/內蒙古自治區通遼市2023-2024學年高一下冊7月期末考試數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．如圖所示的頻率分布直方圖呈現右拖尾形態，則根據此圖作出以下判斷，正確的是（

）A．眾數<中位數<平均數 B．眾數<平均數<中位數C．中位數<平均數<眾數 D．中位數<眾數<平均數2．已知一組數據，，，，的方差是，那么另一組數據，，，，的方差是（

）．A．1 B．2 C． D．43．如圖所示，在正方形中，為的中點，為的中點，則（

）

A． B．C． D．4．已知，是兩個不重合的平面，，是兩條不同的直線，則下列命題正確的是（

）A．若，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則5．從一批產品（既有正品也有次品）中隨機抽取三件產品，設事件A=“三件產品全不是次品”，事件B=“三件產品全是次品”，事件C=“三件產品有次品，但不全是次品”，則下列結論中不正確的是（

）A．A與C互斥 B．B與C互斥C．A，B，C兩兩互斥 D．A與B對立6．如圖，為了測量河對岸的塔高，某測量隊選取與塔底在同一水平面內的兩個測量基點與．現測量得米，在點處測得塔頂的仰角分別為，則塔高（

）A．米 B．米 C．米 D．米7．已知向量，滿足，且，的夾角為，則與的夾角為（

）A． B． C． D．8．已知圓錐的頂點為，母線長為2，軸截面為，若為底面圓周上異于的一點，且二面角的大小為，則的面積為（

）A．2 B．3 C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．（多選）新式茶飲是指以上等茶葉通過萃取濃縮液，再根據消費者偏好，添加牛奶、堅果、檸檬等小料調制而成的飲料．如圖為2022年我國消費者購買新式茶飲的頻次扇形圖及月均消費新式茶飲金額的條形圖．

根據所給統計圖，下列結論中正確的是（

）A．每周都消費新式茶飲的消費者占比不到90%B．每天都消費新式茶飲的消費者占比超過20%C．月均消費新式茶飲50～200元的消費者占比超過50%D．月均消費新式茶飲超過100元的消費者占比超過60%10．設復數，則下列命題結論正確的是（

）A．的虛部為1B．C．在復平面內對應的點在第四象限D．是方程的根11．如圖，在正方體中，若為棱的中點，點在側面（包括邊界）上運動，且∥平面，下面結論正確的是（

）A．點的運動軌跡為一條線段B．直線與所成角可以為C．三棱錐的體積是定值D．若正方體的棱長為1，則平面與正方體的截面的面積為三、填空題（本大題共3小題）12．在一個實驗中，某種豚鼠被感染A病毒的概率均為，現采用隨機模擬方法估計三只豚鼠中被感染的概率：先由計算機產生出之間整數值的隨機數，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示沒有被感染.經隨機模擬產生了如下20組隨機數：192

907

966

925

271

932

812

458

569

683257

393

127

556

488

730

113

537

989

431據此估計三只豚鼠中至少一只被感染的概率為.13．在中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若，，，則．14．陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一．圖1是一種木陀螺，可近似地看作是一個圓錐和一個圓柱的組合體，其直觀圖如圖2所示，其中分別是上、下底面圓的圓心，且，現有一箱這種的陀螺共重（不包含箱子的質量），陀螺的密度為（取3）．則該箱中有這樣的陀螺個．如果要給這箱陀螺的每個表面涂上一種特殊的顏料，則共需涂顏料四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在四棱錐中，是正方形，平面，，分別是的中點．(1)求證：；(2)求證：平面平面．16．甲、乙、丙三人組成一個小組代表學校參加一個“詩詞大會”闖關活動團體賽.三人各自獨立闖關，在第一輪比賽中甲闖關成功的概率為，甲、乙都闖關成功的概率為，甲、丙都闖關成功的概率為，每人闖關成功記分，三人得分之和記為小組團體總分.(1)求乙、丙各自闖關成功的概率；(2)求在第一輪比賽中團體總分為分的概率；(3)若團體總分不小于分，則小組可參加下一輪比賽，求該小組參加下一輪比賽的概率.17．某省將實行“”高考模式，為讓學生適應新高考的賦分模式，某校在一次校考中使用賦分制給高三年級學生的生物成績進行賦分，具體賦分方案如下：先按照考生原始分從高到低按比例劃定A，B，C，D，E共五個等級，然后在相應賦分區間內利用轉換公式進行賦分，A等級排名占比，賦分分數區間是86～100；B等級排名占比，賦分分數區間是71～85；C'等級排名占比，賦分分數區間是56～70；D等級排名占比，賦分分數區間是41～55；E等級排名占比，賦分分數區間是30～40；現從全年級的生物成績中隨機取100學生的原始成績（未賦分）進行分析，其頻率分布直方圖如圖所示：

