1、考點(diǎn)50 橢圓1.（北京市昌平區(qū)2019屆高三5月綜合練習(xí)二模理）嫦娥四號(hào)月球探測(cè)器于2018年12月8日搭載長(zhǎng)征三100公里，遠(yuǎn)月點(diǎn)與月球表面距離為號(hào)乙運(yùn)載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射.12日下午4點(diǎn)43分左右，嫦娥四號(hào)順利進(jìn)入了以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓形軌道，如圖中軌道所示，其近月點(diǎn)與月球表面距離為400公里.已知月球的直徑為 3476公里，則該橢圓形軌道的離心率約為【解析】B.40C.D.如下圖，F(xiàn)為月球的球心，月球半徑為:1X3476= 1738,2依題意,| AF | = 100 + 1738= 1838,| BF | = 400 + 1738=2138.2a= 1838 + 213

2、8,a= 1988,a+c=2138,c= 2138 1988= 150,一、C1503橢圓的離心率為：ec-150-a198840選B.y22.（山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)等四校2019屆高三聯(lián)合考試?yán)恚┮阎獧E圓卷 1 , a b 0的左、右焦b點(diǎn)分別為Fi, F2, M為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的一點(diǎn),MF1F2的內(nèi)心為I ,直線MI交x軸于點(diǎn)E,若MIIE2 ,則橢圓C的離心率是（）A,顯2【解析】E解：MF1F2的內(nèi)心為I ,連接IFi和尸2,MF1 MI可得IFi為MF1F2的平分線，即有哥哥，F(xiàn)1EIEMF2MIF2EIE可得MFiMF2即有即有FiEF2EMI 2而2MF1F1E|mf2EF22a

3、 c2 , 2c3.（內(nèi)蒙古2019屆高三高考一模試卷數(shù)學(xué)理）以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為直徑的端點(diǎn)的圓與橢圓交于四個(gè)不同的點(diǎn)，順次連接這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰好組成一個(gè)正六邊形，那么這個(gè)橢圓的離心率為（）C.返2D.百2A.B.C.【答案】B【解析】解：設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為 E,F2,圓與橢圓交于 A,B ,C ,D四個(gè)不同的點(diǎn)設(shè) F1F2 2c，則 DE c, DF2 J3c.橢圓定義得 2a |DF1| |DF2| /3c c,所以 e .31,a 3 1故選：B.4.（廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)2019屆高三適應(yīng)性考試（6月）數(shù)學(xué)理）在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知點(diǎn)A, F22分別為橢圓C:Xy -yy

4、1（a b 0）的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線交橢圓C于P,Q兩點(diǎn)，線a b段AP的中點(diǎn)為M，若Q, F, M三點(diǎn)共線，則橢圓 C的離心率為（）【解析】如圖設(shè) P X0,y0 , Q Xo, v。又 A(a,0), F(c,0),QQ,F,M三點(diǎn)共線,kMFkQFV。c x血02x° ac2y°x0yox0 a 2c 'Xoxo a 2c,3c,1一，故選A.32yyi a b 0 的b22x5 .（陜西省漢中市2019屆圖三全真模擬考試數(shù)學(xué)理）已知Fi、F2分別是橢圓C：a左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) A是Fi關(guān)于直線bx ay ab的對(duì)稱點(diǎn)，且AF2 x軸，則橢圓C的離

5、心率為【解析】F1、F2分別是橢圓2 y b21(ab 0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) A是Fi關(guān)于直線bx ay ab的對(duì)稱點(diǎn)，且AF2 x軸，可得 AF2的方程為AFi的方程yc)，可得2ac、A(c,),bacAFi的中點(diǎn)為（0丁），代入直線bx ayab,可得:ac b2可得e2e i 0,解得e故選:V2 X2y21 a b 0b2的右焦點(diǎn),A是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，直線 AF與橢圓另一交點(diǎn)為L(zhǎng) uuuvB，且 AF2Fuv,則橢圓的離心率為6 .（河南省洛陽市2018-2019學(xué)年圖二5月質(zhì)量檢測(cè)（期末）數(shù)學(xué)（理）已知F是橢圓 ？ a2。2a 3c3【解析】設(shè)A 0,y軸，垂足為C,如下圖所示

