1、第一章第一章 建立數學模型建立數學模型1.1 從現實對象到數學模型從現實對象到數學模型1.2 數學建模的重要意義數學建模的重要意義1.3 數學建模示例數學建模示例1.4 數學建模的方法和步驟數學建模的方法和步驟1.5 數學模型的特點和分類數學模型的特點和分類1.6 怎樣學習數學建模怎樣學習數學建模玩具、照片、飛機、火箭模型玩具、照片、飛機、火箭模型 實物模型實物模型水箱中的艦艇、風洞中的飛機水箱中的艦艇、風洞中的飛機 物理模型物理模型地圖、電路圖、分子結構圖地圖、電路圖、分子結構圖 符號模型符號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、籠統、提煉

2、出來的原型的替代物進行簡縮、籠統、提煉出來的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征1.1 從現實對象到數學模型從現實對象到數學模型我們常見的模型我們常見的模型你碰到過的數學模型你碰到過的數學模型“航行問題航行問題”用用 x x 表示船速，表示船速，y y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速每小時答：船速每小時2020千米千米/ /小時小時. .甲乙兩地相距甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需千米，船從甲到乙順水航行需30小時，小時，從乙到甲逆水航行需從乙到甲逆水航行需50小時，問

3、船的速度是多少小時，問船的速度是多少?x =20y =5求解求解航行問題建立數學模型的基本步驟航行問題建立數學模型的基本步驟 作出簡化假設船速、水速為常數）；作出簡化假設船速、水速為常數）； 用符號表示有關量用符號表示有關量x, y表示船速和水速）；表示船速和水速）； 用物理定律勻速運動的距離等于速度乘以用物理定律勻速運動的距離等于速度乘以 時間列出數學式子二元一次方程）；時間列出數學式子二元一次方程）； 求解得到數學解答求解得到數學解答x=20, y=5）；）； 回答原問題船速每小時回答原問題船速每小時20千米千米/小時）。小時）。數學模型數學模型 (Mathematical Model)

4、和和數學建模數學建模Mathematical Modeling)對于一個現實對象，為了一個特定目的，對于一個現實對象，為了一個特定目的，根據其內在規律，作出必要的簡化假設，根據其內在規律，作出必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。建立數學模型的全過程建立數學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數學模型數學模型數學數學建模建模1.2 數學建模的重要意義數學建模的重要意義 電子計算機的出現及飛速發展；電子計算機的出現及飛速發展； 數學以空前的廣度和深度向一切領域滲透。數學以空前的廣度和深度向一切領域滲

5、透。數學建模作為用數學方法解決實際問題的第一步，數學建模作為用數學方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。越來越受到人們的重視。 在一般工程技術領域數學建模仍然大有用武之地；在一般工程技術領域數學建模仍然大有用武之地； 在高新技術領域數學建模幾乎是必不可少的工具；在高新技術領域數學建模幾乎是必不可少的工具； 數學進入一些新領域，為數學建模開辟了許多處女地。數學進入一些新領域，為數學建模開辟了許多處女地。數學建模的具體應用數學建模的具體應用 分析與設計分析與設計 預報與決策預報與決策 控制與優化控制與優化 規劃與管理規劃與管理數學建模計算機技術知識經濟知識經濟如虎添翼如虎添翼1.3 數學

6、建模示例數學建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放穩嗎椅子能在不平的地面上放穩嗎問題分析問題分析模模型型假假設設通常通常 三只腳著地三只腳著地放穩放穩 四只腳著地四只腳著地 四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形連線呈正方形; 地面高度連續變化，可視為數學上的連續地面高度連續變化，可視為數學上的連續曲面曲面; 地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。只腳同時著地。模型構成模型構成用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來 椅子位置椅子位置利用正方形利

7、用正方形(椅腳連線椅腳連線)的對稱性的對稱性xBADCODC B A 用用 (對角線與對角線與x軸的夾角軸的夾角)表示椅子位置表示椅子位置 四只腳著地四只腳著地距離是距離是的函的函數數四個距離四個距離(四只腳四只腳)A,C 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 f()B,D 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 g()兩個距離兩個距離 椅腳與地面距離為零椅腳與地面距離為零正方形正方形ABCD繞繞O點旋轉點旋轉正方形正方形對稱性對稱性用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來f() , g()是連續函是連續函數數對任意對任意 , f( ), g(

