1、直線、平面垂直的直線、平面垂直的判定及其性質判定及其性質2.3主要內容2.3.2 平面與平面垂直的判定2.3.3 直線與平面垂直的性質2.3.1 直線與平面垂直的判定2.3.4 平面與平面垂直的性質直線與平面垂直的直線與平面垂直的判定判定2.3.1復習復習1 1 旗桿與地面的位置關系旗桿與地面的位置關系觀察觀察線面垂直線面垂直大橋的橋柱與水面的位置關系大橋的橋柱與水面的位置關系思考思考1直線和平面垂直直線和平面垂直旗桿與地面中的直線的位置關系如何？旗桿與地面中的直線的位置關系如何？ 將一本書打開直立在桌面上，將一本書打開直立在桌面上， 觀察書脊觀察書脊（想象成一條直線）與桌面的位置關系呈什么（

2、想象成一條直線）與桌面的位置關系呈什么狀態？此時書脊與每頁書和桌面的交線的位置狀態？此時書脊與每頁書和桌面的交線的位置關系如何？關系如何？思考思考2 2思考思考3 3一條直線與一平面垂直的特征是什么？一條直線與一平面垂直的特征是什么？ 特征：直線垂直于平面內的任意一條直線特征：直線垂直于平面內的任意一條直線BACBC直線和平面垂直直線和平面垂直 如果直線 l 與平面內的任意一條直線都垂直，我們說直線 l 與平面 互相垂直.定義定義lP平面平面 的垂線的垂線直線直線 l 的垂面的垂面垂足垂足平面內任意一平面內任意一條直線條直線l記為 如果一條直線垂直于一個平面內的無數條直線，那么這條直線是否與這

3、個平面垂直？思考思考4 4l如圖，準備一塊三角形的紙片，做一個試驗： 過ABC的頂點A翻折紙片，得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD，DC于桌面接觸） （1）折痕AD與桌面垂直嗎？ （2）如何翻折才能使折痕AD與桌面所在平面垂直ABCDABCD探究探究ABCDABCD 當且僅當折痕當且僅當折痕AD AD 是是BC BC 邊上的高時，邊上的高時，AD AD 所在所在直線與桌面所在平面直線與桌面所在平面垂直垂直 （1）有人說，折痕AD所在直線與桌面所在平面 上的一條直線垂直，就可以判斷AD 垂直平面 ，你同意他的說法嗎？ABCDABCD （2）如圖，由折痕 ，翻折之后垂直關系不變，

4、， 由此你能得到什么結論？BCAD CDAD BDAD 思考思考5線面垂直的判定線面垂直的判定 判定定理判定定理 一條直線與一個平面內的一條直線與一個平面內的兩條兩條相交相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直直線都垂直，則該直線與此平面垂直balAal bl abAbal作用：作用：判定直線與平面垂直判定直線與平面垂直直線與平面垂直直線與平面垂直直線與直線垂直直線與直線垂直思想：思想： 例1. 如圖，已知 ，求證 aba,/.bbamn根據直線與平面垂直的定義知.,nama又因為ab/所以.,nbmb又又nmnm,是兩條相交直線，所以.b證明：在平面 內作 兩條相交直線m，n因為直線 ，a 例2

5、 已知：正方體中，AC是面對角線，BD是與AC 異面的體對角線. 求證：ACBDABDCA B CD證明：連接證明：連接BDBD因為正方體因為正方體ABCD-ABCD所以所以DDDD平面平面ABCDABCD又因為又因為所以所以因為因為ACAC、BD BD 為對角線為對角線所以所以ACACBDBD因為因為DDDDBD=DBD=D所以所以ACAC平面平面DDBDDB所以所以ACACBDBDABCDAC平面ABDCABCDDDAC 例3 在三棱錐P-ABC中，PA平面ABC，ABBC，PA=AB，D為PB的中點，求證：ADPC.PABCD 如圖，直四棱柱 （側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四

6、邊形 滿足什么條件時， ？ABCDDCBAABCDDBCAAABBCCDD答：底面四邊形答：底面四邊形ABCDABCD對角線相互垂直對角線相互垂直探究探究直線與平面垂直的判定定理可簡述為“線線垂直，則線面垂直”小結小結 通過直線間的垂直，推證直線與平面垂直，即將直線與平面的垂直關系（空間問題）轉化為直線間的垂直關系（平面問題）.思想方法 前面討論了直線與平面垂直的問題，那么直線與平面不垂直時情況怎么樣呢？問題提出問題提出直線與平面所成的角直線與平面所成的角第第2課時課時線面角相關概念線面角相關概念P斜線PA與平面所成的角為PABl平面的斜線A斜足A斜線PA在平面內的射影垂足BB平面的垂線1.1

