1、制作：王林煒一、數(shù)字電路概述 在時間上和幅度上離散的信號稱為數(shù)字信號數(shù)字信號，處理數(shù)字信號的電路稱為數(shù)字電路。所謂處理數(shù)字信號，就是傳輸傳輸、控制控制或變換變換數(shù)字信號。 數(shù)字信號通常只有高電平高電平和低電平低電平兩種狀態(tài)，這兩種狀態(tài)在二進制中可用 1 1 和 0 0 來表示。 數(shù)字電路研究的主要對象是電路單元系統(tǒng)的輸入和輸出輸入和輸出狀態(tài)之間的邏輯關系狀態(tài)之間的邏輯關系，即電路的邏輯功能。分析這些邏輯關系，使用的基本數(shù)學工具是邏輯代數(shù)邏輯代數(shù)，描述電路邏輯功能的主要方法有：真值表真值表、邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式、邏輯圖邏輯圖和卡諾圖卡諾圖。一、數(shù)字電路概述 邏輯代數(shù)邏輯代數(shù) (英國數(shù)學家Geor

2、ge Boole首先提出的進行邏輯運算的數(shù)學方法，又稱布爾代數(shù))是分析和設計數(shù)字電路的基本數(shù)學工具，它的基本和常用運算也是數(shù)字電路要實現(xiàn)的重要操作，本節(jié)主要講解邏輯代數(shù)的基本概念基本概念、公式公式和定理定理，邏輯函數(shù)的公式化簡法公式化簡法和卡諾圖化簡法卡諾圖化簡法，幾種常用邏輯函數(shù)的表示方法表示方法及其相互轉(zhuǎn)換相互轉(zhuǎn)換。一、數(shù)字電路概述 邏輯代數(shù)和普通代數(shù)相比，雖然也有變量，但情況要簡單的多，在二值邏輯中，變量取值只有 1 和 0 ，且此處 1 和 0 并不表示數(shù)值大小，而是表示兩種不同的邏輯狀態(tài)。例如，用 1 和 0 表示一個事件的是與非、真與假，電壓的高與低，電流的有與無，開關的通與斷等等

3、。在邏輯代數(shù)中有些公式與定理與普通代數(shù)并無區(qū)別，有些則完全不同。 二、邏輯代數(shù)基礎二、邏輯代數(shù)基礎(一一)、數(shù)制和代碼、數(shù)制和代碼1、數(shù)制數(shù)制 多位數(shù)碼中每一位的構成方法以及計數(shù)進位的規(guī)則稱為數(shù)制數(shù)制。常用的數(shù)制有十進制、二進制、八進制和十六進制。 十進制十進制 (Decimal) 十進制是我們生活實踐中最常使用的數(shù)制，十進制數(shù)的每一位用 0 9 十個數(shù)碼十個數(shù)碼來表示，其計數(shù)基數(shù)是計數(shù)基數(shù)是10，大于 9 的數(shù)需用多位數(shù)表示，其中低位和相鄰高位間是逢十進一逢十進一，故稱十進制。二、邏輯代數(shù)基礎二、邏輯代數(shù)基礎(一一)、數(shù)制和代碼、數(shù)制和代碼1、數(shù)制數(shù)制 十進制十進制 (Decimal)多位十

4、進制數(shù)中的數(shù)碼在不同位置所代表的數(shù)值是不一樣的 (423.25)10 = 4102 + 2101 + 3100 + 210-1 + 510-2任意一個十進制數(shù)均可以表示為iiKD10)(10其中 Ki 是第 i 位的系數(shù)，它可以是 0 9 十個數(shù)碼中的任何一個。若整數(shù)部分的位數(shù)是n，小數(shù)部分的位數(shù)是m，則i包含從n1到0的所有正整數(shù)和從1到m的所有負整數(shù)。式中10i 稱為十進制第i位的“權權”。顯然一個數(shù)每一位的含意不僅取決于該位數(shù)碼本身每一位的含意不僅取決于該位數(shù)碼本身, 還取決于該位的權還取決于該位的權。二、邏輯代數(shù)基礎二、邏輯代數(shù)基礎(一一)、數(shù)制和代碼、數(shù)制和代碼1、數(shù)制數(shù)制 十進制十

5、進制 (Decimal) 若用N代替上式中的10，就得到任意進制(N進制)數(shù)展開式的普遍形式。iiKD10)(10iiNNKD)(其中 i 的取值與前述的規(guī)定相同二、邏輯代數(shù)基礎二、邏輯代數(shù)基礎(一一)、數(shù)制和代碼、數(shù)制和代碼1、數(shù)制數(shù)制 二進制二進制 (Binary) 在數(shù)字電路中采用的數(shù)制是二進制。二進制數(shù)的每一位僅有0和和1兩個數(shù)碼兩個數(shù)碼來表示，計數(shù)基數(shù)是計數(shù)基數(shù)是2，計數(shù)規(guī)律是“逢逢二二進一進一”，即 1 + 1 = 10 (讀做“壹零壹零”)。任何一個二進制數(shù)均可展開為iiKD2)(2將展開后的數(shù)加起來就得到與該二進制數(shù)等值的十進制數(shù), 即 (1011.11)2 = (11.75)

