1、2.1 LTI連續系統的連續系統的經典時域分析法經典時域分析法2.2 LTI離散系統的離散系統的經典時域分析法經典時域分析法2.3 LTI連續系統的連續系統的單位沖激響應單位沖激響應2.4 LTI離散系統的離散系統的單位序列響應單位序列響應2.5 卷積卷積2.6 卷和卷和S一、一、 微分方程的經典解微分方程的經典解如果如果單輸入一單輸出單輸入一單輸出系統的系統的LTI連續系統激勵為連續系統激勵為f(t)，響應為，響應為y(t)，則系統的數，則系統的數學模型是學模型是n 階線性常系數微分方程。階線性常系數微分方程。nn(i )( j )iji 0j 0a y (t)b f(t) 該方程的該方程的

2、全解（系統的輸出全解（系統的輸出）由兩部分組成：）由兩部分組成：l 齊次解齊次解yh(t)l 非齊次特解非齊次特解yp(t)hpy(t )y (t )y (t )ai 和和bj 為常數，且為常數，且an=11、齊次解、齊次解yh(t)( n )( n 1 )n 110y(t )ay(t )a y (t )a y(t )0 的解的解nn 110aa0 齊次微分方程的特征根：特征方程的齊次微分方程的特征根：特征方程的 n 個根個根i (i=1，2，n) ； 齊次解齊次解yh(t)的函數形式由特征根確定；的函數形式由特征根確定；特征方程特征方程解：解：特征方程為特征方程為2560 特征根為特征根為1

3、22,3 求微分方程的齊次解，已知求微分方程的齊次解，已知: :( )5( )6( )( )ytyty tft(0)1,(0)1hhyy齊次解一般形式為齊次解一般形式為:12tt2t3th1212y (t )C eC eC eC e 代入初始條件得代入初始條件得:2t3th2y (t )4e3C eC1=4C2= -3得到齊次解得到齊次解:2、特解、特解yp(t)l 是是t0t0微分方程的一個解；微分方程的一個解；l 特解的函數形式特解的函數形式與與激勵函數（激勵函數（f(tf(t) )）的形式）的形式有關，有關，; ;l 選定特解后，將其代入到微分方程，求出各待定系數選定特解后，將其代入到微

4、分方程，求出各待定系數P Pi i3、完全解、完全解 微分方程的完全解是齊次解與特解之和。若微分方程的特征根微分方程的完全解是齊次解與特解之和。若微分方程的特征根均為單實根，則其全解為：均為單實根，則其全解為：inthpipi 1y(t )y (t )y (t )C ey (t ) 解解：（：（1 1）求齊次解）求齊次解齊次解一般形式：齊次解一般形式：12tt2t3th1212y (t )C eC eC eC e 求微分方程求微分方程 的全解的全解( )5( )6( )( )ytyty tft(0 )1,(0 )2,( )20tyyf tet 已知：已知：特征方程為：特征方程為：2560 12

5、2 ,3 (2) (2) 求特解求特解( )2( )ttpf teytPe代入原微分方程代入原微分方程562ttttPePePee1( )tpPyte(3) 求全解求全解12C3,C2 2t3tty(t )3e2ee 齊次解齊次解特解特解自由響應自由響應強迫響應強迫響應inthpipi 12t3tt12y(t )y (t )y (t )C ey (t )C eC ee inthpipi 12t3tt12y(t )y (t )y (t )Cey (t )C eC ee l 齊次解的函數齊次解的函數形式僅依賴于系統本身的形式僅依賴于系統本身的特性，與激勵特性，與激勵f(tf(t) )的函數形式無關

6、，稱為的函數形式無關，稱為系統的系統的自由響應或固有響應自由響應或固有響應。但。但齊次解的齊次解的系數系數C Ci i的值是與激勵的值是與激勵f(tf(t) )有關。有關。l 特解特解的函數形式由激勵信號的函數形式由激勵信號f(t)f(t)確定，確定，稱為稱為強迫響應強迫響應。 二、初始值的確定二、初始值的確定l 若輸入若輸入f(t) 是在是在t=0 時刻接入，怎么確定求時刻接入，怎么確定求待定系數待定系數所需的一組初始條件？所需的一組初始條件？l 初始條件初始條件：指：指 t=0+ 時刻的值，即時刻的值，即 y(j)(0+) (j = 0，1，n1)。l t =0 時，激勵尚未接入，時，激勵

