，數感 的表現也會不斷擴展。同樣，小學階段的數感表現與初中階段的數感表現也會不 同。因此，數感的表現只能作出相對固定的界定。本次研究只針對我國當前義務 教育階段的學習內容，對數感的表現作出主要的列舉，以方便后面的研究。數感的主要表現在：1、對數字的意義和大小的理解對數字意義和大小的理解表現為能夠理解實數的意義及多種

55、表示，并能對數 字的相對大小關系作出準確的判斷。例如，2/5比1/2小，-0.6小于0.3。2、對運算的意義及影響的理解義務教育階段的運算主要包括：四則運算、乘方運算、開方運算。對運算的意義及影響的理解表現為能夠準確判斷運算的結果如何隨著運算 以及數字的變化而變化，以及對運算律的理解。例如，能夠知道13x0.8結果比 13小，13+0.8結果比13大，而接近于4,等等。3、理解并運用等值變化理解等值變化指的是能夠知道一個數字或代數式可以有多種變現形式，例如。號=25%。在必要的時候運用等值變化，能夠簡化運算。例如15+0.25=15+1/4=15x4。4、擁有靈活的心算策略和估算策略對于某些問

56、題，能夠在不借助筆算的情況下，利用對運算性質的理解或通過 恰當地估算，對運算結果作出估計或借助心算解決問題。5、靈活地借助基準量解決問題基準量指的是解決問題的過程自主選取的中間量。基準量的選取由具體問題 而定。例如：比較7/13和3/7的大小時，可以選取1/2作為基準量。數感還有其他方面的表現，在此不一一列舉。第四章 師范生數感意識調查本章重點說明本次研究的樣本的選取、相關調查問卷的制定和調查結果的評 價標準。4.1調查對象根據研究的目的，隨機選取了河北師范大學、邯鄲學院、廊坊學院、保定學 院、滄州師范學院和石家莊學院等6所高校的120名數學專業學生作為本次研究 的樣本。為使樣本具有較高的代表

57、性，根據本科生和專科生比例以及性別比例， 120名被試中本科生40名，專科生80名，男女比例1:2。4.2調查問卷的設計為了保證此次調查的有效性和真實性，問卷的設計參考了很多前人的研究成 果，并在此基礎上加以完善形成了新的調查問卷。對于數感專業知識水平的調查主要包括兩個方面：數感水平和數感教學意義 認識水平。為了師范生數感水平，筆者設計了數感水平調查問卷（詳見附件1）。 與之前調查問卷不同，此次設計調查問卷時，根據調查對象的受教育程度，適當 調整了難度。對于較為簡單內容，不再作為此次考查的內容。為了調查師范生對 數感教學重視程度，我設計了數感教學意義認知水平調查問卷（詳見附件2）。 為了彌補調

58、查問卷可能存在的不足，并通過訪談進一步核實調查結果的真實性， 訪談內容會在問卷結果基礎上作出設計。4.3數感水平調查結果本調查分別在6所學校單獨進行。調查場所相對封閉，答題時間嚴格控制， 調查過程中秩序井然。對于120份調查問卷，筆者做了統一地處理，不再區分學 校、學歷層次、性別。對于答卷的處理方法是：首先排除無效答卷。答題數量少于1/3的問卷視為 無效問卷，不予統計。其次，對每道題的答題情況分別作出分類并統計；再次對 每名參與者的整體數感水平作出評估；最后在前面的基礎上作出定性分析和定量 分析。答卷統計工作由兩個人單獨進行，以確保統計結果客觀公正。以下是數感水平、數感與數感教學意義認知水平的

59、調查結果。數感水平測試問卷，共12道小題。其中第7、8、9、12題為初中部分，其 余為小學部分。所有題目均與數感密切相關且有多種解法。所有題目均是主觀題, 要求答題者在盡量不借助筆算的情況下，寫出問題答案并簡要寫出步驟或方法。 答題時間嚴格控制在30分鐘，不可以提前離場。對于問卷調查結果，筆者從以下三個維度來進行統計：數感運用的比例按照解題過程中是否運用數感分類進行統計，用運用數感解答問題的比例大 小來衡量數感整體水平的高低。數感體系的完整性結合具體問題的答題情況，對調查對象的數感體系的完整性作出推測。數感水平分布通過統計個體數感運用比例的分布情況，對調查群體的數感分布上的特點作 出分析。4.

60、3.1數感運用的比例筆者首先對各題的答案按照是否運用數感進行了嚴格的分類，在此基礎上計 算出了各題的數感運用比例。最后計算出各題運用數感的百分比的平均值。具體 統計結果見表4.1 o從表中可以看出，在此次問卷調查中，參與調查的120名被試的數感在各題 解答過程中運用數感的平均比例是28.42%O據此，筆者推斷師范生的數感平均 水平較低。表4.1數感運用比例統計表題號運用數感人數沒有運用數感人數運用數感百分比1368130.8%2427535.9%3219618.0%4308725.6%5279023.1%6219618.0%7427535.9%8338428.2%9219618.0%10546