(1)求圖中a的值，并求抽取的這100名學生的原始成績的眾數、平均數和中位數；(2)用樣本估計總體的方法，估計該校本次生物成績原始分不少于多少分才能達到賦分后的B等級及以上（含B等級）？（結果保留整數）(3)若采用分層抽樣的方法，從原始成績在和內的學生中共抽取5人，查看他們的答題情況來分析知識點上的缺漏，再從中選取2人進行調查分析，求這2人中恰有一人原始成績在）內的概率．18．如圖，平面平面是等腰直角三角形，，四邊形ABDE是直角梯形，分別為的中點．(1)求證：平面；(2)求直線BO和平面所成角的正弦值；(3)能否在EM上找一點，使得平面ABDE？若能，請指出點的位置，并加以證明;若不能，請說明理由．19．請從：①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答．（如未作出選擇，則按照選擇①評分）在中，，，分別是角，，的對邊，若________，(1)求角的大小；(2)若角的平分線長為1，且，求外接圓的面積；(3)若為銳角三角形，，求的取值范圍．

答案1．【正確答案】A【詳解】由頻率分布直方圖知，數據組的眾數為左起第2個小矩形下底邊中點值，顯然在過該中點垂直于橫軸的直線及左側的矩形面積和小于0.5，則眾數<中位數，由頻率分布直方圖呈現右拖尾形態，得中位數<平均數，所以眾數<中位數<平均數.故選：A2．【正確答案】B【分析】根據數據關系得方差關系，即可求解.【詳解】因為數據，，，，的方差是數據，，，，的方差的4倍，所以數據，，，，的方差是.故選B.3．【正確答案】A【分析】根據向量加法及數乘向量運算求解即可.【詳解】.故選A.4．【正確答案】A【分析】根據線面、面面及線線關系逐項判斷即可.【詳解】對于A，若，，，可將平移至相交直線，由公理3推論2，確定一個平面，由線面垂直的性質可得的交線垂直于平面，進而得到垂直于和的交線，且和的交線與或其平行線能圍成矩形，由面面垂直的定義，可得，所以A正確；對于B，若，，，當都平行于的交線，則條件滿足，則相交成立，所以B錯誤；對于C，若，，，則可能平行、可能異面、可能相交，所以C錯誤；對于D，若，，，則可能平行、可能異面、可能相交，所以D錯誤.故選A.5．【正確答案】D【分析】隨機抽取三件產品，得出總事件，再分別得出事件A，事件B，事件C包含的事件，再由互斥事件及對立事件的定義即可判斷出結果.【詳解】隨機抽取三件產品，總事件中包含“0件次品，3件正品”，“1件次品，2件正品”，“2件次品，1件正品”，“3件次品，0件正品”事件A=“三件產品全不是次品”即“0件次品，3件正品”，事件B=“三件產品全是次品”即“3件次品，0件正品”，事件C=“三件產品有次品，但不全是次品”即“1件次品，2件正品”，“2件次品，1件正品”由互斥事件的定義知：A，B，C兩兩互斥，故ABC正確；由互斥事件的定義知：A與B互斥，但是A與B的和事件不是總事件，故A與B對立不是對立事件，故D錯誤.故選D.【關鍵點撥】關鍵根據是互斥事件及對立事件的定義即可判斷出結果.6．【正確答案】A【分析】設該塔的高度為米，由題意，根據同角的商關系可得，結合余弦定理計算即可求解.【詳解】設該塔的高度為米，則．在中，，即，由，解得，即塔高為30米.故選A.7．【正確答案】D【分析】先求得，然后根據夾角公式求得正確答案.【詳解】設，，，，，，設向量與的夾角為，，因為，所以．故選D.8．【正確答案】A【分析】記為的中點，即可求出,，取的中點，連接，從而得到二面角的平面角為，即可求出,，再由勾股定理求出，即可得解.