7、尚未接入，t =0 時的值時的值y(j)( 0) 反映了系統過去的歷史狀況；反映了系統過去的歷史狀況；l t = 0+時，激勵已接入，因而時，激勵已接入，因而 y(j)(0+) 則已包含輸入信號的作用。則已包含輸入信號的作用。要求要求l 如何由已知的初始狀態如何由已知的初始狀態 y(j) ( 0)，設法求得初始條件，設法求得初始條件y(j) (0+)。問題問題解決方法解決方法初始值確定的兩種情況：初始值確定的兩種情況：l 若給定的是具體電路若給定的是具體電路，根據電路分析中的換路定律來確定，根據電路分析中的換路定律來確定t=0+初始條件；初始條件；l 若給定的是微分方程和初始條件若給定的是微分

8、方程和初始條件，根據激勵信號的情況，利用微分方程兩端，根據激勵信號的情況，利用微分方程兩端各各奇異信號相平衡奇異信號相平衡的方法來判斷；的方法來判斷；已知：已知：)()(, 1)0(, 2)0(ttfyy已知系統的微分方程為：已知系統的微分方程為：)()( 2)()( 4)( tftftytyty求求)0(y)0(y和和已知：已知：)()(, 2)0(, 0)0(ttfyy已知系統的微分方程為：已知系統的微分方程為：)(6)( 2)(2)( 3)( tftftytyty求求)0(y)0(y和和三、零輸入響應和零狀態響應三、零輸入響應和零狀態響應l LTI系統的完全響應系統的完全響應 y(t)

9、：可分解為：可分解為零輸入響應零輸入響應與與零狀態響應零狀態響應之和。之和。l 零輸入響應零輸入響應yx(t) ：激勵為零時，僅由系統的初始狀態所引起的響應；激勵為零時，僅由系統的初始狀態所引起的響應；l 零狀態響應零狀態響應yf(t)：系統初始狀態為零時，僅由輸入信號系統初始狀態為零時，僅由輸入信號 f(t) 所引起的響應；所引起的響應；( )( )( )xfy ty tytl 微分方程式是齊次方程，微分方程式是齊次方程，y yx x(t(t) )與齊次解與齊次解y yh h(t(t) )形式相同形式相同, ,是是齊次解的一部分齊次解的一部分；l 求解的待定系數直接由給定的求解的待定系數直接

10、由給定的t=0t=0- -初始狀態初始狀態y y(j)(j)(0(0-) )確定；確定；l 零輸入響應是齊次微分方程滿足初始狀態（或零輸入響應初值）的解零輸入響應是齊次微分方程滿足初始狀態（或零輸入響應初值）的解( n )( n 1 )n 110y(t )ay(t )a y (t )a y(t )0 1、零輸入響應、零輸入響應yx(t) 右端為零右端為零已知：已知：1)0(, 2)0(yy已知系統的微分方程為：已知系統的微分方程為：0)(2)( 3)( tytyty求零輸入響應求零輸入響應激勵信號：激勵信號：)()(2tetft已知微分方程為：已知微分方程為：)(2)(3)(5)(3)( 4)

11、( tftftftytyty求求: :系統的零狀態響應系統的零狀態響應y yf f(t(t) )沖激平衡法沖激平衡法l 自由響應與零輸入響應都是齊次解的形式，但它們的自由響應與零輸入響應都是齊次解的形式，但它們的系數系數并不相同；并不相同；l Cxi僅由初始狀態所決定；僅由初始狀態所決定；l Cfi僅由輸入激勵僅由輸入激勵f(t)所決定，所決定，l Ci是由是由起始狀態和激勵共同起始狀態和激勵共同決定。決定。其中，其中，)()()()()()()(111tyeCeCtyeCtytytytytypnitfinitxipnitifxphiiinitfinitxinitiiiieCeCeC111差分

