1、最新資料推薦一元二次方程的解法(直接開平方法、配方法、 公式法和分解法)一元二次方程定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數為2的整式方程叫做一元二次方程。一般形式：ax2+bx+c=0 (a, b, c為常數，x為未知數，且a*。)。頂點式：y=a(x-h)2+k(a w0,a h、k 為常數)交點式：y=a(x-x?)(x-x?) (a w0)有交點A (x?, 0)和B (x?, 0)的拋物線，即b2-4ac>0.直接開平方法：直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n(n>0)的方程，其解為x二m±配方法：1 .將

2、此一元二次方程化為ax2+bx+c=0的形式(此一元二次方程滿足有實根)2 .將二次項系數化為13 .將常數項移到等號右側4 .等號左右兩邊同時加上一次項系數一半的平方5 .將等號左邊的代數式寫成完全平方形式6 .左右同時開平方7 .整理即可得到原方程的根公式法：1 .化方程為一般式：ax2+bx+c=0 (aw 0)2 .確定判別式，計算 A (=b2-4ac);3 .若A >0,該方程在實數域內有兩個不相等的實數根：x=若A =0,該方程在實數域內有兩個相等的實數根:x ?=x?=若A <0,該方程在實數域內無實數根因式分解法：因式分解法又分 提公因式法”；而公式法”(又分 平

3、方差公式”和完全平方公式 兩種)，另外還有千字相乘法”，因式分解法是通過將方程左邊因式分解所得， 因式分解的內容在八年級上學期學完。用因式分解法解一元二次方程的步驟1 .將方程右邊化為0;2 .將方程左邊分解為兩個一次式的積；3 .令這兩個一次式分別為0,得到兩個一元一次方程；4 .解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.用待定系數法求二次函數的解析式(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：y=ax2+bx+c(a*0)。(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸或極大(小)值時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h) 2+k(a 豐 0

4、)。(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x- x?(x- x?)(a w0)。增減性當a>0且y在對稱軸右側時，y隨x增大而增大，y在對稱軸左側則相反，同增同減。當a<0且y在對稱軸右側時，y隨x增大而減小，y在對稱軸左側則相反，大小小大。常用公式總結：T 士廿-4cY 25G xrx2 = a 一、根據判別式，討論一元二次方程的根。例1 :已知關于*的方程（1） 1-（1-羽工- 3 = 0有兩個不相等的實數根，且關于”的方程（2）工二一2工十2d 1 = 0沒有實數根，問s取什么整數時，方程 （1）有整數解？分析：在同時滿足方程（1）

5、, （2）條件的高的取值范圍中篩選符合條件的 小的整 數值。解：方程（1）有兩個不相等的實數根，13-明廣,解得乩9；方程（2）沒有實數根,解得口）1；1131 。 于是，同時滿足方程（1） , （2）條件的Q的取值范圍是4其中，出的整數值有以=2或虞二3當口=2時，方程（1）為/+33+1 = ° ,無整數根；當口 = ?時，方程（1）為五+%： + 6 = 0 ,有整數根。解得：-：-所以，使方程（1）有整數根的厘的整數值是厘二。說明：熟悉一元二次方程實數根存在條件是解答此題的基礎，正確確定 口的取值范 圍，并依靠熟練的解不等式的基本技能和一定的邏輯推理，從而篩選出 厘=3 ,這

6、也正 是解答本題的基本技巧。二、判別一元二次方程兩根的符號。例1：不解方程，判別方程2/1+3才一了= 0兩根的符號。分析：對于厘/ +白工+二三°缶=0）來說，往往二次項系數，一次項系數，常數項皆為已知，可據此求出根的判別式，但只能用于判定根的存在與否，若判定根的 正負，則需要確定演,電 或五十七的正負情況。因此解答此題的關鍵是：既要求出判別 式的值，又要確定 j*或% + /的正負情況。解：二心犬 +弘-7=0弓4X2X(7) =65>0:方程有兩個不相等的實數根。設方程的兩個根為巧，弓 ,7 “戶蔡<0原方程有兩個異號的實數根。10說明：判別根的符號，需要把“根的判