6、10例如：例如：(1011.11)2=123 + 022 +121 +120 +12-1 +12-2二、邏輯代數(shù)基礎二、邏輯代數(shù)基礎(一一)、數(shù)制和代碼、數(shù)制和代碼1、數(shù)制數(shù)制 八進制八進制 (Octal) 在八進制數(shù)中，每一位用 0 7 八個數(shù)碼八個數(shù)碼表示，計數(shù)基數(shù)計數(shù)基數(shù)是是 8，計數(shù)規(guī)律是“逢八進一逢八進一”，任何一個八進制數(shù)均可展開為iiKD8)(8例如：例如： (37.41)8 = 381 + 780 + 48-1 + 18-2 將展開后的數(shù)加起來就得到與該八進制數(shù)等值的十進制數(shù), 即 (37.41)8 = (31.515625)10二、邏輯代數(shù)基礎二、邏輯代數(shù)基礎(一一)、數(shù)制和

7、代碼、數(shù)制和代碼1、數(shù)制數(shù)制 十六進制十六進制 (Hexadecimal) 在十六進制數(shù)中，每一位可用 0 9以及以及A、B、C、D、E、F共共16個數(shù)碼表示個數(shù)碼表示，其中A、B、C、D、E、F 6個數(shù)碼依次表示1015。計數(shù)基數(shù)是計數(shù)基數(shù)是16，計數(shù)規(guī)律是“逢十六進位逢十六進位”，即(4)16+(C)16= (10)16任何一個十六進制數(shù)均可展開為iiKD16)(16例如：例如： (2A .7F)16 = 2161 + A160 + 716-1 + F16-2 (2A.7F)16 = (42.44140625)10 目前在微型計算機中普遍采用 8位、16位和32位二進制數(shù)并行運算，而 8位

8、、 16位和32位二進制數(shù)可以用 2位、4位和 8位十六進制數(shù)來表示，所以用十六進制編碼寫程序十分方便。且十六進制數(shù)和二進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換非常簡單，這使得十六進制的應用更為廣泛。二、邏輯代數(shù)基礎二、邏輯代數(shù)基礎(一一)、數(shù)制和代碼、數(shù)制和代碼1、數(shù)制數(shù)制 十六進制十六進制 (Hexadecimal)十進制十進制二進制二進制八進制八進制十六進制十六進制0000000010001011200100223001103340100044501010556011006670111077810001089100111910101012A11101113B12110014C13110115D14111016E

9、15111117F不同數(shù)制對照表不同數(shù)制對照表二、邏輯代數(shù)基礎二、邏輯代數(shù)基礎(一一)、數(shù)制和代碼、數(shù)制和代碼2、數(shù)制的、數(shù)制的轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換 十進制數(shù)十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)二進制數(shù) 一個十進制數(shù)一般包括整數(shù)和小數(shù)兩部分，需將整數(shù)部分和小數(shù)部分分別進行轉(zhuǎn)換，再將轉(zhuǎn)換結(jié)果排列在一起就得到完整的轉(zhuǎn)換結(jié)果。 整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換方法整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換方法是：“除除2取余法取余法” 將整數(shù)部分連續(xù)除以2直至商為0，每次的余數(shù)即為二進制數(shù)碼，最初得到的為整數(shù)的最低有效系數(shù)K0，最后得到的為整數(shù)的最高有效系數(shù)Kn-1。二、邏輯代數(shù)基礎二、邏輯代數(shù)基礎(一一)、數(shù)制和代碼、數(shù)制和代碼2、數(shù)制的、數(shù)制的轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換 十進制

10、數(shù)十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)二進制數(shù)小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換方法小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換方法是：“乘乘2取整法取整法” 十進制小數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制小數(shù)采用“乘2取整，順序排列”法。具體做法是：用2乘十進制小數(shù)，可以得到積，將積的整數(shù)部分取出，再用2乘余下的小數(shù)部分，又得到一個積，再將積的整數(shù)部分取出，如此進行直到積中的小數(shù)部分為零，或者達到所要求的精度為止。然后把取出的整數(shù)部分按順序排列起來，先取的整數(shù)作為二進制小數(shù)的高位有效位，后取的整數(shù)作為低位有效位。二、邏輯代數(shù)基礎二、邏輯代數(shù)基礎(一一)、數(shù)制和代碼、數(shù)制和代碼2、數(shù)制的、數(shù)制的轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換 十進制數(shù)十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)二進制數(shù)001111102222)

11、(kkkkDnnnn 01211)22(2kkkknnnn mmkkkkD 2222)(33221110)222()(212312110 mmkkkkD (23.125)10 = (10111.001)2例如，將(23.125)10轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)二、邏輯代數(shù)基礎二、邏輯代數(shù)基礎(一一)、數(shù)制和代碼、數(shù)制和代碼2、數(shù)制的、數(shù)制的轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換 十進制數(shù)十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)二進制數(shù)二、邏輯代數(shù)基礎二、邏輯代數(shù)基礎(一一)、數(shù)制和代碼、數(shù)制和代碼2、數(shù)制的、數(shù)制的轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換 二進制數(shù)二進制數(shù)與與八進制數(shù)八進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換之間的轉(zhuǎn)換a. 二進制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進制數(shù) 將二進制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進制數(shù)要分別對整數(shù)和小