12、方程的經典解分為差分方程的經典解分為齊次解齊次解yh(k)和和特解特解yp(k)。( )( )( )hpy kykyk00()()(1,)nmijnija y kib f kjamn n階常系數線性差分方程階常系數線性差分方程110()(1)(1)( )0ny knay kna y ka y k n階前向齊次差分方程階前向齊次差分方程 特解特解與激勵與激勵 f(k) 的形式相關，常見激勵的幾種形式和相應的響應形式如下表：的形式相關，常見激勵的幾種形式和相應的響應形式如下表：激勵激勵f(k)f(k)特解特解y yp p(k(k) )km Pmkm + Pm-1km-1 + P1k + P0 所有

13、特征根不等于所有特征根不等于1 krPmkm+ Pm-1km-1+ P1k1+ P0 r重等于重等于1的特征根的特征根ak P0ak a不等于特征根不等于特征根 P1kak+P0ak a等于特征單根等于特征單根 Prkrak+ Pr-1kr-1ak-1+ P1kak+ P0ak a是是r重特征根重特征根Acos(k)或或 Asin(k) P1cos(k)+P2sin(k) 所有的特征根均不等于所有的特征根均不等于e ej j 或或Pcos(k) 其中，其中， Pej=P2+jP2 kP1cos(k)+P2sin(k) 當特征根均等于當特征根均等于e ej j2、差分方程的特解、差分方程的特解

14、LTI差分方程的完全解：差分方程的完全解：3、差分方程的完全解、差分方程的完全解( )( )( )hpy ky kyk激勵信號：激勵信號：)(2)(kkfk已知某離散時間系統的差分方程為：已知某離散時間系統的差分方程為：)() 2(2) 1(3)(kfkykyky，y(0)=0，y(1)=2，求，求:系統的完全解。系統的完全解。LTI離散系統的全響應離散系統的全響應y(k)分為：分為： 零輸入響應零輸入響應yx(k) 和和零狀態響應零狀態響應yf (k) 。( )( )( )xfy ky kykl 零輸入響應零輸入響應yx(k) ：當激勵為零時完全由初始狀態所引起的系統響應；當激勵為零時完全由

15、初始狀態所引起的系統響應；l 零狀態響應零狀態響應yf (k) ：當初始狀態為零時完全由激勵當初始狀態為零時完全由激勵 f(t) 所引起的系統響應。所引起的系統響應。1、零輸入響應、零輸入響應yx(k) 用齊次解的經典求解方法求零輸入響應用齊次解的經典求解方法求零輸入響應10)(0nnixiaikya是齊次方程，是齊次方程，yx(k)與與 yh(k)具有相同的模式具有相同的模式描述某離散系統的差分方程為：描述某離散系統的差分方程為：(2) 5 (1) 6 ( )0y ky ky k初始條件為初始條件為 yx(0) = 2，yx(1) = 3, 試求其零輸入響應。試求其零輸入響應。2、零狀態響應

16、、零狀態響應yf(k) 以下通過舉例來說明經典法求解零狀態響應的方法：以下通過舉例來說明經典法求解零狀態響應的方法：描述某離散系統的差分方程為：描述某離散系統的差分方程為：已知：已知： , 試求其零狀態響應。試求其零狀態響應。)(2)(kkfk)()(1 . 0) 1(7 . 0) 2(kfkykykyl 自由響應與零輸入響應都是齊次解的形式，但它們的自由響應與零輸入響應都是齊次解的形式，但它們的系數系數并不相同；并不相同；l Cxi僅由初始狀態所決定；僅由初始狀態所決定；l Cfi僅由輸入激勵僅由輸入激勵f(t)所決定，所決定，l Ci是由是由起始狀態和激勵共同起始狀態和激勵共同決定。決定。

17、111nnnkkkiixiifiiiiiCCC其中，其中，)()()()()()()(111kyCCkyCkykykykykypnikifinikixipnikiifxph某離散系統的差分方程為：某離散系統的差分方程為：已知：已知： , 初始狀態初始狀態y(-1)=0， y(-2)=1/2，試求系統的全響應。試求系統的全響應。)(2)(kkfk)() 2(2) 1(3)(kfkykyky本節解決兩個問題：本節解決兩個問題：l 單位沖激響應和單位階躍響應的概念；單位沖激響應和單位階躍響應的概念；l h(t)的求取方法的求取方法零狀態零狀態系統系統f(t )(t ) fy (t)h(t) 注意：注

