1、第二章 點、直線、平面的投影第一節 投影法的概念在日常生活中，我們能看到一些現象： 物體在燈光或日光照射下，會在地面或墻面或其它物體的外表上產生影子。并且，在某種程度上能顯示出物體的形狀和大小，并隨光線照射方向的不同而變化。投影法方法就是人們從這些自然現象中抽象出來的。1、投影的形成H光線影子光線投影H投影面投射線規定：影子落在一個平面上，且光線可穿透物體，使得所產生的影子不象真是影子那樣黑色一片，而能在影子范圍內有線條來顯示物體的完整形象。通過物體的一組投射線，在一個選定的面上形成的圖形，稱為該物體在該面上的投影。日常生活與投影法投影法名詞:圖見下頁 日常生活名詞: 投射中心 - 光源 投射

2、線 - 光線 物體對象- 人、物 投影面 - 地面、桌面、墻面 投影 - 影子 投影的幾何實質-直線與平面的交點2、投影的分類 按照投射線之間的關系和對投影面的方向不同投 影中心投影平行投影正投影斜投影中心投影法 投射中心、物體、投影面三者之間的相對距離對投影的大小有影響。度量性較差投射線投射中心物體投影面投影物體位置改變，投影大小也改變 這種投射線集中于一點時的投影稱為中心投影。 2、投影的分類 按照投射線之間的關系和對投影面的方向不同平行投影正投影斜投影 投射線垂直于投影面時的投影稱為正投影。 投射線傾斜于投影面時的平行投影稱為斜投影。 2、投影的分類平行投影 投射線垂直于投影面時的投影稱

3、為正投影。 S1.正投影SHABCabc2、投影的分類平行投影 投射線傾斜于投影面時的平行投影稱為斜投影。 H2.斜投影90SSABCabc平行投影法投影大小與物體和投影面之間的距離無關。度量性較好工程圖樣多數采用正投影法繪制。投射線互相平行且垂直于投影面斜角投影法投射線互相平行且傾斜于投影面直角（正）投影法即:正投影法3、 平行投影的特性 1.真實性 當線段或平面平行于投影面時，其平行投影反映實長或實形。這種投影性質稱為真實性。 AabBBACacbHH3、平行投影的特性 2.積聚性 當直線或平面平行于投射線時，在正投影時，那么垂直于投影面，那么直線的平行投影積聚為一點；平面的平行投影積聚為

4、一條直線。這種性質稱為積聚性。 Aa(b)BHBACHcabH3、 平行投影的特性 3.類似性 當直線段或平面形傾斜于投影面時，那么直線段的正投影長小于其實長；平面形的正投影類似于其實形，且小于其實形，如三角形仍投射成三角形。這種性質稱為類似性。 bcadHABBCDAab3、 平行投影的特性 4附屬性 點在直線上，點的投影一定在該直線的同面投影上。這種性質稱為附屬性。 5定比性 直線上兩線段的實際長度之比，等于它們的平行投影的長度之比，這種性質稱為定比性。假設: K在AB上那么: k在 ab上 AK:KB=ak:kbabKABHk3、平行投影的特性 6平行性 相互平行的直線在同一投影面上的平

5、行投影仍然相互平行，且空間線段的長度之比等于它們的同面投影的長度之比，這種性質稱為平行性。 假設 ABCD那么 abcdacbdacbfedHHACDBABCDFE4、 工程中常用的投影 在表達工程物體時，由于表達目的和被表達對象的不同，往往需要采用不同的工程圖。常用的工程圖有以下四種： 1.正投影圖2.軸測投影圖 3.透視投影圖4.標高投影圖 4、 工程中常用的投影 一個物體在幾個投影面上的正投影，稱為正投影圖。 特點 作圖較其它圖示法簡便，便于度量，工程上應用最廣，但缺乏立體感。(1) 正投影圖4、工程中常用的投影 物體在一個投影面上的平行投影，稱為軸測投影，也稱為軸測圖。 特點： 立體感

6、強，非常直觀。但是作圖較繁，外表形狀在圖中往往失真，度量性差，只能作為工程上的輔助性圖樣。(2) 軸測投影圖4、工程中常用的投影 以人眼為中心，物體在一個投影面上的中心投影，稱為透視投影。 (3) 透視投影圖(采用中心投影法)特點 圖形逼真，直觀性強。但作圖復雜。形體的尺寸不能直接在圖中度量，故不能作為施工依據，僅用于建筑設計方案的比較及工藝美術和宣傳廣告畫等。表達房屋及裝飾的立體效果。4、工程中常用的投影 標高投影圖是在物體水平投影面上加注某些特征面、線以及控制點的高度數值的單面正投影 。 (4) 標高投影圖第二節 點的投影1、點單面投影空間點A的單面投影 HAa由單面投影定空間點的位置 H

