1、第二章第二章 流體靜力學流體靜力學 第一節第一節 流體靜壓強及其特性流體靜壓強及其特性 第七節第七節 流體平衡微分方程式流體平衡微分方程式 第二節第二節 流體靜壓強的分布規律流體靜壓強的分布規律第三節第三節 壓強的計算基準和度量單位壓強的計算基準和度量單位第四節第四節 液柱測壓計液柱測壓計第五節第五節 靜止流體作用在平面上的總壓力靜止流體作用在平面上的總壓力第六節第六節 靜止流體作用在曲面上的總壓力靜止流體作用在曲面上的總壓力第一節第一節 流體靜壓強及其特性流體靜壓強及其特性一、流體靜壓強的定一、流體靜壓強的定義義APP A 點點 上上 的的 流流 體體 靜靜 壓壓 強強 P：APLimPaA

2、 一一.流體靜壓強的定義流體靜壓強的定義流體靜壓力與流體靜壓強的區別：流體靜壓力與流體靜壓強的區別：1、靜壓強的方向、靜壓強的方向 沿作用面的內法線方向沿作用面的內法線方向流體靜壓強的方向流體靜壓強的方向二、流體靜壓強的特性二、流體靜壓強的特性v假定圖中某點的靜壓強不是垂直于作用面，則靜壓強假定圖中某點的靜壓強不是垂直于作用面，則靜壓強 p 必然必然可分解為兩個分量，可分解為兩個分量，個與作用面相切，為切向分量，也就個與作用面相切，為切向分量，也就是切應力；另一個與作用面相垂直，為法向分量。從牛頓內是切應力；另一個與作用面相垂直，為法向分量。從牛頓內摩擦定律中可以看出，靜止流體內部是不會出現切

3、應力的，摩擦定律中可以看出，靜止流體內部是不會出現切應力的，若若 ，則流體的平衡會遭到破壞。因而在靜止的流體，則流體的平衡會遭到破壞。因而在靜止的流體中切向分量是不存在的，即中切向分量是不存在的，即 。因此，流體靜壓強只。因此，流體靜壓強只可能垂直于作用面。可能垂直于作用面。 v 又因為流體處于靜止時不能承受拉應力，拉應力的存在也又因為流體處于靜止時不能承受拉應力，拉應力的存在也會破壞流體的平衡，所以流體靜壓強的方向必然是沿著作用會破壞流體的平衡，所以流體靜壓強的方向必然是沿著作用面的內法線方向。面的內法線方向。0p0p由于流體內部的表面力只存在著壓力，因由于流體內部的表面力只存在著壓力，因此

4、流體靜力學的根本問題是研究流體靜壓此流體靜力學的根本問題是研究流體靜壓強的問題。強的問題。2、在靜止流體內部，任一點的流體靜壓強的大小與作用面的方向、在靜止流體內部，任一點的流體靜壓強的大小與作用面的方向無關，只與該點的位置有關。無關，只與該點的位置有關。流體微小四面體平衡流體微小四面體平衡 在靜止的或相對靜止的流體在靜止的或相對靜止的流體中，取出一個包括中，取出一個包括O點在內點在內的微小四面體的微小四面體OABC，如圖，如圖2-3所示，并將所示，并將O點設置為坐點設置為坐標原點。取正交的三個邊長標原點。取正交的三個邊長分別為分別為dx、dy、dz，它們分，它們分別與坐標軸別與坐標軸x、y、

5、z重合。重合。與坐標面與坐標面x、y、z及傾斜面及傾斜面ABC垂直的面上平均壓強分垂直的面上平均壓強分別為別為px、py、pz及及pn。作用在各面上的流體靜壓力等于各面的平均作用在各面上的流體靜壓力等于各面的平均靜壓強與該作用面面積的乘積，即靜壓強與該作用面面積的乘積，即1d d21d d21d d2xxyyzzonPpy zPpxzPpxyPpABCv作用在微小四面體上的質量力在各軸向的分力等于單位質量作用在微小四面體上的質量力在各軸向的分力等于單位質量力在各軸向的分力與流體質量的乘積。流體的質量等于流體力在各軸向的分力與流體質量的乘積。流體的質量等于流體密度與微小四面體體積的乘積。設單位質

6、量力在密度與微小四面體體積的乘積。設單位質量力在x、y、z軸軸的分力分別是，則質量力在各軸向的分力為：的分力分別是，則質量力在各軸向的分力為：1d dd61d dd61d dd6xyzFXxyzFYxyzFZxyzv微小四面體在上述表面力和質量力的作用下處于平衡狀態，則外力的軸向平衡關系式為：cos0 1cos0 2cos0 3xnxynyznzPPn xFPPn yFPPn zF（ ）( ）（ ）微小四面體在上述表面力和質量力的作用下處于平衡狀態，外微小四面體在上述表面力和質量力的作用下處于平衡狀態，外力的軸向平衡關系式為：力的軸向平衡關系式為： ，即各向分力投影之和為零：，即各向分力投影之

7、和為零：cos0 1cos0 2cos0 3xnxynyznzPPn xFPPn yFPPn zF（ ）（ ）（ ）x方向受力分析方向受力分析:上式第（上式第（1）項展開寫成：）項展開寫成：當四面體無限地趨于當四面體無限地趨于O點時，則點時，則dx趨于趨于0，所以有：所以有：px=pn 。類似地有：類似地有：px=py=pz=pn11ddcosddd0 26xnxpyzpABCn xfxyz1cosdd2ABCn xyz1d0 3xnxppfx1. 靜止流體中不同點的壓強一般是不等的，一靜止流體中不同點的壓強一般是不等的，一 點的各向靜壓強大小相等。點的各向靜壓強大小相等。2.運動流體是理想流

8、體時，由于運動流體是理想流體時，由于=0，不會產，不會產生切應力，所以理想流體動壓強呈靜水壓強分生切應力，所以理想流體動壓強呈靜水壓強分布特性。布特性。第二節第二節 流體靜壓強的分布規律流體靜壓強的分布規律一、重力作用下流體靜壓強的基本方程一、重力作用下流體靜壓強的基本方程二、二、 分界面和自由面是水平面分界面和自由面是水平面三、氣體壓強計算三、氣體壓強計算四、等密面是水平面四、等密面是水平面一、重力作用下流體靜壓強的基本方程一、重力作用下流體靜壓強的基本方程 在靜止液體中，任意取出一傾斜放置的微小在靜止液體中，任意取出一傾斜放置的微小圓柱體，微小圓柱體長為圓柱體，微小圓柱體長為，端面積為，端