7、別式”和“根與系數的關系”結合起來進行確定，另外由于本題中 公 馬<0,所以可判定方程的根為一正一負；倘若>0,仍需考慮的正負，方可判別方程是兩個正根還是兩個負根。三、已知一元二次方程的一個根，求出另一個根以及字母系數的值。例2:已知方程五一6盤+煙2陰+ 5 的一個根為2,求另一個根及m的值。分析:此題通常有兩種解法：一是根據方程根的定義，把元=2代入原方程，先求出 逃的值,再通過解方程辦法求出另一個根；二是利用一元二次方程的根與系數的關系求出另一個根及雁的值。解法一：把冗=2代入原方程，得：27-6x2十療-2加+ 5 = 0即城2出3 = 0,解得 %=-1當胞。=3,用!3

8、=-1時，原方程均可化為：丁-6工十8二0解得：演=2,勺=4:方程：？ 一 6萬十加二一2加+5 = 0的另一個根為 牝端的值為3或一1 解法二：設方程的另一個根為七， 根據題意，利用韋達定理得: 玉+與二Y-6二6 占七二加,一2腐+5玉=2, .把叫=2代入演十三二Y-6) = 6 ,可得：% = 4:把g 二 d代入位電二桁一2泗+5 ,可得：洞？-2腑+ 5=8 ,即附2 2叫一孑=0解得、,、一:方程/_6笊+明二-2陰+5 = 0的另一個根為4,端的值為3或一1。說明：比較起來，解法二應用了韋達定理，解答起來較為簡單。例3:已知方程'+及附-2)訃物+4=°有兩

9、個實數根，且兩個根的平方和比兩根的積大21,求/的值。分析：本題若利用轉化的思想，將等量關系“兩個根的平方和比兩根的積大21”轉化為關于酒的方程，即可求得施的值。解：方程有兩個實數根，=_4xl冥"+4)30 ,解得醒0設方程兩根為%' 4 ;則瓦f =伽7，*”網+4瓦+一片.=21.(占+工力一樂.二21. 一2（冽- 2），一 頁W?+4） = 21整理得:m1 - 16-17 = 0解得:叫=17 ,嗎=-1又二物至0, .僧=-1說明：當求出叼=17，嗎=-后，還需注意隱含條件續工0 ,應舍去不合題意的溶二17 四、運用判別式及根與系數的關系解題。例5：已知巧、勺是

10、關于二的一元二次方程410的兩個非零實數根，問工】和七能否同號？若能同號，請求出相應的 端的取值范圍；若不能同號，請說 明理由，解：因為關于牙的一元二次方程4犬*虱取-1"*陰=。有兩個非零實數根，:則有&=%冽-1）-4無4加=-駝陽+ 16之口 ：又.馬、向是方程可工+4（加”=。的兩個實數根，所以由一元二次方程根與 系數的關系，可得：<0 / > 0，勺 >0-（楙-1） <01 3m2 > 014,解不等式組得假設工】、/同號，則有兩種可能： （1）工二。q + x3 <0若口丑，則有：卜勺 ；即有:;2時方程才有實樹根，：此種情況

11、不成立。（情 1） > 0入十三0d1 n>0若%>口，/>0，則有“占；即有：4，解不等式組，伊cl蹣 W /92 < 又:£, 當2時，兩根能同號說明：一元二次方程根與系數的關系深刻揭示了一元二次方程中根與系數的內在聯系，是分析研究有關一元二次方程根的問題的重要工具，也是計算有關一元二次方程根的計算問題的重要工具。知識的運用方法靈活多樣，是設計考察創新能力試題的良好載體， 在中考中與此有聯系的試題出現頻率很高，應是同學們重點練習的內容。六、運用一元二次方程根的意義及根與系數的關系解題。例：已知鼻、尸是方程X； +2式-5 = 0的兩個實數根，求口二4

12、 M42a的值。分析：本題可充分運用根的意義和根與系數的關系解題，應摒棄常規的求根后，再帶入 的方法，力求簡解。解法一：由于#是方程，+2工的實數根，所以斤42產一5 = 0設，+即+為三M ,蘇斗加+力與戌+2/-5相加，得：M =劃+ (戌+2 戶 Y)=(a2 + .?)+ 2(口+ -a浜-5=(口4河口+23+0)一班_5 (變形目的是構造S +廣和口5)根據根與系數的關系，有：”產=-2, 0R7 ,得：M = (-2)2(-2)-(-5) = 4-4 + 5-5=0- 11=0解法二：由于乙、尸是方程V+2x-5 = 0的實數根，. Q +尸=-2說明：既要熟悉問題的常規解法，也

