吉林省“BEST合作體”2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．2．某單位有職工160人，其中業(yè)務(wù)員有104人，管理人員32人，后勤服務(wù)人員24人，現(xiàn)用分層抽樣法從中抽取一個容量為20的樣本，則抽取管理人員（

）A．3人 B．4人 C．7人 D．12人3．正方體中，的中點為，的中點為，則異面直線與所成角的大小為（

）A． B． C． D．4．在中，已知角、、的對邊分別為、、，且滿足，則角為（

）A． B． C． D．或5．如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點，若，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．16．甲?乙?丙三位同學(xué)進行乒乓球比賽，約定賽制如下：（1）累計負兩場者被淘汰；（2）比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；（3）每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；（4）當(dāng)一人被淘汰后，剩余兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽甲?乙首先比賽，丙首輪輪空，設(shè)每場比賽雙方獲勝概率都為，則丙最終獲勝的概率為（

）A． B． C． D．7．如圖，棱長為1的正方體中，為線段的中點，、分別為體對角線和棱上任意一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．28．已知四棱錐P-ABCD的頂點都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，為正三角形，AB＝2AD＝4，則球O的表面積為（

）A．π B．32π C．64π D．π二、多選題（本大題共3小題）9．下列說法正確的是（

）A．的第60百分位數(shù)是6B．已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，則這組數(shù)據(jù)的方差是5.2C．用分層隨機抽樣時，個體數(shù)最多的層里的個體被抽到的概率最大D．若的標(biāo)準(zhǔn)差為2，則的標(biāo)準(zhǔn)差是610．如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，，則CD的值可能為（

）A．1 B． C． D．211．已知正方體的棱長為4，點E，F(xiàn)，G，M分別是，，，的中點．則下列說法正確的是（

）A．直線，是異面直線B．直線與平面所成角的正切值為C．平面截正方體所得截面的面積為18D．三棱錐的體積為三、填空題（本大題共3小題）12．為培養(yǎng)學(xué)生的閱讀習(xí)慣，某校開展了為期一年的“弘揚傳統(tǒng)文化，閱讀經(jīng)典名著”活動.在了解全校學(xué)生每年平均閱讀了多少本文學(xué)經(jīng)典名著時，甲同學(xué)抽取了一個容量為10的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為5，方差為9；乙同學(xué)抽取了一個容量為8的樣本，并算得樣本的平均數(shù)為6，方差為16.已知甲、乙兩同學(xué)抽取的樣本合在一起組成一個容量為18的樣本，則合在一起后的樣本平均數(shù)為，方差為.（精確到0.1）13．在棱長為2的正方體中，點E、F分別是棱BC，的中點，P是側(cè)面四邊形內(nèi)(不含邊界)一點，若平面AEF，則線段長度的取值范圍是.14．如圖，等腰直角三角形中，，，是邊上一動點（不包括端點）.將沿折起，使得二面角為直二面角，則三棱錐的外接球體積的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知單位向量，的夾角為.（1）若與垂直，求的值；（2）若向量滿足，求的最大值.16．某高校承辦了奧運會的志愿者選拔面試工作，現(xiàn)隨機抽取了100名候選者的面試成績并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知第三?四?五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.(1)求的值；(2)估計這100名候選者面試成績的平均數(shù)和分位數(shù)（精確到0.1）；(3)在第四?五兩組志愿者中，按比例分層抽樣抽取5人，然后再從這5人中選出2人，求選出的兩人來自同一組的概率.17．甲、乙兩位同學(xué)參加某高校的入學(xué)面試．入學(xué)面試中有3道難度相當(dāng)?shù)念}目，已知甲答對每道題目的概率都是，乙答對每道題目的概率都是．若每位面試者共有三次機會，一旦某次答對抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第3次為止．假設(shè)對抽到的不同題目能否答對是獨立的，且甲、乙兩人互不影響．（Ⅰ）求甲第二次答題通過面試的概率；（Ⅱ）求乙最終通過面試的概率；（Ⅲ）求甲、乙兩人至少有一人通過面試的概率．18．在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點O是的外心，．(1)求角A；(2)若外接圓的周長為，求周長的取值范圍，19．四棱錐中，平面，，，，，是的中點，在線段上，且滿足．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．(3)在線段上是否存在點，使得與平面所成角的正弦值是，若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．

