1、小學數學思想方法的梳理（十）課程教材研究所 王永春十四、極限思想1. 極限思想的概念。我們知道，在小學數學里有些問題不是通過初等數學的方法解決的，如圓的面積，無法直接按照求長方形面積的方法來計算。我國古代數學家劉徽為了計算圓的面積和圓周率，曾經創立了“割圓術”，具體作法是：先做圓的內接正六邊形，再做內接正十二邊形隨著邊數的不斷增加，正多邊形越來越接近于圓，那么它的面積和周長也越來越接近于圓的面積和周長。劉徽在描述這種作法時說“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體而無所失矣”。也就是說，隨著正多邊形的邊數無限增加，圓內接正多邊形就轉化為圓，這種思想就是極限思想，即用無限逼近的方

2、式來研究數量的變化趨勢的思想。為了便于理解,我們先從數列說起，數列是按照正整數1,2,3,n,編號依次排列的一列數，可寫成如下形式a1，a2，a3，an，其中an稱為數列的通項。其實，數列的通項an可以看成是自變量為正整數n的特殊的函數，可寫作anf(n)，其定義域為全體正整數。如1, , , ,2，4，6，2n，1，-1，1，-1，1，-1，都是數列，當n無限增大時，這些數列的通項都會隨之變化，有的趨向于無窮大，如第二個數列；有的無限接近于某一常數，如第一個數列無限接近于0，這時我們就說該數列以0為極限，或者說收斂到0。通俗地說，就是對于任意給定一個不管多么小的正數，總是存在一個正整數N，使

3、得nN的通項an(N+1及大于它的每一項an,即aN+1,aN+2,aN+3,)與常數a的差的絕對值總小于(在數軸上可以直觀地理解為兩個點an和a的距離總小于)，那么就說數列an的極限為a。在上面的數列中，由無窮多個項相加的式子a1a2a3an叫做無窮級數，其中前n項的和可記作na1a2a3an，稱為級數的部分和，這些部分和又可以構成一個新的數列1，2，3，n，當n趨向于無窮大時，如果數列n的極限存在，可設極限為，這時極限就是無窮級數a1a2a3an的和，記作a1a2a3an2. 極限思想的重要意義。小學生的思維以形象思維為主，逐步向邏輯思維過渡；此外，在小學數學中還滲透著既對立又統一的辯證思

4、維，如加與減、乘與除是學生非常熟悉的辯證關系。在極限思想中，也滲透著有限與無限、曲與直、變與不變的辯證關系。我們知道，多邊形的面積直接用公式就可以計算出來，而如果其中有的邊改成曲邊，就無法直接用多邊形的面積公式計算，就要用定積分來求了，如曲邊梯形（直角梯形的斜邊是曲邊）的面積計算，就是先把曲邊梯形平均分成n 個小曲邊梯形，在每個小曲邊梯形里取一個最大的小矩形，這時n個小矩形的面積的和n近似等于n個小曲邊梯形的面積的和，當n越來越大時，小矩形的面積就越來越接近于相應的曲邊梯形的面積，當n趨向于無窮大時，如果n的極限存在，記作，最后就等于所有的小曲邊梯形的面積的和了，那么就得到了曲邊梯形的面積是。

5、這是從有限的曲邊梯形的面積中找到無限個小矩形的面積，再從無限個小矩形的面積的無限變化中回歸到曲邊梯形的有限的面積的過程，體現了有限與無限、曲與直相互轉化的辯證思想。因此，極限思想對于培養學生初步的辯證思維有所裨益。3極限思想的具體應用。極限思想在小學數學中的應用和滲透，主要體現在以下幾點。(1)在數的認識中體會有限與無限的思想。小學生從一年級開始就認識自然數0，1，2，3，同時知道每個自然數加1就等于它的后繼數。到了認識億以內的數時，進一步知道了最小的自然數是0，沒有最大的自然數，自然數的個數是無限的。也就是說，任意給定一個足夠大的自然數N，只需要把它加1就會得到一個更大的自然數N+1，N+1

6、N，所以總是找不到一個最大的自然數，從而體會到自然數數列的無限多和趨向無窮大。由此可以推廣到奇數、偶數、一個數的倍數、兩個數的公倍數等都沒有最大的，都有無限多個。在學習分數的基本性質時，學生知道分母不同、分數值相等的分數有無限多個。在學習小數時，首先認識的是有限小數，然后認識無限循環小數，還知道圓周率是無限不循環小數。（2）在數的計算中體會極限思想。小學數學學習的數的計算一般都是經過有限的幾步計算就可以解決的問題，另外，作為知識的拓展，可適當介紹一些無限多個數相加的問題，如在數形結合思想中曾經介紹了無窮多個分數相加的問題，本文不再贅述。我國古代思想家莊子曾說過“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”這