7、aCBA 只根據點在一個投影面上的投影，不能確定該點在空間的位置。 分角的概念：個投影面個分角中途返回請按“ESC 鍵我國采用第一分角2、點的兩面投影及規律HWV三投影面體系正立投影面簡稱正 面用V表示水平投影面簡稱水 平面用H表示側立投影面簡稱側 面用W表示OXZ OX軸 V面與H面的交線 OZ軸 V面與W面的交線 OY軸 H面與W面的交線三個投影面互相垂直Y 原點O3、點的三面投影及規律XYZOVHW向后旋轉90向下旋轉90不動注意：OY軸一分為二： YH、Yw投影面展開分角的概念：個投影面個分角WHVOXZY空間點在三個投影面上的投影a正面投影a 水平投影a 側面投影aaa A規定:空間

8、點-用大寫字母表示。投影點-用相應小寫字母表示。稍等等。有動畫喲！45 點在三投影面體系中的投影HVOXaaZaXazaWYHYW帶邊框的三面投影圖OXaaZaXaza”YHYWaYHaYW去邊框的三面投影圖點的三面投影規律 1點的水平投影和正面投影的連線垂直于OX軸 aaOX) 2點的正面投影和側面投影的連線垂直于OZ軸 aaOZ)HVOXAaaWYZaaxayaz45OXaaZaXazaYHYWaYHaYW點的三面投影規律(3)各投影到投影軸的距離，等于該點到通過該軸的相鄰投影面的距離。(也等于空間點到投影面的距離)Aax = aaz =A 到V 面的距離aax= aaYW =A 到H 面

9、的距離aaz = aaYH =A 到W 面的距離HVOXAaaWYZaaxayazOXaaZaxazaYWaYHaYWYH點的三面投影規律【例】點A的水平投影a和正面投影a ,求側面投影a(求作第三投影)。中途返回請按“ESC 鍵aa”aOXZYWYH特殊位置的點 下一頁特殊位置的點 1投影面上的點：一投影與該點本身重合，另外兩投影在投影軸上。 2投影軸上的點：兩投影重合于該點本身，另外一投影與原點O重合。 3一點與原點重合：三個投影亦均與原點重合。HVOXCBbWYZDdddbbc cOXZYHYWbbccccddd4、點的投影與坐標的關系 HVAaaWYZaaXayazOXA點到W面的距離

10、(Aa)=A點的x坐標Oax)A點到V面的距離(Aa)=A點的y坐標Oay)A點到H面的距離(Aa)=A點的z坐標Oaz)OXaaZazaXaYHYWaYHaYWXZYyyxxzz后前后前左右 a a aAb b bBXYZZYHXYWbbaa”b”a5、兩點的相對位置和重影點兩點的相對位置是指平行于投影軸X、Y、Z 的左右、前后和上下的相對關系。X值大的點在左Y值大的點在前Z值大的點在上B點在A點的左邊A點在B點的前邊A點在B點的上邊左右上下上下 兩點的相對距離，并非指兩點間的真實距離，而是指平行 X、Y、Z軸的距離，即到W、V和H面的距離差,即：兩點的相對距離坐標差：X長度差Y寬度差Z高度

11、差重影點及可見性 兩點位于某一投影面的同一條投射線上，那么它們在這一個投影面上的投影互相重疊，該兩點稱為對該投影面的一對重影點。 一個投影面上重影點的可見性，必須依靠該兩點在另外的投影面上的投影來判定。 規定：重合投影標記為：可見點寫在前面，把不可見點的字母寫于后面；或者將不可見點加以圓括號。 HBa(b)AOZXYHYW VWHZXYOOZXYHYW ABDCFEbaa(b)bac(d)dcdceff ee(f )ef efe(f )cdcdc(d)a(b)baabVZXWHYVWHZXYOOOZXYHYW重影點及可見性 H面的重影點A、BV面的重影點C、DW面的重影點E、F三種情況第三節

12、直 線 的 投 影直線的投影直線對投影面的位置 兩直線的相對位置直線的投影 空間直線是無限長的，但在投影圖中我們常以有限長的線段來代表直線。直線的空間位置可由直線上任意兩點的位置確定或直線上一點及指向。 直線的投影一般仍為直線。 HH直線的投影特性 Ha(b)BAabbaABAB 當直線垂直投影面時，其投影積聚為一點，如圖a所示；當直線平行投影面時，其投影與直線本身平行且相等，如圖b所示；當直線傾斜于投影面時，其投影的長度比直線本身的長度縮短，如圖c所示。(a)(b)(c)一般位置直線 1.一般位置直線的投影特性 三個投影面上的投影均傾斜于投影軸，且小于空間線段的實長；三個投影與相應軸的夾角均

