1、1.3.21.3.2函數的奇偶性函數的奇偶性1.創設情景，觀察圖片創設情景，觀察圖片:一一 新課引入新課引入(1)已知函數已知函數f(x)=x2,求求f(-2),f(2), f(-1),f(1),及及f(-x) ,并畫出它的圖并畫出它的圖象。象。解解:f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1f(-x)=(-x)2=x2(2)已知已知f(x)=x3,求出求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及及f(-x),并畫出它的圖象并畫出它的圖象解解:f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1 f(-x)=(-x)3

2、= -x3思索思索 : 你發現了什么規律你發現了什么規律?f(-2)=f(2)f(-1)=f(1)f(-x)=f(x)f(-2)= - f(2)f(-1)= - f(1)f(-x)= - f(x)-xxf(-x)f(x)-xf(-x)xf(x)xyoxyo( x,y)(-x,y)(-x,-y)(x,y)2 創設情景，觀察函數圖象:xoy-aa(a,f(a)(-a,f(-a) 偶函數的圖象關于偶函數的圖象關于y軸對稱，反過來，如果一個軸對稱，反過來，如果一個函數的圖象關于函數的圖象關于y軸對稱，那么這個函數是偶函數軸對稱，那么這個函數是偶函數.偶函數定義偶函數定義: : 如果對于如果對于f(x)

3、f(x)定義域內的任意一個定義域內的任意一個x, x,都有都有 f(- f(-x)=f(x),x)=f(x),那么函數那么函數f(x)f(x)就叫偶函數就叫偶函數.二二 新課新課xoy(a,f(a)(-a,f(-a)-aa 奇函數的圖象關于原點對稱，反過來，如果一個奇函數的圖象關于原點對稱，反過來，如果一個函數的圖象關于原點對稱，那么這個函數是奇函數函數的圖象關于原點對稱，那么這個函數是奇函數.奇函數定義奇函數定義: : 如果對于如果對于f(x)f(x)定義域內的任意一個定義域內的任意一個x, x,都有都有 f(- f(-x)=-f(x) ,x)=-f(x) ,那么函數那么函數f(x)f(x)

4、就叫奇函數就叫奇函數.對奇函數、偶函數定義的說明對奇函數、偶函數定義的說明:(1). 定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件。定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件。 a ,b-b,-axo（2）.奇、偶函數定義的逆命題也成立，即：奇、偶函數定義的逆命題也成立，即： 若若f(x)為奇函數為奇函數, 則則f(-x)=f(x)成立。成立。 若若f(x)為偶函數為偶函數, 則則f(-x)= f(x) 成立。成立。（3） 如果一個函數如果一個函數f(x)是奇函數或偶函數是奇函數或偶函數,那么我們那么我們就說函數就說函數f(x) 具有奇偶性。具有奇偶性。練習練習 說出下列函數的奇偶性說出下列

5、函數的奇偶性: :偶函數偶函數奇函數奇函數奇函數奇函數奇函數奇函數f(x)=x4 _ f(x)= x -1 _ f(x)=x _奇函數奇函數f(x)=x -2 _偶函數偶函數 f(x)=x5 _f(x)=x -3 _ 闡明：對于形如闡明：對于形如 f(x)=x n 的函數，的函數， 若若n為偶數，則它為偶函數。為偶數，則它為偶函數。 若若n為奇數，則它為奇函數。為奇數，則它為奇函數。例例1. 1. 判斷下列函數的奇偶性判斷下列函數的奇偶性(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2解解:f(-x)=(-x)3+2(-x)= -x3-2x= -(x3+2x)即即 f(-x)=

6、- f(x)f(x)為奇函數為奇函數 f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2f(x)為偶函數為偶函數定義域為定義域為R解解:定義域為定義域為R即即 f(-x)= f(x)練習練習2. 2. 判斷下列函數的奇偶性判斷下列函數的奇偶性(2) f(x)=5 (2) f(x)=5 (1) f(x)=x- (1) f(x)=x- 1 1x x(3) f(x)=0(3) f(x)=0闡明闡明: 函數函數f(x)=0 (定義域關于原點對稱），為既奇又偶函數。定義域關于原點對稱），為既奇又偶函數。(5). f(x)=x2 x(5). f(x)=x2 x- 1 , 3- 1 , 3(7) f(x

