1、第第24講講 波函數波函數 薛定諤方程薛定諤方程波函數波函數薛定諤方程薛定諤方程定態薛定諤方程定態薛定諤方程一維無限深勢井一維無限深勢井波函數波函數微觀粒子的運動狀態稱為微觀粒子的運動狀態稱為量子態量子態，是用，是用波函數波函數 來描述的，這個波函數所反映的微觀粒子波動性，來描述的，這個波函數所反映的微觀粒子波動性，就是德布羅意波。（量子力學的基本假設之一）就是德布羅意波。（量子力學的基本假設之一） ),(tr玻恩指出：玻恩指出：德布羅意波或德布羅意波或波函數波函數 不代表實際不代表實際物理量的波動，而是描述物理量的波動，而是描述粒子在空間的概率分布的粒子在空間的概率分布的概率波。概率波。 )

2、,( tr自由粒子的波函數 自由粒子的能量和動量為常量，其波函數所描述的德布羅意波是平面波。不是常量，其波函數所描述的德布羅意波就不是平面波。對于處在外場作用下運動的非自由粒子，其能量和動量外場不同，粒子的運動狀態及描述運動狀態的波函數也不相同。微觀客體的運動狀態可用波函數來描述，這是量子力學的一個基本假設。 設描述粒子運動狀態的波函數為 ，則 空間某處波的強度與在該處發現粒子的概率成正比；在該處單位體積內發現粒子的概率（概率密度）與 的模的平方成正比。是的共軛復數德布羅意波又稱 概率波概率波波函數又稱 概率幅概率幅取比例系數為1，即1926 年提出了對 波函數的統計解釋因概率密度故在 矢端的

3、體積元 內發現粒子的概率為 在波函數存在的全部空間 V 中必能找到粒子，即在全部空間 V 中 粒子出現的概率為1。此條件稱為 波函數的歸一化條件滿足歸一化條件的波函數稱為 歸一化波函數波函數具有統計意義，其函數性質應具備三個標準條件：波函數的三個標準條件：連續因概率不會在某處發生突變，故波函數必須處處連續；單值因任一體積元內出現的概率只有一種，故波函數一定是單值的；有限因概率不可能為無限大，故波函數必須是有限的；以一維波函數為例，在下述四種函數曲線中，只有一種符合標準條件符合不符合不符合不符合德布羅意波（概率波）不同于 經典波（如機械波、電磁波）德布羅意波經 典 波是振動狀態的傳播不代表任何物

4、理量的傳播波強（振幅的平方）代表通過某點的能流密度波強（振幅的平方）代表粒子在某處出現的概率密度概率密度分布取決于空間各點波強的比例，并非取決于波強的絕對值。能流密度分布取決于空間各點的波強的絕對值。 因此，將波函數在空間各點的振幅同時增大 C倍，不影響粒子的概率密度分布，即 和C 所描述德布羅意波的狀態相同。 因此，將波函數在空間各點的振幅同時增大 C倍，則個處的能流密度增大 C 倍，變為另一種能流密度分布狀態。波函數存在歸一化問題。波函數存在歸一化問題。波動方程無歸一化問題。波動方程無歸一化問題。某粒子的波函數為歸一化波函數概率密度概率密度最大的位置令求積分得：積分得：得得 到到 歸歸 一

5、一 化化 波波 函函 數數 ：概率密度得得令求極大值的求極大值的 x 坐標坐標解得解得另外兩個解另外兩個解處題設處題設處處最大薛定諤方程薛定諤方程經典力學牛頓力學方程根據初始條件可求出經典質點的運動狀態經典質點有運動軌道概念不考慮物質的波粒二象性量子力學 針對物質的波粒二象性微觀粒子無運動軌道概念運動狀態波函數量子力學方程是否存在一個根據某種條件可求出微觀粒子的1925年德國物理學家薛定諤提出的非相對論性的量子力學基本方程獲獲19331933年諾貝爾物理學獎年諾貝爾物理學獎它的波函數 所滿足的方程為當其運動速度遠小于光速時質量為 的粒子在勢能函數為 的勢場中運動 它反映微觀粒子運動狀態隨時間變