13、不反映直線對投影面的傾角。 概念：直線對投影面的傾角、？agaababb AZVWYXOHBXOYHYWZabab abOZXYHYW VWHZXYOOZXYHYW 投影面垂直線立體圖、投影圖ABABBAbaa(b)ba(a)babababbaa(b )ababa(b )baba(a)ba(b)baabVZXWHYVWHZXYOOOZXYHYW鉛垂線正垂線側垂線 VWHZXYOZXYHYWZXYHYWOZXYHYW 投影面平行線立體圖、投影圖BAabababABbOabaabababbaBAabababbOabaabOababbaVWHZXYOVWHZXYO水平線正平線側平線平行兩直線根據投影

14、判斷兩直線是否平行: 對于一般位置的兩直線，僅根據直線的任意兩個同面投影是否平行即可判別它們在空間是否平行； XZa b ab OYHYWbacdc d cd 相交兩直線 假設空間兩直線相交，那么其同面投影也相交，且各投影的交點符合點的投影規律。VWHBACDabXZYOcdcdabkkKcdbakXZa b ab OYHYWbacdc d cd kkkVXOH交叉兩直線 空間交叉兩直線在任何投影面上的投影的交點是空間兩個點的重合投影，這兩個點分屬于兩條直線上，因為它們位于同一投射線上，是重影點。投影時，需判斷重影點的可見性。 ABCDbadcabcdMNm(n)nmk (l)LKklaaXb

15、cdbcOdm(n)mnlkk (l)第四節 平 面的投影平面的投影平面對投影面的相對位置兩平面的相對位置平面幾何元素表示法cbacbaccabbaabccabccaabccababdd不在一直線上三點一直線和線外一點相交兩直線平行兩直線任意平面圖形平面的投影性質1、平面圖形的投影，由平面圖形的輪廓線的投影表示。 abccabbaABCXXYZZYHYWabababcccO平面的投影性質(a)bcad2、平面圖形傾斜于某投影面時，在該面上的投影是一個類似圖形，但形狀、大小均可變化(圖a)。 平面的投影性質(a)bcadd(a)c(b)(b)EFMemf積聚投影3、平面垂直于某投影面時，在該面上

16、的投影積聚成一直線(圖b)。 平面的投影性質(a)bcadd(a)c(b)(b)EFMemf4、平面平行于某投影面時，在該面上的投影反映平面圖形的真實性狀、大小和方向等(圖c)。 (c)badc跡線表示法跡線是平面與投影面的交線。 VHWPPHPVPW側面跡線水平跡線正面跡線P（跡線平面）跡線平面表示法 作出跡線平面的三面投影，由此三面投影即可確定平面。跡線表示法跡線平面表示法如下圖：PVPHPW注意：跡線的符號用平面名稱的大寫字母附加投影面名稱的下標來表示，PH、PV、PW。 在投影圖上，通常只將跡線與重合的那個投影畫出，并用大寫帶腳標的符號標記，凡和投影軸重合的投影不需畫出，也省略標記。

17、表示特殊位置平面時，主要用此法表示。平面的分類相對于投影面根據平面相對于投影面的傾斜角度的不同，可分為三類：一般位置平面：投影面平行面：投影面垂直面：與各投影面呈一般角度的傾斜。垂直于某投影面。平行于某投影面。三類平面具有不同的投影特性。一般位置平面結論：一般面的三面投影均為原形的類似形，其大小小于實形。abccabbaABCXXYZZYHYWabababcccO投影面垂直面 垂直于某一投影面而傾斜于另外兩個投影面的平面，稱為投影面垂直面。 投影面垂直面因其所垂直的投影面不同分為：1H面垂直面或鉛垂面：垂直于H面的平面；2V面垂直面或正垂面：垂直于V面的平面；3W面垂直面或側垂面：垂直于W面的

18、平面。投影特性在它所垂直的投影面上投影積聚為一直線；此積聚投影與相應投影軸的夾角，反映該平面相對于相應投影面的傾角。投影面垂直面的其它投影均比實形小，為原形的類似形狀。 投影面垂直面鉛垂面正垂面側垂面XZOYHYWrrr”aqq”XZqOYHaXZYHOpP”p三種位置平面的投影水平面正平面側平面跡線平面法表示三種平行面：水平面正平面側平面PVPWPHPWPVPH投影面平行面第五節 直線與平面、平面與平面的相對位置直線與平面、平面與平面平行 直線與平面 、平面與平面相交直線與平面、平面與平面垂直見教材自學 一般位置直線與一般位置平面相交 求直線和一般位置平面的交點應用輔助平面法，可按以下三步：1過直線作一輔助平面，一般作具有積聚投影的投影面垂直面；2求出輔助平面與平面的輔助交線；3輔助交線與直線的交點，即為直線與平面的交點。 如圖，求作直線EF和一般位置平面ABC的交點，應分三步進行：1經過直線DE作一個輔助平面P；2求輔助平面P同平面ABC的交線MN；3確定此交線MN同直線DE的交點。 為作圖簡化，過直線所作的輔助平面，通常選擇特殊位置平面。交點畫法分析：一般位置直線與一般位置平面相交acbEDABCPMNkdemnkH