1、第第2章章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2.2 固有頻率的求法固有頻率的求法2.2.2.1 根據(jù)固有頻率定義來求根據(jù)固有頻率定義來求mkp 例題例題2.13: 復(fù)擺復(fù)擺剛體質(zhì)量為剛體質(zhì)量為m重心重心C對(duì)懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為對(duì)懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0求求:復(fù)擺在平衡位置附復(fù)擺在平衡位置附近做微振動(dòng)時(shí)的固有頻近做微振動(dòng)時(shí)的固有頻率和周期率和周期.第第2章章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)sinmgsin0mgaJ 解解:用用表示擺在任意瞬表示擺在任意瞬時(shí)偏離垂直平衡位置的時(shí)偏離垂直平衡位置的角位移。此時(shí)重力的切角位移。此時(shí)重力的切向分力向分力將產(chǎn)生一恢復(fù)力矩將產(chǎn)生一恢復(fù)力矩使復(fù)擺產(chǎn)生振動(dòng)

2、使復(fù)擺產(chǎn)生振動(dòng)。由牛頓定律由牛頓定律sinmga因?yàn)槲⒄駝?dòng)因?yàn)槲⒄駝?dòng)sin則有則有0000JmgamgaJ 根據(jù)固有頻率定義根據(jù)固有頻率定義02Jmgap 所以，固有頻率為所以，固有頻率為0Jmgap 第第2章章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)0Jmgap 0212JmgapfmgaJfT021頻率為頻率為 用實(shí)驗(yàn)法測(cè)出物體用實(shí)驗(yàn)法測(cè)出物體的周期的周期T,就可算出剛體就可算出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量mgaTJ2204 再由移軸原理再由移軸原理,可得可得物體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量物體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量20maJJc實(shí)驗(yàn)法確定復(fù)雜形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一個(gè)方法實(shí)驗(yàn)法確定復(fù)雜形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一個(gè)方法

3、第第2章章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2.2.3 應(yīng)用能量法來求應(yīng)用能量法來求 當(dāng)系統(tǒng)比較復(fù)雜當(dāng)系統(tǒng)比較復(fù)雜,用牛頓第二定律用牛頓第二定律或達(dá)朗勃原理建立運(yùn)動(dòng)微分方程比或達(dá)朗勃原理建立運(yùn)動(dòng)微分方程比較困難較困難,也就是很難用定義求固有頻也就是很難用定義求固有頻率。在這種情況下，也可不必建立率。在這種情況下，也可不必建立運(yùn)動(dòng)微分方程而直接用能量法得出運(yùn)動(dòng)微分方程而直接用能量法得出振系的固有頻率振系的固有頻率。 設(shè)設(shè)T1，U1和和T2，U2分別表示振系前分別表示振系前后兩個(gè)不同時(shí)刻的動(dòng)能和勢(shì)能，則由能量后兩個(gè)不同時(shí)刻的動(dòng)能和勢(shì)能，則由能量守恒定律，有守恒定律，有T1+U1=T2+U2

4、，由于系統(tǒng)，由于系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，則U1=0時(shí)，時(shí)，T1達(dá)到達(dá)到最大值；當(dāng)最大值；當(dāng)T2=0時(shí)，時(shí)，U2達(dá)到最大值；則達(dá)到最大值；則T1+0=U2+0。此時(shí)。此時(shí)T1與與U2都是最大值，都是最大值，所以有所以有Tmax=Umax (2.11)第第2章章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng) 例題例題2.14：如：如圖圖2.18所示圓軸所示圓軸圓盤扭振系統(tǒng)，圓盤扭振系統(tǒng)，求其振動(dòng)的固有求其振動(dòng)的固有頻率。頻率。解：圓盤的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)解：圓盤的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)ptAsin故知其最大動(dòng)能和勢(shì)能分別為故知其最大動(dòng)能和勢(shì)能分別為2max2max22max2max21212121A

5、kkUAJpJTtt將兩式代入（將兩式代入（2.11）即得）即得2222121AkAJpt從而得振系得固有頻率為從而得振系得固有頻率為JkpJkptt,2第第2章章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2.2.3 有阻尼自由振動(dòng)有阻尼自由振動(dòng) 前面的自由振動(dòng)都沒有考慮運(yùn)動(dòng)中阻前面的自由振動(dòng)都沒有考慮運(yùn)動(dòng)中阻力的影響，實(shí)際系統(tǒng)的機(jī)械能不可能守恒，力的影響，實(shí)際系統(tǒng)的機(jī)械能不可能守恒，因?yàn)榭偞嬖谥鞣N各樣的阻力。振動(dòng)中將因?yàn)榭偞嬖谥鞣N各樣的阻力。振動(dòng)中將阻力稱為阻尼，例如摩擦阻尼，電磁阻尼，阻力稱為阻尼，例如摩擦阻尼，電磁阻尼，介質(zhì)阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼。盡管已經(jīng)提出了許介質(zhì)阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼。盡管已經(jīng)提出