6、:uuv L 則：AFJb,uuiv UUV/口由AF 2FB得:uuv AF uuv ABcuuvBCuuvBC3c,即:2Xb由橢圓的焦半徑公式可知:uuv AF uuv FBa exBuuv BFexBc 3c a 22,整理可得:本題正確結(jié)果：蟲37.（安徽省合肥市 2019屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)理）如圖是數(shù)學(xué)家 Germinal Dandelin用來證明一個(gè)平面截圓錐得到的截口曲線是橢圓的模型（稱為“DandelinM球”）；在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的小球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面、截面相切，設(shè)圖中球。1,球。2的半徑分別為3和1,球心距離 OO28,截面分別與球Oi ,球O2切

7、于點(diǎn)E , F , （ E , F是截口橢圓的焦點(diǎn)），則此橢圓的離心率等于 .5【解析】如圖，圓錐面與其內(nèi)切球 Oi , O2分別相切與B,A,連接OiB,02 A則OiBA AB , 02AA AB，過。i作QDA 02A垂直于D ,連接O1FQ2E , EF交OQ2于點(diǎn)C設(shè)圓錐母線與軸的夾角為，截面與軸的夾角為在 RtDOQzD 中，DO2 =3- 1 = 2 , QD =a2- 22 = 2壓OiD 2、15.15cosa =-=O1O284Q O1O2 8CO2 =8 - O1CQ DEO2C : DFO1C8- O1C _ 01c o2e -01F解得0iC=2CF = 'O

8、iC2- FOi2 = . 22- 12 = .3即 cosb =史-= OiC2則橢圓的離心率e= cosb_= 2 =2_3cosa ； 15548 .（吉林省長(zhǎng)春市北京師范大學(xué)長(zhǎng)春市附屬中學(xué)2019屆高三第四次模擬考試）已知橢圓22E：、匕:21 2a bi a b o與y軸正半軸交于點(diǎn)m o, J3 ,離心率為:.直線i經(jīng)過點(diǎn)pt,o 0 t a和點(diǎn)Q 0,1 .且與橢圖E交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第二象限）（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;uuu uuu（2）右 AP PB，當(dāng) o2 303時(shí)，求 的取值范圍.3【解析】c 1解析：（1）.由題意，e 且b J3 ,所以a 2,a 2所以橢圓E的

9、標(biāo)準(zhǔn)方程為(2).因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)P t,0a和點(diǎn)Q 0,1 ,八一， 1所以直線l的斜率為一，設(shè)l :y1，-x 1 ,將其代2入橢圓方程之421中,3消去 x 得 3t2 4 y26t2y3t2120,時(shí)，設(shè) A x1,y1、B X2,y2則 yy2uuu因?yàn)锳P6t23t2 4uuuPB，所以聯(lián)立,消去y1、3t2y1y1y2Xi, yiy ，整理得X2t, y2 ,所以1224t2 1yiy2t號(hào)味y21y212,412,6t23t2 40且V21, 29.(山東省威海市2019屆高三二模考試數(shù)學(xué)理)在直角坐標(biāo)系2一XxOy中，設(shè)橢圓C : a2y 1(a b 0) b2的左焦點(diǎn)為(I

10、)求橢圓C的方程; _1 ,F1,短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為 A,B,且 AF1B 60 ,點(diǎn)(V3-)在C上.(n)若直線l：y kx m(k 0)與橢圓C和圓。分別相切于P,Q兩點(diǎn)，當(dāng)OPQ面積取得最大值時(shí)，求直線 l的方程.2【答案】(I ) y2 1.( n ) y x 75.4【解析】(I )由 AF1B 60，可得 a 2b,131由橢圓C經(jīng)過點(diǎn)(乖,),得1, 24b4b由得a2 4,b2 1 ,2所以橢圓C的方程為x- y21 .42 X 2. y 122 一2_(n)由 4消去 y整理得 1 4k x 8kmx 4m 40(*),y kx m由直線l與橢圓相切得，222264k2m