8、 )至少一個為至少一個為0數學數學問題問題知：知： f() , g()是連續函數是連續函數 ; 對任意對任意， f() g()=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在證明：存在0，使，使f(0) = g(0) = 0.模型構成模型構成地面為連續曲面地面為連續曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只腳著地至少三只腳著地模型求解模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法給出一種簡單、粗糙的證明方法將椅子旋轉將椅子旋轉900，對角線，對角線AC和和BD互換。互換。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f(/2)=0 , g(/2)0.令令h()= f()g(), 則則h(0)0和和

9、h(/2)0.由由 f, g的連續性知的連續性知 h為連續函數為連續函數, 據連續函數的基本性據連續函數的基本性質質, 必存在必存在0 , 使使h(0)=0, 即即f(0) = g(0) .因為因為f() g()=0, 所以所以f(0) = g(0) = 0.評注和思考評注和思考建模的關鍵建模的關鍵 假設條件的本質與非本假設條件的本質與非本質質 考察四腳呈長方形的椅子考察四腳呈長方形的椅子 和和 f( ), g( )的確定的確定1.3.2 商人們怎樣安全過河商人們怎樣安全過河問題問題( (智力游戲智力游戲) ) 3名商人名商人 3名隨從名隨從隨從們密約隨從們密約, , 在河的任一在河的任一岸岸

10、, , 一旦隨從的人數比商一旦隨從的人數比商人多人多, , 就殺人越貨就殺人越貨. .但是乘船渡河的方案由商人決定但是乘船渡河的方案由商人決定. .商人們怎樣才能安全過河商人們怎樣才能安全過河? ?問題分析問題分析多步決策過程多步決策過程決策決策 每一步每一步( (此岸到彼岸或彼岸到此岸此岸到彼岸或彼岸到此岸) )船上的人員船上的人員要求要求 在安全的前提下在安全的前提下( (兩岸的隨從數不比商人多兩岸的隨從數不比商人多),),經有經有限步使全體人員過河限步使全體人員過河. .河河小船小船(至多至多2人人)模型構成模型構成xk第第k次渡河前此岸的商人數次渡河前此岸的商人數yk第第k次渡河前此岸

11、的隨從數次渡河前此岸的隨從數xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk)過程的狀態過程的狀態S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允許狀態集合允許狀態集合uk第第k次渡船上的商人數次渡船上的商人數vk第第k次渡船上的隨從數次渡船上的隨從數dk=(uk , vk)決策決策D=(u , v) u+v=1, 2 允許決策集合允許決策集合uk, vk=0,1,2; k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k狀態轉移律狀態轉移律求求dkD(k=1,2, n), 使使skS, 并并按轉移律由按轉移律由 s1=(

12、3,3)到達到達 sn+1=(0,0).多步決策多步決策問題問題模型求解模型求解xy3322110 窮舉法窮舉法 編程上機編程上機 圖解法圖解法狀態狀態s=(x,y) 16個格點個格點 10個個 點點允許決策允許決策 移動移動1或或2格格; k奇奇,左下移左下移; k偶偶,右上移右上移.s1sn+1d1, ，d11給出安全渡河方給出安全渡河方案案評注和思考評注和思考規格化方法規格化方法, ,易于推廣易于推廣考慮考慮4名商人各帶一隨從的情況名商人各帶一隨從的情況d1d11允許狀態允許狀態S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2背景背景 年

13、年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 2019人口人口(億億) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增長概況世界人口增長概況中國人口增長概況中國人口增長概況 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 2019 2000人口人口(億億) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口變化規律研究人口變化規律控制人口過快增長控制人口過快增長1.3.3 如何預報人口的增長如何預報人口的增長指數增長模型指數增長模型馬爾薩斯提出馬爾薩斯提出 (1798) (1798)常用的計算公式常用的計算公式kkrxx)1 (

14、0 x(t) 時刻時刻t的人口的人口基本假設基本假設 : 人口人口(相對相對)增長率增長率 r 是常數是常數trtxtxttx)()()(今年人口今年人口 x0, 年增長率年增長率 rk年后人口年后人口0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0trx)1 (0隨著時間增加，人口按指數規律無限增長隨著時間增加，人口按指數規律無限增長指數增長模型的應用及局限性指數增長模型的應用及局限性 與與19世紀以前歐洲一些地區人口統計數據吻合世紀以前歐洲一些地區人口統計數據吻合 適用于適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長預測可用于短

