1、第四節一、幾種常見的曲面及其方程一、幾種常見的曲面及其方程二、二次曲面二、二次曲面 三、曲線三、曲線曲面與曲線 第七七章 由兩點間距離公式1. 空間一動點到定點的距離為定值，該動點軌跡叫球面。),(zyxM),(0000zyxM特別,當M0在原點時,球面方程為 設軌跡上動點為定值為R，定點xyzoM0M222yxRz表示上(下)球面 .Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx定點叫球心，定值叫半徑。例例2. 研究方程042222yxzyx解解: : 配方得5, )0, 2, 1(0M此方程表示:說明說明: : 如下形式的三元二次方程 ( A

2、 0 )都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面. . 表示怎樣半徑為的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心為 一個球面球面, 或點點 , 或虛軌跡虛軌跡.5)2() 1(222zyxxyzxyzol2、柱面、柱面. 平行定直線并沿定曲線 C 移動的直線 l 形成的軌跡叫做柱面柱面. 拋物柱面拋物柱面, 橢圓柱面橢圓柱面.xy2212222byax經過z 軸的平面平面.0 yx以上的柱面母線都平行于Z軸 CC 叫做準線準線, l 叫做母線母線.xyzoooClM1M222Ryx圓柱面圓柱面xzy2l一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于 x 軸;平行于 y 軸;平行于 z 軸;準線

3、xoz 面上的曲線 l3.母線柱面,準線 xoy 面上的曲線 l1.母線準線 yoz 面上的曲線 l2. 母線表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1l一條平面曲線3 3、旋轉曲面、旋轉曲面 繞其平面上一條定直線定直線旋轉一周所形成的曲面叫做旋轉曲面旋轉曲面.該定直線稱為旋轉旋轉軸軸 . .例如例如 :建立yoz面上曲線C 繞 z 軸旋轉所成曲面的方程:故旋轉曲面方程為, ),(zyxM當繞 z 軸旋轉時,0),(11zyf,), 0(111CzyM若點給定 yoz 面上曲線 C: ), 0(111zyM),(zyxM1221,yyxzz則有0),(

4、22zyxf則有該點轉到0),(zyfozyxC思考：思考：當曲線 C 繞 y 軸旋轉時，方程如何？0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf例例3. 試建立頂點在原點, 旋轉軸為z 軸, 半頂角為的圓錐面方程. 解解: 在yoz面上直線L 的方程為cotyz 繞z 軸旋轉時,圓錐面的方程為cot22yxz)(2222yxazcota令xyz兩邊平方L), 0(zyMxy例例4. 求坐標面 xoz 上的雙曲線12222czax分別繞 x軸和 z 軸旋轉一周所生成的旋轉曲面方程. 解解: :繞 x 軸旋轉122222czyax繞 z 軸旋轉122222czayx這兩種曲面都叫做旋轉雙曲面.所

5、成曲面方程為所成曲面方程為z二、二次曲面二、二次曲面三元二次方程 適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅 就幾種常見標準型的特點進行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次項系數不全為 0 )zyx1 1. 橢球面橢球面),(1222222為正數cbaczbyax(1)范圍：czbyax,(2)與坐標面的交線：橢圓,012222zbyax,012222xczby 012222yczax1222222czbyax與)(11czzz的交線為橢圓：1

6、zz (4) 當 ab 時為旋轉橢球面;同樣)(11byyy的截痕）（axxx11及也為橢圓.當abc 時為球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(為正數)z2. 拋物面拋物面zqypx2222(1) 橢圓拋物面( p , q 同號)(2) 雙曲拋物面（鞍形曲面）zqypx2222zyx特別,當 p = q 時為繞 z 軸的旋轉拋物面.( p , q 同號)zyx3. 雙曲面雙曲面(1)(1)單葉雙曲面單葉雙曲面by 1) 1上的截痕為平面1zz 橢圓.時, 截痕為22122221byczax(實軸平行于x 軸；虛軸平行于z 軸）1yy zxy),(

7、1222222為正數cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情況:雙曲線: 虛軸平行于x 軸）by 1)2時, 截痕為0czax)(bby或by 1)3時, 截痕為22122221byczax(實軸平行于z 軸;1yy zxyzxy相交直線: 雙曲線: 0(2) 雙葉雙曲面雙葉雙曲面),(1222222為正數cbaczbyax上的截痕為平面1yy 雙曲線上的截痕為平面1xx 上的截痕為平面)(11czzz橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區別: 雙曲線zxyo222222czbyax單葉雙曲面11雙葉雙曲面圖形圖形4. 橢圓錐面橢圓錐面),(22222為正數bazbyax上的截痕為在平面tz 橢

8、圓在平面 x0 或 y0 上的截痕為過原點的兩直線 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,可以證明, 橢圓上任一點與原點的連線均在曲面上.(橢圓錐面也可由圓錐面經 x 或 y 方向的伸縮變換得到, 見書 P316 )xyz內容小結內容小結1. 空間曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋轉曲面如, 曲線00),(xzyf繞 z 軸的旋轉曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母線平行 z 軸的柱面.又如,橢圓柱面, 雙曲柱面, 拋物柱面等 .2. 二次曲面三元二次方程),(同號qp 橢球面1222222czbyax 拋物面:

9、橢圓拋物面雙曲拋物面zqypx2222zqypx2222 雙曲面: 單葉雙曲面2222byax22cz1雙葉雙曲面2222byax22cz1 橢圓錐面: 22222zbyax1 1、空間曲線的一般方程、空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線, 其一般方程為方程組0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程組632122zxyx表示圓柱面與平面的交線 C. xzy1oC2三、曲線又如又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C. 022222xayxyxazyxzaozyxo2 2、空間曲線的參數方程、空間曲線的參數方程將曲線C上的動點坐標x, y,

10、 z表示成參數t 的函數:稱它為空間曲線的 參數方程.)(txx 例如,圓柱螺旋線vbt,令bzayaxsincos,2 時當bh2taxcostaysin t vz 的參數方程為上升高度, 稱為螺距螺距 .)(tyy )(tzz M例例1. 將下列曲線化為參數方程表示:6321) 1 (22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解: (1) 根據第一方程引入參數 , txcostysin)cos26(31tz(2) 將第二方程變形為,)(42222aayx故所求為得所求為txaacos22tyasin2tazcos2121)20( t)20( t3 3、空間曲線在坐標面上的投影、空間曲線在坐標面上的投影設空間曲線 C 的一般方程為消去 z 得投影柱面則C 在xoy 面上的投影曲線 C為消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲線方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲線方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCCzxyo1C又如又如, ,所圍的立體在 xoy 面上的投影區域為:上半球面和錐面224yxz)(322yxz0122zyx在 xoy 面上的投影曲線)(34:2222yxzyxzC二者交線.0, 122zyx所圍圓域:二者交線在xoy 面上的投影曲線所圍之域 . (2)ozyxo121x2