12、數(shù)進行轉(zhuǎn)換。整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換從最低位起，每3位分為一組(最后不足3位的用0補足)，每組用1位相應的八進制數(shù)碼替代；小數(shù)部分小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)換從小數(shù)點后第一位起，每3位分為一組(最后不足3位的用0補足)，將每組二進制數(shù)用相應的八進制數(shù)碼替代即可。例如: 二進制： 1110101100.10110011 八進制： 1 6 5 4. 5 4 6000二、邏輯代數(shù)基礎二、邏輯代數(shù)基礎(一一)、數(shù)制和代碼、數(shù)制和代碼2、數(shù)制的、數(shù)制的轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換 二進制數(shù)二進制數(shù)與與八進制數(shù)八進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換之間的轉(zhuǎn)換b. 八進制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制數(shù) 八進制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)，只要將每位八進制數(shù)用相應3位的二進制數(shù)

13、來表示即可。例如: (652.31)8 = (110101010.011001)2二、邏輯代數(shù)基礎二、邏輯代數(shù)基礎(一一)、數(shù)制和代碼、數(shù)制和代碼2、數(shù)制的、數(shù)制的轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換 二進制數(shù)二進制數(shù)與與十六進制數(shù)十六進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換之間的轉(zhuǎn)換a. 二進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十六進制數(shù) 將二進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十六進制數(shù)也要分別對整數(shù)和小數(shù)進行轉(zhuǎn)換。整數(shù)部分轉(zhuǎn)換整數(shù)部分轉(zhuǎn)換從最低位起，每4位分為一組(最后不足4位的用0補足)，每組用1位相應的16進制數(shù)碼替代；小數(shù)部分小數(shù)部分轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換從小數(shù)點后第一位起，每4位分為一組(最后不足4位的用0補足)，將每組二進制數(shù)用相應的十六進制數(shù)碼替代即可。例如: 二進制 ： 1111011.

14、1110101 十六進制： 7 B. E A00二、邏輯代數(shù)基礎二、邏輯代數(shù)基礎(一一)、數(shù)制和代碼、數(shù)制和代碼2、數(shù)制的、數(shù)制的轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換b. 十六進制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制數(shù) 十六進制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)，只要將每位十六進制數(shù)用相應4位的二進制數(shù)來表示即可。例如: (2A.7D)16 = (00101010.01111101)2 二進制數(shù)二進制數(shù)與與十六進制數(shù)十六進制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換之間的轉(zhuǎn)換3、二進制代碼二進制代碼 用二進制數(shù)表示文字、符號等信息的過程叫做編碼編碼，進行編碼之后的二進制數(shù)稱為二進制代碼二進制代碼。 若對 N 項信息進行編碼，則需要使用的二進制代碼的位數(shù) n 應滿足以下關系： 2nN 十進制

15、數(shù) 0 9十個數(shù)碼的二進制編碼BCD碼碼 ( BCD 是Binary Coded Decimal code的縮寫)， BCD碼有兩類：有權BCD碼：8421碼、2421碼、5421碼、 無權BCD碼：余3碼、格雷碼、余3循環(huán)碼、二、邏輯代數(shù)基礎二、邏輯代數(shù)基礎(一一)、數(shù)制和代碼、數(shù)制和代碼 8421碼碼 8421碼是取4位二進制數(shù)前10種碼組00001001來表示 09這10個十進制數(shù)碼，其余 6 種組碼為禁用碼。可以看出這種編碼中的每一種代碼的 4位二進制數(shù)，其位權依次是8、4、2、1，且每個代碼的十進制數(shù)值，恰好就是它所表示的十進制數(shù)碼。十進十進制數(shù)制數(shù)8421碼碼B3B2B1B0012

16、34567890000000011000011110000110011000101010101權權84213、二進制代碼二進制代碼二、邏輯代數(shù)基礎二、邏輯代數(shù)基礎(一一)、數(shù)制和代碼、數(shù)制和代碼 余余3碼碼 余3碼是在 8421碼基礎上，每一個 8421代碼加上0011，即每一個余3碼的4位二進制數(shù)的十進制數(shù)值要比它編碼對應的十進制數(shù)碼多余3，故稱余3碼。從編碼表中可以看出 0和9、1和8、2和7、3和6、4和5的碼組互為反碼，即余余3碼具碼具有互補性有互補性。十進十進制數(shù)制數(shù)余余3碼碼B3B2B1B00123456789000001111101111000011001100110101010

17、10103、二進制代碼二進制代碼二、邏輯代數(shù)基礎二、邏輯代數(shù)基礎(一一)、數(shù)制和代碼、數(shù)制和代碼 格雷碼格雷碼十進制數(shù)十進制數(shù)格雷碼格雷碼十進制數(shù)十進制數(shù)格雷碼格雷碼00000811001000191101200111011113001011111040110121010501111310116010114100170100151000 格雷碼不僅相鄰兩個代碼只有一位不同，且首尾兩個代碼也僅有一位不同。此外，格雷碼還具有反射相鄰性，即以中間為對稱的兩個代碼(1和14、2和13等)僅有一位不同。 格雷碼中每1位代碼從上到下的排列順序都以固定的周期循環(huán)，其中右起第1位的循環(huán)周期是0110，第2位的

18、循環(huán)周期是00111100，第3位的循環(huán)周期是0000111111110000，等等。3、二進制代碼二進制代碼二、邏輯代數(shù)基礎二、邏輯代數(shù)基礎(一一)、數(shù)制和代碼、數(shù)制和代碼十進制十進制數(shù)碼數(shù)碼 8421碼碼2421碼碼A2421碼碼B4221碼碼5421碼碼余余3碼碼格雷格雷碼碼余余3循循環(huán)碼環(huán)碼000000000000000000000001100000010100010001000100010001010000010110200100010001000100010010100110111300110011001100110011011000100101401000100010001100