11、2 16 m2 1 1 4k20,整理得m2 4k2 1 ,故方程(*)化為m2x2 8kmx八r4k解得x 'k ,m4 km設(shè) p x1，y1 ,則 x1 21 4k4k 1因此 P(4,1). m m又直線l : y kx m(k16k2 0 ,即(mx 4k)2 0 ,，故 y1kx1 m 一 ,mmO相切，可得|OQ| J m 1 k所以 |PQ| , | OP 2 |OQ|216k2 1m2 m21 k2所以O(shè)PQ1 八 “2|PQ|OQ|1 16k2 1m2 _|m|_2 m21 k2 1 k2將m2 4k2 1式代入上式可得1 16k2 1 4k2 1 4k2 11 4

12、(4k2 1) 3 4(k2 1) 34k2 1OPQ 2 4k2 11 k2 1 k22 4k2 11 k2 1 k21 / 9k2卜k2 1 1 3k - -2 ： (4k2 1)(k2 1) 1 k22 1 k22 k 1S 313所以SOPQ 2 1 4,當(dāng)且僅當(dāng)k 1時(shí)等號(hào)成立，即k 1時(shí)Sopq取得最大值. kk由 m2 4k2 1 5,得 m 旗, 所以直線l的方程為y x J5 .22x y10.（山東省日照市2019屆高三5月校際聯(lián)合考試數(shù)學(xué)理）如圖，已知橢圓E： 二 1 a>b>0 ,a buuu uurA 4,0是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)，弦 BC過橢圓的中心 O,且c

13、osOACA2月 uuLT,OC13uuuOBluut2 BCuuuBA（1）求橢圓E的方程.（2）過橢圓E右焦點(diǎn)F的直線，交橢圓E于A1,B1兩點(diǎn)，交直線x 8于點(diǎn)M ,判定直線CA1,CM ,CB1的 斜率是否依次構(gòu)成等差數(shù)列？請(qǐng)說明理由.22【答案】（1） 土匕1；（2）是，理由見詳解16 12【解析】lut uuu(1)由 OC OBLUU2 BCLUTUTT LUUTulutLUTBA，得 BC 2 AC ,即 OC 2 AC ,所以 AOC是等腰三角形，又a OA 4, 點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2；LUU LUU 2 13又 cos OACA ，1322 J3設(shè)點(diǎn) C 的縱坐標(biāo)為 yC,2

14、22,解得 yC3,yC 213應(yīng)取 C(2,3),-cr22又點(diǎn)c在橢圓上，2423 1,解得 b2 12, b22所求橢圓的方程為 162L 1；12(2)由題意知橢圓的右焦點(diǎn)為F(2,0) , C(2,3),由題意可知直線 CA，CM ,CB,的斜率存在,設(shè)直線AiBi的方程為y k(x 2),2代入橢圓x.162 y121 并整理，得(3 4k2)x2 16k2x 16k2 48 0；設(shè) A(xhyj ,B(x2, y2),直線CA，CM,CBi的斜率分別為k1, k2, k3 ,則有Xx216k23 4k216k2 483 4k2可知M的坐標(biāo)為M(8,6<)；kk13y23kI

15、Y|qx2x22x 2 3x1 2k x2 2 3為22k3?x1 x2 4 x1x2 4 2(x1 x2)又2k26k 32? 2k 1;8 2所以kik3 2k2,即直線CA,CM ,CBi的斜率成等差數(shù)列.11.(天津市河北區(qū) 2019屆高三一模數(shù)學(xué)理)已知橢圓 C:2y2 1(a b 0)過點(diǎn) 2,1 b2,且離心率為(I )求橢圓C的方程;(n )若過原點(diǎn)的直線 與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，且在直線l2:xy2n0上存在點(diǎn)M,使彳導(dǎo)VMPQ為等邊三角形，求直線11的方程。【答案】（I1 ( n ) y=0 或 y= 2 x 31b2由題ab2田解得22 ca=2、,2,b=:2,c= .

