1、第二十八講避免漏解的奧秘“會(huì)而不對(duì)，對(duì)而不全”，這是許多同學(xué)在解題時(shí)無法避免而又屢犯不止的錯(cuò)誤，提高解題周密性，避免漏解的奧秘在于：掌握分類討論法，學(xué)會(huì)分類討論.分類討論就是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)，把研究對(duì)象分成幾個(gè)部分或幾種情況，然后逐個(gè)加以解決，最后予以總結(jié)作出結(jié)論的思想方法，其實(shí)質(zhì)是化整為零、各個(gè)擊破的轉(zhuǎn)化策略.解題時(shí)何時(shí)需要進(jìn)行分類？一般來說，當(dāng)問題包含的因素發(fā)生變化，問題結(jié)果也相應(yīng)發(fā)生變化，我們就需要對(duì)這一關(guān)鍵因素分類討論，怎樣進(jìn)行正確分類？分類的基本要求是不重復(fù)、不遺漏，每次分類必須保持同一的分類標(biāo)準(zhǔn)，多級(jí)討論，逐級(jí)進(jìn)行.【例題求解】【例1】四條線段的長(zhǎng)分別為9,5,x,1(其中x為正實(shí)數(shù)

2、),用它們拼成兩個(gè)直角三角形，且AB與CD是其中的兩條線段(如圖)，則x可取值的個(gè)數(shù)為.思路點(diǎn)撥AB是四條線段中最長(zhǎng)的，故AB=9或AB=x，又CD長(zhǎng)不定，所以應(yīng)就AB、CD的取值作全面討論.注：初中數(shù)學(xué)常見的分類方法有:(1) 按定義、性質(zhì)、法則、公式分類；(2) 對(duì)參數(shù)分類；(3) 按圖形位置分類；(4) 按圖形特征分類；(5) 按余數(shù)分類.注：參數(shù)是較為常見的分類對(duì)象，因?yàn)閰?shù)的不同取值，可能導(dǎo)致不同的運(yùn)算結(jié)果，或者必須使用不同的方法去解決，這一分類方法在方程、不等式、函數(shù)中有廣泛的應(yīng)用.【例2】方程(x2x-1)x3=1的所有整數(shù)解的個(gè)數(shù)是()A.2B.3C.4D.5思路點(diǎn)撥這是一個(gè)特

3、殊的幕指數(shù)方程問題,并列的簡(jiǎn)單問題求解：(1)非零實(shí)數(shù)的零次幕等于幕等于1.根據(jù)幕指數(shù)的意義，可將原問題分成三個(gè)1；(2)1的任何次幕等于1；(3)-1的偶次【例3】試確定一切有理數(shù)r，使得關(guān)于x的方程rx2(r-2)x，3r-2=0有根且只有整數(shù)根.思路點(diǎn)撥根據(jù)方程定義，r是否為零影響方程的次數(shù)，這是質(zhì)的不同，解法也不同，所以，應(yīng)對(duì)r=0及r工0兩種情況分類求解.【例4】已知一三角形紙片ABC，面積為25,BC邊的長(zhǎng)為10,/B和/C都為銳角，M為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)(M與點(diǎn)A、B不重合).過點(diǎn)M作MN/BC,交AC于點(diǎn)N.設(shè)MN=x.用x表示AMN的面積Samn；(2) 用厶AMN沿MN折疊，

4、使AMN緊貼四邊形BCNM(邊AM、AN落在四邊形BCNM所在的平面內(nèi)),設(shè)點(diǎn)A落在平面BCNM內(nèi)的點(diǎn)為A',A'MN與四邊形BCNM重疊部分的面積為y.試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；當(dāng)x為何值時(shí)重疊部分的面積y最大，最大為多少？思路點(diǎn)撥折疊AMN,A點(diǎn)位置不確定，可能在厶ABC內(nèi)或在BC邊上或在厶ABC外，故需按以上三種情況分別求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出y的最大值.注：有關(guān)平面幾何問題，經(jīng)常按圖形相互之間的位置進(jìn)行分類，因?yàn)閳D形存在不同的位置關(guān)系，其解答結(jié)果可能不同，也可能需要使用不同的方法解決，初中平面幾何按位置關(guān)系分類，最終一般都?xì)w結(jié)為點(diǎn)、

5、直線和圓之間的位置關(guān)系.【例5】已知OOi與O02外切，OOi的半徑R=2，設(shè)O02的半徑是r.如果OOi與O02的圓心距d=4，求r的值；(2)如果OOi、OO2的公切線中有兩條互相垂直，并且r<R，求r的值.思路點(diǎn)撥題中沒有給出圖形，題設(shè)中外切兩圓的公切線中有兩條互相垂直，情況不惟，故應(yīng)分類討論.注：中考?jí)狠S題分類討論有以下常見情形：(1) 由點(diǎn)的不確定定引起的分類討論；(2) 由圖形全等或相似的對(duì)應(yīng)關(guān)系的不確定性引起的分類討論；(3) 由圖形運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致圖形之間位置發(fā)生變化引起的分類討論.學(xué)歷訓(xùn)練A組21已知m為實(shí)數(shù)，如果函數(shù)y=(m_4)x_2mx_m_6的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，那