參考答案1．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算可求得，進而得到結(jié)果.【詳解】，，，即.故選C.2．【答案】B【解析】根據(jù)分層抽樣原理求出應(yīng)抽取的管理人數(shù)．【詳解】根據(jù)分層抽樣原理知，應(yīng)抽取管理人員的人數(shù)為：故選B3．【答案】D【分析】利用異面直線所成的角的定義，取的中點為，則直線與所成角就是直線與成的角．【詳解】取的中點為，連接，則直線與所成角就是直線與成的角，由題意得，故異面直線與所成角的大小為.故選D．4．【答案】C【分析】利用余弦定理計算可得.【詳解】因為，即，由余弦定理，又，所以.故選C5．【答案】A【分析】可以用共線定理，或直接用建系的方法解決.【詳解】作BC的平行線與圓相交于點P，與直線AB相交于點E，與直線AC相交于點F，設(shè)，則，∵BC//EF，∴設(shè)，則∴，∴∴故選A.6．【答案】B【分析】根據(jù)賽制，最小比賽4場，最多比賽5場，比賽結(jié)束，將丙最終獲勝的可能情況進行分類，分別求出各類事件發(fā)生的概率，再由互斥事件概率公式計算可得．【詳解】根據(jù)賽制，最小比賽4場，最多比賽5場，比賽結(jié)束，注意丙輪空時，甲乙比賽結(jié)果對下面丙獲勝概率沒有影響（或者用表示），若比賽4場，丙最終獲勝，則丙3場全勝，概率為，若比賽5場，丙最終獲勝，則從第二場開始的4場比賽按照丙的勝負輪空結(jié)果有三種情況：勝勝負勝，勝負空勝，負空勝勝，概率分別為，所以丙獲勝的概率為．故選B．7．【答案】D【分析】通過證明得到，找到距離最小時，，證明為等腰直角三角形,則【詳解】如圖,連接,取中點,過作面，垂足為,在正方體中,平面,且平面,平面平面,平面平面,且平面，平面,為的中點,,故,而對固定點,當(dāng)時,最小,此時由面，面，，又,，且面，故面，又面,則面面，根據(jù)三棱錐特點，可知，而易知為等腰直角三角形，可知為等腰直角三角形,.故選D.【思路導(dǎo)引】本題的第一個關(guān)鍵點是找到，然后是找到最值情況時，，最后是對式子的處理，通過證明為等腰直角三角形，從而找到線段比，則最終式子化成，再利用三點一線求出最小值，這也啟示我們對于很多加權(quán)線段和的最值問題是將其轉(zhuǎn)化為三點一線最值問題.8．【答案】D【分析】求出所在圓的半徑，利用勾股定理求出球的半徑，即可求出球的表面積．【詳解】令所在圓的圓心為，則圓的半徑，因為平面底面，所以，所以球的半徑，所以球的表面積S．故選D9．【答案】BD【分析】根據(jù)百分位數(shù)的概念判斷A，根據(jù)平均數(shù)和方差的概念判斷B，根據(jù)抽樣的等可能性判斷C，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的運算判斷D.【詳解】對A：的第60百分位數(shù)是：，故A錯誤；對B：因為，所以這組數(shù)據(jù)的方差為：，故B正確；對C：分層抽樣，每個個體被抽到的概率相等，故C錯誤；對D：的標(biāo)準(zhǔn)差為2，所以的標(biāo)準(zhǔn)差為，故D正確.故選BD10．【答案】CD【分析】設(shè)，由正弦定理得，由余弦定理得，，結(jié)合輔助角公式求出，即可求解.【詳解】設(shè)，在中，由正弦定理得，即，由余弦定理得，又，在中，由余弦定理得，其中，所以當(dāng)時，，A、B錯誤，C正確；當(dāng)時，，D正確.故選CD.11．【答案】ACD【分析】利用圖形，作出合理輔助線，根據(jù)異面直線的判定方法即可判斷A，利用線面角定義即可判斷B，作出截面為等腰梯形計算即可判斷C，利用頂點轉(zhuǎn)換法結(jié)合三棱錐體積公式即可判斷D.【詳解】對A，如圖1，取的中點P，連接，因為，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又，所以直線，是異面直線，故A正確；對B，如圖2，取的中點Q，連接，，則，因為平面，所以平面，所以是直線與平面所成角，，，所以，即直線與平面所成角的正切值為，故B錯誤；對C，如圖3，延長，交于點H，連接交于點N，連接，，因為，M為的中點，則，所以B為的中點，因為，，所以易知N為的中點，則，因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，則平面截正方體所得截面為等腰梯形，在等腰梯形中，，，，則，則梯形的高為，所以等腰梯形的面積為，故C正確；如圖4，連接，，則，因為平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又M為的中點，所以三棱錐的高為，因為面，面，所以，，所以，故D正確．故選ACD．12．【答案】5.412.4【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差公式直接計算即可求解.【詳解】把甲同學(xué)抽取的樣本的平均數(shù)記為，方差記為；把乙同學(xué)抽取的樣本的平均數(shù)記為，方差記為；把合在一起后的樣本的平均數(shù)記為，方差記為.則，.即合在一起后樣本的平均數(shù)為5.4，方差為12.4.故答案為：5.4；12.4.13．