1、2020年九年級中考數學復習專題訓練：圓的綜合1 .如圖，在 RtAACB, / ACB= 90° ,以AC為直徑作。Q 交AB于點D.(1)若 AB= 8, Z ABC= 30° ,求。O的半徑；(2)若點E是邊BC的中點，連結 DE求證：直線 D弱。的切線；(3)在(1)的條件下，保持 RtACM動，將。O沿直線BC向右平移m個單位長度后得到。O',當。O'與直線 AB相切時，m2 .如圖，矩形 ABC珅，AB= 13, AD= 6.點E是CD±的動點，以 AE為直徑的。O與AB交于點F,過點F作FGL BE于點G.(1)當E是CD的中點時：t

2、an / EAB勺值為;(2)在(1)的條件下，證明：FG是O O的切線；(3)試探究：BE能否與。O相切？若能，求出此時 BE的長；若不能，請說明理由.53 .如圖，已知正方形 ABCD勺邊長為1,正方形BEFW,點E在AB的延長線上，點 G在BC上，點O在線段AB上，且AO B0以OF為半徑的。O與直線AB交于點M N.(1)如圖1,若點0為AB中點，且點D,點C都在。0上，求正方形 BEFG勺邊長.(2)如圖2,若點C在O 0上，求證：以線段 0E和EF為鄰邊的矩形的面積為定值，并 求出這個定值.(3)如圖3,若點D在O 0上，求證：D0L F04 .如圖，四邊形 ABC吶接于。0, A

3、C為直徑，AC和BD交于點E, AB= BC(1)求/ ADB勺度數;(2)過B作AD的平行線，交AC于F,試判斷線段EA CF, EF之間滿足的等量關系，并說明理由;(3)在(2)條件下過E, F分別作AB BC的垂線，垂足分別為 G H,連接GH交B05 .定義：當點P在射線OAJ:時，把空的的值叫做點P在射線OA止的射影值；當點 P不在 0A射線OAJ:時，把射線 OAk與點P最近點的射影值，叫做點 P在射線OAJ:的射影值.例如：如圖1, AOABH個頂點均在格點上，BP是OA邊上的高，則點 P和點B在射線OA上的射影值均為昇=-.0A 3(1)在 OABK點B在射線OAk的射影值小于

4、1時，則 OA盟銳角三角形；點B在射線OAk的射影值等于1時，則 OA盟直角三角形；點B在射線OAi的射影值大于1時，則 OA呢鈍角三角形.其中真命題有.A.B.C.D(2)已知：點C是射線OA±一點，CA= OA= 1,以。為圓心，OA為半徑畫圓，點B是。O 上任意點.如圖2,若點B在射線OA上的射影值為y.求證：直線 BC是。的切線；如圖3,已知D為線段BC的中點，設點 D在射線OA上的射影值為x,點D在射線OB 上的射影值為y,直接寫出y與x之間的函數關系式為 .6 .問題發現:(1)如圖1, ABS接于半徑為 4的。O,若/ C= 60° ,則AB=; 問題探究：(

5、2)如圖2,四邊形ABCDJ接于半徑為6的。O,若/B= 120。，求四邊形 ABCD勺面積 最大值； 解決問題：(3)如圖3, 一塊空地由三條直路(線段 AD AB B。和一條弧形道路 而圍成，點 M 是AB道路上的一個地鐵站口，已知AD= B陣1千米，AM= BC= 2千米，ZA= Z B= 60° ,五的半彳仝為1千米，市政府準備將這塊空地規劃為一個公園，主入口在點M處，另外三個入口分別在點 C、D P處，其中點P在而上，并在公園中修四條慢跑道，即圖中的線 段DM MC CP PD是否存在一種規劃方案，使得四條慢跑道總長度(即四邊形 DMCP 的周長)最大？若存在，求其最大值；

