1、【走向高考】2015屆高考數學一輪總復習 9-2簡單幾何體的表面積和體積課后強化作業 新人教A版基礎鞏固強化一、選擇題1(文)(2013湖南)已知正方體的棱長為1，其俯視圖是一個面積為1的正方形，側視圖是一個面積為的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于()A.B1C.D.答案D解析由棱長為1的正方體的俯視圖及側視圖的面積可知正方體的一條側棱正對正前方，其三視圖如下：故正視圖是長為，寬為1的矩形，其面積為，選D.(理)(2012北京朝陽二模)有一個棱長為1的正方體，按任意方向正投影，其投影面積的最大值是()A1B.C.D.答案D解析如圖1所示是棱長為1的正方體當投影線與平面A1BC1垂直時，平面A

2、CD1平面A1BC1，此時正方體的正投影為一個正六邊形，如圖2，設其邊長為a，則在ABC中，ABBCa，ABC120，a，a，投影面的面積為6()2，此時投影面積最大，故選D.2(文)(2013云南玉溪一中月考)已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的邊長為2的正方形，正視圖與側視圖是邊長為2的正三角形，則其表面積是()A8 B12C4(1) D4答案B解析由題意知，該幾何體為正四棱錐，底面邊長為2，側面斜高為2，所以底面面積為224，側面積為4(22)8，所以表面積為4812.(理)(2013石嘴山市調研)一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積是()A4B6C8D12答案A解析由三視圖可知，

3、此幾何體為高是2，底面為直角梯形的四棱錐，且直角梯形上、下底的長分別為2、4，高為2，故這個幾何體的體積為V(24)224，故選A.3若圓錐軸截面的頂角滿足，則其側面展開圖中心角滿足()A.B.C. D答案D解析，sin，又sin，其側面展開圖中心角2(，)4如圖是某幾何體的三視圖，其中正(主)視圖是斜邊長為2a的直角三角形，側(左)視圖是半徑為a的半圓，則該幾何體的體積是()A.a3B.a3C.a3D2a3答案A解析由側(左)視圖半圓可知，該幾何體與圓柱、圓錐、球有關，結合正(主)視圖是一個直角三角形知該幾何體是沿中心軸線切開的半個圓錐將剖面放置在桌面上如圖，由條件知，圓錐的母線長為2a，底

4、面半徑為a，故高ha，體積Va3.5(文)側棱長為4，底面邊長為的正三棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的表面積為()A76 B68C20 D9答案C解析設球心為O，如圖，球半徑R，S球4R220.(理)(2013安徽六校教研會聯考)四棱錐PABCD的五個頂點都在一個球面上，該四棱錐的三視圖如圖所示，E，F分別是棱AB，CD的中點，直線EF被球面截得的線段長為2，則該球的表面積為()A9 B3C2 D12答案D解析該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體可看作由正方體截得的，則正方體外接球的直徑即為PC.由直線EF被球面所截得的線段長為2，可知正方形ABCD的對角線AC的長為2，可得a2，在PAC

5、中，PC2，球的半徑R，S表4R24()212.6(文)一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切，已知這個球的體積為，那么這個三棱柱的體積是()A96B48C24D16答案B解析已知正三棱柱的高為球的直徑，底面正三角形的內切圓等于球的大圓設底面正三角形的邊長為a，球的半徑為R，則a2R，又R3，R2，a4，于是Va22R48.(理)如圖，在等腰梯形ABCD中，AB2DC2，DAB60，E為AB的中點，將ADE與BEC分別沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點P，則三棱錐PDCE的外接球的體積為()A.B.C.D.答案C解析根據題意折疊后的三棱錐PDCE為正四面體，且棱長為1，以此正四面體

6、來構造正方體，則此正方體的棱長為，故正方體的體對角線的長為，且正方體的外接球也為此正四面體的外接球，外接球的半徑為，V球r33，選C.二、填空題7若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的表面積是_cm3.答案11224解析由三視圖知，該幾何體是一個正四棱臺和一個正四棱柱的組合體，四棱臺下底面邊長為8，上底面邊長為4，高為3，故棱臺的斜高h.上面正四棱柱底面邊長為4，高為2，則表面積為S444(42)884(48)11224(cm3)8.如圖所示，在ABC中，C90，A30，BC1.在三角形內挖去半圓(圓心O在邊AC上，半圓分別與BC、AB相切于點C、M，與AC交于點N)，則圖中陰