18、意：為方便起見，對單一零狀態系統進行討論時常常僅用為方便起見，對單一零狀態系統進行討論時常常僅用y(t)代表代表yf(t)。00y (t )a y(t )b f (t ) 00f (t )(t )h (t )a h(t )b(t ) 當當時時此方法適用于此方法適用于簡單電路簡單電路，前提是階躍響應，前提是階躍響應g(t)簡單易求。簡單易求。（1） 利用階躍響應與沖激響應的關系求解利用階躍響應與沖激響應的關系求解某二階某二階LTI系統的微分方程為：系統的微分方程為：試求其單位沖激響應試求其單位沖激響應h(t) 。)()(6)(5)( tftytyty注意兩點：注意兩點：1、初始值的確定：、初始值

19、的確定：n階微分方程，右端只含有激勵階微分方程，右端只含有激勵f(t)()()()()(01) 1(1)(tftyatyatyatynnn )()()()()(01) 1(1)(tthathathathnnn t=0+的初始值為：的初始值為：2,.,2 , 1 , 00)0(1)0()(1njhhjn1)()(0)(0)(nmjjjniiiatfbtya2、微分方程的右端由激勵微分方程的右端由激勵f(t)及其各階導數的線性組合時：及其各階導數的線性組合時：)(.)()()(00)1(01)(0thbthbthbthmmmm設微分方程右端僅有設微分方程右端僅有f(t)時的沖激響應為時的沖激響應為

20、h0(t)本節解決兩個問題：本節解決兩個問題：l 單位序列響應單位序列響應和單位階躍響應的概念；和單位階躍響應的概念；l h(k)的求取方法的求取方法l 單位序列響應單位序列響應h(k)：離散系統的激勵信號為離散系統的激勵信號為 (k)(k)時的零狀態響應；時的零狀態響應；l 單位階躍響應單位階躍響應g(k)：離散系統的激勵信號為離散系統的激勵信號為(k)(k)時的零狀態響應；時的零狀態響應；零狀態零狀態系統系統( )f k( )k=( )fyk( )h k=(k)g(k)() 1()() 1(kcfkbfkayky)() 1()() 1(kckbkagkg)() 1()() 1(kckbka

21、hkh1、利用單位階躍響應與單位序列響應的關系求、利用單位階躍響應與單位序列響應的關系求h(t)(k)g(k)( )k( )h k=(k)=g(k)2、利用差分方程的經典求解法求解、利用差分方程的經典求解法求解(2) 5 (1)6 ( )(2) 3 ( )y ky ky kf kf k求下列差分方程的單位序列響應求下列差分方程的單位序列響應110( )(32) (1)kkorh kk1111(32) (1)3(32) (1)kkkkkk00( )(2)3( )h khkhk11( )6(3)2(1)kkkk注意兩點：注意兩點：1、初始值的確定：、初始值的確定：n階差分方程階差分方程)()()

22、1() 1()(011kfkyakyankyankyn )()() 1() 1()(011kkhakhankhankhn 初始條件為：初始條件為：0) 1(.) 1 () 0(1)(nhhhnh1)()(00nmjjniiajkfbikya2、差分方程的右端由序列差分方程的右端由序列f(k)及其各階導數的線性組合時：及其各階導數的線性組合時：)(.) 1()()(00010khbmkhbmkhbkhmm設微分方程右端僅有設微分方程右端僅有f(k)時的單位序列響應為時的單位序列響應為h0(k)2.5 2.5 卷積積分卷積積分本節解決幾個問題：本節解決幾個問題： l LTI連續系統的零狀態響應表示