7、句話可用下面的數學語言來描述“長度為單位1的線段，第一天取走全長的一半，以后每天取走剩下的一半，永遠有剩余”，用無窮等比遞縮數列的和來表示取走的長度，就是數形結合思想中的案例。另外，循環小數化分數的問題，也可以利用極限思想和數形結合思想來計算。（3）在認識圖形時滲透無限的思想。與自然數數列的趨向于無窮大類似，有些圖形也具有無限長的特性，如直線、射線、角的邊、平行線等，都具有無限延伸的特性，可以滲透無限的思想。（4）在圓的面積、圓柱的體積的計算中滲透極限思想。如上所述，在小學數學中，圓的面積不能象求長方形的面積那樣直接利用公式計算、圓柱的體積不能象長方體那樣直接利用公式計算，利用極限思想可以解決

8、這些問題。如圓的面積的計算，先把圓平均分成若干等份，拼成近似的長方形，但它還不是長方形，仍然無法直接按照求長方形面積的方法來求；因為把一個圓不論進行怎樣細小的有限次的分割拼補，都無法真正拼成一個長方形；這時只有借助極限思想，把圓分割的越細小所拼成的圖形就越接近于長方形,可以這樣無限地分下去，拼成的圖形面積就越趨向于長方形的面積，最后通過取極限來得到它的面積。也就是說，極限思想是這樣操作的理論基礎和計算精確性的保證，也是極限思想在小學數學中最完美的體現。4極限思想的教學。極限的概念是抽象的、辯證的，在教學中應注意下面的問題。對有關極限的一些概念、教學要求和解題方法應準確把握。極限思想是用無限逼近

9、的方式來研究數量的變化趨勢的思想，這里要抓住兩個關鍵語句：一個是變化的量是無窮多個，另一個是無限變化的量趨向于一個確定的常數，二者缺一不可。如自然數列是無限的，但是它趨向于無窮大，不趨向于一個確定的常數，因而自然數列沒有極限。在教學中一方面要讓學生體會無限，更重要的是通過具體案例讓學生體會無限變化的量趨向于一個確定的常數。極限以及在此基礎上定義的導數、定積分是解決用函數表達的現實問題的有力工具。有限與無限是辯證思維的一種體現，要辯證地看待二者的關系，不要用初等數學的“有限的”眼光看“無限的”問題，要用極限的思想看無限，極限方法是一種處理無限變化的量的變化趨勢的有力工具。換句話說，當我們面對無限

10、的問題時，就不要再用有限的觀點來思考，要進入無限的狀態，數學上就是這么一個規則和邏輯，我們按照這個規則和邏輯去做就可以了。另外，對循環小數和無限不循環小數的理解和表示也體現了有限與無限的辯證關系。我們知道，在中學數學里一般用整數和分數來定義有理數，用無限不循環小數來定義無理數，有理數和無理數統稱為實數。有理數包括整數、有限小數和循環小數。整數和有限小數化成分數是學生非常熟悉的，那么，循環小數怎樣化成分數呢？我們以前曾經介紹過用方程的方法可以解決這一問題。下面我們再用極限的方法來解決。案例：9 化成分數。分析：是一個循環小數，也就是說，它的小數部分的位數有無限多個。對于小學生來說，能夠接受的方法

11、就是數形結合思想和極限思想的共同應用和滲透，通過構造一個直觀的幾何圖形來描述極限思想。先看下面的數列0.9, 0.09, 0.009, 用數形結合的思想，把這個數列用線段構造如下：把一條長度是1的線段，先平均分成10份，取其中的9份；然后把剩下的1份再平均分成10份，取其中的9份所有取走的線段的長度是0.90.090.009如此無限地取下去，剩下的線段長度趨向于0,取走的長度趨向于1，根據極限思想，可得=1。對于教師而言,光有極限思想的滲透是不夠的，還需要進一步理解如何用極限方法來解決。這是一個無窮等比遞縮數列的求和問題，根據公式可得0.90.090.009）=1=1。也許有的老師會認為：無限

12、循環小數的位數是無限的，和永遠達不到1，永遠小于1。這是一種錯誤的觀念，是因為用有限的觀點來看待無限造成的；這樣的問題在數學上應該用極限的方法來解決，這是一個無窮等比遞縮數列求和的問題，前n項的和(當n趨向于無窮大時)的極限為1，所以上面數列的和是1。這時有的老師可能又會認為：極限是1，數列的和是1，就是一定能取完。這種觀點也只說對了一半，也就是說用極限1來作為數列的和是對的，但是原因說的不十分準確，如上所述，極限的概念里沒有說變化的量最后是否一定達到1，只需要當n足夠大時，與1的距離要多小就有多少就足夠了。通俗地說，在數軸上，你可以先任意取一個很小的正數，針對這個，只要找到一個正整數，1以后