16、6 ,一 、一 x2橢圓C的方程為一 8（n）由題，當(dāng)li的斜率k=0時(shí)，此時(shí)PQ=4 72,直線12:x y 2品 0與y軸的交點(diǎn)（0, 2 J6）滿足題意;當(dāng)li的斜率k 0時(shí),設(shè)直線11kx,與橢圓聯(lián)立kx2y2得 1 4k2 x2 =8, x2 18 、兒2，設(shè) P1 4k（茂，yo）,則 Q（x。，yo)2x0822,y。1 4k28k21 4k2 ,PO8 1 k21 4k2，又PQ的垂直平分線方程為1x,由 k1x k2626k x k 12、6 , y k 12、6k2、；6MO24 k2 12k 1，: VMPQ為等邊三角形MO 拘 PO24 k2 1k 1 28 1 k2-

17、，解得k=0(舍去),1 4k2k=23直線l1的方程為y=-x3綜上可知，直線11的方程為y=0或y=2x.312.（湖南省2017屆高三高考沖刺預(yù)測(cè)卷六理）已知橢圓2 y b2b 0的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為M ,下頂點(diǎn)為N,B是ON的中點(diǎn)（O為原點(diǎn)），連接AB并延長(zhǎng)交橢圓AM MC .(1)求橢圓E的離心率;(2)若D是E上一點(diǎn)，以MD為直徑的圓經(jīng)過橢圓 E的右焦點(diǎn)，求直線 MD的斜率.咯案】e /k22 1試題分析：(1)求出C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù) AM【解析】MC可得a2 3b2 ,結(jié)合a2 b2 c2可得結(jié)果；(2)方程為y kx by,由 3b2kx b2y聲,結(jié)合韋達(dá)定理可得D1uuuu

18、urnr點(diǎn)坐標(biāo)，利用FM FD0列方程，進(jìn)而可得結(jié)果試題解析：(1) A a,0 ,B 0, b，直線AB方程為- 2y 1, 2a ba由 2 xa2yb2 y b2得C點(diǎn)坐標(biāo)13a54b5AMMC,M 0,b ,4b53a 0,22.2 b c , c2b2,，離心率e2.6一；33(2)分析題意，易知直線MD的斜率存在，設(shè)方程為 y kx b ,y kx b由 x2y2得D2-213b b26kb 6k b1 3k2,1 3k2b ,由以MD為直徑的圓經(jīng)過右焦點(diǎn)F c,0 得2山山"6kb - 6kbFM FD 0, - c,b ? d ok2 c, d b 0,I 3k I

19、3kc2 2b2,k2 272k 1 0， k72 12213. (2017屆安徽省合肥市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)理)已知點(diǎn)點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，直線F為橢圓E:j七 1(a b 0)的左焦 a bx y 1與橢圓E有且僅有一個(gè)交點(diǎn) M4 2(I )求橢圓E的方程;E交于兩不同點(diǎn)A, B,若(n)設(shè)直線1_y 1與y軸交于p ,過點(diǎn)p的直線與橢圓4 2PMPA PB ,求實(shí)數(shù) 的取值范圍.22亍%341 .【解析】(I)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只要求出參數(shù)a,b ,由于有2,2a bc2,因此要列出關(guān)于 a,b,c的兩個(gè)方程，而由條件兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形得a

20、 2c,b . 3c ,再利用已知直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，即判別式為 0可求得橢圓方程;(n )由(I )得點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而可得 PM ,要求 范圍只要求得 PA PB的范圍，為此可直線 AB分類，對(duì)AB斜率不存在時(shí)，求得 PA PB ,而當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，可設(shè)出直線方程為 y kx 2,同時(shí)設(shè)A(xi,yj Bd, y),則PA PB (1 k2) XX2 ,由韋達(dá)定理可把 pA 1PB表示為k的函數(shù)，注意直線與橢圓相交，判別式 0,確定k的范圍，從而可得 PAPB的范圍，最后可得的取值范圍.試題解析：(2I)由題意，得a 2c, b 辰，則橢圓E為：三 4 c22或13c2，由 4x

21、42y3工22c，得 x2 2x 4 3c2 0 ,Q直線工y4 21與橢圓E有且僅有一個(gè)交點(diǎn)3c2橢圓E的方程為2y31與y軸交于P 0,2PM當(dāng)直線l與X軸垂直時(shí),PA PB2由 PM | PA PB當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y kx 2, A為，0,B X2, y2y kx由223x2 4y2124k216kx依題意得,X1X243 4k2484k2PA11PB2kx1x2k243 4 k214k2綜上所述,14k2的取值范圍是5,1 .14.（山西省晉城市2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)理）已知ABC的周長(zhǎng)為6, B,C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且B(1,0）.點(diǎn)A的軌跡為求的方程;