9、面積為dA，并垂直于柱軸線。并垂直于柱軸線。周圍的液體對圓柱體有側面壓力及兩端面壓周圍的液體對圓柱體有側面壓力及兩端面壓力。側面壓力與軸向正交，沿軸向沒有分力；力。側面壓力與軸向正交，沿軸向沒有分力；軸的兩端面的壓力為軸的兩端面的壓力為P1和和P2。 靜止液體受的質量力只有重力，重力與軸線靜止液體受的質量力只有重力，重力與軸線夾角為夾角為 ，可以分解為平行于軸向的，可以分解為平行于軸向的Gcos 和垂直于軸向的和垂直于軸向的Gsin 兩個分力。兩個分力。傾斜微小圓柱體軸向力的平衡，就是兩端壓力傾斜微小圓柱體軸向力的平衡，就是兩端壓力P1、P2及重力的軸向分力及重力的軸向分力Gcos 三個力作用

10、下三個力作用下的平衡。即的平衡。即微小圓柱體斷面積微小圓柱體斷面積dA極小，斷面上各點極小，斷面上各點壓強的變化可以忽略不計，可以認為斷壓強的變化可以忽略不計，可以認為斷面各點壓強相等面各點壓強相等,設圓柱上端面的壓強設圓柱上端面的壓強p1,下端面的壓強下端面的壓強p2，端面壓力為，端面壓力為P1 p1dA，P2 p2dA，重力，重力G=dA，代入上式，代入上式，得得:21cos0p dAp dAldA消去消去dA，并由于，并由于 Gcos =h，整理得壓強關系式：，整理得壓強關系式：2121 + pphphpph 或或傾斜微小圓柱體的端面是任意選取的。因此，可以得出普遍關系式：傾斜微小圓柱體

11、的端面是任意選取的。因此，可以得出普遍關系式：即靜止液體中任兩點的壓強差等于兩點間的深度差乘以容重。壓強隨即靜止液體中任兩點的壓強差等于兩點間的深度差乘以容重。壓強隨深度不斷增加，而深度增加的方向就是靜止液體的質量力深度不斷增加，而深度增加的方向就是靜止液體的質量力重力作重力作用的方向。所以，壓強增加的方向就是質量力的作用方向。用的方向。所以，壓強增加的方向就是質量力的作用方向。用壓強關系式求靜止液體內某一點的壓強，設液用壓強關系式求靜止液體內某一點的壓強，設液面壓強為面壓強為po，液體容重為，液體容重為，該點在液面下深度，該點在液面下深度為為h，則：，則：0+ pph流體靜力學基本方程式流體

12、靜力學基本方程式結論：結論： 1）僅在重力作用下，靜止流體中某一點的靜水壓強隨深）僅在重力作用下，靜止流體中某一點的靜水壓強隨深度按線性規律增加。度按線性規律增加。 2）僅在重力作用下，靜止流體中某一點的靜水壓強等于）僅在重力作用下，靜止流體中某一點的靜水壓強等于表面壓強加上流體的容重與該點淹沒深度的乘積。表面壓強加上流體的容重與該點淹沒深度的乘積。 3）自由表面下深度）自由表面下深度h相等的各點壓強均相等相等的各點壓強均相等只有重力只有重力作用下的同一連續連通的靜止流體的等壓面是水平面。作用下的同一連續連通的靜止流體的等壓面是水平面。設水箱水面的壓強為設水箱水面的壓強為po，水中，水中1、2

13、點到任選基準面點到任選基準面oo的高度為的高度為Zl及及Z2，壓強為壓強為p1及及p2，將式中的深度改為高，將式中的深度改為高度差后得：度差后得：液體靜力學基本方程式的另一種形式液體靜力學基本方程式的另一種形式這就是液體靜力學基本方程式的另一種形式，也是我們常用的這就是液體靜力學基本方程式的另一種形式，也是我們常用的水靜壓強分布規律的一種形式。水靜壓強分布規律的一種形式。CpZpZpZpZpZpZpZpZ00221100220011幾何意義：幾何意義：位置水頭位置水頭z ：任一點在基準面任一點在基準面0-0以上的位置高度，表示單位以上的位置高度，表示單位重量流體從某一基準面算起所具有的位置勢能

14、，簡稱位能。重量流體從某一基準面算起所具有的位置勢能，簡稱位能。 壓強水頭壓強水頭 ：表示單位重量流體從壓強為大氣壓算表示單位重量流體從壓強為大氣壓算起所具有的壓強勢能，簡稱壓能（壓強水頭），是該點在壓起所具有的壓強勢能，簡稱壓能（壓強水頭），是該點在壓強作用下沿測壓管所能上升的高度。強作用下沿測壓管所能上升的高度。p測壓管水頭（測壓管水頭（ ）：）：測壓管水頭，它測壓管水頭，它表示測壓管水面相對于基準面的高度。表示測壓管水面相對于基準面的高度。 Zp兩水頭相加等于常數，表示同一容器的靜止液兩水頭相加等于常數，表示同一容器的靜止液體中，所有各點的測壓管水頭均相等。因此，體中，所有各點的測壓管水

15、頭均相等。因此，在同一容器的靜止液體中，所有各點的測壓管在同一容器的靜止液體中，所有各點的測壓管水面必然在同一水平面上。水面必然在同一水平面上。能量意義：能量意義： 表示單位重量流體的壓力能，稱為表示單位重量流體的壓力能，稱為比壓力能比壓力能。因為壓因為壓力為力為p、體積為、體積為V的流體所做的膨脹功為的流體所做的膨脹功為pV，則單位重量物體，則單位重量物體所具有的壓力能為：所具有的壓力能為：pV/G=p/。比位能比位能z和比壓力能和比壓力能p/的單位都是的單位都是焦耳焦耳/牛頓牛頓。p 式中式中z表示單位重量流體相對于某一基準面的位能，稱表示單位重量流體相對于某一基準面的位能，稱為為比位能比