【答案】【分析】作出過點平行于平面的平面與平面的交線，確定動點P的位置，再借助三角形計算作答.【詳解】在正方體中，取的中點M，N，連，如圖，因點E、F分別是棱BC，的中點，則，平面，平面，則有平面，顯然為矩形，有，，即有為平行四邊形，則，而平面，平面，有平面，，平面，因此，平面平面，因平面AEF，則有平面，又點P在平面，平面平面，從而得點P在線段MN上（不含端點），在中，，，等腰底邊MN上高，于是得，所以線段長度的取值范圍是.故答案為：.【方法總結(jié)】作截面的常用三種方法：直接法，截面的定點在幾何體的棱上；平行線法，截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；延長交線得交點，截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.14．【答案】【分析】根據(jù)兩平面互相垂直判斷外接球球心的位置，再由已知條件計算出球半徑表達式，即可求出體積取值范圍.【詳解】因為是直角三角形，所以其外接圓的圓心在的斜邊上，即是該圓的直徑，又因為平面平面，所以平面必過球心，外接球半徑即為外接圓的半徑，設(shè)球的半徑為，球的體積為，在中，根據(jù)正弦定理得，，又因為，所以，所以.故答案為：.【思路導(dǎo)引】本題關(guān)鍵是通過兩平面垂直關(guān)系以及三棱錐的底面為直角三角形判斷出球心的位置，判斷球心在平面上，得出球心為外接圓的圓心，再求出的取值范圍即可解決問題.15．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)向量垂直得到，再利用向量的數(shù)量積求解即可；（2）建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出向量，根據(jù)，得到的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，即可求解.【詳解】解：（1）與垂直，則，化簡得，即，解得.（2）設(shè)，，以為原點，所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，設(shè)，由，可得：，化簡得：，即的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，則的最大值為，所以的最大值為.16．【答案】(1)，(2)平均數(shù)為69.5，分位數(shù)為69.4；(3)【分析】（1）由每個小矩形面積代表頻率，所有頻率之和為1，可得，；（2）根據(jù)直方圖中各個數(shù)字特征的求法運算即可；（3）先分層抽樣求出列舉法求出抽取的第四、第五兩組志愿者人數(shù)，再利用列舉法求出古典概型的概率即可．【詳解】（1）因為第三?四?五組的頻率之和為0.7，所以，解得，所以前兩組的頻率之和為，即，解得；（2）由（1）知，平均數(shù)為；前兩組頻率之和為0.3，前三組頻率之和為0.75，所以中位數(shù)位于組內(nèi)，且，即分位數(shù)為69.4；（3）第四?五兩組志愿者分別有20人，人，故按照分層抽樣抽得第四組志愿者人數(shù)為4，分別設(shè)為第五組志愿者人數(shù)為1，設(shè)為，這5人選出2人，所有情況有，共10種，其中選出的2人來自同一組的有，共6種，所以選出的2人來自同一組的概率為.17．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）甲第二次答題通過面試，則第一次面試未通過，利用分步用乘法即可計算出概率.（Ⅱ）利用對立事件求出乙最終未通過面試的概率，再用1減去未通過面試的概率即得通過的概率.（Ⅲ）利用對立事件求出甲、乙兩人都未通過面試的概率，再用1減去甲、乙兩人都未通過面試的概率即得甲、乙兩人至少有一人通過面試的概率.【詳解】（Ⅰ）設(shè)甲第二次答題通過面試為事件，則．（Ⅱ）設(shè)乙最終通過面試為事件，對立事件為乙最終沒通過面試，∵，∴．（Ⅲ）設(shè)甲、乙兩人至少有一人通過面試為事件，對立事件為甲、乙兩人都沒有通過面試，∵，∴．18．【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角形外心的定義和向量數(shù)量積的幾何意義對條件化簡，然后利用正弦定理邊化角，整理化簡可得；（2）先求外接圓半徑，結(jié)合（1）和正弦定理將三角形周長表示為角C的三角函數(shù)，由正弦函數(shù)性質(zhì)可得.【詳解】（1）過點O作AB的垂線，垂足為D，因為O是的外心，所以D為AB的中點所以，同理所以，由正弦定理邊化角得：所以整理得：因為，所以所以，即又，所以，得（2）記外接圓的半徑為R，因為外接圓的周長為，所以，得所以周長由（1）知，所以因為，所以所以所以，即所以周長的取值范圍為19．【答案】(1)證明見解答(2)(3)存在，【分析】（1）取的中點，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可求解；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解平面與平面的夾角，即可求解；（3）設(shè)，利用空間向量法求解與平面的夾角，從而求