6、了許多數(shù)學(xué)上描述阻尼的方法，但是實(shí)際系統(tǒng)多數(shù)學(xué)上描述阻尼的方法，但是實(shí)際系統(tǒng)中阻尼的物理本質(zhì)仍然極難確定。中阻尼的物理本質(zhì)仍然極難確定。 最常用的一種阻力力學(xué)模型是粘性阻最常用的一種阻力力學(xué)模型是粘性阻尼。在流體中低速運(yùn)動(dòng)或沿潤(rùn)滑表面滑動(dòng)尼。在流體中低速運(yùn)動(dòng)或沿潤(rùn)滑表面滑動(dòng)的物體，通常就認(rèn)為受到粘性阻尼。的物體，通常就認(rèn)為受到粘性阻尼。 粘性阻尼與相對(duì)速度成正比，即粘性阻尼與相對(duì)速度成正比，即cvpdC:粘性阻尼系數(shù)，或阻尼系數(shù)，單位：粘性阻尼系數(shù)，或阻尼系數(shù)，單位：N.s/m建立平衡位置，并受力分析建立平衡位置，并受力分析動(dòng)力學(xué)方程動(dòng)力學(xué)方程0kxxcxm 0 xmkxmcx mkp 2將上

7、式將上式寫為寫為其中其中mcnmcn2,2第第2章章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)圖圖2.19 單自由度有阻尼振系單自由度有阻尼振系n稱為衰減系數(shù)稱為衰減系數(shù)定義定義pn稱為相對(duì)阻尼系數(shù)，是表示阻尼大小的稱為相對(duì)阻尼系數(shù)，是表示阻尼大小的一個(gè)無量綱的量一個(gè)無量綱的量所以運(yùn)動(dòng)微分方程變?yōu)樗赃\(yùn)動(dòng)微分方程變?yōu)?2.12) 022xpxpx 第第2章章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)(2.12) 022xpxpx stex 0222ppss設(shè)解的形設(shè)解的形式式代入式（代入式（2.12）得方程的特征得方程的特征方程為方程為特征根特征根pps122, 1三種情況：三種情況： 1， =1，

8、1過阻尼過阻尼臨界阻尼臨界阻尼弱阻尼弱阻尼第第2章章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)pps122, 1)11()(2221ptshcptchcetxpt22xxxxeechxeeshx第一種情況：過阻尼第一種情況：過阻尼1特征根特征根兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根振動(dòng)解振動(dòng)解C1,c2初始條件決定初始條件決定設(shè)初始條件設(shè)初始條件00)0(,)0(xxxx則則)111()(220020ptshppxxptchxetxpt第第2章章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)ps2, 1ptetccx)(2100)0(,)0(xxxx第二種情況：臨界阻尼第二種情況：臨界阻尼=1特征根特征根二重根

9、二重根振動(dòng)解振動(dòng)解C1,c2初始條件決定初始條件決定設(shè)初始條件設(shè)初始條件則則)()(000tpxxxetxpt臨界阻尼系數(shù)臨界阻尼系數(shù)kmmkmmpcc222ccckmcmpcpn22 即相對(duì)阻尼系數(shù)等于實(shí)際阻尼系數(shù)與臨即相對(duì)阻尼系數(shù)等于實(shí)際阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)的比值，故又稱為阻尼比。界阻尼系數(shù)的比值，故又稱為阻尼比。第第2章章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)ppipips222, 1111 )15. 2)(21)1(2)1(122( tp itp iptptipptipececeececx第三種情況：弱阻尼第三種情況：弱阻尼1此時(shí)，特征方程的兩個(gè)根為共軛復(fù)根此時(shí)，特征方程的兩個(gè)根為共

10、軛復(fù)根 P的實(shí)際意義為有阻尼衰減振動(dòng)時(shí)的固有的實(shí)際意義為有阻尼衰減振動(dòng)時(shí)的固有圓頻率，它的值比圓頻率，它的值比P 小。從而微分方程的小。從而微分方程的解為解為應(yīng)用歐拉公式將上式展開為應(yīng)用歐拉公式將上式展開為)15. 2)sincos( tpbtpaexpt式中，式中，a,b為待定系數(shù)，它們可由初始條為待定系數(shù)，它們可由初始條件確定件確定設(shè)初始條件設(shè)初始條件00)0(,)0(xxxx代入式（代入式（2.15）可得）可得ppxxbxa/ )(,000所以系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)為所以系統(tǒng)對(duì)初始條件的響應(yīng)為(2.16) )sincos(000tpppxxtpxexpt經(jīng)三角變換，上式也可寫為經(jīng)三角變換，