16、位能。從物理學得知，把質量為從物理學得知，把質量為m的物體從基準面提的物體從基準面提升一定高度升一定高度z后，該物體所具有的位能是后，該物體所具有的位能是mgz，則單位重量，則單位重量物體所具有的位能為：物體所具有的位能為：(mgz)/(mg)=z。 稱為單位重量流體的稱為單位重量流體的總勢能總勢能。 重力作用下靜止流體中各點的單位重量流體的總勢能是重力作用下靜止流體中各點的單位重量流體的總勢能是相等的。這就是相等的。這就是靜止流體中的能量守恒定律。靜止流體中的能量守恒定律。Zp二、分界面和自由面是水平面二、分界面和自由面是水平面 兩種容重不同萬不混合的液體，在同一容器中處于靜止狀態，兩種容重

17、不同萬不混合的液體，在同一容器中處于靜止狀態，兩種液體之間形成分界面。這種分界面既是水平面又是等壓兩種液體之間形成分界面。這種分界面既是水平面又是等壓面。現在，我們從反面證明如下：面。現在，我們從反面證明如下： 圖圖29盛有盛有2 1的兩種不同液體，設分界面不是水平面而是傾斜面，的兩種不同液體，設分界面不是水平面而是傾斜面，我們在分界面上任選我們在分界面上任選1、2兩點，其深度差為兩點，其深度差為，根據壓差關系式，從分界面上、下兩方分別求壓差為：根據壓差關系式，從分界面上、下兩方分別求壓差為： 由于液體容重不等于零，且由于液體容重不等于零，且2 1 。必然。必然是是0，即分界面是水平面，不可能

18、是，即分界面是水平面，不可能是傾斜面。將傾斜面。將0代人壓差關系式，得代人壓差關系式，得0。這就證明分界面是等壓面，所以，。這就證明分界面是等壓面，所以，分界面既是水平面又是等壓面。分界面既是水平面又是等壓面。 靜止的液體和氣體接觸的自由面，受到相靜止的液體和氣體接觸的自由面，受到相同的氣體壓強，所以，自由面是分界面的一種同的氣體壓強，所以，自由面是分界面的一種特殊形式。它既是等壓面，也是水平面。特殊形式。它既是等壓面，也是水平面。需要指出：上述規律是在同種液體處于靜需要指出：上述規律是在同種液體處于靜止、連續的條件下推導出來的。因此，液體靜止、連續的條件下推導出來的。因此，液體靜壓強分布規律

19、只適用于靜止、同種、連續液體。壓強分布規律只適用于靜止、同種、連續液體。靜力學基本方程的適用條件：靜力學基本方程的適用條件：三、氣體壓強計算三、氣體壓強計算以上規律，雖然是在液體的基礎上提出采納，但對以上規律，雖然是在液體的基礎上提出采納，但對不可壓縮氣體也仍然適用。不可壓縮氣體也仍然適用。由于氣體容重很小，在高差不大的情況下，氣柱產由于氣體容重很小，在高差不大的情況下，氣柱產生的壓強值很小，可以忽的壓強的影響，則流體靜生的壓強值很小，可以忽的壓強的影響，則流體靜力學基本方程式可以簡化為：力學基本方程式可以簡化為： 表示空間各點氣體壓強相等例如認為液體容器，表示空間各點氣體壓強相等例如認為液體

20、容器，測壓管、鍋爐等上部的氣體空間各點的壓強也是相測壓管、鍋爐等上部的氣體空間各點的壓強也是相等的。等的。0+ pph0pp四、等密面是水平面四、等密面是水平面在靜止非均質流體中，取軸線水平的微小圓柱體如圖在靜止非均質流體中，取軸線水平的微小圓柱體如圖212。作用在靜止流體上的質量力只有重力，側面壓力垂直。作用在靜止流體上的質量力只有重力，側面壓力垂直于軸線，所以這兩種力沿軸向均無分力。沿軸向外力的平于軸線，所以這兩種力沿軸向均無分力。沿軸向外力的平衡，表現為兩端面壓力相等。兩端面的面積相等，則壓強衡，表現為兩端面壓力相等。兩端面的面積相等，則壓強也必然相等。即也必然相等。即p1p2圓體體軸線

21、在水平面上是任意選取的，兩點壓強相等，說圓體體軸線在水平面上是任意選取的，兩點壓強相等，說明水平面上各點壓強相等，非均質流體的水平面仍然是等明水平面上各點壓強相等，非均質流體的水平面仍然是等壓面。壓面。靜止均質流體的水平面是等壓面是否也適用于靜止非均質靜止均質流體的水平面是等壓面是否也適用于靜止非均質流體呢？流體呢？水平面上的容重是否變化呢水平面上的容重是否變化呢? 在靜止非均質流體內部，取相距為在靜止非均質流體內部，取相距為h的兩個水平面，在它們之間任的兩個水平面，在它們之間任選兩個鉛直微小住體，分別計算它們的壓強差為：選兩個鉛直微小住體，分別計算它們的壓強差為：兩柱體的壓強差相等，因而兩柱

22、體的壓強差相等，因而a必等于必等于b，否則，流體就不會靜止，否則，流體就不會靜止，要流動。當兩等壓面無限接近，即要流動。當兩等壓面無限接近，即h0時，時， a和和 b就就變成同一變成同一等壓面上兩點的容重，此兩點容重相等，說明水平面不僅是等壓面，等壓面上兩點的容重，此兩點容重相等，說明水平面不僅是等壓面，而且是等容重面。而且是等容重面。容重與密度成正比，所以，等容重面也是等密度面。容重與密度成正比，所以，等容重面也是等密度面。一、壓強的兩種計算基準（絕對壓強和相對壓強）一、壓強的兩種計算基準（絕對壓強和相對壓強）c.真空：真空：是指絕對壓強小于一個大氣壓的受壓狀態，是指絕對壓強小于一個大氣壓的