22、若D( 2,0),直線l:y k(x 1)(k 0)與交于 E,1F兩點(diǎn)，若,一kDE k成等差數(shù)列，求的值.x 2 ; ( n ) 2.(I)依題意，B( 1,0) , C(1,0),故 BC 2,則 AB AC 4 BC 2,故點(diǎn)A的軌跡是以B, C為焦點(diǎn)的橢圓（不含左、右兩頂點(diǎn)）21(x2).的方程為土4）依題意，21kDEkkDE聯(lián)立 y 2 k(x 21)3x2 4y2 12整理得04k228k2x2_4 k2 12 0.設(shè) E(xi,yi),F(x2, y2),則XiX28k2X1X22_4k2 1223 4k2,k故 kDEkkDFk x1 2k x2 2k x115.y1y2x

23、1k x2 2k x2 13x1 13x2 18k23 4k24k2 123 4k22.3 x1 x2x1 x2 2x1x2 13 8k2x1 x2x1 x26 8k2與13 4k2（遼寧省葫蘆島市普通高中b2-2224k2 12 8k2 3 4k22019屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)理）1（a b 0）的上頂點(diǎn)為A ,左、右焦點(diǎn)分別為 FI,2 4 2,在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓f2,直線af2的斜率為-J3,點(diǎn)P,Q在 .3橢圓E上，其中P是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1,3）.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;P點(diǎn)重合），直線PH , PK與x軸分別交（2）作直線l與x軸垂直，交橢圓于 H ,K

24、兩點(diǎn)（H ,K兩點(diǎn)均不與于點(diǎn)M ,N .求| OM | |ON |的最小值及取得最小值時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo).2【答案】（1）42J 1 （2） |OM | |ON |的最小值為4,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,0）或（2,0） 3由直線AF2的斜率為 J3可知直線的傾斜角為120 .在 Rt OAF2中，AF2O 60,于是 a 2c,b J3c,2橢圓E：- 4c22 y 3c21,將Q3i,|代入得c i所以，橢圓E2的標(biāo)準(zhǔn)方程4(2)設(shè)點(diǎn)Ph，Vo，HXi,yi,QXi,yi .于是，直線PH : yVoyoXoyiXiX Xo ，令 y0,yoXiyXoyo yi所以|OM yoXiyiXoVoyi

25、直線PK :yyoy。yiXXo XiXo，令 y o,yoXiyiXoyoyi所以|ON |yXoyoyi|OM | |ON | -2V|OM | |ON|又y：yoXi yiXoyo yiyoXiyiXoyoyi22yoXiyiXo2yo2yi3X2T，yi平.代入上式并化簡(jiǎn)2323j2即|OM|ON|4當(dāng)|OM|ON |(即、yoXiyiXoi )yo yiyoXiyiXoV。 ViyoXiyiXoyoyiVoXiViXoyoyi)時(shí)取得最小值,時(shí)，化簡(jiǎn)得yiyo Xi Xoo根據(jù)題意：Xi Xo ,若y 0亦與題意不符,所以yo0 ,此時(shí)Xo2或2yoXiyiXoyoyiy0X1 y1

26、Xo一y° 1 y1o時(shí),化簡(jiǎn)得yo yi22yo Xiyi Xo33XoXiXiXoo422x yC ： 工 夫 1 a b 1離心a2b2與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式化簡(jiǎn)可得i 4k24km，求出No,列出AB的中垂線方將y： 3 3"，y12 3 注代入并化簡(jiǎn)得: 443根據(jù)題忌：XiXo ,右 3 xox1o,XoXi4 ,而2蒯2, 2x124 yoxi yixo yoxi yixo 一所以 XoXi4不成立，即 不成乂yo yiyo yi綜上，Xo 2或2,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,o）或（2Q）16.（內(nèi)蒙古呼倫貝爾市 2。19屆高三模擬統(tǒng)一考試一數(shù)學(xué)（

