1、相似三角形知識概述1 .平行線等分線段定理如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其它直線上截得的線段也相等。2 .平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。3 .相似三角形的定義對應邊成比例、對應角相等的兩個三角形叫做相似三角形.4 .相似三角形的基本性質相似三角形的對應邊成比例、對應角相等.相似三角形的對應高線的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比。相似三角形的周長比等于相似比面積比等于相似比的平方溫馨提示：全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1.所以全等三角形是相似三角形的特例.其區別在于全等要求對應邊相等，而相似要求對應邊成比例.相似比具有

2、順序性. 例如 AB6B C的對應邊的比， 即相似比為k,則AA B C s abc無，=J.的相似比不，當且僅當它們全等時，才有 k=k =1.相似比是一個重要概念，后繼學習時出現的頻率較高，其實質它是將一個圖形放大或縮小的倍數，這一點借助相似三角形可觀察得出.5 .相似三角形的判定定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或其延長線相交，所得的三角形與原三角形相似；三邊對應成比例的兩個三角形相似；兩角對應相等的兩個三角形相似；兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似。溫馨提示：(1)判定三角形相似的幾條思路：條件中若有平行，可采用判定定理1;條件中若有一對角相等(包括隱含的公共角或對頂角)，可再

3、找一對角相等或找夾邊對應成比例；條件中若有兩邊對應成比例，可找夾角相等；但是，在選擇利用判定定理2時，一對對應角相等必 須是成比例兩邊的夾角對應相等.條件中若有等腰關系，可找頂角相等或底角相等，也可找腰和底對應成比例。(2)在綜合題中，注意相似知識的靈活運用，并熟練掌握線段代換、等比代換、等量代換技巧的應用, 培養綜合運用知識的能力。(3)運用相似的知識解決一些實際問題，要能夠在理解題意的基礎上，把它轉化為純數學知識的問題, 要注意培養當數學建模的思想。6.位似定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經過同一點，那么這樣的兩個圖形 叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相

4、似比又稱為位似比.因此，位似圖形一定是相似圖形，但 相似圖形不一定是位似圖形.性質：位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比.11)(21注意：(1)位似圖形是相似圖形的一個特例，位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形.(2)兩個位似圖形不僅相似而且對應點連線交于一點，對應邊平行或在同一直線上7,三角形的重心三角形三條中線的交點叫做三角形的重心.三角形的重心與頂點的距離等于它與對邊中點的距離的兩倍二、相似三角形解題思路：1、尋找相似三角形對應元素的方法與技巧正確尋找相似三角形的對應元素是分析與解決相似三角形問題的一項基本功.通常有以下幾種方法：(1)相似三角形有公共角

5、或對頂角時，公共角或對頂角是最明顯的對應角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是對應角；相似三角形中，一對相等的角是對應角，對應角所對的邊是對應邊，對應角的夾邊是對應邊；(2)相似三角形中，一對最長的邊 (或最短的邊)一定是對應邊；對應邊所對的角是對應角；對應邊所夾的角是對應角.2、常見的相似三角形的基本圖形:學習三角形相似的判定， 要與三角形全等的判定相比較，把證明三角形全等的思想方法遷移到相似三角形中來；對一些出現頻率較高的圖形，要善于歸納和記憶；對相似三角形的判定思路要善于總結，形 成一整套完整的判定方法.如：(1) “平行線型”相似三角形，基本圖形見上節圖.“見平行，想相似”是解這

6、類題的基本思路;(2) “相交線型”相似三角形，如上圖.其中各圖中都有一個公共角或對頂角.“見一對等角，找另一對等角或夾等角的兩邊成比例”是解這類題的基本思路；(3) “旋轉型”相似三角形，如圖.若圖中/1 = 72, /B=/D(或/C=/ E),則ADaAABC；該圖可看成把第一個圖中的 ADE繞點A旋轉某一角度而形成的.溫馨提示：從基本圖形入手能較順利地找到解決問題的思路和方法，能幫助我們盡快地找到添加的輔助線.以上 “平行線型”是常見的，這類相似三角形的對應元素有較明顯的順序，“相交線型”識圖較困難，解題時 要注意從復雜圖形中分解或添加輔助線構造出基本圖形.相似三角形專題分類練習講解題

7、型一：線段的比、黃金分割1.在比仞尺1: 10000的地圖上，相距2cm的兩地的實際距離是(A. 200cm B . 200dm C.200mD. 200km2.若士 =2 則下列各式中不正確的是(y 4x + yA.y 4B -4 C丁一工x-y Ir = 一y 4c x+ 2y 11D. -_z，且 3y 2z 6,則 6,y4.右 5x 4y5.2和8的比例中項是;線段2 cm與8 cm的比例中項為6.已知 a : b : c = 2 ： 3 : 4,且 2a+3b2c=10,求 a, b題型二：相似的性質1 .如果兩個相似三角形的面積比為3 : 4,則它們的周長比為2 .已知AABCA