7、影部分繞直線AC旋轉一周所得旋轉體的體積為_答案解析陰影部分繞AC旋轉一周所得旋轉體為圓錐中挖去一個球，圓錐的體積V12，球體積V13，故所求體積為.9側棱長為2的正三棱錐VABC中，AVBBVCCVA40，過點A作截面AEF，則截面AEF周長的最小值為_答案6解析沿側棱VA剪開，側面展開如圖，線段AA1的長為所求AEF周長的最小值，取AA1中點D，則VDAA1，AVD60，AA12AD6.三、解答題10(文)(2012新課標全國文，19)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側棱垂直于底面，ACB90，ACBCAA1，D是棱AA1的中點(1)證明：平面BDC1平面BDC；(2)平面BDC1分此

8、棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比分析(1)證兩個平面垂直，可轉化為在其中一個平面內找到一條直線與另一個平面垂直；(2)平面BDC1分棱柱成兩部分，下面部分BADC1C為四棱錐，可直接求體積，上面部分可用間接法求得體積，從而確定兩部分體積之比解析(1)證明：由題設知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由題設知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.(2)設棱錐BDACC1的體積為V1，AC1.由題意得，V111.又三棱柱ABCA1B

9、1C1的體積V1，所以(VV1)V111.故平面BDC1分此棱柱所得兩部分體積的比為11.點評本題考查線面的位置關系及幾何體體積的求法求解幾何體的體積時，若遇不規則的幾何體時，經常采用割補法和間接法求其體積(理)如圖，已知四棱錐PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABDC，ABC45，DC1，AB2，PA平面ABCD，PA1.(1)求證：AB平面PCD；(2)求證：BC平面PAC；(3)若M是PC的中點，求三棱錐MACD的體積證明(1)由已知底面ABCD是直角梯形，ABDC，又AB平面PCD，CD平面PCD，AB平面PCD.(2)在直角梯形ABCD中，過C作CEAB于點E，則四邊形ADCE為

10、矩形，AEDC1又AB2，BE1，在RtBEC中，ABC45，CEBE1，CB，ADCE1，則AC，AC2BC2AB2，BCAC.又PA平面ABCD，PABC，又PAACA，BC平面PAC.(3)M是PC中點，M到平面ADC的距離是P到平面ADC距離的一半VMACDSACD(PA)(11).能力拓展提升一、選擇題11(2013河北教學質量監測)已知正六棱柱的12個頂點都在一個半徑為3的球面上，當正六棱柱的底面邊長為時，其高的值為()A3B.C2D2答案D解析設正六棱柱的高為h，則可得()232，解得h2.12如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2.動點E、F在棱A1B1上，點Q是棱CD

11、的中點，動點P在棱AD上若EF1，DPx，A1Ey(x，y大于零)，則三棱錐PEFQ的體積()A與x、y都有關B與x、y都無關C與x有關，與y無關D與y有關，與x無關答案C解析設P到平面EFQ的距離為h，則VPEFQSEFQh，由于Q為CD的中點，點Q到直線EF的距離為定值，又EF1，SEFQ為定值，而P點到平面EFQ的距離，即P點到平面A1B1CD的距離，顯然與x有關與y無關，故選C.13(2013天津新華中學月考)如圖是一個幾何體的正視圖、側視圖、俯視圖，則該幾何體的體積是()A24 B12C8 D4答案B解析由三視圖可知，該幾何體由兩個相同的直三棱柱構成，三棱柱的高為4，三棱柱的底面為直

12、角三角形，兩直角邊分別為2，所以三棱柱的底面積為2，所以三棱柱的體積為46.即該幾何體的體積為2612.故選B.二、填空題14(2013山西診斷)已知三棱錐PABC的各頂點均在一個半徑為R的球面上，球心O在AB上，PO平面ABC，則三棱錐與球的體積之比為_答案解析如圖，依題意，AB2R，又，ACB90，因此ACR，BCR，VPABCPOSABCR(RR)R3.而V球R3，因此VPABCV球R3R38.15(文)(2013杭州二模)已知正三棱柱ABCABC的正視圖和側視圖如圖所示設ABC，ABC的中心分別是O，O，現將此三棱柱繞直線OO旋轉，在旋轉過程中對應的俯視圖的面積為S，則S的最大值為_答

13、案8解析據正視圖與側視圖知，該三棱柱的初始狀態是水平放置的，直觀圖如圖所示據所給的數據知，底面正三角形的高是，底面邊長是2.將三棱柱繞OO旋轉時，俯視圖是矩形，該矩形的一組對邊的長度保持不變(長度為4)，另一組對邊長度不斷變化，在底投影面上的投影的長度的最大值為2，S的最大值為428.(理)已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面為直角三角形，ACB90，AC6，BCCC1，P是BC1上一動點，如圖所示，則CPPA1的最小值為_答案5解析PA1在平面A1BC1內，PC在平面BCC1內，將其鋪平后轉化為平面上的問題解決計算A1BAB1，BC12，又A1C16，故A1BC1是A1C1B90的直角三