19、100011101100100501011011010101111000100001111100601101100011011001001100101011101701111101011111011010101001001111810001110111011101011101111001110910011111111111111100110011011010幾種幾種BCD碼碼3、二進制代碼二進制代碼二、邏輯代數(shù)基礎二、邏輯代數(shù)基礎(一一)、數(shù)制和代碼、數(shù)制和代碼十進制十進制數(shù)值數(shù)值二進二進制數(shù)制數(shù)8421碼碼2421碼碼A2421碼碼B4221碼碼5421碼碼余余3碼碼格雷碼格雷碼余余3循循環(huán)

20、碼環(huán)碼0000000000010001111111200102222230300113333302401004444174501015526360110664341701117754528100085591001966101010779111011588121100669985131101779614111088881511119997 ASCII碼(America Standard Code for Information Interchange,美國信息交換標準代碼)由美國國家標準化協(xié)會(ANSI)制定的一種信息代碼，廣泛地應用于計算機和通訊領域。ASCII碼已由國際標準化組織(ISO)認

21、定為國際通用的標準代碼。早期的ASCII碼采用7位二進制代碼對字符進行編碼。它包括32個通用控制字符, 10個阿拉伯數(shù)字，52個英文大、小字母，34個專用符號共128個。7位ASCII代碼在最高位添加一個“0”組成 8位代碼，正好占一個字節(jié)，在存儲和傳輸信息中，最高位常作為奇偶校驗位使用。擴展ASCII碼，即第八位不再視為校驗位而是當作編碼位使用。擴展 ASCII碼有256個。ASCII碼是目前各計算機系統(tǒng)中使用最普遍也最廣泛的英文標準碼，相對于ASCII 碼，中文系統(tǒng)使用最廣泛的內(nèi)碼則為Big-5碼。 * * ASCII碼碼 在邏輯代數(shù)中，也用英文字母表示變量，叫做邏輯變邏輯變量量，其取值十

22、分簡單，在二值邏輯中，邏輯變量取值不是1就是0，沒有第三種可能。這里的1和0沒有數(shù)值大小的含義，所表示的是事物互相對立而又聯(lián)系著的兩個方面，即兩種狀態(tài)。 一、邏輯變量與邏輯函數(shù) 數(shù)字電路的輸出量與輸入量之間具有一定的邏輯關系。即輸入邏輯變量A、B、和輸出邏輯變量Y之間是一種函數(shù)關系，稱為邏輯函數(shù)邏輯函數(shù)，記為 ),( BAFY 二、基本邏輯關系 當決定某一事件的各個條件都具備時，該事件才會發(fā)生，這樣的因果關系，稱與與邏輯邏輯。 與與邏輯邏輯 當決定某一事件的各個條件中，只要有一個具備，該事件就會發(fā)生，這樣的因果關系，稱為或或邏輯邏輯。 或或邏輯邏輯 某一事件的發(fā)生取決于某個條件的否定，即該條件

23、具備了，事件便不發(fā)生，此條件不具備時，該事件一定發(fā)生。這樣的因果關系，稱為非非邏輯邏輯。 非非邏輯邏輯 三、基本邏輯運算和復合邏輯運算 與與運算運算 1 1、基本邏輯運算、基本邏輯運算ABY000010100111BAY真真值值表表矩形邏輯符號特定外形形邏輯符號 三、基本邏輯運算和復合邏輯運算1 1、基本邏輯運算、基本邏輯運算 或或運算運算 ABY000011101111BAY矩形邏輯符號特定外形形邏輯符號 三、基本邏輯運算和復合邏輯運算 非非運算運算 AY0110AY 矩形邏輯符號特定外形形邏輯符號1 1、基本邏輯運算、基本邏輯運算 三、基本邏輯運算和復合邏輯運算2 2、復合邏輯運算、復合邏

24、輯運算 與非與非運算運算 ABY001011101110BAY矩形邏輯符號與與運算和運算和非非運算運算組成的復合運算組成的復合運算特定外形形邏輯符號 三、基本邏輯運算和復合邏輯運算2 2、復合邏輯運算、復合邏輯運算 或非或非運算運算 ABY001010100110BAY或或運算和運算和非非運算運算組成的復合運算組成的復合運算矩形邏輯符號特定外形形邏輯符號 三、基本邏輯運算和復合邏輯運算2 2、復合邏輯運算、復合邏輯運算 與或非與或非運算運算 與與運算和運算和或非或非運算運算組成的復合運算組成的復合運算CDABYABCDY0000100011001010011001001010110110101

25、1101000110011101011011011000110101110011110矩形邏輯符號特定外形形邏輯符號 三、基本邏輯運算和復合邏輯運算2 2、復合邏輯運算、復合邏輯運算 異或異或運算運算 ABY000011101110 異或運算的特點由真值表可以看出：當兩個輸入邏輯變量A、B取值相異時，輸出函數(shù)Y為1；當兩個輸入邏輯變量A、B取值相同時，輸出函數(shù)Y為0。矩形邏輯符號特定外形形邏輯符號BABABAY 三、基本邏輯運算和復合邏輯運算2 2、復合邏輯運算、復合邏輯運算 同或同或運算運算 ABY001010100111 異或運算的特點由真值表可以看出：當兩個輸入邏輯變量A、B取值相異時，