7、)= (8). f(x)= (7) f(x)= (8). f(x)= (4). f(x)=x+1 1(6) ( )(1);1xf xxx(9)3232,0(10)( ),0 xxxf xxxx3xx( )11f xxx f(-x)=1-(-x)2-x1-x2 x- =即即f(-x)= - f(x) f(x) 為奇函數為奇函數.例例2.判斷函數判斷函數f(x)= 的奇偶性。的奇偶性。|x+2|-21-x2解：解：1-x20 |x+2|2 -1x1 x0且且x-4-1x 1且且x 0定義域為定義域為-1,0) (0,11-x2f(x)=(x+2)-21-x2 x= 先求定義域，看定義域是否關于原點

8、對稱先求定義域，看定義域是否關于原點對稱; 再判斷再判斷f(x)= -f(x)或或f(-x)=f(x) 是否恒成立。是否恒成立。 闡明：用定義判斷函數奇偶性的步驟闡明：用定義判斷函數奇偶性的步驟:4 4奇函數的圖象奇函數的圖象( (如如y=x3 )y=x3 ) 偶函數的圖象偶函數的圖象( (如如y=x2)y=x2)yxoaaP/(-a ,f(-a)p(a ,f(a)-ayxoaP/(-a ,f(-a)p(a ,f(a)-a(-a,-f(a)(-a,f(a)5 5 奇偶函數圖象的性質奇偶函數圖象的性質: : 奇函數的圖象關于原點對稱奇函數的圖象關于原點對稱.反過來反過來,如果一個函數如果一個函數

9、的圖象關于原點對稱的圖象關于原點對稱,那么這個函數為奇函數那么這個函數為奇函數. 偶函數的圖象關于偶函數的圖象關于y軸對稱軸對稱.反過來反過來,如果一個函數的如果一個函數的圖象關于圖象關于y軸對稱軸對稱,那么這個函數為偶函數那么這個函數為偶函數.注：奇、偶函數圖象的性質可用于：注：奇、偶函數圖象的性質可用于： 1) 簡化函數圖象的畫法簡化函數圖象的畫法; 2) 判斷函數的奇偶性判斷函數的奇偶性; 3)由圖象的對稱特點應用奇、偶函數的性質由圖象的對稱特點應用奇、偶函數的性質.(3)奇函數的圖象在其定義域內對稱的區間上具有相奇函數的圖象在其定義域內對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數的圖象在其定義

10、域內對稱的區同的單調性；偶函數的圖象在其定義域內對稱的區間上具有相反的單調性間上具有相反的單調性.oyx例例3 已知函數已知函數y=f(x)是偶函數，它在是偶函數，它在y軸右邊的軸右邊的圖象如圖，畫出圖象如圖，畫出y=f(x)在在 y軸左邊的圖象。軸左邊的圖象。練習練習 已知函數，已知函數，且且f(-2)=10，則，則f(2)等于等于( ) A -26 B -18 C -10 D 108xxf(x)35bxa留意：奇函數若在留意：奇函數若在x=0處有定義，則一定有處有定義，則一定有f(0)=0.例例4已知定義在已知定義在R上的函數上的函數f(x)對一切對一切x,y滿足滿足f(x+y)=f(x)+f(y)（1求證：求證：f(x)是奇函數；是奇函數；（2若若f(-3)=a，試用，試用a表示表示f(12)例例5 (1)已知已知f(x)是奇函數是奇函數, 且當且當x0時時, f(x)=x(x-2)，求當求當x0時，時，f(x)的表達式。的表達式。 (2) 已知已知f(x)是定義在是定義在-1，1上的偶函數上的偶函數,且且在在0，1上為增函數，若上為增函數，若f(1+m)f(2m),求求m的取值范圍的取值范圍.三課堂小結三課堂小結1.兩個定義: 對于f(x)定義域內的任意一個x , 如果都有f(-x)=-f(x) f(x)為奇函數。