7、.斜線與平面所成的角是指斜線和它在平面上的斜線與平面所成的角是指斜線和它在平面上的射影所成的角射影所成的角)90, 0(02.2.平面的垂線與平面所成的角為直角平面的垂線與平面所成的角為直角3. 3. 一條直線與平面平行或在平面內，則這一條直線與平面平行或在平面內，則這條直線與平面所成的角的條直線與平面所成的角的0 00 0角角一條直線與平面所成的角的取值范圍是一條直線與平面所成的角的取值范圍是90, 00 例1 在正方體ABCD-A1B1C1D1中. （1）求直線A1B和平面ABCD所成的角； （2）求直線A1B和平面A1B1CD所成的角.D1 1ABA1 1CB1 1C1 1DO 例2 如

8、圖，AB為平面的一條斜線，B為斜足，AO平面，垂足為O，直線BC在平面內，已知ABC=60，OBC=45，求斜線AB和平面所成的角.ABCOD 如圖，BAD為斜線AB與平面所成的角，AC為平面內的一條直線，那么BAD與BAC的大小關系如何？DCABBAD BACE解：作BOAD于O，BEAC于E， 則 BDBEsinBADsinBAC思考思考1o 兩條平行直線與同一個平面所成的角的大小關系如何？反之成立嗎？一條直線與兩個平行平面所成的角的大小關系如何？思考思考2 1. 1.兩條平行直線在同一個平面內的射影可能兩條平行直線在同一個平面內的射影可能是哪些圖形？是哪些圖形？ 2. 2.兩條相交直線在

9、同一個平面內的射影可能兩條相交直線在同一個平面內的射影可能是哪些圖形？是哪些圖形？ 3. 3.兩條異面直線在同一個平面內的射影可能兩條異面直線在同一個平面內的射影可能是哪些圖形？是哪些圖形？思考思考3 3小結小結1. 直線與平面的位置關系可以用直線與平面所成的角來度量. 線面垂直和線面平行是特殊情況.2. 斜線與平面所成的角是該斜線與平面內任意直線所成角中最小的角.3. 求一斜線與平面所成的角的關鍵是找出該斜線在平面內的射影.作業P67練習1，2，3 平面與平面垂直的判定平面與平面垂直的判定2.3.2衛星軌道面地球赤道面概念概念 直線上的一點將直線分割成兩部分，每一部分都叫做射線. 平面上的一

10、條直線將平面分割成兩部分，每一部分叫半平面.半平面半平面半平面半平面射線射線射線射線概念概念 從一點出發的兩條射線，構成平面角. 同樣,從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.m記為：二面角-m-記作AOBABO二面角的圖示二面角的記號二面角的記號（1）以直線 為棱，以 為半平面的二面角記為： ll,（2）以直線AB為棱，以 為半平面的二面角記為： , ABlAB思考思考3 3兩個相交平面有幾個二面角？如何用平面角來表示二面角的大小？如何用平面角來表示二面角的大小？探究探究lO OA AB BlO OA AB B二面角-l-二面角的

11、平面角 以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.平面角平面角AOBAOB即即為二面角為二面角-AB-AB-的的 注意：二面角的平面角必須滿足： （1）角的頂點在棱上. （2）角的兩邊分別在兩個面內. （3）角的邊都要垂直于二面角的棱. 二面角的取值范圍0180,000，或0度角180度角l001800 例1.在正方體中，找出二面角C1-AB-C的平面角，并指出大小.B1C1D1A1ABCDMN 例2 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B1-AC-B的正切值.A AA A1 1B BC CD DB B1 1C C1 1D

12、 D1 1O 例3 如圖所示，河堤斜面與水平面所成二面角為300，堤面上有一條直道CD，它與堤角的水平線AB的夾角為450 ，沿這條直道從堤腳C向上行走10m到達E處，此時人升高了多少m？A AB BC CD DE EOF F小結二面角的平面角的作法：小結二面角的平面角的作法：1.1.定義法：定義法：根據定義作出來根據定義作出來. .2.2.作垂面：作垂面：作與棱垂直的平面與兩半平面作與棱垂直的平面與兩半平面的交線得到的交線得到. .3.3.應用三垂線定理：應用三垂線定理：應用三垂線定理或其逆定理作應用三垂線定理或其逆定理作出來出來. .oABoAoABBllll第2課時定義 一般地，兩個平面