6、么m的取值為2. 若實(shí)數(shù)a、b滿足a2-8a=0,b2_8b5=0，則上1的值為a-1b_13. 若半徑為5和4的兩個(gè)圓相交，且公共弦長(zhǎng)為6，則它們的圓心距等于.4. 已知OO和不在OO上的一點(diǎn)P,過P直線交OO于A、B點(diǎn)，若PAPB=4,OP=5,則OO的半徑為.5. 和拋物線y=8x210X1只有一個(gè)公共點(diǎn)(-1,-1)的直線解析式為()A.y=6x-7B.x-1C.y=-6x7或x=-1D.y=-16. 若線段AB兩端點(diǎn)到直線l的距離分別為4和8,則AB的中點(diǎn)到直線I的距離是()A.2B.4C.6D.2或67.點(diǎn)A(-4,0),B(2,0)是xoy坐標(biāo)平面上兩定點(diǎn),1c是y一-§

7、;x2的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足上述條件的直角ABC可以畫出()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)&如圖，在直角梯形ABCD中，AB=7,AD=2,BC=3，如果邊AB上的點(diǎn)P使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形和以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似，那么這樣的P點(diǎn)有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)9.已知關(guān)于x的方程x2-(3k-1)x-2k22k=0.(1) 求證：無論k是取何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2) 若等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng)a=6，另兩邊長(zhǎng)為b、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求此三角形的周長(zhǎng).10已知：如圖，拋物線C1經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，且與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E.(1)求拋物線C

8、i的解析式；(2)求四邊形ABCD的面積；(3) AOB與厶BDE是否相似，如果相似，請(qǐng)予以證明；如果不相似，請(qǐng)說明理由；(4) 設(shè)拋物線C1的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)F,另一條拋物線C2經(jīng)過點(diǎn)E(拋物線C2與拋物線C1不重合)，且頂點(diǎn)為M(a,b)，對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)G,且以M,G,E為頂點(diǎn)的三角形與以D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形全等，求a，b的值(只需寫出結(jié)果，不必寫出解答過程)11. 以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓的半徑分別為9cm和5cm,OO'與這兩個(gè)圓都相切，則OO'的半徑是.12. 在厶ABC中，AB=AC,AB的中垂線與AC所在直線相交所得的銳角為50°,則底角B的大

9、小為.13. 如圖，在RtABC中，/C=90°,AC=3,BC=4，若以C為圓心，R為半徑所作的圓與斜邊AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，貝UR的取值范圍是.14. 已知點(diǎn)A(0,6),B(3,0),C(2,0),M(0,m)，其中m<6，以M為圓心，MC為半徑作圓，那么當(dāng)m=時(shí)，OM與直線AB相切.215. 關(guān)于x的方程kx-(k-1)x=0有有理根，求整數(shù)是的值.16. 華鑫超市對(duì)顧客實(shí)行優(yōu)惠購(gòu)物，規(guī)定如下：(1)若一次購(gòu)物少于200元，則不予優(yōu)惠;(2) 若一次購(gòu)物滿200元，但不超過500元，按標(biāo)價(jià)給予九折優(yōu)惠；(3) 若一次購(gòu)物超過500元，其中500元的部分給予九折優(yōu)惠，超過5

10、00元部分給予八折優(yōu)惠.小明兩次去該超市購(gòu)物，分別付款198元與554元，現(xiàn)在小亮決定一次去購(gòu)買小明分兩17.如圖，已知：ABC中,不重合),Q點(diǎn)在BC上.次購(gòu)買的同樣多的物品，他需付款多少？AB=5,BC=3,AC=4,PQ/AB,P點(diǎn)在AC上（與點(diǎn)A、C(1) 當(dāng)厶PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時(shí)，求CP的長(zhǎng);(2) 當(dāng)厶PQC的周長(zhǎng)與四邊形PABQ的周長(zhǎng)相等時(shí)，求CP的長(zhǎng);(3) 試問：在AB上是否存在點(diǎn)M,使得PQM為等腰直角三角形理由；若存在，請(qǐng)求出PQ的長(zhǎng).18. 已知關(guān)于x的方程x2_(p-q1)x-p=0(q>0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為：，1且:.(1)試用含有:-,的代

11、數(shù)式表示p和q;求證：、丄w1<|-'若以:-,:為坐標(biāo)的點(diǎn)M(：,1)在厶ABC的三條邊上運(yùn)動(dòng)，且ABC頂點(diǎn)的坐標(biāo)分1 5別為A(1,2),B(,1),C(1,1),問是否存在點(diǎn)M使p+q二一，若存在，求出點(diǎn)M的2 4坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.19. 某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從2月1日起的300天內(nèi)，西紅柿市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖甲的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖乙表示的拋物線段表示.(1) 寫出圖甲表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系P二f(t);寫出圖乙表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式Q二g(t).(2) 認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收