23、受壓狀態，是負的相對壓強。是負的相對壓強。 a.絕對壓強：絕對壓強：是以絕對真空狀態下的壓強（絕對零壓是以絕對真空狀態下的壓強（絕對零壓強）為基準計量的壓強，用強）為基準計量的壓強，用 表示。表示。 aP b. 相對壓強：相對壓強：又稱又稱“表壓強表壓強”，是以當地工程大氣壓，是以當地工程大氣壓(at) 為基準計量的壓強。用表示為基準計量的壓強。用表示 ， 可可“”可可“ ”，也可為，也可為“0”。 ePeP正正 壓：壓：相對壓強為正值（壓力表讀數）。相對壓強為正值（壓力表讀數）。負負 壓：壓：相對壓強為負值。相對壓強為負值。真空度：真空度：負壓的絕對值負壓的絕對值(真空表讀數，用真空表讀數，

24、用Pv表示表示)。A點相對壓強A點絕對壓強B點真空度B點絕對壓強大氣壓強絕對壓強0pPa0ABPa00AeApphppph敞開容器中靜止流體的敞開容器中靜止流體的A點相對壓強的計算點相對壓強的計算相對壓強的實際意義相對壓強的實際意義 1假定容器的活塞打開，容器內外氣體假定容器的活塞打開，容器內外氣體壓強一致，壓強一致，popa，相對壓強為零。，相對壓強為零。 2假定容器的壓強假定容器的壓強popa ，這個超過大氣壓強的部分，這個超過大氣壓強的部分，對器壁產生的力學效應，使器壁向外擴張。如果打開活塞，對器壁產生的力學效應，使器壁向外擴張。如果打開活塞，氣流向外流出，流出速度與相對壓強的大小有關。

25、氣流向外流出，流出速度與相對壓強的大小有關。3假定容器壓強嚴假定容器壓強嚴po pa 。大氣壓強的部分對器壁產生。大氣壓強的部分對器壁產生力學效應，使容器向內壓縮。打開活塞，空氣一定會吸入，力學效應，使容器向內壓縮。打開活塞，空氣一定會吸入，吸入的速度也和負的相對壓強大小有關。吸入的速度也和負的相對壓強大小有關。二、壓強的三種度量單位二、壓強的三種度量單位a.應力單位應力單位 這是從壓強定義出發，以單位面積上的作用力來表示這是從壓強定義出發，以單位面積上的作用力來表示的，的，N/m2，Pa，kN/ m2 ，kPa。 b.大氣壓大氣壓 標準大氣壓：標準大氣壓：1標準大氣壓標準大氣壓(atm)=1

26、.013X105Pa=101.3 kPa 工程大氣壓：工程大氣壓：at （1kgf/） c.液柱高度液柱高度 水柱高水柱高mH20：1atm相當于相當于 1at相當于相當于 汞柱高汞柱高mmHg：1 atm相當于相當于 1at相當于相當于 常用換算關系：常用換算關系：1atm=1.03323at=101325Pa=1.01325bar=760mmHg=10332.3mmH2O1at=98070Pa=10000mmH2O=735.6mmHg第四節第四節 液柱測壓計液柱測壓計一、測壓管一、測壓管測壓管：測壓管：是以液柱高度為表征是以液柱高度為表征測量點壓強的連通管。一端與測量點壓強的連通管。一端與

27、被測點容器壁的孔口相連，另被測點容器壁的孔口相連，另一端直接一端直接 和大氣相通的直管。和大氣相通的直管。 適用范圍：測壓管適用于測量較小的壓強，適用范圍：測壓管適用于測量較小的壓強，但不適合測真空。但不適合測真空。 注意：注意：1.由于各種液體重度不同，所以僅標明高度由于各種液體重度不同，所以僅標明高度尺寸不能代表壓力的大小，還必須同時尺寸不能代表壓力的大小，還必須同時注注明是何種液體的液柱高度明是何種液體的液柱高度才行。才行。 2.測壓管只測壓管只適用于測量較小的壓力，一般不適用于測量較小的壓力，一般不超過超過10kPa。如果被測壓力較高，則需要加如果被測壓力較高，則需要加長測壓管的長度，

28、使用就很不方便。長測壓管的長度，使用就很不方便。 3.測壓管中的工作介質就是被測容器測壓管中的工作介質就是被測容器(或管道或管道)中的流體，所以中的流體，所以測壓管只能用于測量液體的測壓管只能用于測量液體的正壓，正壓，而對于測量液體的負壓以及氣體的壓而對于測量液體的負壓以及氣體的壓力則不適用。力則不適用。4.在測量過程中，在測量過程中，測壓管一定要垂直放置，測壓管一定要垂直放置，否則將會產生測量誤差。否則將會產生測量誤差。二、二、U形測壓計形測壓計這種測壓計是一個裝在刻度板上的這種測壓計是一個裝在刻度板上的兩端開口的兩端開口的U型玻璃管。測量時，型玻璃管。測量時，管的一端與大氣相通，另一端與被

29、管的一端與大氣相通，另一端與被測容器相接測容器相接(如圖如圖)，然后根據，然后根據U型型管中液柱的高度差來計算被測容器管中液柱的高度差來計算被測容器中流體的壓力。中流體的壓力。U型管內裝有重度型管內裝有重度2大于被測流體重度大于被測流體重度1的液體工作的液體工作介質，介質，如水、酒精、四氯化碳和水如水、酒精、四氯化碳和水銀等。它是根據被測流體的性質、銀等。它是根據被測流體的性質、被測壓力的大小和測量精度等來選被測壓力的大小和測量精度等來選擇的。擇的。注意注意，工作介質與被測流體相互不能摻混。，工作介質與被測流體相互不能摻混。 如果被測流體的壓力較高，用一個如果被測流體的壓力較高，用一個U型管則

30、較長，可以型管則較長，可以采用串聯采用串聯U型管組成多型管組成多U型管測壓計。通常采用雙型管測壓計。通常采用雙U型管或型管或三三U型管測壓計。型管測壓計。v圖圖b,測壓管水面低于測壓管水面低于A點，以點，以1-1為等壓面，則為等壓面，則 故故A點的負壓或真空度為：點的負壓或真空度為：v 如果需要測定氣體壓強，可以采用如果需要測定氣體壓強，可以采用u形管盛水，如圖形管盛水，如圖c所示。所示。因為空氣容重遠小于水，一般容器中的氣體高度又不太大，因因為空氣容重遠小于水，一般容器中的氣體高度又不太大，因此、可以忽略氣柱高度所產生的壓強。認為靜止氣體充滿的生此、可以忽略氣柱高度所產生的壓強。認為靜止氣體