13、的每一項都會落在區間(1,1)里，也許這里的每一項與1還有一點點距離，但是已經不重要了，已經不影響極限的數學游戲規則了，也就是不影響數列的和的取值了。通過這個例子進一步說明：極限方法只關注一個無限的變化過程的確定趨勢是什么，只要趨勢確定并且符合極限的定義，那么這個無限變化的過程的結果就用極限來表示，它就是一個解決問題的方法而已，只要符合極限的規則和邏輯，就可以用極限來表示無限變化的過程的結果，它并不關心這個無限變化的過程何時能到達極限，它在本質上不同于有限個數的和。極限思想在小學數學中有一定的應用，但只是滲透而已，并不讓學生認識相關概念。所以要注意對教學要求的準確把握，不要增加學生的學習負擔。

14、十五、假設法1假設法的概念。假設法是通過對數學問題的一些數據做適當的改變，然后根據題目的數量關系進行計算和推理，再根據計算所得數據與原數據的差異進行修正和還原，最后使原問題得到解決的思想方法。假設法是小學數學中比較常用的方法，實際上也是轉化方法的一種。2假設法的重要意義。假設法實際上是根據原來的數據、數量關系和邏輯關系，做一些數據的改變，把原問題轉化成新的問題，而且新的問題易于理解和解決，是一種迂回戰術，表面上看解題的步驟變多了，但實際上退一步海闊天空，更有利于計算和推理，有利于培養學生靈活的思維方式、解決問題的能力和推理能力。3假設法的具體應用。假設法在小學數學中的應用比較普遍，例如在有關分

15、數的實際問題，比和比例的實際問題，雞兔同籠問題，邏輯推理問題，圖形的周長、面積和體積等問題中都有應用。4假設法的教學。假設法的教學，對學生的分析和綜合能力、邏輯思維能力等方面的要求較高，在教學中應注意以下幾點。第一，根據題目的特點，選擇適當的數據進行假設。在解決問題的過程中，如果遇到數量關系稍復雜的問題，要思考它與已掌握的什么知識有關系，用什么思想方法或者模型來解決，然后想方設法把它轉化成數量關系明確而且易于理解的已有的知識。案例1：(1)六年級參加植樹的男生和女生共有36人，其中男生人數是女生人數的3倍。男生和女生各有多少人？(2) 六年級參加植樹的男生和女生共有36人，其中男生人數的是女生

16、人數的2倍。男生和女生各有多少人？分析：第(1)題，是學生非常熟悉的問題，男生人數與女生人數的數量關系非常清楚且易于理解，既可以用方程解決，也可以用一般的算術方法計算。第（2）題，數量關系與第（1）題有類似的地方，但又稍復雜，可看作是第（1）題的變型題。兩個數量無法直接用一個未知數表示，因而無法直接用一元一次方程解決；如果用算術方法，可這樣想：根據題中的條件可知，在不改變男生和女生的比例關系前提下，可假設男生有3人，那么3的三分之二是2，2除以2等于1，因而女生有1人，所以男生人數是女生的3倍。這樣就把第（2）題轉化成了第(1)題，再用算術方法列式計算便可。案例2：小明和媽媽恰好花100元買了

17、10本書，單價有8元一本的和13元一本的兩種。其中8元一本的和13元一本的各買了幾本？分析：假設10本書都是買的8元一本的，那么才花了80元，比實際少花20元。兩種書的單價相差5元，20里有幾個5，就得出13元的有幾本。20(13-8)4，所以8元的買了6本，13元的買了4本。第二，在數量之間具有一定的比例關系前提下，可假設其中的一個數量為單位“1”，可大大簡化計算的繁瑣程度。案例3：足球比賽門票是20元一張，平均每場有5000名觀眾，降價后每場觀眾增加了50%，收入增加了20%，降價后門票的價格是多少？分析：首先要明確一個基本的數量關系式：觀眾人數門票價格收入。先按照一般的解題思路分析，根據

18、題意，要求的是降價后門票的價格，需要知道降價后的收入和觀眾人數。降價后的收入是：500020(1+20%)120000（元）。降價后的觀眾人數是：5000(1+50%)7500(人)。所以降價后的門票價格是：120000750016(元)。實際上此題還可以用假設法，根據題意，降價后的人數和收入都是在原來的基礎上分別按照一定比例變化，實際上觀眾人數是5000還是500并不影響計算的結果，因此只需要設觀眾人數為單位1就行。假設降價前的觀眾人數是1,則降價后的觀眾人數是1(1+50%), 降價前的收入是201,則降價后的收入是201(1+20%)24,所以降價后的門票價格是：241.516(元)。案例4：如下圖所示