27、理）已知橢圓率為直線x 1被橢圓截得的弦長(zhǎng)為品2（1）求橢圓方程；（2）設(shè)直線y kx m交橢圓C于A, B兩點(diǎn)，且線段 AB的中點(diǎn)M在直線X 1上，求證：線段 AB的 中垂線恒過定點(diǎn).2【答案】（1） 土 y2 1 （2）見解析4【解析】【分析】（1）根據(jù)題意易得橢圓過點(diǎn)1,，結(jié)合e c J1 耳 也,求出a,b即可得結(jié)果；（2）聯(lián)立直線2a a22-13e程y- X -即可得結(jié)果k 4（1）由直線x 1被橢圓截得的弦長(zhǎng)為 J3,得橢圓過點(diǎn)1f ，即工 2 1,2 a24b2又 e c J1 1且，得 a2 4b2, a . a 22所以a2 4，b2 1 ,即橢圓方程為 y2 1. 42

28、x 2 d , y 1222(2)由 4' 得 14kx 8kmx 4m 4 0,y kx m由64k2m2 4(1 4k2)(4m2 4)16m2 64k2 16 0,得 m2 1 4k2.,8km由 x1 x22 ,1 4k設(shè)AB的中點(diǎn)M為x0,y0 ,得xo一 yo4km1 4k2kx0m1，即 1 4k24km，m1 4k214kAB的中垂線方程為y14k313 3一x-，故AB的中垂線恒過點(diǎn)N,0k4417 .（湖南省益陽市桃江縣第一中學(xué)2019屆高三5月模擬考試?yán)恚┮阎獧E圓22C ： xj -yy 1 a b 0 的 a2 b2離心率為3,焦距為2,3.2（1）求C的方程；

29、1（2）右斜率為 2的直線l與橢圓C交于p, Q兩點(diǎn)（點(diǎn)p, Q均在第一象限），。為坐標(biāo)原點(diǎn)證明：直線OP,PQ,OQ的斜率依次成等比數(shù)列.4若Q與Q關(guān)于x軸對(duì)稱，證明：tan POQ -.1；(2)見解析;見解析【解析】(1)由題意可得:2c2,解得:2.3b2橢圓C的方程為:y2 1(2)證明：設(shè)直線l的方程為:乂2,丫21出y2x由2x27 ym消去y得:2mx2 m2 1則4 m20,且xx2X1X2yy21一 x121一又221一 xx241m x12X2kOPkOQV1V22 m2 1即直線OP,PQ, OQ的斜率依次成等比數(shù)列由題可知:xOQxOQ由可知：tanxOQ八 1 ta

30、n xOP 一, 4tanxOQ0,tanxOP 0tan POQtanxOQ xOPtanxOQtanxOP1 tan xOQ tan xOP4 , tan xOQ tan3xOP 4 2, tan xOQ tan xOP 3若 xOQ xOP,則P,Q兩點(diǎn)重合，不符合題意；可知無法取得等號(hào)4tan POQ 一3b 0)的離心率為二1,且橢圓上一點(diǎn)2P的坐標(biāo)為22,22(1)求橢圓M的方程;(2)設(shè)直線l與橢圓MB兩點(diǎn),且以線段AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)ABC面積的22x y18.(安徽省泗縣第一中學(xué) 2019屆局三局考最后一模數(shù)學(xué)理)已知橢圓M ： 二 1(aa b最大值.(1)1； (

31、2)1624(1)由已知烏又2,22b c，貝U a 2b.橢圓方程為2x4b22 y b21 ,將(J2,1)代入方程得b，21, a 2,2故橢圓的方程為x y2 14(2)不妨設(shè)直線AB的方程ky2x 2聯(lián)立z yx ky1 , t消去x得k22kmy0.設(shè) A(X, y1),Bd, y2),則有2 kmy1y2k2，y1y2“2 m_k2 4又以線段AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)C,uuu uuuCA CBuuuuur由 CA (Xi 2,y), CB (x2 2,yz)得 X 2 x2 2y* 0,將Xi ky m, X2 ky2 m代入上式得,22k 1 y1y2 k(m 2) y

32、y?(m 2)0,一 6將代入上式求得 m 或m 2 (舍)，56則直線l恒過點(diǎn)(6,0).511 4 2825 k2 436S ABC 二 | DC 1y1 y27y1 y24y1 y2TL；222 5 -25k2 411-8 2 1設(shè) t 一(0 t )，則 Sabc J 36t 25t 在 t (0,上單調(diào)遞增，k44254,1 16當(dāng)t 1時(shí)，S ABC取得最大值 .42422 x y19.(廣東省潮州市2019屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)理)已知橢圓 一7 4 1(a b 0), A 2,0是長(zhǎng) a buur uur uuuruuu uuuuuur軸的一個(gè)端點(diǎn)，弦 BC過橢圓的中心O,點(diǎn)