31、充滿的生間各點膿強相等。現仍以間各點膿強相等。現仍以1-1面為等壓面，則面為等壓面，則v圖圖a,測壓管水面高于測壓管水面高于A點，點，AA為正值。即為正值。即U型管差壓計用來測量兩個容器或型管差壓計用來測量兩個容器或同一容器同一容器(或管道等或管道等)流體中不同位流體中不同位置兩點的壓力差。測量時，把置兩點的壓力差。測量時，把U型型管兩端分別和不同的壓力測點管兩端分別和不同的壓力測點A和和B相接，如圖所示。相接，如圖所示。三、差壓計三、差壓計如果測量較小的液體壓力差時，也可以采用倒置式如果測量較小的液體壓力差時，也可以采用倒置式U型管差型管差壓計。如果被測量的流體的壓力差較大，則壓計。如果被測

32、量的流體的壓力差較大，則可采用可采用雙雙U型管型管或多或多U型管差壓計。型管差壓計。圖圖a為測定為測定A、B兩處液體壓強差的空氣壓差計由于氣柱高度兩處液體壓強差的空氣壓差計由于氣柱高度不大，可以認為兩液面為等壓面，故得不大，可以認為兩液面為等壓面，故得需要測定的壓差較大時，采用圖需要測定的壓差較大時，采用圖b所示的水銀壓差計。根據所示的水銀壓差計。根據1、2點為點為等壓面得等壓面得如如A、B為同種液體，即為同種液體，即AB 如如A、B為同種液體，在同一高度，為同種液體，在同一高度，ZIZ2，則，則如果，如果，A、B兩處為同一氣體，則兩處為同一氣體，則當測量很微小的流體壓力時，為了提高測量精度，

33、常常當測量很微小的流體壓力時，為了提高測量精度，常常采用微壓計。微壓計的結構如圖所示，一般用于測定氣采用微壓計。微壓計的結構如圖所示，一般用于測定氣體壓強。它是由一個大容器連接一個可以調整傾斜角度體壓強。它是由一個大容器連接一個可以調整傾斜角度的細玻璃管組成，其中盛有重度為的細玻璃管組成，其中盛有重度為的工作液體。的工作液體。四、微壓計四、微壓計測壓前，微壓計兩端與大氣相通，容器與斜管內的液面平齊。測壓前，微壓計兩端與大氣相通，容器與斜管內的液面平齊。當測量容器或管道中的某處壓力時，將微壓計上端的測壓當測量容器或管道中的某處壓力時，將微壓計上端的測壓口與被測氣體容器或管道的測點相接，若被測氣體

34、的壓力口與被測氣體容器或管道的測點相接，若被測氣體的壓力ppa，則在該壓力作用下，微壓計容器中液面下降至新位，則在該壓力作用下，微壓計容器中液面下降至新位置置,而傾斜玻璃管中的液面上升了而傾斜玻璃管中的液面上升了長度，其上升高度長度，其上升高度h= sin 。當測量時，當測量時，為定值，只需測得傾斜長為定值，只需測得傾斜長度度Z，就可得出壓差。由于，就可得出壓差。由于/sin ，當當sin 0.5時，時，2h；當；當sin 0.2時，時，5h。說明傾斜角度越小，。說明傾斜角度越小，比比h放大的倍數就越大，側的精度就更放大的倍數就越大，側的精度就更高。高。愈小，讀數愈小，讀數就越大。因此，常用容

35、重比水更小的液體，例如酒精以提高精度。就越大。因此，常用容重比水更小的液體，例如酒精以提高精度。用于用于測定較大的壓強測定較大的壓強。優點：優點：攜帶方便、裝置簡單、安裝容攜帶方便、裝置簡單、安裝容易、測讀方便、經久耐用，是測量壓易、測讀方便、經久耐用，是測量壓強的主要儀器。強的主要儀器。構造：構造：常用的一種彈簧測壓計見圖。常用的一種彈簧測壓計見圖。原理：原理：其內裝有一端開口，一端封閉其內裝有一端開口，一端封閉端面為橢圓形的鐮刀形黃銅管，開口端面為橢圓形的鐮刀形黃銅管，開口端與被測定壓強的液體連通，測壓時，端與被測定壓強的液體連通，測壓時，由于壓強的作用，黃銅管隨著壓強的由于壓強的作用，黃

36、銅管隨著壓強的增加而發生伸展，從而帶動扇形齒輪增加而發生伸展，從而帶動扇形齒輪使指針偏轉，把液體的相對壓強值在使指針偏轉，把液體的相對壓強值在表盤上顯示出來。表盤上顯示出來。五、金屬壓力表五、金屬壓力表第五節第五節 作用在平面上的流體靜壓力作用在平面上的流體靜壓力在工程實際中，有時需要解決液體對固體壁面的總作在工程實際中，有時需要解決液體對固體壁面的總作用力問題。在已知流體的靜壓力分布規律后，用力問題。在已知流體的靜壓力分布規律后，求總壓求總壓力的問題，實質上就是求受壓面上分布力的合力問題。力的問題，實質上就是求受壓面上分布力的合力問題。本節討論作用在平面上的總壓力及其壓力中心。本節討論作用在

37、平面上的總壓力及其壓力中心。 作用在平面上總壓力的計算方法有兩種：作用在平面上總壓力的計算方法有兩種：解析法和圖解法。解析法和圖解法。一、解析法一、解析法 1.平面總壓力大小平面總壓力大小hhChDyyCyD.oxybadACD設有一與水平面成設有一與水平面成夾角的傾斜夾角的傾斜平面平面ab，其面積為，其面積為A，左側受水，左側受水壓力，水面大氣壓強為壓力，水面大氣壓強為p0，在平，在平板表面所在的平面上建立坐標，板表面所在的平面上建立坐標，原點原點o取在平板表面與液面的交取在平板表面與液面的交線上，線上，ox軸與交線重合，軸與交線重合，oy軸沿軸沿平板向下。平板向下。設在受壓平面上任取一微元