6、若不存在，說明理由.7 .如圖，AB是。的直徑，BM切O O于點B,點P是。O上的一個動點(點 P不與A B兩 點重合)，連接 AP,過點O作OQ AP交BMR1點Q,過點P作P已AB于點C,交QO勺延 長線于點E,連接PQ OP AE(1)求證：直線PQ為。的切線；(2)若直徑AB的長為4.當PE=時，四邊形 BOPQ；正方形；當PE=時，四邊形 AEOP;菱形.8 .已知AB是。O的直徑，DA為O O的切線，切點為 A 過O O上的點C作CD AB交AD于點D,連接BC AC(1)如圖，若 DC為。的切線，切點為 C,求/ ACDF口 / DAC勺大小.(2)如圖，當 CD為。的割線且與。

7、O交于點E時，連接AE若/ EAD= 30。，求/ACDF口 / DACW大小.9 .已知AB為。的直徑，點 C為。O上一點，點D為AB延長線一點，連接 AC.(I)如圖，OB= BQ若DC與。相切，求/ D和/ A的大??；(n)如圖，CD與。交于點E, AF，。廿點F連接AE,若/ EAB= 18° ,求/ FAC勺大小.S©圖10 .如圖，AB為。O的直徑，點P為AB延長線上的一點，過點 P作。O的切線PE切點為M 過A、B兩點分別作 PE的垂線 AC BDD垂足分別為 C, D,連接AM(1)求證：AMFF分 / CAB(2)若 AB= 4, /APE= 30。，求質

8、的長.11.如圖，AB是。的直徑,AC是O O的切線，連接 0位O O于E,過點A作AF，AC于F,交。O于D,連接DE BE BD(1)求證：/ C= / BED(2)若 AB= 12, tan /,求CF的長.C12 .已知，點 A為。O外一點，過 A作。O的切線與。O相切于點P,連接PO并延長至圓上一點B連接AB交O O于點C,連接OA交O O于點D連接DP且/ OA丹/ DPA(1)求證：P& PD;(2)若AC=3,求。O的半徑.13 .如圖，AB是。O的直徑，C為。O上一點，P是半徑OB上一動點(不與 Q B重合)， 過點P作射線l LAB,分別交弦BC前于D, E兩點，過

9、點C的切線交射線1于點F.(1)求證：FC= FD.(2)當E是筱的中點時，若/ BAC= 60。，判斷以O, B, E, C為頂點的四邊形是什么特殊四邊形，并說明理由；ar q若事=彳，且AB= 30,則OP=.DL 416.如圖，在 RtABC中，ABI BG以AB為直徑的圓交 AC于點D, E是BC的中點，連接為BC的中點，動點E由A點出發，沿 AB運動，速度為每秒 5個單位，動點F由A點出發，沿AM運動，速度為每秒8個單位，當點E到達點B時，兩點同時停止運動， 過A、E、F 作。O.DE0力3笛用圖I備用圖2(1)判斷 AEF的形狀為,并判斷AD與O O的位置關系為(2)求t為何值時，

10、EN與。O相切？求出此時。O的半徑，并比較半徑與劣弧一疝長度的大小;(3)直接寫出 AEF的內心運動的路徑長為;(注：當A E、F重合時，內心就是A點)(4)直接寫出線段 EN與。O有兩個公共點時，t的取值范圍為(參考數據：sin37,tan37 °,tan74247242572515.如圖1, CH。的直徑，且 CD±弦AB的中點H,連接BC過弧AD上一點E作EF/BC交BA的延長線于點F,連接CE其中CE交AB于點G,且FE= FG(1)求證：EF是。的切線；(2)如圖2,連接BE求證：BU=BGBF;Q(3)如圖3,若CD的延長線與FE的延長線交于點 M tan F=

11、, BC= 5",求DM勺值.DE(1)求證：DE是。的切線；(2)設。的半徑為r,證明r2=AUOE(3)若 DE= 4, sin C=,求 AD之長.517.定義：三角形一邊上的點將該邊分為兩條線段，且這兩條線段的積等于這個點到該邊所對頂點連線的平方，則稱這個點為三角形該邊的“好點”.如圖 1, ABC中，點D是BC 邊上一點，連結 AD若AD= BD?CD則稱點 D是4ABC中BC邊上的“好點”.圖1圖2圖3(1)如圖2, ABC勺頂點是4X3網格圖的格點，請僅用直尺畫出AB邊上的一個“好點” 八、4|2(2) ABN, BC= 9, tan B=U，tanC="點