【詳解】如圖所示，記為的中點，則垂直于底面，所以，又，所以，取的中點，連接，顯然有，即二面角的平面角為，即，又，，，則，的面積為.故選A.9．【正確答案】BC【分析】根據統計圖一一分析選項即可.【詳解】每周都消費新式茶飲的消費者占比,A錯誤；每天都消費新式茶飲的消費者占比，B正確；月均消費新式茶飲50～200元的消費者占比，C正確；月均消費新式茶飲超過100元的消費者占比,D錯誤．故選BC.10．【正確答案】BCD【分析】利用復數的概念及運算就可以作出判斷.【詳解】由，可得：，所以的虛部為，即A錯誤；由，可知，即B正確；由可知在復平面內對應的點在第四象限，即C正確；由方程的根為，即D正確；故選BCD.11．【正確答案】ACD【分析】不妨設正方體的棱長為1，對于A：可證平面∥平面，進而可知，即可得結果；對于B：分析可知直線與所成角為，且，分析的長度即可；對于C：分析可知∥平面，根據平行的定值結合錐體體積公式分析判斷；對于D：分析可知平面與正方體的截面為四邊形，求長度即可得面積.【詳解】不妨設正方體的棱長為1，對于選項A：取的中點，連接，由題意可知：∥，且，可知為平行四邊形，則∥，又因為分別為的中點，則∥，可得∥，且平面，平面，可得∥平面，因為分別為的中點，則∥，且，又因為∥，且，可得∥，且，可知為平行四邊形，則∥，且平面，平面，可得∥平面，由，平面，可得平面∥平面，若∥平面，可知平面，且側面，側面平面，可知，所以點的運動軌跡為一條線段，故A正確；對于選項B：因為點的運動軌跡為線段，則直線與所成角為，因為側面，側面，則，在中，，又因為，則有：當為線段的中點時，取到最小值；當為線段的端點時，取到最大值；則，即，可知，故B錯誤；對于選項C：由選項A可知：平面∥平面，且平面，則∥平面，且，可知點到平面的距離為定值，即三棱錐的高為定值，且的面積為定值，所以三棱錐的體積是定值，故C正確；對于選項D：取的中點，連接，因為分別為的中點，則∥，由選項A可知：∥，則∥，所以平面與正方體的截面為四邊形，由題意可知：，則等腰梯形的高，所以截面的面積為，故D正確；故選ACD.【關鍵點撥】本題的關鍵在于證明平面∥平面，結合面面平行的性質分析點的運動軌跡，進而逐項分析求解.12．【正確答案】0.75/【分析】先求出三只豚鼠都沒被感染的隨機數的組數求出其概率，再根據對立事件的概率性質即可得出三只豚鼠中至少一只被感染的概率.【詳解】由題意，事件三只豚鼠中至少一只被感染的對立事件為三只豚鼠都沒被感染，隨機數中滿足三只豚鼠都沒被感染的有907，966，569，556，989共5個，故三只豚鼠都沒被感染的概率為，則三只豚鼠中至少一只被感染的概率為.故/.13．【正確答案】【詳解】故答案為.14．【正確答案】40【分析】根據給定條件，利用圓錐、圓柱的體積公式、表面積公式求出一個陀螺的體積及表面積即可求解.【詳解】由，得，圓錐部分的體積為，圓柱部分的體積為，則一個陀螺的體積為，質量為，所以該箱中共有陀螺個；由圖知，，則圓錐的側面積為，圓柱側面積為，底面面積為，因此一個陀螺的表面積為，則，所以給這箱陀螺的每個表面涂上顏料共需涂的顏料.故40；.15．【正確答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由平面，得，再根據線面垂直的判定定理和性質定理得證（2）由證明平面，由證明平面，再由面面平行的判定定理證明即可.【詳解】（1）由平面，得，又(是正方形)，，所以平面，所以.（2）由分別是線段的中點，所以，又為正方形，，所以，又平面，所以平面.