1、一方法綜述圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：1幾何法，假設題目的條件和結論能明顯表達幾何特征和意義，那么考慮利用圖形性質來解決；2代數法，假設題目的條件和結論能表達一種明確的函數關系，那么可首先建立目標函數，再求這個函數的最值在利用代數法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：利用判別式來構造不等關系，從而確定取值范圍；利用隱含或的不等關系建立不等式，從而求出取值范圍；利用根本不等式求出取值范圍；利用函數的值域的求法，確定取值范圍二解題策略類型一 利用題設條件，結合幾何特征與性質求范圍【例1】【安徽省淮北一中20212021第四次月考】假設點坐標為，是橢圓的下焦點，點是該橢圓上的動點，那么

2、的最大值為，最小值為，那么_【答案】【指點迷津】此題求最值的方法采用了幾何法，在圓錐曲線的最值問題中，假設題目的條件和結論能明顯表達幾何特征和意義時，那么考慮用圖形性質來解決，這樣可使問題的解決變得直觀簡捷【舉一反三】【湖北省重點高中聯考協作體2021-2021期中考試】雙曲線的右頂點到其一條漸近線的距離等于，拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，那么拋物線上的動點到直線和的距離之和的最小值為_【答案】2 類型二 通過建立目標問題的表達式，結合參數或幾何性質求范圍【例2】【2021屆云南省云南師范大學附屬中學適應性月考五】拋物線上一點到拋物線準線的距離為，點關于軸的對稱點為，為坐標原點，的內切圓與

3、切于點，點為內切圓上任意一點，那么的取值范圍為_【答案】【解析】因為點在拋物線上，所以，點A到準線的距離為，解得或當時，故舍去，所以拋物線方程為，所以是正三角形，邊長為，其內切圓方程為，如下圖，設點為參數，那么，【指點迷津】此題主要考查拋物線性質的運用，參數方程的運用，三角函數的兩角和公式合一變形求最值，屬于難題，對于這類題目，首先利用條件得到拋物線的方程，進而可得到為等邊三角形和內切圓的方程，進而得到點的坐標，可利用內切圓的方程設出點含參數的坐標，進而得到，從而得到其取值范圍，因此正確求出內切圓的方程是解題的關鍵【舉一反三】【河南省漯河市高級中學2021屆上學期第三次模擬】橢圓是橢圓上的兩點

4、，線段的垂直平分線與軸相交于點，那么的取值范圍是_用表示【答案】 即答案為.類型三 利用根的判別式或韋達定理建立不等關系求范圍【例3】【江西省九江市2021年三模】在平面直角坐標系中，拋物線，點是 的準線 上的動點，過點作的兩條切線，切點分別為，那么面積的最小值為 A B C D 【答案】B【指點迷津】解決此題的難點在于利用導數的幾何意義確定兩個切點的橫坐標間的關系，便于確定直線在軸上的解截距【舉一反三】【2021-2021學年江蘇泰州中學月考】直線與橢圓相交于兩點，且為坐標原點，假設橢圓的離心率，那么的最大值為_【答案】類型四 利用根本不等式求范圍【例4】【江西省南昌市第二中學2021-20

5、21期中考試】如圖，拋物線的焦點為，直線過且依次交拋物線及圓于點四點，那么的最小值為 A B C D 【答案】C【解析】由題意得，即為圓的圓心，準線方程為由拋物線的定義得，又，所以同理當直線與x軸垂直時，那么有， 當直線與x軸不垂直時，設直線方程為，由消去y整理得，當且僅當時等號成立綜上可得選C【指點迷津】1與拋物線有關的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關利用定義可將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，可以使運算化繁為簡“看到準線想焦點，看到焦點想準線，這是解決拋物線焦點弦有關問題的重要途徑2圓錐曲線中的最值問題，可利用根本不等式求解，但要注意不等式成立的條件【舉一反三】【吉林省

6、普通中學2021屆第二次調研】為拋物線的焦點，點在該拋物線上且位于軸的兩側，而且為坐標原點，假設與的面積分別為和，那么最小值是 A B C D 【答案】B設點在軸的上方，那么，當且僅當，即時取等號的最小值是6，應選B. 類型五 求解函數值域得范圍【例5】【云南省師范大學附屬中學2021屆12月適應性月考】橢圓：的右焦點為，過點的兩條互相垂直的直線， 與橢圓相交于點，與橢圓相交于點，那么以下表達不正確的選項是 A 存在直線，使得值為7B 存在直線，使得值為C 弦長存在最大值，且最大值為4D 弦長不存在最小值【答案】D ，特別地當時，即，那么正確 ；由，故當時， 取到最大值，那么C正確；由，但當弦