12、D是 BC邊上的“好點”，求線段 BD的口R-J長.(3)如圖3, AABC。的內接三角形， OHLAB于點H,連結CH并延長交。O于點D.求證：點H>A BCD43 CD邊上的“好點”.若。的半徑為9, /ABD= 90° , OH= 6,請直接寫出右的值.18.如圖，在等腰三角形 ABC, AB= AC以AC為直徑的。O分別交AB BC于點M N,過點C作。的切線交AB的延長線于點P.(1)求證：/ CAB= 2 / BCP(2)若。的直徑為5, sin /BCP=漁，求 ABCrt切圓的半徑;5(3)在(2)的條件下，求 ACP勺周長.19.已知四邊形 ABC吻。的內接四

13、邊形，直徑 AC與對角線BD相交于點E,彳C也BD于圖1圖2圖3(1)求證：AF為。的切線；(2)若BD平分/ ABC求證：DA= DC(3)在(2)的條件下，N為AF的中點，連接 EN若/ AEB/AEN= 135° , O O的半徑 為2 .】，求EN的長.20.如圖，在RtABC中，/ACB= 90° , O是線段BC上一點，以O為圓心，OE半徑作。QAB與。相切于點F,直線AO交。于點E, D.(1)求證：AO是 CAB勺角平分線；(2)若tan / D=t7,求普的值；它CF的長.(3)如圖2,在(2)條件下，連接 CF交AD于點G。的半徑為3, >參考答案

14、1 .解：(1)在 RtABC中，AB= 8, /ABG= 30 ,，AC= ABsin Z ABC= 8sin30 =4, OO的半徑為2;(2)證明：連接OD CD.AC為O O的直徑，. CDL AB ./ CDB= 90 , 點E是邊BC的中點,. DE= CE= CB / DC號 / CDE. OC= OD ./ OCD= / ODC .Z ACE= / ACDZ DCE= 90° , .Z ODE= / ODC/ CDE= 90 ,ODL DE 直線DE是。O的切線；(3)連接OO交AB于F,設。O與AB相切于G,連接 O G,則/ O' GF= 90°

15、 , 將。O沿直線BC向右平移m個單位長度后得到。O ,. .OO / BC, AO= O，G,Z AOF= Z ACB= 90 ,. / AFO= / O' FG .AOFXO GF(AAS ,. O' F= AF, 在 RtAAOF,.一/ A= 60° , A0= 2,.AF= 4, 0F= 2 ：-：,1 .O' F= AF= 4,00 =4+2 二 m= 4+2代.故答案為：4+2"3.2. (1)解：二四邊形 ABCO矩形，2 .Z D= 90 , CD/ AB C氏 AB= 13,/ EAB= / DEA3 .E是CD的中點,. DE=

16、 CD=13T1/na包_不7_理_ .tan / DEX后竺一總故答案為:12百(2)證明：連接OF在矩形 ABCD, AD= BC /ADE= / BCE= 90° , 又 CE= DE. .AD摩 BCE (SAS ,.AE= BE,/ EAB= / EBA0F= 0A/ 0AF= / 0FA / OFA= / EBA. OF/ EB .FGL BE, FGL OF .FG是。O的切線.(3)解：若BE能與。O相切，由 AE是OO的直徑，則 AE! BE Z AEB= 90° 設 DE= x,貝U EO 13-x.由勾股定理得： aEi+eB= aB,即(36+x2)

17、 + (13-x) 2+36 = 132,整理得 x2- 13x+36 = 0,解得：x1 = 4, x2= 9, .DE= 4 或 9,當 DE= 4 時，CE= 9，be=Mce* 十BC2=自9，+6, = 3/,當 DE= 9 時，CE= 4, BE=VcE2tBC2=V42+62： = 2/13，BE能與。O相切，此時BE= 2后或3任.3.解：(1)如圖1,連接OC圖1 四邊形ABC前四邊形BEFG正方形， .AB= BC= 1, BE= EF, / OEF= Z ABC= 90° , 點O為AB中點，1 1OB= AB=7；,設 BE= EF= x,貝U OE= x卷，