38、面積設在受壓平面上任取一微元面積dA，其中心點在液面下的深度為，其中心點在液面下的深度為h，作用在作用在dA中心點上的壓強為中心點上的壓強為p=p0+h，則作用在微元面積，則作用在微元面積dA上的總壓力為上的總壓力為hhChDyyCyD.oxybadACDdF=pdA=(p0+h)dA=p0dA+ysindA考慮相對壓強考慮相對壓強dF=pdA=hdA=ysindA整個平面由無數整個平面由無數dA組成，則整組成，則整個平板所受水靜壓力由個平板所受水靜壓力由dF求和求和得到。得到。hhChDyyCyD.oxybadACD根據平行力系求和原理，作用在根據平行力系求和原理，作用在平面上的水靜壓力平面

39、上的水靜壓力ydAsinysindAdAAFF式中式中 為面積為面積A對對ox軸的軸的靜面矩靜面矩，由理論力學知，它由理論力學知，它等于面積等于面積A與其形心坐標與其形心坐標yc的乘積，即的乘積，即ydAAF=sinycA=hcA=pcA上式表明：上式表明：靜止液體作用在靜止液體作用在任意形狀平面上的總壓力的任意形狀平面上的總壓力的大小大小，等于該平面形心處的，等于該平面形心處的靜壓力與平面面積的乘積。靜壓力與平面面積的乘積。液體總壓力的液體總壓力的方向方向垂直指向垂直指向受壓面的內法線方向。受壓面的內法線方向。hhChDyyCyD.oxybadACD2.確定總壓力的作用點確定總壓力的作用點壓

40、力中心壓力中心 總壓力的作用點又稱為總壓力的作用點又稱為壓力中壓力中心心。壓力中心。壓力中心D的位置，可根的位置，可根據理論力學中的據理論力學中的合力矩定理合力矩定理求求得，即得，即各分力對某一軸的靜力各分力對某一軸的靜力矩之和等于其合力對同一軸的矩之和等于其合力對同一軸的靜力矩。靜力矩。hhChDyyCyD.oxybadACD微小面積微小面積dA所受水靜壓力所受水靜壓力 dF=hdA=ysindA對對0 x軸力矩軸力矩sindAyyddM2 FdAysinM2合力矩合力矩 總壓力總壓力F對對ox軸的靜力矩為軸的靜力矩為:hhChDyyCyD.oxybadACD整個平面所受合壓力整個平面所受合

41、壓力F，假設作，假設作用點距用點距ox軸為軸為yD，則：，則：根據合力矩定理根據合力矩定理DAyc2ysindAysinDCDCDAyyAyhFyMsinxDcJyy A所以所以式中式中 為受壓面對為受壓面對ox軸的慣性矩軸的慣性矩Ady2XJ根據平行移軸定理：根據平行移軸定理：2XCCJJy AhhChDyyCyD.oxybadACD其中其中 為受壓面對通過平面形心并與平為受壓面對通過平面形心并與平行于行于ox軸的軸的慣性矩。軸的軸的慣性矩。CJcDccJyyy A由于由于 恒為正值，故有恒為正值，故有yDyc。說明。說明壓力中心壓力中心D點總是低于形心點總是低于形心C。ccJy A結論：結

42、論： （1）水靜壓力大小為形心處壓強乘以平面面積。）水靜壓力大小為形心處壓強乘以平面面積。 （2）水靜壓力方向垂直于受壓平面，并指向平面內法）水靜壓力方向垂直于受壓平面，并指向平面內法線方向。線方向。 （3）作用點）作用點yD在形心下方，用在形心下方，用yD= yC+ JC/ycA來算。來算。例例1：一鉛直船閘門門寬一鉛直船閘門門寬B=5m，閘門一側水深為，閘門一側水深為H=7.5m，另一側水深，另一側水深h=3m，求作用在此閘門上的水平合壓力及作用線位置。，求作用在此閘門上的水平合壓力及作用線位置。B5mH=7.5mh=3mxyyD1yD2yFP1P2解：左邊：迎水面積 形心： 作用力： 作

43、用點： 右邊：面積 形心BHA12HhC121C11BH2AhPH646H2HBH2H12BH2HAyIyy3cccD1B5mH=7.5mh=3mxyyD1yD2yFP1P2H32yD1BhA22hhc2作用力：作用點： 合力作用線：假設合力的作用線距底邊為y，則：22c22Bh2AhPh32yD2)hB(H2PPF22213hP3HPyF21h)h)(H3(H)hHhh)(H(Hy22h)3(HhHhH22代入數據，2.79myB5mH=7.5mh=3mxyyD1yD2yFP1P2例例2：矩形閘門矩形閘門AB可繞其頂端可繞其頂端A軸旋轉，由固定閘門上的一個重物來保持軸旋轉，由固定閘門上的一個

44、重物來保持閘門的關閉。已知閘門寬閘門的關閉。已知閘門寬1.2m，長，長0.9m，整個閘門和重物，整個閘門和重物1000kg，重，重心在心在G處，與處，與A水平距離為水平距離為0.3m，求水深多大時，閘門剛好打開，求水深多大時，閘門剛好打開（=60，設水深為，設水深為H）。）。x.b=1.2mh=0.9m0.3mG GACDoyhChDHP PEB解：解：要使閘門打開，閘門迎水面所受水的總壓力對轉軸要使閘門打開，閘門迎水面所受水的總壓力對轉軸A的力矩至少應等的力矩至少應等于閘門與重物重量對于閘門與重物重量對A的力矩的力矩。x.b=1.2mh=0.9m0.3mG GACDoyhChDHP PEBM

45、水水M物（物（等號為剛好打開等號為剛好打開）面積面積 A= bh形心形心AE21HhchsinAE 力力 AhPChhsin)b21(H壓力作用點：壓力作用點：32CDCCCCCCbhJh12yyyyy Ay bh12y又 C2CD12yhyyDCsinhyCC0.3GMDAPM物水hsin)2112(Hsinhc12hsinhDC222hDCCADCDAx.b=1.2mh=0.9m0.3mG GACDoyhChDHP PEB代入以上數據，得代入以上數據，得 H0.88m故當故當 H=0.88m，閘門剛好打開。，閘門剛好打開。二、圖解法二、圖解法1.繪制水靜壓強分布圖繪制水靜壓強分布圖使用圖解