33、C在第一象限，且AC BC0, |OCOB 121ABBC | .(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)P、Q為橢圓上不重合的兩點(diǎn)且異于A、B,若 PCQ的平分線總是垂直于 x軸，問是否存在實(shí)uur uuu數(shù)，使得PQ AB ?若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，求取得最大值時(shí)的PQ的長(zhǎng).【答案】x2直1（2） 2'' 30443【解析】uuur unn AC BC 0， ACB 90 ,uur |OCuuuuuirOB | 2|ABuuur BC |.uuiruuur即|BC | 2|AC |,AAOC是等腰直角三角形, A 2,0，.一 C 1,1 , 112 4而點(diǎn)C在橢圓上，-2

34、1 , a 2, b2 , a b3.所求橢圓方程為x2 3y2 1.44(2)對(duì)于橢圓上兩點(diǎn) P, Q, PCQ的平分線總是垂直于 x軸，. PC與CQ所在直線關(guān)于x 1對(duì)稱,kPc k ,則 kcQk , C 1,1，.一PC的直線方程為y k x 11,QC的直線方程為y k x 11,23 2將代入3- 1 ,得 1 3k2 x2 6k k 1 x 3k2 6k 1 0,44 C 1,1在橢圓上，x 1是方程的一個(gè)根,3k2 6k 1 xp 2-，P 1 3k2以k替換k,得到xQ3k2 6k 1Z 2 3k2 1k xpxqkPQ2kxpACB 900,A 2,01,1 ,弦BC過橢

35、圓的中心O,PQ/ AB ,，存在實(shí)數(shù)uuuruuu使得PQ ABuuur|PQ|12k1 3k224k1 3k29k2160k1262、303 ，當(dāng)9k21, rr2時(shí)，即 k2上3時(shí)取等號(hào), 3uuur| PQ |max2x3q,3uur 又 |AB| V10 ,max2 30.丁 2/3，,1033取得最大值時(shí)的PQ的長(zhǎng)為2叵2220.(安徽省合肥市2019屆高三第三次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)理)已知直線l經(jīng)過橢圓C:3 4 1 a b ca b的右焦點(diǎn)1,0 ,交橢圓C于點(diǎn)A, B,點(diǎn)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，ABF的周長(zhǎng)為8.(I )求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； _. .一2，(n )右直線m與直線l的傾

36、斜角互補(bǔ)，且交橢圓 C于點(diǎn)M、N , MN 4 AB ,求證：直線 m與直線l的交點(diǎn)P在定直線上22【答案】(I)L L i (n)見證明43c 1c 1o解：(I )由已知，得，b2 3,4a 8a 222橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程 1 .43(n)若直線l的斜率不存在，則直線m的斜率也不存在，這與直線m與直線l相交于點(diǎn)P矛盾，所以直線 l的斜率存在.A Xa、Va,N Xnn將直線m的方程代入橢圓方程得:3 4k2 x28k2tx 4k2t2 30,XMxN8k2t3 4k22. 24 k t同理,由MN直線AB,1 k2AB得t'xM xN3 4kMN1 k2_ 22 216 12k 3k

37、 t4 k2 2m: ykx,4、9k2 93 4k2_212 1 k3 4k24 264k4t2_ _216 3 4k22 2k2t20,P的定直線21.(湖南省師范大學(xué)附屬中學(xué)2019屆高三下學(xué)期模擬三理)已知橢圓2 x C: ay2b21(a b 0)過點(diǎn)2君，君，右焦點(diǎn)F是拋物線y2 8x的焦點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)已知?jiǎng)又本€l過右焦點(diǎn)F ,且與橢圓C分別交于M , N兩點(diǎn).試問x軸上是否存在定點(diǎn) Q,使得uuuu uuir135QM QN 恒成立？若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)：若不存在，說明理由1622【答案】(1)二上1 (2)見解析16 12-123(1)因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)(2./3