18、在 RtOEF中，: OE+eP = OF,bW 十 J=ofA在 RtAOBOt3,OB+BC = O(C,. e)2$12=OC,. OC OF為。O的半徑,OCOF解得：x = £,.正方形BEFG勺邊長為白設 OB= v, BE= EF= x,同(i)可得，oE+eP=oF, oB+bC= oC, .OF= x2+ (x+y) 2, OC= y2+12.OC OF為。O的半徑，. OC= OF .x2+ (x+y) 2 = y2+12, -2x2+2xy=1, .Y+xyJ， 即 x (x+y) =y, .EFX OE=-, 以線段0%口 EF為鄰邊的矩形的面積為定值，這個定

19、值為(3)證明：連接 OD 設 OA= a, BE= EF= b,則 OB= 1 - a,則 OE= 1 -a+b, / DA= / OEa 90 , .dA+oA= oD, oE+eF=oF,12+a2= OD, ( 1 a+b) 2+b2 = OF, . OD=OR12+a2= ( 1 - a+b) 2+b2,( b+1) ( a-b) =0,- b+1*0, a - b= 0,a= b,. OA=EF,在 RtAAODFD RtAEFO,吸OF,OA=EF 'RtAAODRt AEFO(HD ,/ FOE= / ODA . / DAO= 90° , /ODA/ AOD=

20、 90 , ./ FOEZ AOD= 90 , ./ DOF= 90 , DOL FO4.AC為直徑, . Z ABG= 90° , Z ACBZ BA仔 90 , .AB= BC ./ ACB= / BAC= 45 , ./ ADB= / ACB= 45 ;(2)線段EA CF, EF之間滿足的等量關系為：eA+CP=eF.理由如下:如圖 2,設/ ABE= "，/ CBF= 3 ,. AD/ BF, ./ EBF= / ADB= 45 ,又/ABC= 90 , 1-a + 3 = 45° ,過B作BN! BE使BN= BE連接NC. AB= CB / ABE=

21、 / CBN BE= BN AE單 CNB(SAS ,.AE= CN / BCN= / BAE= 45° , ./ FCN= 90° . / FBN= a + 3 =Z FBE BE= BN BF= BF,. .BF博ABF*SAS ,. EF= FN,.在 RtA NFC, C盧+CN=nFeA+cF= eF"；(3)如圖3,延長GE HF交于K,B由(2)知 eK+cP= eP,12一 SAG十SCF產 SEFK,二SAG十SCf"S五邊形BGEF甲 S/xEF4 S 五邊形BGEFH即ab彳S 矩形BGKH矩形BGKH S.gbL S/XABC 乞

22、 cbq'' SaBGM= S 四邊形 COMyS/LBMH= S 四邊形 AGMQ, S四邊形AGMO S四邊形cHh/18：9, Sabmh Sabgivt 8： 9 ,BIW分/ GBHBG BH= 9: 8, 設 BG=9k, BH=8k, - CH= 3+k,. AG=3,1 1 AE= 32,CFV2 (k+3) , EF=V2 (8k- 3), E 尺+CU= ERCMy+&(k+3)12= V2(8k-3)2整理得：7k之-6k-1 = 0,解得：k1=-(舍去)，k2= 1.AB=12,. AO= _/ AB= 6jl,5.解：（1）錯誤.點 B在射線

23、0A上的射影值小于1時，/ OBA可以是鈍角，故4 OAB不一定是銳角三角形;正確.點B在射線0A上的射影值等于1時，ABLOA /OAB= 90 , AOA盟直角三角形;正確.點B在射線OA上的射影值大于1時，/ OA泥鈍角，故 OA皿鈍角三角形;故答案為：B.(2)如圖2,作BHLOCF點H,圖：!點B在射線OAk的射影值為0H0B0C| |2r QC 2OH OB,CA= OA= OB= 1,0B0C圖形是上下對稱的，只考慮B在直線又 / BOH= / COB BOHT COB.BCLOB直線BC是。O的切線;OC±及OC±方部分的情形.過點 D作DML OC當/ D