14、角形鋪平平面A1BC1、平面BCC1，如圖所示CPPA1A1C.在AC1C中，由余弦定理得，A1C5，故(CPPA1)min5.點評多面體或旋轉體表面上兩點的最短距離問題，一般選擇恰當的棱或母線剪開展平，轉化為平面上兩點間線段最短問題解決三、解答題16(文)如圖1，在直角梯形ABCD中，ADC90，CDAB，AB4，ADCD2，將ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到幾何體DABC，如圖2所示(1)求證：BC平面ACD；(2)求幾何體DABC的體積解析(1)證明：由條件可得ACBC2，從而AC2BC2AB2，故ACBC.又平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，BC平面ABC，

15、BC平面ACD.(2)由(1)可知BC為三棱錐BACD的高，BC2，SACD2，VBACDSACDBC22，幾何體DABC的體積為.(理)(2013新課標)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(1)證明：BC1平面A1CD；(2)設AA1ACCB2，AB2，求三棱錐CA1DE的體積解析(1)證明：如圖，連結AC1交A1C于點F，則F為AC1中點，又D是AB中點，連結DF，則BC1DF，因為DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)因為ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD.由已知ACCB，D為AB的中點，所以CDAB.又AA1ABA

16、，于是CD平面ABB1A1.由AA1ACCB2，AB2得，ACB90，CD，A1D，DE，A1E3，故A1D2DE2A1E2，即DEA1D所以VCA1DE()1.考綱要求了解球、柱、錐、臺的表面積和體積的計算公式補充說明1棱錐的平行于底面的截面性質：棱錐被平行于底面的平面所截，截面與底面相似，相似比等于截得小棱錐與原棱錐的對應邊(側棱、高)的比面積比等于相似比的平方，若棱錐為正棱錐，則兩底面對應半徑的比、對應邊的比、對應邊心距的比、斜高的比都等于相似比2空間幾何體的表面積、側面積計算一般都可以轉化為平面圖形的面積計算；將圓柱、圓錐、圓臺的側面展開是把立體幾何問題轉化為平面幾何問題處理的重要手段

17、之一；關于球的問題中的計算，常選取球的一個大圓，化“球”為“圓”，應用平面幾何的有關知識解決3根據幾何體的結構特征判斷幾何體的類型，首先應熟練掌握各類幾何體的概念和性質，其次要有一定的空間想象能力4轉化思想立體幾何處理問題的一個基本思想就是轉化，包括復雜向簡單轉化，高維向低維降維轉化等等，割補法、等積變換、卷、折、展都是轉化思想在處理立體幾何問題中的體現(1)割補法割補法是割法與補法的總稱補法是把不熟悉的(或復雜的)幾何體延伸或補成熟悉的(或簡單的)幾何體，把不完整的圖形補成完整的圖形割法是把復雜的幾何體切割成簡單的幾何體(2)等積變換在求幾何體的體積、高(點到面的距離)等問題時，常常要通過等

18、積變換來處理，等積變換的主要依據有：平行線間距離處處相等平行平面間的距離處處相等若l，則l上任一點到平面的距離都相等等底面積等高的柱(錐)體的體積相等，錐體的體積是等底面積等高的柱體體積的.三棱錐ABCD中，有VABCDVBACDVCABDVDABC.(3)卷起、展開與折疊將平面圖形卷成旋轉體(或將旋轉體側面展開)、將平面圖形折成多面體，要注意折(卷、展)前后幾何量的對應關系和位置關系，弄清哪些量發生了什么變化，哪些量沒有變化，特別注意其中的平行、垂直位置關系多面體或旋轉體的表面距離最值問題，常通過展開圖來解決(4)對于某些簡單幾何體的組合體問題，常常通過作出截面，使構成組合體的各簡單幾何體的元素，相對地集中在一個平面圖形中，以達到空間問題向平面問題的轉化備選習題1已知S、A、B、C是球O表面上的點，SA平面ABC，ABBC，SAAB1，BC，則球O的表面積等于()A4B3C2D答案A解析ABBC，AC為截面圓的直徑，AC中點為截面圓的圓心設D為AC中點，連OD，則OD平面ABC，SA平面ABC，SAOD.連