15、期人口增長預測 不符合不符合19世紀后多數地區人口增長規律世紀后多數地區人口增長規律 不能預測較長期的人口增長過程不能預測較長期的人口增長過程1919世紀后人口數據世紀后人口數據人口增長率人口增長率r r不是常數不是常數( (逐漸下降逐漸下降) )阻滯增長模型阻滯增長模型(Logistic(Logistic模型模型) )人口增長到一定數量后，增長率下降的原因：人口增長到一定數量后，增長率下降的原因：資源、環境等因素對人口增長的阻滯作用資源、環境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數量增加而變大且阻滯作用隨人口數量增加而變大假設假設) 0,()(srsxrxrr固有增長率固有增長率(x很小

16、時很小時)xm人口容量資源、環境能容納的最大數量）人口容量資源、環境能容納的最大數量）)1 ()(mxxrxrr是是x的減函數的減函數mxrs 0)(mxrrxdtdx)1 ()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmx txxxemmrt( )()110tx0 x(t)S形曲線形曲線, x增加先快后慢增加先快后慢x0 xm/2阻滯增長模型阻滯增長模型(Logistic(Logistic模型模型) )參數估計參數估計用指數增長模型或阻滯增長模型作人口用指數增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數預報，必須先估計模型參數 r 或或 r, xm 利用統計數據用最小二乘

17、法作擬合利用統計數據用最小二乘法作擬合例：美國人口數據單位例：美國人口數據單位百萬）百萬） 1860 1870 1880 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4專家估計專家估計阻滯增長模型阻滯增長模型(Logistic(Logistic模型模型) )r=0.2557, xm=392.1模型檢驗模型檢驗用模型計算用模型計算2000年美國人口，與實際數據比較年美國人口，與實際數據比較/ )1990(1)1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx實際為實際為281.4 (百萬百萬)5 .274)200

18、0(x模型應用模型應用預報美國預報美國20192019年的人口年的人口加入加入2000年人口數據后重新估計模型參數年人口數據后重新估計模型參數Logistic 模型在經濟領域中的應用模型在經濟領域中的應用(如耐用消費品的售量如耐用消費品的售量)阻滯增長模型阻滯增長模型(Logistic(Logistic模型模型) )r=0.2490, xm=434.0 x(2019)=306.0 數學建模的基本方法數學建模的基本方法機理分析機理分析測試分析測試分析根據對客觀事物特性的認識，根據對客觀事物特性的認識，找出反映內部機理的數量規律找出反映內部機理的數量規律將對象看作將對象看作“黑箱黑箱”,通過對量測

19、數據的通過對量測數據的統計分析，找出與數據擬合最好的模型統計分析，找出與數據擬合最好的模型機理分析沒有統一的方法，主要通過實例研究機理分析沒有統一的方法，主要通過實例研究 (Case Studies)(Case Studies)來學習。以下建模主要指機理分析。來學習。以下建模主要指機理分析。二者結合二者結合用機理分析建立模型結構用機理分析建立模型結構,用測試分析確定模型參數用測試分析確定模型參數1.4 數學建模的方法和步驟數學建模的方法和步驟 數學建模的一般步驟數學建模的一般步驟模型準備模型準備模型假設模型假設模型構成模型構成模型求解模型求解模型分析模型分析模型檢驗模型檢驗模型應用模型應用模模

20、型型準準備備了解實際背景了解實際背景明確建模目的明確建模目的搜集有關信息搜集有關信息掌握對象特征掌握對象特征形成一個形成一個比較清晰比較清晰的的問題問題模模型型假假設設針對問題特點和建模目的針對問題特點和建模目的作出合理的、簡化的假設作出合理的、簡化的假設在合理與簡化之間作出折中在合理與簡化之間作出折中模模型型構構成成用數學的語言、符號描述問題用數學的語言、符號描述問題發揮想像力發揮想像力使用類比法使用類比法盡量采用簡單的數學工具盡量采用簡單的數學工具 數學建模的一般步驟數學建模的一般步驟模型模型求解求解各種數學方法、軟件和計算機技術各種數學方法、軟件和計算機技術如結果的誤差分析、統計分析、如結果的誤差分析、統計分析、模型對數據的穩定性分析模型對數據的穩定性分析模型模型分析分析模型模型檢驗檢驗與實際現象、數據比較，與實際現象、數據比較，檢驗模型的合理性、適用性檢驗模型的合理性、適用性模型應用模型應用 數學建模的一般步驟數學建模的一般步驟數學建模的全過程數學建模的全過程現實對象的信息現實對象的信息數學模型數學模型現實對象的解答現實對象的解答數學模型的解答數學模型的解答表述表述求解求解解釋解釋驗證驗證(歸納)(演繹)表述表述求解求解解釋解釋驗