24、OB: 90°時，設D限h,.D為線段BC的中點,S»AOBD= S>A ODC OB< DN= OC< DM ，DN= 2h,.在 RtA DOtf口 RtDO醉,oD2= dN+oN= dM+oM,.-4h2+y2= h2+x2, 1- 3h2= x2- y2,. bD= cD,4h2+ (1 -y) 2= h2+ (2-x) 2,消去h得：y=2x2 °, , S>A ObD= S»A ODCD作 DML O。點 MOB< DO= OCX DM CA= OA= OB= 1,.OD=2DM .sin / DO附/設 DM

25、=h,則 OD=2h, OM=V3h, h2+：:= l+4h2,當點B在OC上時，OD=2233綜上所述，當wxw二時，y = 0;當一vxw=時，y= 2x442故答案為：y= 0 (<x<)或 y= 2x- (<x242 46.解：(1)如圖1,連接OA OB過點O作OHLAB于點H,/ AOB 120 ,. OA= OB， OAB等腰三角形，OHL AB ./ AOHk / BOHk 60 , Vs L .AHh O/Sin /AOHh 4X=2/3, 則 A*2A+ 4/3;故答案為4 .二;(2)如圖2,連接AG過點D作DHAC于點E,過點B作BFLAC于點F,(

26、DRBF),四邊形 ABCD勺面積 S=ACX DEACX BF=a1當D E、F、B四點共線且為直徑時，四邊形 ABCD勺面積S最大;/ABO 120° ,AD仔 60° ,AOC 120 ,在AOB,由(1)知，AC= 2x OAsin60 ° =2X6X四邊形ABCD勺面積S的最大值為：xAO BD=：故四邊形ABCD勺面積的最大值為 36百；(3)如圖3,過點D作DKLAB于點K,連接CDA K M 5圖31 QKD J Q則 K陣AM AK= 2-7=77,則 tan / DMK-=2 2KM 2 / DMK30 ,故 ADM直角三角形，同理 CM的直角

27、三角形, 在 RtAADMfr, DM=Up=Tm=W， /DM8 180° -/DMA Z CMB= 60°. AD= BM AM= BC /A= / B= 60° ,RtAADIWRt ABMC(SAS ,DM= CM . CDM等邊三角形；設 I所在的圓的圓心為 R連接DR CR MR . DM= CM RM= RM DR= CR. .DR腓CRMSSS , /DMR /CMR/DM8 30 ,在DMRh, DR= 1, / DMR30 , DM=J1=CM過點R作RHL DMF點H,返則R陣%E =*= 1 = RD cosZDMR 方故H P、C M四點

28、共圓， / DP已 120 ,如圖4,連接MP在PM上取PP' = PC ./ CDIM： 60° =/ CPMP' PC為等邊三角形，則 PP =P' C= PCCD= CM / PM6 / PDC / CP M= 180° / PP C= 120° =Z DPC .PD冬 P' MC(AAS , .PD= P' MP»PC= PP +PD= PP +P' M= PM故當PM是直徑時，P»PC最大彳1為2;.四邊形 DMC的周長=DMCMPGPD= 2dl+PDPC而P»PC最大彳1為

29、2;故四邊形DMC的周長的最大值為：2+2jy即四條慢跑道總長度(即四邊形DMC的周長)最大為2+2后.7.(1)證明：. OQ AP,/ EOC= / OAP / POO / APO又. OP= OA/ APO= / OAP又 / BOO / EOA= / OAP/ PO® / BOQ在 BOQf POQKirOB=OP$ ZBOQ=ZPOQ, ,03=03 .POOR BOQ SAS ,./ OP® / OBQ 90 ,點P在O O上,.PQ是O O的切線；(2)解：. POQPABOQ./ OB® / OP® 90 ,當/BOP= 90°