46、法，首先需要繪制靜壓力分布圖，然后再根據它使用圖解法，首先需要繪制靜壓力分布圖，然后再根據它來計算總壓力。來計算總壓力。靜壓力分布圖靜壓力分布圖是依據水靜力學基是依據水靜力學基本方程本方程p=p0+h，直接在受壓面，直接在受壓面上繪制表示各點靜壓力大小和方上繪制表示各點靜壓力大小和方向的圖形。向的圖形。幾種常見受壓面的靜壓力分布圖。幾種常見受壓面的靜壓力分布圖。 靜水壓強分布圖繪制規則：靜水壓強分布圖繪制規則：1）按照一定的比例尺，用一定長度的線段代表靜水壓強的大）按照一定的比例尺，用一定長度的線段代表靜水壓強的大 小；小； 2） 用箭頭標出靜水壓強的方向，并與該處作用面垂直。受用箭頭標出靜水

47、壓強的方向，并與該處作用面垂直。受壓面為平面的情況下，壓強分布圖的外包線為直線；當受壓面為平面的情況下，壓強分布圖的外包線為直線；當受壓面為曲線時，曲面的長度與水深不成直線函數關系，故壓面為曲線時，曲面的長度與水深不成直線函數關系，故壓強分布圖外包線亦為曲線。壓強分布圖外包線亦為曲線。計算總壓力的大小計算總壓力的大小現在對高為現在對高為H、寬為、寬為b、底邊平行于水平面的垂直矩形平面、底邊平行于水平面的垂直矩形平面AB(如圖如圖)，計算其總壓力，為，計算其總壓力，為上式中上式中 (2p0+H)H/2 恰為靜壓力分布圖恰為靜壓力分布圖ABCD的面積，我們用的面積，我們用表示，則上表示，則上式可寫

48、成式可寫成 P= bHbHpHbHpHbhpApPcc)2(21)21()(000由此可見，由此可見，液體作用在底邊平行于水平面的矩形平面上的總壓液體作用在底邊平行于水平面的矩形平面上的總壓力，等于靜壓力分布圖的面積與矩形平面寬度的乘積。力，等于靜壓力分布圖的面積與矩形平面寬度的乘積。 或者說，其總壓力等于靜壓力分布圖的體積。或者說，其總壓力等于靜壓力分布圖的體積。 由于靜壓力分布圖所表示的正是力的分布情況，而總壓由于靜壓力分布圖所表示的正是力的分布情況，而總壓力則是平面上各微元面積上所受液體壓力的合力。所以力則是平面上各微元面積上所受液體壓力的合力。所以總壓總壓力的作用線，必然通過靜壓力分布

49、圖的形心，其方向垂直指力的作用線，必然通過靜壓力分布圖的形心，其方向垂直指向受壓面的內法線方向。向受壓面的內法線方向。判斷：下列壓強分布圖中哪個是錯誤的？判斷：下列壓強分布圖中哪個是錯誤的？ 第六節第六節 作用在曲面上靜止流體的總壓力作用在曲面上靜止流體的總壓力Hoover Dam胡佛水壩 Channel 圖中圓柱長為圖中圓柱長為，母線與紙面垂直。受，母線與紙面垂直。受壓壓曲曲面面AB，左側受水靜壓力作用，在，左側受水靜壓力作用，在表面上任意取一微元面積表面上任意取一微元面積dA取一點取一點E，E點距水面距離為點距水面距離為h，以，以E點為中，則作點為中，則作用在用在dA上的水靜壓力為：上的水

50、靜壓力為：hdApdAdP假設假設dP與水平面夾角為與水平面夾角為，則，則dP在在水平水平方向和方向和鉛直鉛直方向的分量：方向的分量：水平方向水平方向hdAcosdPcosdPX鉛直方向鉛直方向hdAsindPsindPZABCDhdPdAxzEdPZdPXdAdAZdAXdP從右圖可得：從右圖可得：ZdAdAcosXdAdAsin微元面在鉛直面上的投影微元面在鉛直面上的投影微元面在水平面上的投影微元面在水平面上的投影zxhdAdP xzhdAdP zzxhdAhdAPxxzhdAhdAP則則1、水平方向：、水平方向：ABCDhdPdAxzEdPZdPXdAdAZdAXdPzhdA為面為面AB

51、在鉛直面上的投影面在鉛直面上的投影面積積Az對水面水平軸的靜矩。對水面水平軸的靜矩。假設假設hc為為Az的形心在水面下淹沒深的形心在水面下淹沒深度則度則zczAhhdA zcxAhP 作用在曲面上流體壓力的水平分量是作用在曲面上流體壓力的水平分量是Px等于等于作用于該曲面鉛直投影面上的水靜壓力。作用于該曲面鉛直投影面上的水靜壓力。2、鉛直方向：、鉛直方向：ABCDhdPdAxzEdPZdPXhdAx是以是以dAx為底面積，水深為底面積，水深h為高為高的柱體體積；的柱體體積；DCABdAxxhdA則為整個受壓曲面則為整個受壓曲面AB與其在自由面的與其在自由面的投影面投影面CD這兩個面之間的柱體這

52、兩個面之間的柱體ABCD的體積；的體積；壓力體VhdAPxz鉛直分量鉛直分量Pz為其壓力體的液體重量。為其壓力體的液體重量。3、壓力體、壓力體u 壓力體體積的組成：壓力體體積的組成：受壓曲面本身；受壓曲面本身；通過曲面周圍邊緣所作的鉛垂面；通過曲面周圍邊緣所作的鉛垂面； 自由液面或自由液面的延長線。自由液面或自由液面的延長線。u壓力體的種類：壓力體的種類： 實壓力體實壓力體和和虛壓力體虛壓力體。實壓力體實壓力體Fz方向向下，虛壓方向向下，虛壓力體力體Fz方向向上。方向向上。4、壓力體的繪制、壓力體的繪制動畫一動畫二動畫六動畫五動畫四動畫三4、靜水總壓力、靜水總壓力1）作用在曲面上的靜水總壓力大