26、輸出函數(shù)Y為0；當兩個輸入邏輯變量A、B取值相同時，輸出函數(shù)Y為1。矩形邏輯符號特定外形形邏輯符號BABAABY 邏輯真值表邏輯真值表(簡稱真值表)、邏輯函數(shù)表達式邏輯函數(shù)表達式、邏輯圖邏輯圖和卡諾圖卡諾圖是邏輯函數(shù)的四種表示方法。 四、邏輯函數(shù)的表示方法 經(jīng)過變量設定和狀態(tài)賦值后，便可得到反映條件變量與結(jié)果變量之間邏輯關系的數(shù)學表達形式真值表真值表。即將條件變量的各種可能取值和相應的結(jié)果取值(函數(shù)值)，以表格形式全部列出來表示變量與函數(shù)之間的關系。1、真值表真值表 用與、或、非等邏輯運算表示邏輯變量之間的關系組合表達式，稱為邏輯代數(shù)式邏輯代數(shù)式，又稱為函數(shù)表達式函數(shù)表達式。 四、邏輯函數(shù)的表

27、示方法 根據(jù)真值表可以寫出表達式。方法方法是：首先找出函數(shù)值Y=1Y=1的變量組合。其次在找到的變量組合中，若變量值為1 1,則寫變量本身；為0則寫其反變量；于是相應于函數(shù)值為1 1的一個變量組合可以寫成一個乘積項。最后將得到的所有乘積項相加就得到與真值表相應的邏輯函數(shù)表達式。2、邏輯函數(shù)表達式邏輯函數(shù)表達式例：論文評審表決輸 入輸 出ABCY00000010010001101000101111011111 四、邏輯函數(shù)的表示方法ABCCABCBAY“與或與或標準型標準型”表達式2、邏輯函數(shù)表達式邏輯函數(shù)表達式 邏輯圖邏輯圖就是用邏輯符號及連線表示邏輯函數(shù)關系而構成的圖形。例：ABCCABCB

28、AY 四、邏輯函數(shù)的表示方法3、邏輯圖邏輯圖 幾種表示邏輯函數(shù)的方法可以用來描述同一個邏輯函數(shù)關系，它們之間必有內(nèi)在聯(lián)系，可以互相轉(zhuǎn)換。 四、邏輯函數(shù)的表示方法4、幾種表示方法之間的轉(zhuǎn)換根據(jù)邏輯圖寫邏輯函數(shù)表達式根據(jù)邏輯圖寫邏輯函數(shù)表達式 方法是：由前級門逐級向后，根據(jù)各個門的輸入變量，寫出其輸出的邏輯關系式，即得相應得邏輯函數(shù)式。BABAYABCBAY 方法是：首先根據(jù)邏輯函數(shù)表達式中輸入變量的個數(shù)n ,列出輸入變量的 2n 種組合；再將輸入變量的各種取值列表，并逐一代入邏輯表達式中進行計算；最后將結(jié)果也填入表中,便可得到相應的真值表。 000001110000001100000100010

29、101010011001100001111YABCBACBA 四、邏輯函數(shù)的表示方法4、幾種表示方法之間的轉(zhuǎn)換根據(jù)邏輯函數(shù)表達式寫真值表根據(jù)邏輯函數(shù)表達式寫真值表邏輯函數(shù)表達式的類型是多種多樣的 通常邏輯函數(shù)表達式并不是最簡形式或?qū)嶋H需要的形式，這就需要對邏輯函數(shù)式進行化簡化簡或根據(jù)實際需要轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換成一定的形式。與或與或表達式或與或與表達式與非與非- -與非與非表達式或非或非- -或非或非表達式與或非與或非表達式CBABCBBACBABY )C)(BBA(CBBA 化簡邏輯函數(shù)的目的就是要消去多余的乘積項和每個乘積項中多余的因子，以得到邏輯函數(shù)式的最簡形式。 化簡邏輯函數(shù)常用的方法有：代數(shù)化簡

30、法代數(shù)化簡法，就是利用邏輯代數(shù)中的公式和規(guī)則進行化簡；卡卡諾圖化簡法諾圖化簡法，即利用卡諾圖進行化簡；適用于編制計算機輔助分析程序的Q-M法。 基本公式基本公式01律律00A11A一、邏輯代數(shù)的公式和規(guī)則自等律自等律A1AA0A重疊律重疊律AAAAAA互補律互補律0AA1AAAA 非非律非非律ABBAABBA交換律交換律結(jié)合律結(jié)合律CB)A()C(BACB)A()C(BA分配律分配律CABA)C(BAC)A( B)A()C (BA吸收律吸收律ABAAAB)A(A反演律反演律BABABABA 摩根定理摩根定理 常用公式常用公式一、邏輯代數(shù)的公式和規(guī)則CAABBCCAABCAABBCDCAABBA

31、BAAABAABa. 代入規(guī)則代入規(guī)則CACAACABCABAB 邏輯運算運算的基本規(guī)則邏輯運算運算的基本規(guī)則一、邏輯代數(shù)的公式和規(guī)則 在任何一個含有變量A的邏輯等式中，若將所有出現(xiàn)A的位置，都以另一個邏輯表達式帶入，則等式仍然成立。對任意一個邏輯函數(shù)式Y(jié)，若將式中符號 換成換成 + + 換成換成 0 換成換成 1 1 換成換成 0原變量換成反變量原變量換成反變量 反變量換成原變量反變量換成原變量那么所得的邏輯函數(shù)式就是Y的反函數(shù) 。 Y 邏輯運算運算的基本規(guī)則邏輯運算運算的基本規(guī)則一、邏輯代數(shù)的公式和規(guī)則b. 反演規(guī)則反演規(guī)則 利用反演律需注意兩點注意兩點： 需遵循先括號，然后與，最后或的運