30、 ,四邊形 OPQ的矩形，而OB= OR則四邊形 OPQ囪正方形，此時點 C點E與點O重合，PE= PO=yAB= 2; : PEL AB,當O仔AG PC= EC四邊形AEO明菱形，. OG= OA= 1, 2PG= /0四62=,2了=代,PE= 2PG= 2 叵故答案為：2; 2 ：'：.8.解：(1) .AB是。O的直徑，DA為OO的切線，切點為 A,DAL ARZ DAB 90° ,.DC為OO的切線，切點為GDG= DA. CD/ AB. D+Z DAB= 180 ,D= 90° , ./ ACD= / DAC= 45° ;(2) AB是。O的

31、直徑，DA為OO的切線，切點為 A,DAL AR，/ DAB= 90° ,D DEA= / EAB，/ADC 90° , / EAD= 30° , ./ DEA= 60° , ./ EAB= 60° , ./ BCE= 120 ,.AB是。O的直徑, ./ BCA= 90° , / ACD 30° , ./DAC= 60° .AB為。O的直徑，./ ACB= 90° ,DCf O O相切，/ OCD 90 ,. OB= BQ. BC= OD= OB= BQ a. BC= OB= OC .OBC1等邊三角形

32、， ./ OBC= / OCB= / COB= 60 , .Z BCD= / OCA 30 , .Z D= / A=30 ;(n)如圖，連接 BE.AB為。O的直徑,./ AEB= 90° ,. AF，CD. Z AFG= 90° ,一/ ACl圓內接四邊形ACEB勺外角, .Z ACF= / ABE ./ FAC= / EAB= 18 ,答：/ FAC的大小為18° .10解：(1)連接OM.PE為。O的切線， .OML PCACL PCOMZ AC / CA附 / AMO. OA= OM / OAM / AMO / CAIW / OAM即AM平分/ CAB(2

33、) / APE= 30° , / MOP/OMP / APE= 90° 30 .AB= 4, . OB= 2, B兒的長為18011. (1)證明：AB是。0的直徑，CA切。0于A,/ C+Z A0仔 90° ;又.OCL AD, ./ OFA= 90° ,/AOC/ BAD= 90 ,. . / C= / BAD又. / BED= / BAD(2)解：由(1)知/ C= Z BAD tan /tan / C=1. tan / C=3 = 0A4-0C,且 0A= AB= 6,2TTT=-T,解得 AC= 8ccT10, OC?A亡 OA?AC6X810

34、32512. (1)證明：PAJfOO相切于點P,BPL AP，/OPD/ DPA= 90 , /OAP/AOP= 90° / OAP= / DPA ./ OPD= / AOP. OD= PD. P0= OD.PO=PD(2)連接PCPB為。O的直徑 ./ BCP= 90°. PO= PD= OD / AOP 60°PA設。O的半徑為x,則PB= 2x, - =tan60JC .PA= ：xAB= JhF+4工2行x . / BPA= / BCP90 , / B= / BBA% BPCBC PB,=而. AC=二V?k-V3 2 乂二二有其 - 7x - V21=

35、 4x：O的半徑為工旦.313.證明：（1）連接OCCF是O O的切線,. OCLCF, /OC曰 90 , Z OCBZ DC曰 90OCB=Z OBQ. PDLAB .Z BPD= 90° , Z OB©Z BDP= 90 .Z BDP=Z DCff / BDfZ CDff .Z DC- CDF. FC= FQ.AB是直徑， ./ ACB=90° , . / BAG= 60 ° / BOe 120° ,丁點E是前的中點, BO號 / COE= 60 ,. OB= OE= OC . BOE OCE勻為等邊三角形，. OB= BE= CE= O

36、C 四邊形BOC是菱形；一股3 =, BC 4 設 AC= 3k, BC= 4k (k>0),由勾股定理得 aC+bC= A氏 即(3k) 2+ (4k) 2= 302,解得k=6,.AC= 18, BC= 24,一點E是標的中點，. OELBC BH= CH= 12,S*A OBE=OE< BH= -yOBx PE 即 15X12=15PE 解彳導:PE= 12, riLd£i由勾股定理得 OP= 7oE2-PE2=a/ 152-122 = 9故答案為：9.14.解：(1)過點E作EHLAF于H,連接OA OE OH如圖1所示: . / ACB= 90° ,