8、DEF且 AB DE=1: 2,則 ABC的面積與 DEF的面積之比為3 .如圖，DE/ BC, AD： BD=2： 3,貝U A ADE的面積：四邊形 DBCEW面積二4 .如圖，已知等邊三角形 ABC的邊長為2, DE是它的中位線，則下面四個結論：(1) DE=1, (2) CDa CAB (3) CD前面積與 CAB的面積之比為1: 4.其中正確的有:5 .如圖，在梯形 ABCD43, AD/ BC, 4ADE與 BCE面積之比為 4 : 9,那么 ADE與 ABE面積之比為6.平行四邊形ABCM,AB=2& E、F是對角線 AC上的兩點，且 AE=EF=FC DE交AB于點M, MF交

9、CD于點N,貝U CN=第3題第4題第6題7.如圖，已知平行四邊形ABCD43, E是AB邊的中點，DE交AC于點FAC,DE把平行四邊形ABC防成的四部分的面積分別為 S1, S2, S3, s.11.已知三個邊長為2, 3, 5的正方形按圖4排列，則圖中陰影部分的面積為 卜面結論：只有一對相似三角形； EF:ED=1: 2;,Si： S2： S3： S4=1: 2: 4: 5.其中正確的結論是（）A . B . C . D .8 .如圖，大正方形中有 2個小正方形，如果它們的面積分別是Si、S2 ,那么Si、S2的大小關系是（）A. Si S2B. S = S2C.S E分別在 AB AC

10、上,AHL BC交DE于M, DG： DE=1 ： 2, BC= 12 cm, Al-k 8 cm,求矩形的各邊長。a13.已知如圖，止方形 ABCD中，AB邊形CDFE的面積S2。題型三：相似的有關證明1.已知：如圖，梯形 ABCD中，AB / 于M、N點d“/BGHF C變式 2圖=2, E是BC的中點，DFAE, F為垂足，求 DFA的面積和四AD0ECDC, E是AB的中點，直線 ED分別與對角線 AC和BC的延長線交求證：MD : ME = ND : NEN2 AF AB ,求證： AEFsacd.2 .如圖，D在AB上，且 DE / BC,交 AC于E, F在AD上，且 AD3 .

11、如圖，在平行四邊形 ABCD中，過點A作AEBC,垂足為E,連接DE,F為線段DE上一點，且/ AFE= / B(1)求證：ADFsDEC；(2)若 AB=8 , AD=6-/3, AF=4”，求 AE 的長.題型四：函數與相似1 .如圖，正方形ABCD43, AB= 1, G為DC中點，E為BC上任一點，(E點與點 B點C不重合)設BE=1過E作GA平行線交AB于F,設AFEC積為,寫出了與工1的函數關系式，并指出自變量 的取值范圍。2 .如圖，ABCD矩形，AH 2, HD= 4, DE= 2, EC= 1 , F 是 BC上任一點（F 與點 B點C不重合)，過 F作EH的平行線交AB于G

12、,設BF為工，四邊形HGFE面積為不，寫出)與工的函數關系式，并指出自變量的取值范圍。CD= 4cm,現要截出矩形 EFCG （ E點在AB上,3 .如圖，有一塊直角梯形鐵皮ABCD AD= 3cm, BC= 6cm,與點A、點B不重合），設BE= 1，矩形EFC5長為y（1）寫出/與，的函數關系式，并指出自變量 X取值范圍；（2） 了取何值，矩形 EFCG1積等于直角梯形5ABCD積的 K 。4 .如圖，已知拋物線 y = x21與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C. （1）求A、B、C三點的坐標.（2）過點A作AP/ CB交拋物線于點 P,求四邊形 ACBP勺面積.（3）在x軸上方的拋物線

13、上是否存在一點M物線解析式；（2）設直線BC交y軸于點E,連接AE,求證：AE=CE;（3）設拋物線與y軸交于點D,連接AD 交BC于點F, 試問以A、B、F,為頂點的三角形與 ABC相似嗎？請說明理由.題型五、圓與相似1. (2013被化)如圖，點A, B, C, D為。0上的四個點，AC平分/ BAD AC交BD于點E, CE=4 CD=6貝U AE的長為()A.4B.5C.6D.72.如圖，AB為。的直徑,D是弧BC的中點,DEL AC交AC的延長線于E,。的切線BF交AD的延長線于點F。求證：DE是。的切線；(2)若DE= 3,。的半徑為5,求BF的長。AB相切3 .如圖，RtABC中