23、為卷積積分連續系統的零狀態響應表示為卷積積分l 卷積的求取方法卷積的求取方法l 卷積的存在性卷積的存在性l 卷積的性質卷積的性質l 利用卷積求利用卷積求yf(t) 一、一、LTI連續系統的零狀態響應表示為卷積積分連續系統的零狀態響應表示為卷積積分1 1、卷積積分的定義、卷積積分的定義（1）任意信號）任意信號 f(t) 表示為沖激函數的積分表示為沖激函數的積分)(*)()()()(ttfdtftff(t)是其自身與是其自身與(t)(t)的卷積積分的卷積積分LTI零狀零狀態系統態系統f (t )fy (t )激勵激勵 f(t) 零狀態響應零狀態響應 yf(t) fffff(t )(t )y (t

24、)h(t )f(t )A (t)y (t )Ah(t)f(t )f( ) (t)y (t )f( )h(t)f(t )f( ) (t)dy (t )f( )h(t)d fffff(t)(t)y (t) h(t)f(t)A (t)y (t)Ah(t)f(t)f( ) (t)y (t)f( )h(t)f(t)f( ) (t)dy (t)f( )h(t)d 時不變性時不變性 齊次性齊次性 積分性積分性 fy (t)f( )h(t)df(t) h(t) fy (t)f( )h(t)df(t) h(t) 結論：結論：零狀態響應零狀態響應 yf(t)為激勵信號與系統單位沖激響應的卷積積分為激勵信號與系統單

25、位沖激響應的卷積積分 (2) 關于關于h(t)l 是系統時域特性的一種描述；是系統時域特性的一種描述； l 可以用來計算零狀態響應可以用來計算零狀態響應yf(t)；fy (t)f( )h(t)df(t) h(t) fy (t)f( )h(t)df(t) h(t) fy (t)f( )h(t)df(t) h(t) LTI為因果系統為因果系統f(t)為因果信號為因果信號二、卷積的基本計算方法二、卷積的基本計算方法1、圖解法、圖解法兩個函數兩個函數x1(t)和和x2(t)的波形如下圖所示：的波形如下圖所示：t01x (t )t02x (t ) 11 01x ( ) 02x (t) 0y(t )111

26、tt 1212y(t )x (t ) x (t )x ( )x (t)d 1212y(t )x (t )x (t )x ()x (t)d y(t)是是x1()和和x2(t)波形相乘后組成的曲線與橫軸波形相乘后組成的曲線與橫軸之間構成的圖形的面積。之間構成的圖形的面積。總結卷積的圖解法的步驟總結卷積的圖解法的步驟（1）變量替換）變量替換：將自變量由：將自變量由 t變成變成 （2）反轉：）反轉：將將h()折疊成折疊成h()。注意注意：可將兩函數的任意一個折疊。：可將兩函數的任意一個折疊。（3）移位：）移位：將將h()移位成移位成h(t), 由于由于t是變化的，這種移位是動態的，使兩是變化的，這種移

27、位是動態的，使兩個函數從不重疊到重疊甚至脫離重疊；個函數從不重疊到重疊甚至脫離重疊；（4）相乘：）相乘： f()與與h(t)相乘；相乘；（5）積分：）積分：重疊區域進行積分；重疊區域的面積即為重疊區域進行積分；重疊區域的面積即為t時刻的卷積值；時刻的卷積值；注意注意：圖解法是借助曲線圖求解卷積積分，而不是繪圖。此方法圖解法是借助曲線圖求解卷積積分，而不是繪圖。此方法可清晰地判定積分的上下限。可清晰地判定積分的上下限。t0f(t)11t0h(t)0.51（2）反轉：）反轉：h()為為h() 0h() 0.51 兩函數兩函數f(t)和和h(t)波形如圖所示，試求卷積波形如圖所示，試求卷積fy (t

28、)f(t) h(t) 解解： （1 1）變量替換變量替換 011 0h( ) 0.51（4）分段求卷積：）分段求卷積： t0f ()hy(t )(t0)0 當當時時tt00111y(1tft )dt2( )h(t)222 當當0 0時時（3）將）將h()移位成移位成h(t)tt00111y(1tft )dt2()h(t)222 當當0 0時時tf ()h( ty (0t )0) 當當 2 2時時11 t11 t1y( t )d211( 2t )21t2f ()h( t)22 當當1 1時時tf( )h(ty(0t )0) 當當2 2時時11 t11 t1y(t)d211(2 t)21t2f(