37、AB= 10, AC= 8,bG=VaB2-AC2=V10£-82=6,設運動時間為t ,則AE= 5t , AF= 8t , . /AHE= Z ACB= 90 , / EAH= / BACEAHT BACAE AB Bn l5t 10市=應即：闔=可 .AH= 4t , .FH= AF- AH= 8t -4t=4t , .AH= FH EHL AF,. AEF是等腰三角形,，E為淳的中點，/ EAE / EFA. AH= FH .OHLACE H O三點共線， ./ OAFZ AOE= 90 ,. AB平分/ DAM/ DAE= / EAF= / EFA. / AO號 2 / E

38、FA / AO號 / DAEZ EAF= / DAF ./ DAF+Z OAF= 90° =Z DAO 即 OALAQ. OA O O的半徑，Ag o O相切；故答案為：等腰三角形，相切；（2）連接OA OF OE OE于AC交于H,如圖2所示：由（1）知：EHL AC, EN與。O相切, / OEN 90° , . / ACB= 90° , 四邊形EHCN；矩形，EH= NC在 RtAAHE，”瑞72爪）上（史）2=31，. NC= 3t, 點N為BC的中點，. BC= 2NC= 6t,. BC= 6, 1 6t = 6, t = 1, .AH=4, EH=3,

39、設。O的半徑為x,則OH= x- 3,在 RtAAOhl,由勾股定理得： OA= OH+AH,即 x2= （x 3） 2+42,解得：x = ,25，。0的半徑為詈, . /AOH= 60° 時， AOE等邊三角形， AE= 0A 74° > 60 ,.AE>OA，劣弧窟長度的大于半徑；(3)當點E運動到B點時，t = 10+5=2, .AF= 2X8=16, AE= EF AB= 10,此時AAEF的內心記為 G,當A、E、F重合時，內心為 A點， . AEF的內心運動的路徑長為 AG作GPL AE于P, GQL EF于Q 連接AG GF則CG= PG= NQ

40、如圖3所示：S>aae-"AF?BC=Gx 16 X 6= 48,設 CG= PG= NQ= a,則 Saae-Saag+Saaeb+Safe>7-AF?CGAE?P* EF?NQ=" x (16+10+10) a=48,Q解得：a=a R-J在 RtAAGC, AC+CG= AG,即 82+ (三)2=AG. AG=里嘰3故答案為：駕a；(4)分別討論兩種極限位置，當EN與OO相切時，由(2)知，t=1;當N在。O上，即ON為0O的半徑，連接OA ON OE OE交AC于H,過點O作OKI BC于K,如圖4所示：則四邊形 OKC的矩形，OA= OE= ON.

41、OH= CK AH= 4t , EH= 3t ,設。的半徑為X, 則在 RtAAOHf, AF2+oH2=oA,即（4t） 2+ （x 3t） 2= x：解得：x =2E7. OH= CKK= t - 3t=t , 66在 RtAOKN, OK+KN=ON,即（8 4t） 2+（ 3看t） 2=（普t） 2解得：t =，線段EN與。O有兩個公共點時，t的取值范圍為：1vtw耍,73故答案為：1vtw彳15.解：(1)連接 OE 則/ OCE= / OE仔”，C圖1FE= FG ./ FGE= / FEG= 3， .H是AB的中點，.CHL AB, Z GCH/ CGH a +3 = 90

42、76; , / FEO / FEG/ CEO= a + 3 = 90 , .EF是。O的切線;(2) . CHL AB ./ CBA= / CEB. EF/ BC ./ CBA= / F,故/ F=Z CEB/ FBE= / GBEFE/ EGBB= BGBE(3)如圖2,過點F作FRLCE于點R,c圖2設/ CBA= / CEB= / GFE= 丫，則 tan 丫 =. EF/ BC.Z FEC= / BCG= 3 ,故 BC劭等腰三角形，則 BG= BC= 5/t|,在 RtBCH中,BC= 5/7, tan/CB用tan7=二，34貝U sin r = -7, cos r =一, 55q

