1、0123456789101112 nt c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0從從0到到1變化時的單位階躍響應曲線如下圖：變化時的單位階躍響應曲線如下圖： =00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.03.3.5 高階系統的時域分析高階系統的時域分析-0.75-5 p2 p3 p1 j j1.2-j1.20(a)閉環極點分布圖閉環極點分布圖 (b)單位階躍響應曲線單位階躍響應曲線 c(t) t特點：特點：1) 高階系統時間響應由簡單函數組成。高階系統時間響應由簡單函數組成。 2) 如果閉環極點都具有負實部，高階系統是穩定的。如果閉環極點都具有負實

2、部，高階系統是穩定的。 3) 時間響應的類型取決于閉環極點的性質和大小，形狀與閉環時間響應的類型取決于閉環極點的性質和大小，形狀與閉環零點有關。零點有關。 分析方法：分析方法：1) 可由系統主導極點估算高階系統性能。可由系統主導極點估算高階系統性能。 2) 忽略偶極子的影響。忽略偶極子的影響。 )25.1)(15(510)25.1)(5(10)(22 sssssss 例例如如：)2 .15 .07)(2 .175.0(225 .12)(2jsjssss 設初始條件為零時，作用一理想脈沖信號到一線性系統，設初始條件為零時，作用一理想脈沖信號到一線性系統，這相當于給系統加了一擾動信號。若這相當于給

3、系統加了一擾動信號。若 ，則系統穩定。，則系統穩定。0)(lim tgt j 0穩定區域穩定區域不穩定區域不穩定區域S平面平面判別系統穩定性的基本方法：判別系統穩定性的基本方法： (1) 勞斯勞斯古爾維茨判據古爾維茨判據 (2) 根軌跡法根軌跡法 (3) 奈奎斯特判據奈奎斯特判據 (4) 李雅普諾夫第二方法李雅普諾夫第二方法 線性系統穩定的充分必要條件：線性系統穩定的充分必要條件：閉環系統特征方程的所有根閉環系統特征方程的所有根都具有負實部都具有負實部.3.4.1 線性系統的穩定性概念線性系統的穩定性概念 系統工作在平衡狀態系統工作在平衡狀態,受到擾動偏離了平衡狀態，擾動消失受到擾動偏離了平衡

4、狀態，擾動消失之后，系統又恢復到平衡狀態，稱系統是穩定的。穩定性只由之后，系統又恢復到平衡狀態，稱系統是穩定的。穩定性只由結構、參數決定，與初始條件及外作用無關。結構、參數決定，與初始條件及外作用無關。 勞斯判據采用表格形式，即勞斯判據采用表格形式，即勞斯表勞斯表： 當勞斯表中第一列的所有數都當勞斯表中第一列的所有數都大于零大于零時，系統時，系統穩定穩定；反之，；反之，如果第一列出現如果第一列出現小于零小于零的數時，系統就的數時，系統就不穩定不穩定。第一列各系數符。第一列各系數符號的改變號的改變次數次數，代表特征方程的正實部根的，代表特征方程的正實部根的個數個數。 2. 勞斯判據勞斯判據 cc

5、aaccccaaccccaaccs aaaaacaaaaacaaaaacs a a as a a a s1343171334133315132413231313143n1706133150412313021132n5311n420n 0sna判別系統穩定性。判別系統穩定性。 例例3.4 設系統特征方程為設系統特征方程為s4+2s3+3s2+4s+5=0; 試用勞斯穩定判據試用勞斯穩定判據4s3s2s124231 520251 1234501s0s560651 615142 0注意兩種特殊情況的處理：注意兩種特殊情況的處理： 1）某行的）某行的第一列項為第一列項為0，而其余各項不為，而其余各項不

6、為0或不全為或不全為0。用。用因子（因子（s+a）乘原特征方程（其中）乘原特征方程（其中a為任意正數），或用很小的正為任意正數），或用很小的正數數 代替零元素，然后代替零元素，然后對新特征方程應用勞斯判據。對新特征方程應用勞斯判據。 2）當勞斯表中）當勞斯表中出現全零行出現全零行時，用上一行的系數構成一個輔時，用上一行的系數構成一個輔助方程，對輔助方程求導，用所得方程的系數代替全零行。助方程，對輔助方程求導，用所得方程的系數代替全零行。 解：解：列出勞斯表列出勞斯表第一列數據不同號，第一列數據不同號，系統不穩定性。系統不穩定性。 設系統特征方程為：設系統特征方程為：s6+2s5+3s4+4s3