38、, J3),所以 不 1, a b又拋物線的焦點(diǎn)為2,0 ,所以c 2.一 123, 1-所以與。3 1，解得a2 3 (舍去)或a2 16.a2 a2 422所以橢圓c的方程為1.16 12uuuu uur 135(2)假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)Q(m,0),使得QM QN .16 uuuu當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，則 M (2,3) , N(2, 3), QM (2uuur m,3) , QN(2 m, 3),uuuu uu1r2135511由 QM QN (2 m) 9,斛得 m 或 m ；1644uuuruuir當(dāng)直線 l 的斜率為 0 時(shí)，則 M ( 4,0) , N(4,0) , QM (

39、 4 m,0) , QN (4 m,0),uuuu uuur2135n n由 QM QN m 16,解得 m一或 m .1644由可得mQ的坐標(biāo)為11八,0 .4卜面證明當(dāng)m11 uuur uuir 一時(shí)，QM QN4135 、恒成立.16當(dāng)直線l的斜率不存在或斜率為 0時(shí),由知結(jié)論成立0) , M為，W，N x2,y2 .直線與橢圓聯(lián)當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)其方程為y k(x 2)(k立得 3 4k2 x2 16k2x 16 k2 30,直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，一定與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且X216k216 k2 3VN2k Xi2?k x2 2 k2X1X22k2 %X24k24k23, x

40、1X24k2uuuu uuur 所以QM ?QNXiX2117,y2X1X2111211 k2 X1X22k211X1X21214k216X216陽22 16 k224k2 32k211216k224k2 316135 、恒成立16綜上所述，在x軸上存在點(diǎn)11Q 一,04，使得uuurQMuuirQN135 、恒成立.1622 .(湖北省黃岡中學(xué) 2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)理)已知橢圓C：2 X -2 a方 1(a b 0)的離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為 冗、F2, A為相圓C上一點(diǎn),AF1與y軸交于B ,(n)過右焦點(diǎn)F2的直線y k(x 2)(k 0)交橢圓于交直線X 3于點(diǎn)M .求|

41、PQ|MF2的最大值.(I)連接AF2,由題意得I AB|F2BF1BJ61ABi 及B'|OB1?P、Q兩點(diǎn)若PQ的中點(diǎn)為N ,。為原點(diǎn)，直線ON，所以BO為F1AF2的中位線,b22| BO | 一 a又因?yàn)锽OF1F2 ,所以AF2F1F2,且AF2b2 c2 ，得 a26，b2 2，故所求橢圓方程為2匕1.2(II)聯(lián)立2 X6y2y2 k(x12)可得3k21 x2 12k2x12k2 6設(shè) P x1, y1Q X2,y2 ,則XiX212k2 3k212k2XX23k2 16所以為y1y2k x1x24k4k3k2 1所以PQ的中點(diǎn)N坐標(biāo)為6 k23k2 12k23k2 1

42、|PQ|2 26 . k23k2因此直線ON的方程為y1一x , 3k從而點(diǎn)為3,1MF2|PQ|22MF218T2224k2 k23k22)3k216311u2 2u1616、3.| PQ| 取得最大值MF223.(貴州省遵義航天高級(jí)中學(xué)2019屆高三第1模)已知橢圓C：2-y2-1(a b 0)的離心率b2(1)求橢圓C的方程;222(2)已知圓M： x y 3的切線l與橢圓相交于 A、B兩點(diǎn)，那么以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？如果是,求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說明理由,2【答案】(1) 2x_ y2 1 ； (2)見解析【解析】(1)因?yàn)闄E圓C的離心率e迎，所以£ 巫，即a

43、72c.2 a 2因?yàn)閽佄锞€y2 4j2x的焦點(diǎn)F(，2,0)恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn),2所以a J2,所以b 1 .所以橢圓C的方程為 y(2) (i)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí).x由2 x因?yàn)橹本€l與圓M相切，故其中的一條切線方程為)，不妨設(shè)A(阻罵,B(啦,3331則以AB為直徑的圓的方程為(x(ii)當(dāng)直線l的斜率為零時(shí).因?yàn)橹本€l與圓M相切，所以其中的一條切線方程為y由2 x,不妨設(shè)A(_631，B(則以AB為直徑的圓的方程為 x2、6 2(y T)顯然以上兩圓都經(jīng)過點(diǎn)0(0,0) .(iii)當(dāng)直線l的斜率存在且不為零時(shí).設(shè)直線l的方程為y kx m .y kx m222由 x22 消去 y,