13、相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.aAb記為 判定定理：判定定理：如果一個平面經過另一個平面的如果一個平面經過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直垂線，則這兩個平面垂直aAaa 面 面面垂直面面垂直線面垂直線面垂直線線垂直線線垂直 例1 如圖，O在平面內，AB是O的直徑， PA，C為圓周上不同于A、B的任意一點，求證：平面PAC平面PBC. P PA AB BC CO O證明證明: :,PABC面面BCPA為圓的直徑又ABBCAC PAACABCPAC面PACPBC面面BCPBC面PABCACBCPAPACACPAC面面 例2 在四面體ABCD中，已知ACBD, BA

14、C= CAD=45，BAD=60，求證：平面ABC平面ACD.A AB BC CD DE E 例例3 3 如圖，四棱錐如圖，四棱錐P-ABCDP-ABCD的底面為矩形，的底面為矩形，PAPA底底面面ABCDABCD，PA=ADPA=AD，M M為為ABAB的中點，求證：平面的中點，求證：平面PMCPMC平平面面PCD.PCD.P PA AB BC CD DM ME EF F,ABBCD BCCD已知面請問哪些平面互相垂直的,為什么?ABCBCD面面ABCACD面面ABDBCD面面ABBCD面CDABC面ABBCD面探究：ABCD小結1. 知識小結 1）二面角及其平面角 2）兩個平面互相垂直 2

15、. 思想方法面面垂直線線垂直線面垂直作業P69練習P73習題2.3 A，1，2，3，4.直線與平面垂直的直線與平面垂直的性質性質2.3.32.3.3直線與平面垂直的判定定理是什么？直線與平面垂直的判定定理是什么？復習復習直線與平面垂直的定義是什么？直線與平面垂直的定義是什么？a aa思考思考1 如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直線與底面ABCD的位置關系如何？它們彼此之間具有什么位置關系？A AA A1 1B BC CD DB B1 1C C1 1D D1 1思考2 如果直線a，b都垂直于同一條直線l，那么直線a，b的位置關系如何？ab blab b

16、lab b l相交平行異面思考思考3 如果直線a，b都垂直于平面，那么a與b一定平行嗎？abab垂直于同一個平面的兩條直線平行/aabb直線與平面垂直的性質定理直線與平面垂直直線與平面垂直b bO Oab bc性質定理的證明反證法證明： 例1 如圖，已知 于點A， 于點B， 求證： .,l C AC B,aaA B/alA AB BC Cla小結 直線與平面垂直的性質定理可簡述為直線與平面垂直的性質定理可簡述為“線面垂直，則線線平行線面垂直，則線線平行”思想方法 線面垂直的性質定理不但提供了用線面垂直來證明線線平行的方法，也提供了作平行線的一種方法.“線面垂直，則線線垂直線面垂直，則線線垂直”

17、作業P71練習1，2P73習題2.3 A組，5，6. B組1，2平面與平面垂直的性質平面與平面垂直的性質2.3.42.3.4復習復習1 1ll兩個平面相互垂直三個平面兩兩垂直兩個平面垂直的判定如果一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直復習復習2l 1.黑板所在平面與地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直線與地面垂直？若存在，怎樣畫線？ 2.如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，平面A1ADD1與平面ABCD垂直，其交線為AD，直線A1A，D1D都在平面A1ADD1內，且都與交線AD垂直，這兩條直線與平面ABCD垂直嗎？A AA A1 1B BC CD DB B1 1C C1 1D D1 1 3. 設 ， ,垂足為B，那么直線AB與平面的位置關系如何？為什么？CD,CDABAB,A AB BD DC CE E 性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直.面面垂直面面垂直線面垂直線面垂直aAllaala 若，過平面內一點A作平面的垂線a，那么垂線a與平面具有什么樣的位置關系?B BA AB反證法證明點B在兩個平面的交線上注意：過一點只能作一條直線垂直于已知平面.結論B BA A 如果兩個平面互相垂直，那么經過一個平面內一點且垂直于另一個平面的直線，必在這個平面內. 例1.如圖，已知，a，a，試判斷直線l與平面的位置關系，并說明