43、CH= BQin 丫 = 5行x=緒，同理 HB= 4-J7;設圓的半徑為r,則OB= OH+BH,即 r2= ( r -3/7) 2+ (4行)2,解彳導:r25V?TGHkBG B+ 5%股-4/=邛,tan / GCHGH_3,則 cos / GCH'ttt- v 10則 tan / CGH= 3= tan 3 ,則 cos 3 =y=_,連接DE則/ CED90 ,在Rt"DE中cos / GCH3市=不=屈解得:CE CECc ! ' '1Ctz=23V70在FEG43, cos 3 =?GFG解得：fg=LL；17J? .FH= FGGH=217n

44、/7 3 5177 .HM= FHtan / F=Ax MD= CM CD= CM 2r =空叵.2416. ( 1)證明：連接OD BQ.AB為圓O的直徑， .Z BDA= 90° ,BDC= 180° - 90° = 90° , .E為BC的中點，DE= BC= BE .Z EBD= / EDB. OD= OB ./ OBD= / ODB/ EBD/ DB6 90° , ./ EDBZ ODB 90 , ./ ODE= 90° , .DE是圓O的切線.(2)證明：如圖，連接 BD由(1)知，/ ODE= /ADB= 90 , BD

45、L AC E是BC的中點，O是AB的中點， .OE ABC勺中位線，OB AC. OEL BDOB AC1 = / 2.又.一/ 1 = / A,A= / 2.即在ADBf ODEE, / ADB= Z ODE / A= / 2,. AD& ODEAD AB 口口 AB 2rOD OE' r OEr2= ACPOE2(3) .AB為。O的直徑,.Z ADB= / BDC= 90 ,點E為BC的中點，. BC= 2DE= 8,- sin C="j,.設 AB= 3x, AC= 5x,根據勾股定理得：(3x) 2+82= ( 5x)解得x=2.則 AC= 10.由切割線定

46、理可知：82= (10-AD x 10,解得，AD= 3.6 .17.解：(1)如答圖1,當CDL AB或點D是AB的中點是，CD= AD?BD42(2)作A已BC于點E,由國加二不，tsmC=可設A& 4x,貝U BE= 3x, CE= 6x,BC= 9x= 9, x= 1,，BE= 3, CE= 6, AE= 4,設 DE= a,如答圖2,若點D在點E左側,由點D是BC邊上的“好點”知， AD=BC?CD a2+42= (3a) ( 6+a),即 2a2+3a2=0, 解得 aa?= 2 (舍去)，15如答圖3,若點D在點E右側,由點D是BC邊上的“好點”知， AD=BC?CDa2

47、+42= ( 3+a) (6-a),即 2a2- 3a- 2= 0,解得ai=2,七二卷(舍去) -1!BD= 3+a= 3+2= 5.5BDY或 5.(5)./ CHA= / BHD / ACH= / DBH . AHQ DHBAHDH =BH,即 AH?BH= CWDH. OHL AR .AH= BHB= CH?DH.點H是 BC加CDi上的“好點”.史上.DH 21理由如下：如答圖 4,連接AD BD . / ABD= 90° ,.AD是直徑， .AD= 18.又. OHL AB,.OH/ BD點O是線段AD的中點,，OH ABD勺中位線,，BD= 2OH= 12.在直角 ABD43,由勾股定理知： AB= 7aD2-BD2 = /182-L22 =聞七由垂徑定理得到：BH= AB= 亞.在直角 BDH4 由勾股定理知： DH=7BH2+BBa = 45i-144=V2i.又由知，BHi= CWDH 即 45=3/7CH 則 CH=L二CH麗&V2173215日口 CH工21' 1 DH 2118.解：（1）如圖，連接AN.AC為直徑，. AN!BC .AB= AC AN平分/ BAC PC是圓的切線，.