12、益，問何時(shí)上市的西紅柿純收益最大？(注：市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位：元/102血，時(shí)間單位：天)圖印圖乙參考答案【例題求解】#116門)若AB=9.當(dāng)CD=j時(shí)卩二”十(】+二3廳當(dāng)CD=5時(shí),加52+仕+1尸心=27IT-h當(dāng)0=1時(shí)f9J=lI+<T+5)!tJ=4-5,(2)若A"z,CD=9時(shí)d薩+f1+5)*工盤2西1當(dāng)CD=5時(shí),"=5；+(1+9)*»i-575t當(dāng)CD-1時(shí)=卩+価+9幾工二/197+選C若F=0*得-r=lI若r護(hù)（h設(shè)方程的闊根為出*云工1忑曲）則JT+j產(chǎn)工1曲='：£:*Jj（J-+巧）宇+匚故3T）5

13、-2）=5収刁冬衛(wèi)，且舟.業(yè)為整臥：或_1=_5&令、=，分別求得r=或尸缶故所求的一切有理數(shù)為0（y.y（2）當(dāng)點(diǎn)M在四邊形內(nèi)或在皿：邊上時(shí)t即0<C5時(shí)當(dāng)點(diǎn)Apq邊形BCNM外，即5OV10時(shí)（3）當(dāng)0V/W5時(shí)，取才=5訶甸=6.25】當(dāng)5<r<10時(shí)*，取毋>6.25.«5（1"=2；G）當(dāng)購(gòu)圓的一條外公切線與內(nèi)公切線互相垂扛時(shí)（如圖G準(zhǔn)結(jié)AO.BQ.OQ.則0A丄n.ftBlff.0Q丄叭OiQ過點(diǎn)G四邊AO.CO.OCaB是正方形.AAO=OC=BQ!Pr-K=2i當(dāng)兩圓的外公切線耐小互相垂直時(shí)f如圖占幾連結(jié)。兒厲民06OE.QF

14、.則OO分別在AAOE的平分線上,四邊形AOEO,是正方形、：畑=罷只=2念同理OO,=72r.'：tiO?=R+r=2+riOCA+0|Q=Q0|»*»Vr+2+r=22"綜上*或6472"+圖【學(xué)力訓(xùn)練】1.4胡討2,2或一203.7或E4,4+>/?或4肩乳(1)無論出取何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根"12)若1)"=0*克=】#+£=4a=6b+rV；Q不合題意*若縝r中有一條邊與口相尊不妨設(shè)口=6=氣得點(diǎn)產(chǎn)產(chǎn)5,當(dāng)23時(shí)垃+b+r=向當(dāng)15時(shí)山+&+尸也血(1)Gty=xi+2j+3；(2)SHia

15、WjUtJjr=9(3)21AOBcADBEfn1|aB=1(at=I8.Ch=4,Ifr；=4,l為=2,=2,biitbi=2Ab7=211.2cm或7cm12.70°或20°13.3VR<4或14.巾=1或加=一415. （1）當(dāng)2=0時(shí)山=一1）（2）當(dāng)&0,則Ad-imt+l必為完全平方數(shù)，即存在非負(fù)整數(shù)加，使/一6上+1=亦，配方得（3）2-亦=8,即（3+加）（3加）=8.由于k-3+m與怡一3-加是奇偶性相同的整數(shù)又3+加糾一3加.從而有E"：或嚴(yán)&_3_加=2&_3加=_4解得26或K0（舍去）.19.綜合原方程有有

16、理根時(shí)友=6或6=016. 情形1：當(dāng)198元為購(gòu)物不打折付的錢時(shí)所購(gòu)物品的原價(jià)為198元又554=450+104.其中450為購(gòu)物500元打九折付的找.104為購(gòu)物打八折付的錢1040.8-130（元）因此,554元所購(gòu)物品的原價(jià)為130+500=630（元）于是購(gòu)買小明花198+630=828（元）所購(gòu)的全部物品小亮一次性購(gòu)買應(yīng)付500X0.9+（828-500）X0.8=712.4（元）.情形2：當(dāng)198元為購(gòu)物打九折付的錢時(shí)所購(gòu)物品的原價(jià)為198TO.9=220（元）仿情形1的討論購(gòu)220十630=850（元）物品一次性付款應(yīng)為500X0.9+（850-500）X0.8=730（元）.17. CP=2VL(2)CP=yi(3)當(dāng),MPQ=9(APM=PQ時(shí)由CPQs/XCAB.得PQ=瓠當(dāng)ZMQP=9(TPQ=QW時(shí)仍可得PQ=弟當(dāng)ZPMQ=90SPM=QM時(shí)由CPgMAB.得PQ=盞18. p=2pg=a+0-a0T$(2)(l-a)(l-p)=l-(a+p)+aB=-Q<O,又若使p+g=#成立，只需”p=0+g+l=#成立.在BC邊上不存在滿足條件的點(diǎn);當(dāng)點(diǎn)M（a*）在AC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)其坐標(biāo)為（l>y）；當(dāng)點(diǎn)M（a/）在AB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)由"