7、+5s2+6s+7=0勞勞 斯斯 表表s6s5s0s1s2s3s41246357(64)/2=11(10-6)/2=227124635710(6-14)/1= -8-82 41 2勞斯表特點及第一種特殊情況勞斯表特點及第一種特殊情況勞斯表特點勞斯表特點4 每兩行個數相等每兩行個數相等1 右移一位降兩階右移一位降兩階2 行列式第一列不動行列式第一列不動3 次對角線減主對角線次對角線減主對角線5 分母總是上一行第一個元素分母總是上一行第一個元素7 第一列出現零元素時，第一列出現零元素時，用正無窮小量用正無窮小量代替。代替。6 一行可同乘以或同除以某正數一行可同乘以或同除以某正數2+87-8(2 +

8、8) -7271 2 7 -8勞斯判據勞斯判據系統穩定的系統穩定的必要必要條件條件:有正有負一定不穩定有正有負一定不穩定!缺項一定不穩定缺項一定不穩定!系統穩定的系統穩定的充分充分條件條件:勞斯表第一列元素勞斯表第一列元素不變號不變號!若變號系統不穩定若變號系統不穩定!變號的變號的次數次數為特征根在為特征根在s右右半平面的半平面的個數個數!特征方程各項系數特征方程各項系數均大于零均大于零!-s2-5s-6=0穩定嗎？穩定嗎？勞斯表出現零行勞斯表出現零行設系統特征方程為：設系統特征方程為：s4+5s3+7s2+5s+6=0勞勞 斯斯 表表s0s1s2s3s451756116601 勞斯表何時會出

9、現零行勞斯表何時會出現零行?2 出現零行怎么辦出現零行怎么辦?3 如何求對稱的根如何求對稱的根? 由零行的上一行構成由零行的上一行構成輔助方程輔助方程: 有大小相等符號相反的有大小相等符號相反的特征根時會出現零行特征根時會出現零行s2+1=0對其求導得零行系數對其求導得零行系數: 2s1211繼續計算勞斯表繼續計算勞斯表1第一列全大于零第一列全大于零,所以系統穩定所以系統穩定錯啦錯啦!由綜合除法可得另兩由綜合除法可得另兩個根為個根為s3,4= -2,-3 解輔助方程得對稱根解輔助方程得對稱根: s1,2=j判斷系統的穩定性。判斷系統的穩定性。例例3.5 設系統特征方程為設系統特征方程為s4+2

10、s3+s2+2s+2=0；試用勞斯穩定判據；試用勞斯穩定判據 例例3.6 設系統特征方程為設系統特征方程為s6+2s5+6s4+8s3+10s2+4s+4=0；試用勞；試用勞斯穩定判據判斷系統的穩定性。斯穩定判據判斷系統的穩定性。解：解：列出勞斯表列出勞斯表 s4 1 1 2 s3 2 2 0 s2 (取代取代0) 2 s1 2-4/ s0 2 可見第一列元素的符號改變兩次，故系統是不穩定的且在可見第一列元素的符號改變兩次，故系統是不穩定的且在S右半平面上有兩個極點。右半平面上有兩個極點。解：解：列出勞斯表列出勞斯表 s6 1 6 10 4 s5 2 8 4 s4 2 8 4 輔助多項式輔助多項式A(s)的系數的系數 s3 0 0 0 A(s) =2s4+8s2+4 dA(s)/ds=8s3+16s ,586. 022y848.1414.3766.0586.04 .32 .1jjsjjs 第一列元素全為正，系統并非不穩定；第一列元素全為正，系統并非不穩定； 陣列出現全零行，系統不是穩定的；陣列出現全零行，系統不是穩定的； 綜合可見，系統是臨界穩定的（存在有共軛純虛根）。綜合可見，系統是臨界穩定的（存在有共軛純虛根）。 解輔助方程可得共軛純虛