1、 中學(xué)數(shù)學(xué)教育論文中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論文:中學(xué)教學(xué)減元策略這里所謂的減元不僅是指減少變?cè)膫€(gè)數(shù),而且還包括降低變?cè)拇螖?shù)以及減少變?cè)霈F(xiàn)的頻率等,由于減元策略的應(yīng)用融匯于多種數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)知識(shí)之中,掌握了它,就能較大地提高解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。1、巧設(shè)減元在應(yīng)用待定系數(shù)法解題時(shí),有的問(wèn)題根據(jù)題目的特點(diǎn),可以使待定的系數(shù)盡量減少,例如三個(gè)數(shù)成等差一般可設(shè)為:、,四個(gè)數(shù)成等差可設(shè)為:、,同樣三個(gè)或四個(gè)數(shù)成等比則可設(shè)為:、和、,這樣就把原本是三個(gè)或四個(gè)變?cè)膯?wèn)題變成僅有兩上變?cè)恕Ｔ偃缜髾E圓或雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),若已知離心率,則方程可設(shè)成僅含或之一的形式,這樣就把含有兩個(gè)未知量的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成僅有一個(gè)變量的問(wèn)題

2、。2、消元減元解方程時(shí),一般是通過(guò)代入消元法或加減消元法使變?cè)饾u減少,直至化成一元一次或一元二次方程。對(duì)于有些數(shù)列中在與并存的情況下,往往可以用減元,將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為僅含(或的遞推關(guān)系。而數(shù)列求和中的消項(xiàng)法,就是通過(guò)裂項(xiàng),消掉中間的一些變?cè)蠡?jiǎn)或求值的。例如:設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知+=,(1求數(shù)列的通項(xiàng)公式。(2求。(1首先利用,將含、的關(guān)系式減元轉(zhuǎn)化為的形式。再通過(guò)構(gòu)造得出新等比數(shù)列,從而可求出。(2從原式直接求和很難計(jì)算,若將通項(xiàng)拆開(kāi)成為的形式,就可以消項(xiàng)減元將其化為。3、分離變量減元在一個(gè)表達(dá)式中有兩個(gè)變量,有時(shí)可以通過(guò)其中一個(gè)的變化來(lái)確定另一個(gè)變化范圍,這就需要將兩個(gè)變量分離開(kāi)。例如

3、:已知是實(shí)數(shù),函數(shù),若在區(qū)間-1,1上有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍。此題條件清晰,學(xué)生易想到討論零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解,但過(guò)程繁瑣,不易求解。若將其轉(zhuǎn)化為將其分離參量變形為,求函數(shù)的值域則容易解答,避免較復(fù)雜的討論。分離變量減元的方法尤其在有些含兩個(gè)未知量恒成立的題目中常使用。例如:對(duì),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。本題若化為,則需以是否在-1,1內(nèi)分類討論。若換一個(gè)角度,將變量m和分離開(kāi),即將原式化為=只要求出的最大值,m大于此最大值即可。4、換元引參減元換元法在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中倍受青睞的重要原因就是具有減元的功能。例如:點(diǎn)P是橢圓上動(dòng)點(diǎn),求的最大值。設(shè),就從兩個(gè)變?cè)蜏p為一個(gè)變?cè)?再令,將和換成一個(gè)變

4、元t的形式。通過(guò)配方再將t 出現(xiàn)的頻率由兩次減為一次,即,由二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值的求法可順利得出的最大值。5、整體代換減元整體求解有時(shí)運(yùn)用設(shè)而不求的方法,能使看似無(wú)法解決的問(wèn)題迎刃而解。在解析幾何中,與弦的中點(diǎn)與及斜率有關(guān)的軌跡問(wèn)題可以利用點(diǎn)差法設(shè)而不求。例如:求橢圓的斜率為的弦的中點(diǎn)的軌跡方程。設(shè)弦所在直線的斜截式方程,與橢圓方程聯(lián)立得關(guān)于的二次方程,由韋達(dá)定理求解,此法 雖屬常規(guī)但計(jì)算量較大,若設(shè)某弦端點(diǎn)A、B,其中點(diǎn)為P,利用點(diǎn)差法得,則,整理后就得所求中點(diǎn)的軌跡方程,但要注意自變量的取值范圍。再比如:已知長(zhǎng)方體的全面積為11,其12條棱的長(zhǎng)度之和為24,求此長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)。設(shè)長(zhǎng)方

5、體的長(zhǎng)、寬、高分別為、,由題設(shè)得,4,設(shè)對(duì)角線長(zhǎng)為l,則,如何使這三個(gè)關(guān)系聯(lián)系起來(lái)是求解的關(guān)鍵,其紐帶就是=,有了此式就可通過(guò)整體代換求解兩個(gè)方程三個(gè)未知元的問(wèn)題,得出對(duì)角線長(zhǎng)是5。可見(jiàn)運(yùn)用整體代換的減元方法能夠拓寬解題的空間,使“不可能成為可能”。6、降冪減元解高次方程通常是采用降冪的方法,即利用因式分解或換元法將其化成幾個(gè)一次或二次方程求解,但如何轉(zhuǎn)化也要講究策略和方法。例如:已知關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根,求證:方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根。由題設(shè)條件易得到的條件,但據(jù)此條件判定此四次方程根的情況卻有難度,雖然降冪的原則人人皆知,但怎樣將其分解成兩個(gè)二次方程卻無(wú)一般的方法。由于二次方程有兩個(gè)