53、小：作用在曲面上的靜水總壓力大小： 2z2xPPP2）作用線與水平方向的夾角：）作用線與水平方向的夾角：xzPParctanPxPPzPPXPZ3. 總壓力的合成總壓力的合成 總壓力的大小利用水平分力及鉛垂分力通過總壓力的大小利用水平分力及鉛垂分力通過求合力的方法求得。求合力的方法求得。結論：曲面上的靜水總壓力的計算結論：曲面上的靜水總壓力的計算1.計算水平分力計算水平分力 正確繪制曲面的鉛垂投影圖，求出該投正確繪制曲面的鉛垂投影圖，求出該投影圖的面積及形心深度，然后求出水平分力；影圖的面積及形心深度，然后求出水平分力；2.計算鉛垂分力計算鉛垂分力 正確繪制曲面的壓力體。壓力體體積由以下正確繪

54、制曲面的壓力體。壓力體體積由以下幾種面圍成：受壓曲面本身、通過曲面周圍邊緣作的鉛垂面、幾種面圍成：受壓曲面本身、通過曲面周圍邊緣作的鉛垂面、液面或液面的延長線。鉛垂分力的大小即為壓力體的重量；液面或液面的延長線。鉛垂分力的大小即為壓力體的重量；例例1：如圖所示一擋水弧形閘門，已知：如圖所示一擋水弧形閘門，已知R=2m,=30度度,h=5m,試求單位寬度所受的水靜總壓力的大小。試求單位寬度所受的水靜總壓力的大小。RBAEDChhcF解：水平方向的壓力等于面解：水平方向的壓力等于面EB上的水壓力：上的水壓力：RBAEDChhcFRsin21hchRsinEBxc1Fh A (hRsin)Rsin

55、12鉛直方向的壓力等于壓力體鉛直方向的壓力等于壓力體CABEDC的水重。分成兩部分：的水重。分成兩部分：RcosRsin21R360SSS2BFEABFABE1.Rcos)Rsin)(R(hSCAED2.sincos)R21R360(cos)Rsin)R(1(hF22Z1)S(SVFCAEDABEZRBAEDChhcFsincos)R21R360(cos)Rsin)R(1(hF22Z1)S(SVFCAEDABEZ則：則：代入數據得：代入數據得：N12287FN44127FZX;第七節第七節 流體平衡微分方程式流體平衡微分方程式一一.流體平衡微分方程式流體平衡微分方程式二二.有勢質量力及力的勢函

56、數有勢質量力及力的勢函數三三.等壓面等壓面一、流體平衡微分方程一、流體平衡微分方程歐拉平衡方程歐拉平衡方程 在流體內部取以任意點在流體內部取以任意點A為中心的微小正六面體，六面體為中心的微小正六面體，六面體的各邊分別與直角坐標軸平行，邊長分別為的各邊分別與直角坐標軸平行，邊長分別為dx、dy、dz。中心點的壓強為中心點的壓強為 p(x,y,z)=p，對其進行受力分析：，對其進行受力分析： 1.方程推導方程推導靜止流體只受到質量力和由壓力產生的法向表面力，這靜止流體只受到質量力和由壓力產生的法向表面力，這些力應該滿足的關系些力應該滿足的關系流體平衡的微分方程式。流體平衡的微分方程式。 v作用在六

57、面體上的表面力只有周圍流體對它的壓力。因此先作用在六面體上的表面力只有周圍流體對它的壓力。因此先確定六面體各面上的壓強。設點確定六面體各面上的壓強。設點A的坐標為的坐標為x、y、z，壓強，壓強為為p。由于壓強是坐標的連續函數，則離該點。由于壓強是坐標的連續函數，則離該點 處的壓強處的壓強為為 ，并且可將，并且可將 在在 處用處用泰勒級數展開，即泰勒級數展開，即1d2y1( ,d , )2p x yy z1( ,d , )2p x yy z( , , )p x y z222, , ,111,d , ,d(d )228p x y zpx y zp x yy zp x y zyyyy如果如果dy為無

58、限小量，則在上述級數為無限小量，則在上述級數中二階及二階以上的高階小量均可中二階及二階以上的高階小量均可略去，即等號右邊只取前兩項已經略去，即等號右邊只取前兩項已經可以滿足精度要求，則上式可以簡可以滿足精度要求，則上式可以簡寫為：寫為：, ,11,d , ,d22p x y zp x yy zp x y zyy 則沿則沿y軸方向的六面體邊界面軸方向的六面體邊界面abcd和和 中心點處中心點處的壓強分別為的壓強分別為 和和 。作用在這兩個。作用在這兩個面上的法向力為面上的法向力為 和和 。 a b c d1d2ppyy1d2ppyy1dd d2ppyxzy1dd d2ppyxzy當微小六面體處于

59、平衡狀態時，方向的合力為，即：當微小六面體處于平衡狀態時，方向的合力為，即： 11dd ddd dd dd022pppyxzpyxzYxyzyy 同理可以寫出、方向的力平衡方程式，即：同理可以寫出、方向的力平衡方程式，即：11ddddddd dd02211dd ddd dd dd022xzpppxyzpxyzfxyzxxpppzxypzxyfxyzzzv用 除以上x、y、z軸方向的力平衡方程式，并化簡得d ddxyz111pXxpYypZz 以上三個式子用矢量形式表示為以上三個式子用矢量形式表示為 10fp 這就是這就是流體平衡微分方程式。流體平衡微分方程式。它是歐它是歐拉在拉在1755年首先

60、提出的，所以又稱為年首先提出的，所以又稱為歐拉平衡微分方程式。歐拉平衡微分方程式。2.物理意義：物理意義：1）處于平衡狀態的流體，單位質量流體所受的）處于平衡狀態的流體，單位質量流體所受的表面力分量與表面力分量與 質量力分量彼此相等。質量力分量彼此相等。 2）壓強沿軸向的變化率（）壓強沿軸向的變化率（ ）等于軸向單）等于軸向單位體積上的質量力的分量（位體積上的質量力的分量（X，Y，Z）。）。 歐拉平衡微分方程是流體靜力學最基本的方程，它歐拉平衡微分方程是流體靜力學最基本的方程，它 可解決流體靜力學中許多基本問題。可解決流體靜力學中許多基本問題。 1.歐拉平衡微分方程歐拉平衡微分方程適用于靜止流