29、)h(t)22 當當1 1時時11t11t1y( t )d211( 2t )21t2f ()h( t)22 當當1 1時時 00.51t t 00.51t t11t 0f( )hy(t)(t0) 0 當當時時t 0f( )hy(t)(t0) 0 當當時時（5）寫出）寫出y(t)表達式表達式 t0tt2t01t2y(t )1(2t )20 0 01 12 2t21012y(t )兩函數兩函數f(t)和和h(t)波形如圖所示，試求卷積波形如圖所示，試求卷積fy (t)f(t) h(t) t0f(t)11t0h(t)1122、函數式計算法（卷積積分上下限的確定）、函數式計算法（卷積積分上下限的確定）

30、 對于兩個卷積信號有函數表達式，且不便于作出信號的圖形，則可以采用對于兩個卷積信號有函數表達式，且不便于作出信號的圖形，則可以采用該方法，但關鍵的問題是如何確定卷積積分該方法，但關鍵的問題是如何確定卷積積分上下限。上下限。兩函數兩函數 f(t)=(t) 和和 h(t)=(t) ，試求其卷積。，試求其卷積。兩函數兩函數 f(t)=e-2t(t) 和和 h(t)=e-t(t) ，試求其卷積。，試求其卷積。兩函數為：兩函數為：)()(),2/()(sin)(tethttttft試求其卷積。試求其卷積。三、卷積積分的存在性三、卷積積分的存在性y(t )f ()h(t)d 1、假定、假定f(t)與與h(

31、t)不包含沖激不包含沖激。在任何有限時刻。在任何有限時刻t，若，若 則兩函數的卷積則兩函數的卷積存在。據此，可推出如下判定準則：存在。據此，可推出如下判定準則： ( )y t ( )tet()tet, （1）設兩信號分別是設兩信號分別是因果（或有始）因果（或有始）指數信號指數信號 和反因果（或有終）指和反因果（或有終）指數信號數信號 ，其中，其中， 為任意實數，則若為任意實數，則若 ，兩信號的卷積不存在；，兩信號的卷積不存在；若若 ，兩信號的卷積存在。，兩信號的卷積存在。 解解：（：（1 1）在）在( )()ttetet中，中，1 ，故卷積不存在；，故卷積不存在；2( )()ttetet求求

32、和和 。（2） 在在2( )()ttetet中，中，1,2 ，故卷積存在。故卷積存在。將兩無時限信號分解為：將兩無時限信號分解為：( )f t( )h t2、兩個、兩個有始信號有始信號的卷積和兩個有終信號的卷積一定存在；若的卷積和兩個有終信號的卷積一定存在；若 和和 至少有至少有一個一個是時限信號，則兩者的卷積一定存在。是時限信號，則兩者的卷積一定存在。3、若、若 和和 都是無時限都是無時限信號，可將它們分解成有始信號與有終信號之和。信號，可將它們分解成有始信號與有終信號之和。( )f t( )h t( )h t( )f t4、若、若 和和 含有沖激及其導數，可將它們先分離出來，然后單獨處理。

33、含有沖激及其導數，可將它們先分離出來，然后單獨處理。( )( ) ( )( ) ()f tf ttf tt12122ttee判斷判斷 是否存在。是否存在。四、卷積的性質四、卷積的性質1、卷積的代數運算性質、卷積的代數運算性質(1) 交換律交換律f(t) h(t)h(t) f(t) (2) 分配律分配律1212f(t )h (t )h (t )f(t ) h (t )f(t ) h (t ) h1(t)f ( t )y( t )h2(t) h1(t)+ h1(t)f ( t )y( t )h1(t)y(t )h2(t)f (t )h1(t)*h2(t)y(t )f (t )(3) 結合律結合律1