6、不等實(shí)根,可設(shè)其為和,由韋達(dá)定理得,將其代入四次方程應(yīng)用十字相乘法,原四次方程就可分解成。由和,不難證明兩個(gè)二次方程各有兩個(gè)不等實(shí)根且無(wú)公共根。在復(fù)數(shù)的問(wèn)題中,可通過(guò),降冪,若z是虛數(shù)且是實(shí)數(shù),也可用其降冪。例如,若,求。應(yīng)用錯(cuò)位相減的方法,同時(shí)配以進(jìn)行降冪,可得,很快能計(jì)算出的值為。在三角問(wèn)題的求解中,降冪也是很重要的方法,降冪除了用降冪公式外,平方關(guān)系也發(fā)揮著重要的作用。例如:求函數(shù)的值。此題只有將其降冪才能求解,原函數(shù)可化為,再由倍角公式和降冪公式,可將其降冪為,此時(shí)易求值域?yàn)椤?、變更主元減元人們的思維習(xí)慣是以為自變量,其它字母為變量,有時(shí)若打破定勢(shì),變更主元思考卻能優(yōu)化解題。例如:設(shè)

7、,若在區(qū)間-2,2上變化時(shí),m值恒正,求的取值范圍。此題從二次方程根的分布角度求解是很麻煩的,但若將m看成是t的函數(shù),則把二次轉(zhuǎn)化成一次,易由且求出的范圍是。再比如:已知(0,1,求證:對(duì)于一切都有此不等式的次數(shù)從4次到0次,難以從正面突破,若將主元由變?yōu)榫褪乖}變成證明(0,1,恒成立。二次項(xiàng)系數(shù),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),且。因此(0,1時(shí),成立,這里根據(jù)解題需要適時(shí)變更主元,降低了變?cè)拇螖?shù),化繁為易。8、配方或配項(xiàng)減元有些函數(shù)在幾處出現(xiàn)同一變量,由于多處都在變化,因此較難討論其性質(zhì),比如對(duì)于二次函數(shù),通過(guò)配方把函數(shù)化為的形式,就把函數(shù)從原來(lái)兩處出現(xiàn)變成一處,其性質(zhì)就顯而易見(jiàn)了。又對(duì)于形如的函數(shù),當(dāng)

8、其系數(shù)滿足一定的條件時(shí)求最值的問(wèn)題,通過(guò)配方及配項(xiàng)可將出現(xiàn)的頻率減小,從而可以應(yīng)用不等式中單調(diào)性求解。例如:森林失火了,火勢(shì)正發(fā)每分鐘100平方米的速度順風(fēng)蔓延,消防隊(duì)接到報(bào)警后,在失火后5分鐘到達(dá)現(xiàn)場(chǎng)開(kāi)始救火,已知消防隊(duì)員在現(xiàn)場(chǎng)平均每人每分鐘可滅火50平方米,所消耗的滅火材料、勞務(wù)津貼等費(fèi)用平均每人每分鐘125元,另附加每次救火所損耗的車輛、器械 和裝備等費(fèi)用平均每人100元,而每燒一平方米森林的損失為60元,設(shè)消防隊(duì)派了名消防隊(duì)員前去救火,從到達(dá)現(xiàn)場(chǎng)開(kāi)始救火到把火完全撲滅共耗時(shí)n分鐘。(注:失火的森林每平方米均為消防隊(duì)員撲滅(1試用表示n;(2問(wèn)為何值時(shí),才能使總損失最小。其建模是比較容易

9、的,根據(jù)題意不難列出n、的關(guān)系式,從而得,若設(shè)總損失為,則,將入整理得,很多學(xué)生都能列出此式,對(duì)于此系數(shù)較大的函數(shù)形式,若通分就形成了分子二次分母一次的分式形式,將使一部分學(xué)生不知所措,實(shí)際上只要應(yīng)用減元的方法,將其配項(xiàng)成為的形式,由均值不等式可求解,即當(dāng)為27時(shí),損失最小為36450元,9、異名化同名減元有些結(jié)論和公式除了各自的功能外也具有減元的功能。例如,可以通過(guò),將含兩個(gè)函數(shù)和的表達(dá)式異名化同名,即化成一個(gè)角一個(gè)函數(shù)的形式,這樣就有利于使用三角函數(shù)有界性解決有關(guān)問(wèn)題。例如:求函數(shù)的值域。此題解法比較多,其中展開(kāi)整理成形式的思路比較自然,然而有些學(xué)生對(duì)繼續(xù)求出的范圍還不十分清楚,主要是減元的思想還不明確,其實(shí)只要將其減元