32、算順。 不是單個變量上的非號，均應保持不變。BABAYB)A()BA(YEDCBAYEDCBAY 邏輯運算運算的基本規(guī)則邏輯運算運算的基本規(guī)則一、邏輯代數(shù)的公式和規(guī)則b. 反演規(guī)則反演規(guī)則對任意一個邏輯函數(shù)表達式Y(jié)，若將其中的 換成換成 + + 換成換成 0 換成換成 1 1 換成換成 0由此得到一個新的函數(shù)式 ，稱為Y的對偶式。變換時仍需遵守需遵循“先括號，然后與，最后或”的運算順序。 Y對偶定理對偶定理：若兩邏輯式相等，則它們的對偶式也相等。 邏輯運算運算的基本規(guī)則邏輯運算運算的基本規(guī)則一、邏輯代數(shù)的公式和規(guī)則c. 對偶規(guī)則對偶規(guī)則 邏輯運算運算的基本規(guī)則邏輯運算運算的基本規(guī)則一、邏輯代數(shù)

33、的公式和規(guī)則c. 對偶規(guī)則對偶規(guī)則 有時為了證明兩個邏輯式相等，可通過證明它們的對偶式相等來完成，因為在有些情況下證明對偶式相等更容易。證明證明：C)B)(AA(BCA首先寫出等式兩邊的對偶式，分別是：C)B(AACAB由分配律可知兩對偶式相等；根據(jù)對偶定理，原來的兩式必然相等。二、邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法 代數(shù)化簡法的原理就是靈活應用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式消去函數(shù)中多余的乘積項和多余的因子，以求得函數(shù)式的最簡形式。代數(shù)化簡法沒有固定的模式或步驟，下面將一些經(jīng)常使用的方法歸納如下。 并項法并項法 利用公式 ，將兩項合并為一項，并消去一對互為反的因子。 ABAAB CABCBACBACBAY

34、C C)BA(ACB)A(A CB)B( CB)FD(ECBACBY二、邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法 吸收法吸收法利用公式 ，可消去一個乘積。 AABA 消去法消去法 a. 消因子法消因子法 利用公式 ，可消去一個多余因子，使乘積項中的因子減少。BABAACBCAABY )CBA(ABCABABCAB b. 消項法消項法利用公式 可消去多余的乘積項CAABBCCAABCAABBCDCAAB 利用公式 ，人為地加上一些多余項，或利用公式 把某些項乘以 展開后消去更多的項，以獲得更加簡化的函數(shù)式。1AAAAAAA 配項法配項法二、邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法CABBCAABCYCABBCAABC 配項配項ABCC

35、BC 并項并項C 吸收吸收 配項法配項法二、邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法CBCBBABAYCB)AA(CB)CB(CABACBACBACBCBABCABA)CBCBA(C)BABCA(C)BABA(CBCABA 配項法配項法二、邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法F)ACD(ECBABYF)ACD(EF)D(EC1BABCBF)ACD(EF)CD(EBABCBF)CD(EBABCBAB 用配項法化簡，除以上介紹的兩種配項方法外，有時我們采用在函數(shù)式中加上適當?shù)亩嘤囗椀霓k法對邏輯函數(shù)進行化簡，其原則是：a. 增加了新項不會影響函數(shù)的邏輯關系增加了新項不會影響函數(shù)的邏輯關系； b. 增加的新項便于與其它項合并增加的新項便

36、于與其它項合并。 配項法配項法二、邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法ACBACBBAYCBBACACBBACAACBACBBAABACBBAABCBAB 應用代數(shù)法化簡邏輯函數(shù)時，需要對基本公式和常用公式比較熟悉，并在練習中注意總結(jié)化簡技巧。一般來說，先一般來說，先用用并項法并項法、吸收法吸收法和和消去法消去法，在以上三種方法不能直接選用，在以上三種方法不能直接選用的情況下考慮的情況下考慮配項法配項法。 另外，在化簡過程中要注意以下兩點注意以下兩點： a. 如果給定的邏輯表達式不是與或形式的，一般先將其轉(zhuǎn) 換成與或形式。 b. 化簡后的與或表達式不是唯一的，但它們乘積項的個數(shù) 以及每個乘積項的因子都應是最少

37、的。二、邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法)CBAC)(B(AY例：例： CBCACBBACABA654321CACBBA(2、3消消4，2、6消消1，3、6消消5)CBBACA二、邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法【習題】【習題】四版教材四版教材 P444 445 8.1 8.6五版教材五版教材 P286 7.1 7.61、邏輯函數(shù)的邏輯函數(shù)的最小項最小項三、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法 在 n 個變量的邏輯函數(shù)中，如果一個乘積項乘積項m包含 n 個因子，而且每個因子以原變量或反變量的形式僅在此乘積項中出現(xiàn)一次，那么我們就稱這樣的乘積項叫做 n 變量的最小項最小項。顯然 n 個變量共有個變量共有 2n 個最小項個最小項ABC

38、CABCBABCACBACBACBACBA例如，三個變量A、B、C，其最小項數(shù)應為 23 個，即變量的每一組取值都使一個對應的最小項的值等于變量的每一組取值都使一個對應的最小項的值等于 11、邏輯函數(shù)的邏輯函數(shù)的最小項最小項三、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法m7m6m5m4m3m2m1m0111011101001110010100000最小項最小項編號編號最小項最小項對應十進制數(shù)對應十進制數(shù)CBA邏輯變量的組合邏輯變量的組合76543210ABCCABCBABCACBACBACBACBA 最小項的編號方法編號方法：把最小項的變量取值視為二進制數(shù),則相應的十進制數(shù)就是該最小項的編號。任一邏輯函數(shù)表達式都