34、21212f(t) h(t) h (t)f(t)h(t) h (t)f(t) h(t)h (t) 121212f(t) h(t) h (t)f(t)h(t) h (t)f(t) h(t)h (t) 系統的系統的并聯并聯系統的系統的級聯級聯2、卷積的時移性、卷積的時移性)(*)()(thtfty)(*)()(*)()(000tthtfthttftty)(*)()(00tthttfty3、卷積的微積分運算性質、卷積的微積分運算性質(1) (1) 卷積的微分性質卷積的微分性質y (t)f (t) h(t)f(ty(t)f(t) h(t) h(t) 設設則則 a a. .y(t)f (t) h(t)f

35、(ty(t)f(t) h(t) h(t) 設設則則 a a. .y (t )f (t ) h(t )f (ty(t )f (t ) h(t ) h (t ) 設設則則a.a.t( 1)t( 1()01)( 1)( 1)y(t )y( )dy(ty(t )f(t )y(h(t )f(t ) h(t)d) 設設對對有有始始信信號號則則(2)(2)卷積的積分性質卷積的積分性質t( 1 )t( 1()01 )( 1 )( 1 )y(t )y()dy(ty(t )f(t )y(h(t )f (t ) h(t)d) 設設對對有有始始信信號號則則t( 1)t( 1()01)( 1)( 1)y(t )y( )

36、dy(ty(t )f(t )y(h(t )f(t ) h(t)d) 設設對對有有始始信信號號則則有始信號有始信號t( 1)t( 1()01)( 1)( 1)y(t)y( )dy(ty(t)f(t)y(h(t)f(t) h(t)d) 設設對對有有始始信信號號則則對兩函數的條件對兩函數的條件：連續、只有有：連續、只有有限的間斷點、必須絕對可積限的間斷點、必須絕對可積（3 3）卷積的微積分性質）卷積的微積分性質微積分性質：微積分性質：( 1)1)y(t )f(t ) h(t )f (t ) h(t )f (t ) g(g(t )h(tt )f ( )g(t)d) 杜哈密爾積分：杜哈密爾積分：( 1)

37、1)y(t)f(t) h(t)f (t) h(t)f (t) g(g(t) h(tt)f ( )g(t)d) 零狀態響應也可由激勵的一次導零狀態響應也可由激勵的一次導數數f (t)與單位階躍響應與單位階躍響應g(t)的卷的卷積求得。積求得。( 1)( 1)y(t)f (t) h(ty(t)f(t) h(t)f(t) h(t) 設設則則( 1)( 1)y(t)f (t) h(ty(t)f(t) h(t)f(t) h(t) 設設則則( 1)( 1)y(t )f (t ) h(ty(t )f(t ) h(t)f(t ) h(t) 設設則則( 1 )1 )y(t )f (t ) h(t )f (t )

38、 h(t )f (t ) g(g(t )h(tt )f ()g(t)d) ( 1 )1 )y(t )f (t ) h(t )f (t ) h(t )f (t ) g(g(t )h(tt )f ()g(t)d) ( 1)1)y(t)f(t) h(t)f (t) h(t)f (t) g(g(t)h(tt)f ( )g(t)d) 推論：推論：( ij )( i )( j )y(t )fy(t )f (t(t ) h(t )h(t ) 設設則則(ij )(i )( j )y(t )fy(t )f(t(t ) h(t )h(t ) 設設則則i 和和 j 為為l 為正是求導；為正是求導；l為負是求積分為負

39、是求積分h(t)和和f(t)皆為有始信號皆為有始信號 t0f(t )11t0h(t)10.5（1）求：）求：4、含有沖激函數、含有沖激函數(t)的卷積的卷積(1)(1)f(t)(t)f(t) t0f(t)t0f(t)t0(t) (1) (2)(2)00f(t)(t t )f(t t ) t0f(t )t0t00(tt ) (1) 0t0t0f(tt ) 11(3)122112f(tt )(tt )f(tt )(tt )f(ttt ) 1122211212f (tt ) f (tt )f (tt ) f (tt )y(ttt ) 則則12y(t)f (t) f (t) 若若已已知知（4）（5）f