7、的斜率不存在時， ，故存在最小值，故D選項不對，應選D【指點迷津】解析幾何中的最值是高考的熱點，在圓錐曲線的綜合問題中經常出現，求解此類問題的一般思路為在深刻認識運動變化的過程之中，抓住函數關系，將目標量表示為一個(或者多個)變量的函數，然后借助于函數最值的探求來使問題得以解決【舉一反三】【河南省2021屆12月聯考】過拋物線：的焦點的直線交拋物線于，兩點，假設為線段的中點，連接并延長交拋物線于點，那么的取值范圍是 A B C D 【答案】D類型六 利用隱含或的不等關系建立不等式求范圍【例6】【福建省2021屆高三畢業班總復習形成性測試】設直線l與拋物線相交于A，B兩點，與圓相切于點M，且M為

8、線段AB的中點假設這樣的直線l恰有4條，那么r的取值范圍是 A B C D 【答案】D【舉一反三】【2021-2021學年黑龍江省黑河市孫吳一中期中考試】橢圓的上、下頂點、右頂點、右焦點分別為B2、B1、A、F，延長B1F與AB2交于點P，假設B1PA為鈍角，那么此橢圓的離心率e的取值范圍為_【答案】【解析】由題意得橢圓的長半軸、短半軸、半焦距分別為a、b、c，c=可得B1PA等于向量與的夾角，Aa，0，B10，b，B20，b，F2c，0=a，b，=c，b，B1PA為鈍角，與的夾角大于，由此可得0，即ac+b20，將b2=a2c2代入上式得：a2acc20，不等式兩邊都除以a2，可得1ee20

9、，即e2+e10，解之得e或e，結合橢圓的離心率e0，1，可得e1，即橢圓離心率的取值范圍為，1故答案為，1三強化訓練1【遼寧省凌源市2021屆上學期期末】直線截圓所得的弦長為，點在圓上，且直線過定點，假設，那么的取值范圍為_【答案】所以的取值范圍是2【福建省莆田市第二十四中學2021-2021期第二次月考】橢圓上一點關于原點的對稱點為點為其右焦點，假設，設，且，那么該橢圓的離心率 的取值范圍是_【答案】故答案為： 3【江西省臨川第二中學2021屆上學期第四次月考】如下圖，點是拋物線的焦點，點分別在拋物線及圓的實線局部上運動，且總是平行于軸，那么的周長的取值范圍是_【答案】 5【福建省2021

10、屆高三畢業班總復習形成性測試】如圖，P是雙曲線 (a>0，b>0，xy0)上的動點，F1，F2是雙曲線的焦點，M是F1PF2的平分線上一點，且某同學用以下方法研究|OM|：延長F2M交PF1于點N，可知PNF2為等腰三角形，且M為F2N的中點，得|OM|=|NF1|=a類似地：P是橢圓 (a>b>0，xy0)上的動點，F1，F2是橢圓的焦點，M是F1PF2的平分線上一點，且，那么|OM|的取值范圍是_【答案】0|OM|c【解析】延長F2M交PF1于點N，可知PNF2為等腰三角形，且M為F2N的中點，得|OM|=|NF1|=|PF1|-|PF2|，|PF1|+|PF2|=

11、2a，|OM|=a-|PF2|，a-c|PF2|a+c，P、F1、F2三點不共線0a-|PF2|c，0|OM|c6【貴州省凱里市第一中學2021-2021效果檢測】點是圓上的點，點是拋物線上的點，那么點到直線的距離與到點的距離之和的最小值是_【答案】【解析】如以下圖， ，所以填7【山東省日照第一中學2021屆高三4月考試】過拋物線的焦點的直線交拋物線于A，B兩點，且，這樣的直線可以作2條，那么P的取值范圍是_【答案】 ，那么，根據拋物線性質，得那么拋物線的焦點弦中通徑長最短，那么要使滿足的直線可以作條，那么通徑，即那么的取值范圍是故此題應填8【2021屆上海市奉賢區4月調研測試二模】雙曲線的左右兩焦點分別是，假設點在雙曲線上，且為銳角，那么點的橫坐標的取值范圍是_【答案】； 9【河南省豫南六市2021-2021第一次聯考】橢圓C：的左右焦點分別為，點P在橢圓C上，線段與圓：相切于點Q，假設Q是線段的中點，e為C的離心率，那么的最小值是_【答案】【解析】 連接， 由為中位線，可得 ， 圓，可得且，由橢圓的定義可得，可得，又，可得，即有，即為，化為，即，即有，那么，當且僅當時，即時等號成立，所以的最小值為10【2021-2021學年湖北省黃岡市黃岡中學上學期期末】如圖，拋物線的焦點為，直線過且依次交拋物線及圓于點四點，那么的最小值為_【答案】 ，所以，應填答案11【