14、，/ C=90 ,。為直角邊BC上一點，以。為圓心，OC為半徑的圓恰好與斜邊于點D,與BC交于另一點 E.(1)求證： AO挈 AOD(2)若BE=1, BD=3,求。的半徑及圖中陰影部分的面積S.4 .如圖。是 ABC外接圓，AB是直徑，D是AB延長線上一點，AE1 DC的延長線于點 E,且AC平分/ EAR(1)求證：DE是。的切線；(2)若AB=6, AE=4,求BC和BD的長5 . (2012遼寧)如圖，AB是。0的直徑，點 C在。0上，/ CAB的平分線交。0 于點D,過點D作AC的垂線交AC的延長線于點E,連接BC交AD點F。(1)猜想ED與。0的位置關系，并證明你的猜想;(2)若

15、 AB= 6, AD= 5,求 AF的長。6 . (2013升堰)如圖 1, 4ABC中，CA=CB點。在高CH上，ODLCA于點D, OELCB于點E,以。為圓心,OD為半徑作。O.(1)求證：與CB相切于點E;(2)如圖2,若。0過點H,且AC=5, AB=6,連接EH,求4BHE的面積.題型六、因動點產生的相似問題1 . D是4ABC的AB邊上一點，過 A D及三角形邊上的一點 E的三角形與 ABC相似，畫出示意圖。2 .已知RtOA取直角坐標系中白位置如圖，P (3, 4)為OB的中點，點C為折線OAB的動點，線段線段，寫出點C的坐標。x3.在直角坐標系中有兩點PC把RtOAB成兩部分

16、，問點 C在什么位置時，分割彳#到的三角形與OA則似？畫出所有符合要求的A (4, 0), B (0, 2),如果點C在x軸上(C與A不重合)，當點C的坐標為時，使得由點B O C組成的三角形與 AOBf似。4 .已知：如圖，P是邊長為4的正方形ABCDJ一點，且PB=3, BH BP,垂足為B,請在射線BF上找一點M使以R M C為頂點的三角形與 ABP相似。5 .正方形ABCDfe長為4, M N分別是BC CD上的兩個動點，當M點在BC上運動時，保才| AMW MNB直.(1)證明：RtAABIVhRtAMCN(2)設BMx,梯形ABCN勺面積為y,求y與x之間的函數關系式；當 M點運動

17、到什么位置時，四邊形ABCNT積最大，并求出最大面積；(3)當M點運動到什么位置時 RtAABMh RtAMN求此時x的值.6 .如圖，在 ABC中，/ BAC=90 , AD是BC邊上的高，E是BC邊上的一個動點AB,EGJ AG垂足分別為 F,G.(1)求證：EG CG ；AD CD(2) FD與DG是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由;(3)當AB=AC寸， FDG為等腰直角三角形嗎？并說明理由.7 .矩形OAB而平面直角坐標系中位置如圖所示，A C兩點的坐標分別為 A (6, 0), C (0, 3),直線y=3x與BC邊相交于D點.4(1)求點D的坐標；(2)若拋物線y

18、=ax29x經過點A,試確定此拋物線的表達式； 4(3)設(2)中的拋物線的對稱軸與直線0址于點M點P為對稱軸上一動點，以 P、O M為頂點的三角形與 OCDI似，求符合條件的點 P的坐標.8 .如圖，拋物線 y=1x2+Mx2與x軸相交于點 A B,與y軸相交于點C. 22(1)求證： AOGACOB(2)過點C作CD/ x軸交拋物線于點 D.若點P在線段AB上以每秒1個單位的速度由 A向B運動，同時點Q在線段CD上也以每秒1個單位的速度由9.如圖，二次函數的圖象經過點D（0, 7%巧），且頂點C的橫坐標為4,該圖象在x軸上截得的線段 AB9的長為6.求二次函數的解析式；在該拋物線的對稱軸上

19、找一點P,使PA+PDt小，求出點 P的坐標;在拋物線上是否存在點 Q使4QA*ABCf似？如果存在，求出點 Q的坐標；如果不存在，請說明理由.題型三：位似1.如圖所示，以點O為位似中心，將五邊形ABCD敞大后得至ij五邊形 A B C D E.已知 OA 10 cm, OA =20 cm,則五邊形 ABCDE勺周長與五邊形 A B C D E的周長的比值是 .2.如圖，在6X8的網格圖中，每個小正方形邊長均為1,點O和 ABC勺頂點均為小正方形的頂點 . 以O為位似中心，在網格圖中作ABC,使ABC和ABO似，且位似比為1：2連接中 的AA,求四邊形 AA C C的周長.（結果保留根號）3.如圖，點。是等邊三角形 PQR勺中心，P、Q、R分另1J是 OR OQ OR的中點，則AP Q R與 PQR是位似三角形.此時， P Q R與4PQR的位似比為第1題相似三角形分類題型講解（答案） 題型一：第3題1.C2.C3.-