39、可以變換為最小項之和最小項之和的形式CBABCACABABC CBAABCBCAABCCABABC )BAC(B)ABC(A)CAB(C ACBCABC)B,Y(A,)7 , 6 , 5 , 3(7653mmmmC)B,Y(A,1、邏輯函數(shù)的邏輯函數(shù)的最小項最小項三、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法 最小項具有下列性質(zhì)最小項具有下列性質(zhì)：a. 任何一個最小項，只有一組變量取值使其邏輯值為1；此 組變量取值即這一最小項的編號。b. 任意兩個不同最小項之積必為0；c. 全部最小項之和恒等于1。d. 具有相鄰相鄰性的兩個最小項之和可以合并成一項并消去一 對因子。1、邏輯函數(shù)的邏輯函數(shù)的最小項最小項三、邏輯函數(shù)

40、的卡諾圖化簡法相鄰相鄰：兩個最小項只有一個變量不同CACBABCA1、邏輯函數(shù)的邏輯函數(shù)的最小項最小項三、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法 某乘積項中，若少1個變量，則它對應 2個最小項；若少 2個變量對應 4個最小項；若少 3個變量對應8個最小項。CABBAYCAB)CB(CACABCBABCADCABBAYDCAB)D)(DCB(CADCABDCBADBCADCBABCDA* * 邏輯函數(shù)的最大項最大項 在 n 個變量的邏輯函數(shù)中，如果M為n個變量之和變量之和，而且每個變量以原變量或反變量的形式僅在M中出現(xiàn)一次，則稱M 為n變量的最大項最大項。顯然，n個變量共有2n個最大項。例如三個變量A、B、C，

41、其最大項數(shù)應為23個，CBACBACBACBACBACBACBACBA三、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法n變量的最大項數(shù)目和最小項數(shù)目是相等相等的變量的每一組取值都使一個對應的變量的每一組取值都使一個對應的最大項的值等于最大項的值等于 0M7M6M5M4M3M2M1M076543210111011101001110010100000CBA最大項最大項編號編號最大項最大項對應的十對應的十進制數(shù)進制數(shù)邏輯變量的組合邏輯變量的組合CBACBACBACBACBACBACBACBA* * 邏輯函數(shù)的最大項最大項三、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法 最大項的編編號方法號方法是：在最大項中邏輯變量以原變量形式出現(xiàn)時變量取值記

42、為0，以反變量形式出現(xiàn)時變量取值記為1，把最大項的變量取值視為二進制數(shù)，則相應的十進制數(shù)就是該最大項的編號。任一邏輯函數(shù)表達式都可以變換為最大項之積最大項之積的形式)CBA)(CBA)(CBA)(CBA( C)BAC)(ABBA)(CCBA( C)C)(BAB)(A( C)BA(A)BA( ACBAC)B,Y(A,上式還可寫為)6 , 4 , 1 , 0(C)B,Y(A,6410MMMMC)A(B)A(BCA分配律分配律* * 邏輯函數(shù)的最大項最大項三、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法a. 任何一個最大項，只有一組變量取值使其邏輯值為0；此 組變量取值即這一最大項的編號。b. 任意兩個不同最大項之和必為

43、1；c. 全部最大項之積恒等于0。d. 具有相鄰相鄰性的兩個最大項之積可以合并成一項并消去一對 因子。 BA)CBA)(CBA(最大項具有下列性質(zhì)最大項具有下列性質(zhì)：* * 邏輯函數(shù)的最大項最大項三、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法最大項和最小項之間存在如下關系最大項和最小項之間存在如下關系:iimM imYiiMmYiMYiimMY三、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法2、卡諾圖卡諾圖的畫法的畫法三、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法 卡諾圖一般畫成矩形或正方形，對于n個變量，在矩形或正方形中劃分2n個小方塊，每個小方塊表示一個最小項，幾何相鄰的小方塊對應的最小項具幾何相鄰的小方塊對應的最小項具有邏輯相鄰性有邏輯相鄰性。畫卡

44、諾圖時，首先將變量分組，若分得的變量組內(nèi)只有單個變量，則取值順序按0、1排列，兩個或兩個以上變量取值順序按格雷碼格雷碼的規(guī)則排列。2、卡諾圖卡諾圖的畫法的畫法三、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法m10m11m9m8m26m27m25m24m30m31m29m28m22m23m21m20m18m14m6m2m7m5m4m15m13m12m19m17m16m3m1m0 010 110 111 101 001 011 100 00010110100 DEABCm6m7m5m4m14m15m13m12m10m11m9m8m2m3m1m0 01 11 10 0010110100 CDABm6m7m5m4m2m3m

45、1m01010110100 BC A三、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法3、用、用卡諾圖卡諾圖表示邏輯函數(shù)表示邏輯函數(shù)a. 若已知邏輯函數(shù)真值表，則只需在相同變量的卡諾圖上，將真值表中每組變量取值所對應的函數(shù)值填入相應的小方格中，就可以得到該邏輯函數(shù)的卡諾圖。ABCY0000001001000110100010111101111100111000 01 11 10 0010 C AB 三、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法3、用、用卡諾圖卡諾圖表示邏輯函數(shù)表示邏輯函數(shù)b. 若已知邏輯函數(shù)表達式，要畫相應的卡諾圖，首先要將邏輯函數(shù)表達式轉(zhuǎn)換為標準的最小項之和的形式，然后在相同變量的卡諾圖上與這些最小項對應的位置上填入