40、 (t )(t )f (t ) 11f (t )(t )f(t ) 推論：推論：)()(*)()()(tfttfii)()(*)(0)(0)(ttftttfiii 為為l 正表示求導次數；正表示求導次數；l 負表示積分次數；負表示積分次數；（2）系統如圖）系統如圖1所示，激勵所示，激勵f(t)為圖為圖2所示信號時求響應所示信號時求響應y(t)。延遲延遲Tf (t )y(t ) 圖圖1圖圖2t0f(t )T(1)T -（3 3）已知：）已知：)()(),()(),1()()(thtftethttttft求2.6 卷和卷和本節解決幾個問題：本節解決幾個問題： l LTI離散系統的零狀態響應表示為卷

41、和離散系統的零狀態響應表示為卷和l 卷和的求取方法卷和的求取方法l 卷和的性質卷和的性質l 利用卷和求利用卷和求yf(k) 一、一、LTI離散系統的零狀態響應表示為卷和離散系統的零狀態響應表示為卷和任意離散信號任意離散信號 f(k) 可以表示為單位序列和的形式可以表示為單位序列和的形式:即：即：若若 f(k) 是是因果信號因果信號( )( ) ()nf kf nkn0( )( ) ()nf kf nkn( )( 2) (2)( 1) (1)(0) ( )(1) (1)(2) (2)f kfkfkfkfkfk ( )( 2) (2)( 1) (1)(0) ( )(1) (1)(2) (2)f k

42、fkfkfkfkfk( )( ) ()nf kf nknLTI離散系統產生的零狀態響應離散系統產生的零狀態響應yf(k)( )( )kh k( ) ()( ) ()f nknf n h kn( )( ) ()( )( ) ()fnnf kf nknykf n h kn零狀態零狀態線性系統線性系統( )f k( )fykLTI離散系統離散系統:( )( ) ()fnykf n h kn( )( )( )fy kf kh k二、卷和的求法二、卷和的求法( )( ) ()fny kf n h knl 自變量由自變量由k變成變成nl 將將h(n)反折為反折為h(-n);l 將將h(-n)平移為平移為h

43、(k-n);l h(k-n) 與與f(n) 相乘相乘;l 求各乘積之和求各乘積之和1、圖解法、圖解法求：求：011 223( )h kk011 2 323( )x kk44解：解：（1）改換）改換h(k)的自變量后反折迭得的自變量后反折迭得h(-n)01-1-223()hnn（2）平移得）平移得 h(k-n)01k+223()h knnk1k+223k011 2 323( )x nn441k+223k011 2 323( )x nn441k+223k011 2 323( )x nn441k+223k011 2 323( )x nn441k+223k011 2 323( )x nn44（3）固定

44、）固定x(n), 移動移動 h(k-n) 后求和后求和k0時，兩信號不重合時，兩信號不重合k=0 時時k=1 時時k=2 時時k=3 時時1k+223k011 2 323( )x nn44k=4 時，時，k=5 時，時，011 2 323( )x nn441k+223kk=6 時，時，011 2 323( )x nn441k+223kk=7 時，時，011 2 323( )x nn441k+223k2、數值法、數值法( )( )( )fykf kh k求：求：解：解：固定固定f(k) ,折迭折迭h(k)為為h(k-n)，作如下運算，作如下運算0 , 1 , 2 , 3 , 41 , 3 , 2

45、00k 0 , 1 , 2 , 3 , 41 , 3 , 20221k ( )0,1,2,3,4( )2,3,1f kh k0 , 1 , 2 , 3 , 41 , 3 , 203472k 0 , 1 , 2 , 3 , 41 , 3 , 2166133k 0 , 1 , 2 , 3 , 41 , 3 , 2298194k 0 , 1 , 2 , 3 , 41 , 3 , 2312155k 0 , 1 , 2 , 3 , 41 , 3 , 2446k 0 , 1 , 2 , 3 , 40 , 1 , 3 , 207k ( )0,2,7,13,19,15,4fyk3 3、算式法（逢十不進位乘法）、算式法（逢十不進位乘法）2 , 3 , 1求：求：解：解： 用算式法求解用算式法求解0 , 1 , 2 , 3 , 40 , 1 , 2 , 3 , 40 , 3 , 6 , 9 , 1 20 , 2 , 4 , 6 , 8()()()fykfkh k( )0,1, 2,3, 4( )2,3,1fkh k()0, 2, 7,13,19,1