1、學習好資料歡迎下載2.3.1向量數量積的物理背景與定義教材說明平面向量數量積具有代數與幾何的雙重性質，因此所涉及的內容較為廣泛，如方程、不等式等代數問題；夾角、距離、面積、平行、垂直等幾何問題。平面向量數量積是數學中知識與能力的載體，是數學上的一個重要工具之一，值得一提的是在教材的后續兩章的學習中，對三角函數內容中某些問題的處理都是借助向量的數量積來解決的，這正體現了平面向量數量積的工具性，在解決代數與幾何問題中都有著很強的實用性。課型新授課課時1課時（練習共2課時）學情分析在學習平面向量數量積之前，學生已學習了平面向量的概念、向量的線性運算及向量的基本定理與坐標表示等有關內容，這為過渡到本節

2、的學習起了鋪墊作用；在后繼知識的學習中，是據此內容用向量代數方法進一步研究了平面圖形的有關性質。本節以力對物體做功作為背景，研究平面向量的數量積。但是，學生作為初學者不清楚向量數量積是數量還是向量，尋找兩向量的夾角又容易想當然，以及對運算律的理解和平面向量的數量積的靈活應用。通過情景創設、探究和思考引導學生認知、理解并掌握相關的內容。利用向量數量積運算討論一些幾何元素的位置關系、距離和角，這些刻畫幾何元素（點、線、面）之間度量關系的基本量學生容易混淆。利用數量積運算來反映向量的長度和兩個向量間夾角的關系解決問題，是學生學習本節內容的重點又是難點。由向量的線性運算遷移、引申到向量的乘法運算這是個

3、很自然的過渡，深入淺出、符合學生的認知規律，也有利于明確本節課的教學任務，激發學生的學習興趣和求知欲望。教學內容分析教學的主要內容：以物體受力做功為背景引入數量積的概念，使向量數量積運算與物理知識聯系起來；向量數量積與向量的長度及夾角的關系；進一步探究兩個向量的夾角對數量積符號的影響及有關的性質、幾何意義和運算律。學習好資料歡迎下載教材的編寫的特點：本節內容安排在普通高中課程標準實驗教科書數學必修4»(B版)第二章、第3節第1課時。它是平面向量的核心內容，向量的平行、垂直關系是向量間最基本、最重要的位置關系，而向量的夾角、距離又是向量的重要數量特征，向量的數量積恰好是解決問題的一個重

4、要工具。教學目標知識與技能：(1)理解平面向量數量積的含義及其物理意義；(2)掌握向量數量積的性質和運算律，會進行平面向量數量積的運算；(3)能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個向量的垂直關系過程與方法：通過向量的線性運算及多項式乘法運算的對照，強化學生的類比思想情感態度與價值觀：通過數量積的性質、運算律的靈活應用，發展學生從特殊到一般的認知能力，培養學生學習的主動性和合作交流的學習習慣教學重點和難點重點：平面向量的數量積的概念和性質；用平面向量數量積表示向量的模及向量的夾角；平面向量數量積的運算律的探究及應用.難點：難點是平面向量的數量積的定義及對運算律的探究、理解；平面向量數

5、量積的靈活應用。教學策略選擇與設計高中數學課程標準指出：“有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式”，轉變學生的學習方式，激發學生的學習積極性，讓學生樂于參與到探索性和創造性的學習活動中來，這是新課程數學教學的基本要求。高中數學課程標準還明確提出了提高學生的知識與技能、重視學生的學習過程與方法，培養學生的情感態度、價值觀的三維目標。為此，結合本節課的教學內容，教學中注重過程、方法，注重引導學生自覺去看書，不斷提出問題，研究問題，并解決問題。重視在師生，生生互動、交流的過程中滲透情感態度與價值觀。教學資源與手段資源：三角板，彩粉筆，電腦，多

6、媒體。學習好資料歡迎下載手段：通過師生互動，共同探討生成新知，更加有助于學生探究能力的培養教學過程設計教學環節教學過程師生活動1、給出有關材料并提出問題問題1:6表示一個么角?(1)如圖所示，一物體在力位移S,那么力F所做的功:F的作用下產生scose(2)這個公式有什么特點？請完成下列填空：W(功)是S(位移)是,F(力)是量,:,e是提問學生易答：表示力F的方向與位移s的方向的夾角創設學生熟悉的問題情景，將學生自然的帶入到課堂的教學內容中來。(3)你能用文字語言表述“功的計算公式”嗎？答：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積學生容易得到，學生可(1)探究兩個向量的夾角的定義。問題2:你能指

7、出下列圖中兩向量的夾角嗎？探究問題能會出現兩種答對于易錯點加以形成定義問題3:對于兩個非零向量a,b,你能給出它們夾角的定義嗎？案，教師給予指學生思考回答，教師予以補充，關鍵是點出兩向量起點相同，并給出夾角符號a,b強調。學習好資料歡迎下載問題4:思考向量夾角的范圍探究問題有了問題2的鋪墊，學生容易得出0H«兀,教師強疝同向時為0,反向時為冗.教師補充：(1)當陽I=時，向量a與2.向量b4相產直，記作a_b.通過提問，由學生自己生成定義，印象更為深刻。問題5:Fcose表示什么?(2)探究向量b在a方向B產影*問題6：對于兩個非零向量a,b,向量b在向量a方向上的投影為什么？你能從