6、化的力學規律，又稱含時薛定諤方程。式中， 為哈密頓算符，（能量算符）ttxExmi),(2p22則一維運動粒子的則一維運動粒子的含時薛定諤方程含時薛定諤方程 若粒子在勢能為若粒子在勢能為 的勢場中運動的勢場中運動pkEEEpE定態薛定諤方程定態薛定諤方程定態波函數定態波函數：能量算符能量算符薛定諤方程薛定諤方程其概率密度與時間無關所描述的狀態。它的重要特點是：所謂“定態”，就是波函數具有 形式定態波函數中的 稱為 振幅函數（有時直稱 為波函數）。的函數形式也應滿足統計的條件連續、單值、有限的標準條件；歸一化條件；對坐標的一階導數存在且連續（使定態薛定諤方程成立）。 若已知勢能函數 ，應用定態薛

7、定諤方程可求解出 ，并得到定態波函數續上一維無限深勢阱粒子在某力場中運動，若力場的勢函數 U 具有下述形式該勢能函數稱作一維無限深勢阱。 應用定態薛定諤方程可求出運動粒微觀系統中，有關概率密度、能量這是一個理想化的物理模型，子的波函數，有助于進一步理解在量子化等概念。一維無限深勢井一維無限深勢井續上求解阱內阱外只有因及要連續、有限，薛定諤方程才成立，在阱外故粒子在無限深勢阱外出現的概率為零。 設質量為 的微觀粒子，處在一維無限深勢阱中，該勢阱的勢能函數為阱外阱內建立定態薛定諤方程一維問題續上求解求定態薛定諤方程的通解阱內即令得此微分方程的通解為其三角函數表達形式為式中 和 為待定常數根據標準條

8、件確定常數和并求能量 的可能取值以及在邊界 和處又因得的取值應與阱外 連續，邊界處的故得及時阱內 不合理 舍去的負值和正值概率密度相同。同一取得續求解求歸一化定態波函數由上述結果阱外阱內及得應滿足歸一化條件得積分歸一化定態波函數概率密度勢阱問題小結能量量子化極不明顯，可視為經典連續。間距太小間距太小在微觀粒子可能取如，電子9.110 31 kg處在寬度 10 - - 10 m ( 原子線度)的勢阱中算得 37.7 eV能量量子化明顯處在寬度 10 2 m ( 宏觀尺度)的勢阱中算得 37.7 10 - -15 eV 能量量子化是微觀世界的固有現象從能級絕對間隔看，從能級相對間隔看，則的各種能態

9、中，隨著 值增大，逐漸向經典過渡。一維無限深勢阱中的微觀粒子 （小結）能量 量子化稱 基態能或 零點能相鄰能級的能量間隔波函數好比駐波概率密度的 稱節點位置節點位置極大的 稱最概然位置最概然位置增大, ,節點數增多,最概然位置間隔變小。 很大，概率密度趨近經典均勻分布。例：例： 設質量為設質量為 m 的微觀粒子處在寬度為的微觀粒子處在寬度為 a 的一維無的一維無限深勢阱中，限深勢阱中，試求：試求：(1)粒子在粒子在 0 x a/4 區間中出區間中出現的幾率，并對現的幾率，并對 n = 1 和和 n = 的情況算出概率值。的情況算出概率值。(2)在哪些量子態上，在哪些量子態上，a/4 處的概率密

10、度最大？處的概率密度最大？xanax sin2)( 粒子出現在粒子出現在 0 x a/4 區間中的幾率為：區間中的幾率為：dxxPa240)( dxanaa 402sin2 2sin2141 nn 2141 P%9 41 P1 n 時，時， n 時時 ，解：解：(1) 已知已知xanax 22sin2)( 4sin2)(22aanax 4sin22 na 14sin2 n24 kn, 1 , 0 k24 kn(2) 4a處：處：最大時有：最大時有：,10, 6 , 2: n即即例：例： 設質量為設質量為 m 的微觀粒子處在寬度為的微觀粒子處在寬度為 a 的一維無的一維無限深勢阱中，限深勢阱中，試求：試求：(1)粒子在粒子在 0 x a/4 區間中出區間中出現的幾率，并對現的幾率，并對 n = 1 和和 n = 的情況算出概率值。的情況算出概率值。(2)在哪些量子態上，在哪些量子態上，a/4 處的概率密度最大？處的概率密度最大？勢壘粒子在某力場中運動，若力場的勢函數 U 具有下述形式該勢能函數稱作一維矩形勢壘。按經典力學觀點，在量子力學中，能量 的粒子不可能穿越勢壘。后才能下結論。應求解定態薛定諤方程隧道效應區區區 式中 得上述微分方程的解為設：一矩形勢壘的勢能函數 在勢函數定義的全部空間粒子的波函數都應滿足薛定諤方程一質量為 、能量為的