因為分別是線段的中點，所以，又平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.16．【正確答案】(1)(2)(3)【分析】（1）設乙闖關成功的概率為，丙闖關成功的概率為，其中甲闖關成功的概率為，甲、乙都闖關成功的概率為，甲、丙都闖關成功的概率為，根據獨立事件同時發時的概率公式列出方程組即可．（2）團體總分為4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人過關，而另外一人沒過關，根據獨立事件發生時的概率公式寫出概率，把所有的概率值相加即可；（3）團體總分不小于4分，即團體總分為4分或6分，由（2）可知總分是4分的概率，只要再求出總分是6分的概率即可，團體總分為6分，即3人都闖關成功，列式即可．【詳解】（1）三人各自獨立闖關，其中甲闖關成功的概率為，甲、乙都闖關成功的概率為，甲、丙都闖關成功的概率為，設乙闖關成功的概率為，丙闖關成功的概率為，根據獨立事件同時發時的概率公式得，解得，即乙闖關成功的概率為，丙闖關成功的概率為.（2）團體總分為4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人過關，而另外一人沒過關，設“團體總分為4分”為事件，則，即團體總分為4分的概率；（3）團體總分不小于4分，即團體總分為4分或6分，設“團體總分不小于4分”為事件，由（2）可知團體總分為4分的概率，團體總分為6分，即3人闖關都成功的概率為，所以參加下一輪比賽的概率為，即該小組參加下一輪比賽的概率為.17．【正確答案】(1)，眾數為分，中位數為分，平均數為分.(2)74分(3)【分析】（1）由各組頻率之和為1列方程求解即可；由頻率分布直方圖中眾數、平均數和中位數的計算公式代入即可得出答案；（2）已知等級達到B及以上所占排名等級占比為，即為頻率分布直方圖的中位數，求解即可.（3）列出所有基本事件及滿足要求的基本事件，由古典概型概率公式即可得解.【詳解】（1），所.抽取的這100名學生的原始成績的眾數的估計值為分；由頻率分布直方圖可得前三組的頻率和為，前四組的頻率和為，故中位數落在第四組，設中位數為x，則，解得，故抽取的這100名學生的原始成績的中位數的估計值為分，抽取的這100名學生的原始成績的平均數的估計值為：分；（2）由已知等級達到B及以上所占排名等級占比為，由（1）可得，中位數，故原始分不少于74分才能達到賦分后的B等級及以上．（3）由題知得分在和內的頻率分別為0.1和0.15，則抽取的5人中，得分在內的有2人，得分在的有3人記得分在內的3位學生為a，b，c，得分在內的2位學生為D，E，則從5人中任選2人，樣本空間可記為，共包含10個樣本，用A表示“這2人中恰有一人得分在內”，則，A包含6個樣本，故所求概率.18．【正確答案】(1)證明見解析；(2)；(3)存在，是中點.【分析】（1）取AC中點F，連接，可證四邊形是平行四邊形，再利用直線與平面平行的判定定理進行證明，即可解決問題.（2）連接，求出，再利用等體積法求出點到平面的距離即可得解.（3）取中點，連接，通過證明平面，再證明即可求解．【詳解】（1）取中點，連接，如圖，由是中點，為中點，得且，又且，則，，即四邊形是平行四邊形，于是，又平面，平面，所以平面．（2）連接，由，得，而平面平面，平面平面，而平面，則平面，于是平面，，由，為中點，得，又平面平面，平面平面，平面，則平面，而平面，于是，又，，，設點到平面的距離為，由，得，解得，又，則，設直線BO和平面所成的角為，，所以直線BO和平面所成角的正弦值為.（3）當是中點時，平面,取中點，連接，而為