8、圖中作出b在a方向上的投影嗎？(2)在討論垂直問題時規定：零向量與任一向量垂直.生答：力F在位移方向上的分量師補充：我們把Fcos9稱為力F在位移S方向上的投影師學共作向量b在a方向上的投影圖象。由師生合作共同完成，拉近師生距離，增進師生感情。學習好資料歡迎下載（3）探究a與b的數量積.問題7:F（力）是量，S（位移）是量,w（功）是一量一探究問題，形成定義O/ba/(£ocbh-L4a.b-STajrb8a義服作：定記即j,r，一一一一一ab）叫做a與b的數重積（或內積），對上述物理意義下的“功”概念進行抽象，將公式中的力與位移步廣割一般向量a與b。金'來規由a|b|cos

9、/abj的含義？可少，不可與成ab.以上兩個環節都是從物理模型中抽象出我們要研究的概念，通過具體問題引領學生得到精確定義，且由形到數的研究方法符合認知規律。由于課標中明確要求“體會平面向量的數量積與向量投影的關系”，因此我舍棄B版教材中向量在軸上的正射影和向量在軸上的數量兩個概念，而選用其他版本的投影的概念。問題8:向量數量積的運算與線性運算的結果有什么不同？學生回答。夾角9的范圍。吟Q=-2<6<ji2411ab的符號若a,b是非零向量，設夾角為9,完成下表:學生自己動手完成表格。通過此問題不僅使學生認識到數量積的結果與線性運算的結果有著本質的不同，而且認識到向量的夾角是決定數量

10、積結果的重要因素，為下面更好地理解數量積的性質作好鋪墊。問題9:根據投影的概念，數量積cosi；a,b）的幾何意義如何？（板書四）通過此問題讓學生從“形”的角度重新認識數量積的概念，從中體會數量積與向量投影的關系學習好資料歡迎下載探究問題，形成定義問題10:請同學們用一句話來概括功的數學本質：功是力與位移的數量積(板書五)學生回答。數量積的概念是由物理中功的概念引出的，學習了數量積的概念后，學生就會明白功的數學本質就是力與位移的數量積。練習鞏固，總結性質練習1:已知a*h1ab.i=8，匕F二4(ab)"三，求i1.jIi1_KN_J7已知a=3,b=2,(ab)=0,不ab.LJA

11、已知a=3,b=2,(兄)=n，求aib.已知ca=4,t*)=2,(ab)=,求44ab.*4n已知ca=7,tb=1,(ab)=一，求ab.I、4巴矢口ab=5,ab=10，求ab.問題11:(1)嘗試將練習中的的結論推廣到一般向量，你能得到哪些結論？(2)比較1a4與目b的大小，你能得到什么結論？性質：當214同向/&ab=la|b|；當a與b反向時，b=-郵卜特別地a-a=慟同=|aj即|a|=42求長度。學生作答學生討論是為了鞏固數量積定義，分別設置了同向、反向、垂直的兩個向量，為學生總結性質做I好鋪墊，b為單位向量時，44*a-b即為a在b方向上的投影，是讓學生學會使用數量

12、積表示角，體會數量積的初步應用學習好資料歡迎下載a1b=：)a，b=0且a，b=0=a1b-證垂直。如果e是單位向量，則a.ea,e即向量a與單位向量e的數量積就是向量a在向量e方向上的投影.在學生討論交流的基礎上，教師進一步明晰數量積的性質，證明留待課后學生嘗試加以證明。cos:.abab求夾角.ab|<|a本環節通過學生動手實踐，一是鞏固數量積定義，二是滲透由特殊到一般的思維方法，培養學生歸納概括的能力辨析質疑初步應用通過（1）使學生在與向量的線性運算、實數乘法運算比較的基礎上全面認識數量積這一重要運算.練習2:（1）判斷正誤，并簡要說明理由. a0=0； 0a=0； ab=ab；若

13、a#0,則對任一非零b有a，b¥0；一3a，b=0,則a與b中至少有一個為0；IIa與b是兩個單位向量，則而=曲.1一*右a#0,a，b=aci（Jb=c.(2)已知ABC,定=a,C=b,當a-b<0或a匕=0時，試判斷ABC的形狀通過（2）使學生感受數量積在三角形中的應用價值。學習好資料歡迎下載小結提升1、本節課我們學習的主要內容是什么？2、平面向量數量積的基本應用是什么？3、你收獲r哪些研究問題的方法？通過小結使學生進一步理解和貫通本節課所學內容。板書設計向量數量積的物理背景與定義，共起點一、a與b的夾角4練習<a,b*0,n11二、b在a方向上的投影11三、a與b的數量