13、要隨時想到特殊的簡捷解法，是解題能力提高的重 要標志，是努力的方向。有關一元二次方程根的計算問題，當根是無理數時，運算將十 分繁瑣，這時，如果方程的系數是有理數，利用根與系數的關系解題可起到化難為易、 化繁為簡的作用。這類問題在解法上靈活多變，式子的變形具有創造性，重在考查能力， 多年來一直受到命題老師的青睞。七、運用一元二次方程根的意義及判別式解題。例8：已知兩方程一一戰1 + 5+陰=°和/一。加+ 1)»1如+7,°至少有一個相同的實數根，求這兩個方程的四個實數根的乘積。分析：當設兩方程的相同根為 段時，根據根的意義，可以構成關于 口和洞的二元方程 組，得解

14、后再由根與系數的關系求值。解：設兩方程的相同根為鼻，根據根的意義，有a：一桁金+5+加=0和藤4了=0兩式相減，得1 "'當6次+ 1=。時，I不，方程的判別式、.1158二(一俎3 -4(+ 5) = (-/ -4(-+5) = - - <06636 3方程無實數解2（6檔+1）_C-L 1=1 £_當6瞰時，有實數解6例+1代入原方程，得2'除榮2十5十腑二0 ,所以微=9于是，兩方程至少有一個相同的實數根，4個實數根的相乘積為(5 + 加)(13依 + 7) = M X 12d = 1736說明：（1）本題的易錯點為忽略對6附+ 1=0的討論和判

15、別式的作用，常常除了犯有默認6附+1 = °的錯誤，甚至還會得出并不存在的解:1酬二一一當6瞰-1=0時，6 ,兩方程相同，方程的另一根也相同，所以 4個根的相乘積1OQ為：一841兆.5（2）既然本題是討論一元二次方程的實根問題，就應首先確定方程有實根的條件:A1-一倒尸一41甥+與三- 20 > 0且二-I：一一 另外還應注意：求得的 臉的值必須滿足這兩個不等式才有意義。一、填空題：1、如果關于式的方程, 十 了十巾=0的兩根之差為2,那么上=_。2、已知關于龍的一元二次方程（口？_1）_一色+】+ = 0兩根互為倒數，則 巨_。113 3、已知關于立的方程儲一 3煙,+

16、“楸-11= 0的兩根為玉、三，且均 為 4 ,則耀=。 j 24、已知不、犯是方程2儲-7工一4二0的兩個根，那么：工1 +=_；&+1）（均+1）=小f 匕5、已知關于汽的一元二次方程加/ 一4工6二0的兩根為F和/,且用+為=-2 ,則襁=.（4+/）*' =_06、如果關于K的一元二次方程 / +口的一個根是1-廄，那么另一個根是，值的值為_07、已知2 + jj是4工十上二0的一根，則另一根為k的值為_。8、一個一元二次方程的兩個根是 2 +加 和2-痛，那么這個一元二次方程為：_。二、求值題：1、已知石、町是方程次一T = 0的兩個根，利用根與系數的關系，求工E +

17、 公工小 的值。2、已知用、人是方程短21-1二。的兩個根，禾!j用根與系數的關系，求（三廠-1）的 值。3、已知毛、町是方程2y+弓內4=口的兩個根，利用根與系數的關系，求甬yj+rj引的值。4、已知兩數的和等于 6,這兩數的積是4,求這兩數。5、已知關于x的方程2一（冽-1M+刖+ 1 =。的兩根滿足關系式工廠% = 1 ,求喇的 值及方程的兩個根。6、已知方程/+袍+ 4 = 0和工'-（第- 2）x-16 = 0有一個相同的根，求陶的值及這個 相同的根。三、能力提升題：1、實數比在什么范圍取值時，方程七一一次心防一 1）二。有正的實數根？1+（附- 2）耳+ 附- 3 = 02、已知關于龍的一元二次方程2（1）求證：無論膽取什么實數值，這個方程總有兩個不相等的實數根。（2）若這個方程的兩個實數根 勺