46、1，其余位置填0，即得到該邏輯函數(shù)表達式對應的卡諾圖。CABBAYCAB)CB(CA CABCBABCA 11100000 01 11 10 0010 C AB 三、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法3、用、用卡諾圖卡諾圖表示邏輯函數(shù)表示邏輯函數(shù) 在熟練的情況下，邏輯函數(shù)表達式不一定要轉(zhuǎn)化成標準的最小項之和的形式，只要轉(zhuǎn)化成一般的與或與或表達式表達式即可，畫卡諾圖時，只需把轉(zhuǎn)化所得的與或表達式中的每一個乘積項所包含的那些最小項處填1，其余填0。CABAY11000011 01 11 10 0010 C AB ACBA C)A()BA( 四版教材四版教材P400 例例8.3.4三、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法4、

47、用、用卡諾圖卡諾圖化簡邏輯函數(shù)化簡邏輯函數(shù) 在卡諾圖中，由于任意幾何相鄰的小方格所代表的最幾何相鄰的小方格所代表的最小項具有邏輯相鄰性小項具有邏輯相鄰性，因此，用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的本質(zhì)就是合并最小項合并最小項以消去相應的變量。a. 合并合并最小項的規(guī)則規(guī)則 若兩個最小項相鄰，則可合并為一項并消去一個因子。合并后的結(jié)果只剩下公共因子； 若四個最小項相鄰并排列成一個矩形組，則可合并為一項并消去兩個因子。 若八個最小項相鄰并排列成一個矩形組，則可合并為一項并消去三個因子。三、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法4、用、用卡諾圖卡諾圖化簡邏輯函數(shù)化簡邏輯函數(shù)b. 卡諾圖的化簡步驟化簡步驟將給出的邏輯函數(shù)化為最小項

48、之和的形式或一般與或表達式。畫出表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖按照合并規(guī)則找出可以合并的最小項選取化簡后的乘積項，寫出最簡與或表達式。這些乘積項應包含函數(shù)式的所有最小項所有乘積項數(shù)目最少每個乘積項包含的因子最少三、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法4、用、用卡諾圖卡諾圖化簡邏輯函數(shù)化簡邏輯函數(shù) 為了能得到最簡邏輯函數(shù)式，現(xiàn)將圈最小項的原則歸納如下： 每個圈盡可能大, 使化簡后乘積項含因子最少。 每個圈中最少有個最小項僅被圈過一次，以免出 現(xiàn)多余項多余項。 用最少的圈數(shù)覆蓋函數(shù)的全部最小項，使乘積項 的個數(shù)最少，但又不能漏項。 三、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法4、用、用卡諾圖卡諾圖化簡邏輯函數(shù)化簡邏輯函數(shù) 一般來說，為了

49、做到以上幾條，畫圈方法有以下兩種:a、先圈小圈后圈大圈先圈小圈后圈大圈 圈最小項的順序是：首先圈不能合并的孤立最小項，再圈僅有一種圈法的最小項，最后用盡可能大的圈覆蓋剩余最小項。 b、先圈大圈后圈小圈先圈大圈后圈小圈 圈最小項的順序是：首先用最大的圈圈函數(shù)的最小項,再用盡可能大的圈圈剩余最小項，最后圈不能合并的孤立最小項。 無論怎樣圈，最后都要檢查一下是否出現(xiàn)了多余項多余項。三、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法4、用、用卡諾圖卡諾圖化簡邏輯函數(shù)化簡邏輯函數(shù) CDAB00011110 001011 010110 111111 101001CDADBABBDY【例例】三、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法4、用、用卡諾

50、圖卡諾圖化簡邏輯函數(shù)化簡邏輯函數(shù)【例例】 CD AB00011110 00111 01111 11111 10111 CD AB00011110 0011 0111 11 1011CADCAYDADBY三、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法4、用、用卡諾圖卡諾圖化簡邏輯函數(shù)化簡邏輯函數(shù)【例例】 CD AB00011110 001 011 11111 10111CBABCDDCBCABY四版教材四版教材P404 例例8.3.5 例例8.3.6BCABDy)(BCABDy)(BCABD 11111010011100010111110010110100 CDABy000010011011111001000000

51、10110100 CDAB三、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法4、用、用卡諾圖卡諾圖化簡邏輯函數(shù)化簡邏輯函數(shù)三、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法5、具有、具有無關項無關項的邏輯函數(shù)的化簡的邏輯函數(shù)的化簡a. 約束項約束項、任意項任意項和和無關項無關項 若邏輯函數(shù)輸入變量的取值受到限制，我們稱這種限制為約束約束，這樣一組輸入變量叫做具有約束的變量具有約束的變量。 例如，邏輯變量A、B、C分別表示電動機的正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)和停轉(zhuǎn)控制,A=1表示正轉(zhuǎn)，B=1表示反轉(zhuǎn) ，C=1表示停轉(zhuǎn)。因為電動機任何時刻只能處于其中一種狀態(tài)，不允許兩個以上的變量同時為l，也不允許三個變量同時為0。因此，ABC的取值只能是100、010、001中的一種，而不能是000、011、101、110和111中的任何一種。可見A、B、C的取值