11、上式也可寫為(2.17) )sin(tpAexpt第第2章章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)00202200022pxxpxarctgpxpxxpxA 式中式中阻尼固有頻率阻尼固有頻率21pp阻尼自由振動(dòng)周期阻尼自由振動(dòng)周期202111122TppTT0：無阻尼自由振動(dòng)的周期：無阻尼自由振動(dòng)的周期阻尼自由振動(dòng)的周期大于無阻尼自由振動(dòng)的周期阻尼自由振動(dòng)的周期大于無阻尼自由振動(dòng)的周期第第2章章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)(2.17) )sin(tpAexpt 弱阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動(dòng)弱阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動(dòng)圖圖2.22 弱阻尼弱阻尼 不同阻尼大小下的振動(dòng)衰減情況不同阻尼

12、大小下的振動(dòng)衰減情況不同阻尼，振動(dòng)衰減的快慢不同不同阻尼，振動(dòng)衰減的快慢不同阻尼大，則振動(dòng)衰減快阻尼大，則振動(dòng)衰減快阻尼小，則振動(dòng)衰減慢阻尼小，則振動(dòng)衰減慢第第2章章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)(2.17) 111)(1nTpTTtpptiieeAeAeAAii減幅系數(shù)減幅系數(shù)評(píng)價(jià)阻尼對(duì)振幅衰減快慢的影響評(píng)價(jià)阻尼對(duì)振幅衰減快慢的影響定義為相鄰兩個(gè)振幅的比值定義為相鄰兩個(gè)振幅的比值與與t無關(guān)，任意兩個(gè)相鄰振幅之比均為無關(guān)，任意兩個(gè)相鄰振幅之比均為衰減振動(dòng)的頻率為衰減振動(dòng)的頻率為p21振幅衰減的快慢取決于振幅衰減的快慢取決于p這兩個(gè)重要的特這兩個(gè)重要的特征反映在特征方征反映在特征方程的特

13、征根的實(shí)程的特征根的實(shí)部和虛部部和虛部圖圖2.22 弱阻尼弱阻尼pips22, 11第第2章章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)(2.17) 111)(1nTpTTtpptiieeAeAeAAii11lnlnpTAAii圖圖2.22 弱阻尼弱阻尼含有指數(shù)項(xiàng)，不便于工含有指數(shù)項(xiàng)，不便于工程應(yīng)用程應(yīng)用實(shí)際中常采用對(duì)數(shù)衰減率實(shí)際中常采用對(duì)數(shù)衰減率實(shí)驗(yàn)求解實(shí)驗(yàn)求解利用相隔利用相隔j個(gè)周期的兩個(gè)峰值進(jìn)行求解個(gè)周期的兩個(gè)峰值進(jìn)行求解jjjjeAAAAAAAA)()(13221112121111ln1222111 pp2 pT 0pTAAjj第第2章章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)2121111

14、ln1222111 pp2 pT 0pTAAjj21)2(12圖圖2.22 弱阻尼弱阻尼2021111121TpTpTepT 第第2章章 單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)例題例題2.152.15：質(zhì)量：質(zhì)量m=2450kgm=2450kg的汽車用四個(gè)懸掛彈簧支撐在四個(gè)車輪上，的汽車用四個(gè)懸掛彈簧支撐在四個(gè)車輪上，四個(gè)彈簧由汽車重量引起的靜壓縮量均為四個(gè)彈簧由汽車重量引起的靜壓縮量均為stst=15cm=15cm。為了能迅速減。為了能迅速減少汽車上下振動(dòng)，在四個(gè)支撐處均安裝了減振器。由實(shí)驗(yàn)測(cè)得兩次少汽車上下振動(dòng)，在四個(gè)支撐處均安裝了減振器。由實(shí)驗(yàn)測(cè)得兩次振動(dòng)后振幅減小到振動(dòng)后振幅減小到10%

15、10%，即，即A1/A3=10A1/A3=10。試求：。試求：（1 1）振動(dòng)的減幅系數(shù)）振動(dòng)的減幅系數(shù)和對(duì)數(shù)衰減率和對(duì)數(shù)衰減率（2 2）衰減系數(shù)）衰減系數(shù)n n和衰減振動(dòng)的周期和衰減振動(dòng)的周期T1T1（3 3）若要汽車不振動(dòng)，減振器的臨界阻尼系數(shù)）若要汽車不振動(dòng)，減振器的臨界阻尼系數(shù)mNmgkste/16000015. 081. 92450解：若只考慮汽車上下振動(dòng)，則可把四個(gè)彈簧視為一個(gè)當(dāng)量彈解：若只考慮汽車上下振動(dòng)，則可把四個(gè)彈簧視為一個(gè)當(dāng)量彈簧，其等效剛度為簧，其等效剛度為把汽車簡(jiǎn)化為單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，其固有頻率為把汽車簡(jiǎn)化為單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，其固有頻率為sradmkpe/08. 82450160000續(xù)例續(xù)例2.15：1）