1、綿陽南山中學實驗學校2021年自主招生考試數學試題本套試卷分試題卷和答題卷兩部份，試題卷共6頁，答題卷共 6頁，總分值150分，考試時間120分鐘.考前須知：1.答卷前，考生務必將自己的、考試號用0. 5毫米的黑色墨水簽字筆或黑色墨水鋼筆填寫在答題卷與機讀卡對應位置上，并認真核對與考號；2 選擇題每題選出答案后，用2B鉛筆將機讀卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號，答在試題卷上無效；3 非選擇題主觀題用 0. 5毫米的黑色墨水簽字筆或黑色墨水鋼筆直接答在答題卷上每題對應的位置上，答在試題卷上無效作圖一律用2B鉛筆或0. 5毫米黑色簽字筆；4 考試結束后，請將

2、本試題卷、答題卷與機讀卡一并上交.第一卷選擇題，共36分選擇題本大題共12個小題，每題3分，共36分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的1 以下計算正確的選項是236A a a a2 2 2B(x y) x yc(a3b)2a6b223Daa a(a 0)2 方程組號11 小李騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段 時間，后為了趕時間加快速度行駛，與以上事件吻合得最好的圖像的解是x2 2x 3A一 1B3C一 1 或 3D丨一5或3BQ區域DN區域，假設小明想同時看到該5.南山中學高一年級有四名學生A、B、C、D參加了校團委舉辦的“南山中學百佳、百杰學生的選舉，

3、候選人D得票比B得票多，候選人A、B得票之和超過 C、D得票之和，候選人A、C得票之和與B、D得票之和相等，那么這四人得票數由高到低的次序排列AA、D、C、B BD、B、A、C CD、A、B、C，他們依次為DA、D、B、C11116 .南山中學數學建模小組的同學們在研究15、12、10這三個數的倒數時發現：一一 一一，12151012他們就將具有這樣性質的有序的三個數稱之為調和數.假設x、y、2 x、y均為正整數是一組調和數，那么x、y的值A有一組B有兩組C有三組D有無數組7.如以下列圖所示， 在Rt ABC中，AC=3 , BC=4, D為斜邊AB上一動點,DE 丄 BC, DF 丄 AC,

4、垂足分別為E、F，當線段EF最小時，COS EFD的值等于ABE第7題圖EC8.如上圖所示，在正方形 ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且使得厶AEF為等邊三角 形，那么 AEF與梯形ABCF的面積之比為A31B子CfD4 239.函數yx , yx2 和y -在同一直角坐標系內的圖象如以下列圖所示，給出以下結論1x如果aa2，那么0a 1 ;a如果a2a1,那么a1 ;a如果1a2a，那么 1a 0 ；a如果2 a1a時，那么a1 .a那么其中正確結論的序號為ABcD入口123456第10題圖10. 上右圖為一個污水凈化塔內部，污水從上方入口進入后流經形如等邊三角形的凈化材枓外表，

5、流向如圖中箭頭所示，每一次水流流經三角形兩腰的時機相同，經過五層凈化后流入底部的六個出口中的一個.以下判斷： 六個出口的出水量相同； 2號出口的出水量與 5號出口的出水量相同； 1 , 2, 3號出水口的出水量之比約為 1 : 5 : 10;那么更換最慢的一個三角形材枓使用的 假設凈化材枓損耗的速度與流經其外表水的數量成正比，其中，正確的判斷個數是A1 個11.如以下列圖所示, 等于B2 個Rt ABC 中，/ A=2/ B,C3 個CD為/ C的內角平分線，假設D4 個AD=2，貝U CDA2312.如上圖所示,點A、D在以BC為直徑的半圓上,D是弧AC的中點，AC與BD交于點E.假設 AE

6、=3, CD = 2 5，那么 BC 等于A6C10D12時間約為更換最快的一個三角形材枓使用時間的16倍.第二卷非選擇題，共114分二填空題本大題共 6個小題，每題4分，共24分將答案填寫在答題卡相應的橫線上 13按以下列圖程序進行操作，規定：程序運行從 輸入一個X到 結果是否10為一次操作假設操作進行三次才停止，那么 x的取值范圍是 輸入4第13題圖14.如以下列圖所示，直線I1、2、l3、l4及m1、m2、m3、m4分別平行，且S四邊形ABCD =100, S四邊形EFGH20 ,貝y s四邊形pqrs=1cm的圓形，使之恰好圍成一個15.如上圖所示，在正方形鐵皮上剪下一個扇形和一個半徑

7、為 圓錐，那么圓錐的高為16.小明每天下午5點放學回家時，爸爸總是從家開車按時到達學校接他回家.有一天，學校提前1小時放學，小明自己步行回家，在途中遇到開車接他的爸爸， 結果比平時早了 20分鐘到家那么小明步行 分鐘遇到來接他的爸爸.17.關于X的一元二次方程x2 - a2 2a 2 x (m 1) 0對任意的實數a均有實數根,那么實數m的取值范圍是 .18 .如右圖所示，矩形 ABCD的對角線AC、BD交于點O , DAC 60，邊CD上有一 DS AD點S,滿足.線段OC上有一點M , OS與MB交于點L,聯結CL、SM.給出以下結論:SC AC假設CMAC那么點L在AD的延長線上；MOA

8、OSM1假設一，那么AD=DL;CL3假設S SCMk ,2那么方程x 3kx 10無等根 SM/BD 與 SM/CL 等價;S BCM其中，正確的結論有填所有正確結論的序號三.解答題本大題共7個小題，共90分.解容許寫出文字說明.證明過程或演算步驟19.此題共2個小題，每題8分，共16分解答以下各題:1計算：1(§) 1 |sin301| ( 1)1063 8 (2021)° ；2計算：2021212021202122021 22 .20214028+1 2021202120. 本小題總分值12分做服裝生意的唐老板經營甲、乙兩個店鋪每個店鋪在同一段時間內都能售出A、B兩種

9、款式的服裝合計 30件，并且每售出一件 A款式和B款式服裝，甲店鋪獲利 潤分別為30元和40元，乙店鋪獲利潤分別為 27元和36元.某日唐老板進A款式服裝35件, B款式服裝25件，怎樣分配給每個店鋪各 30件服裝，使得在保證乙店鋪獲利潤不小于950元的前提下，唐老板獲取的總利潤最大？最大總利潤是多少？21. 本小題總分值12分一個不透明的口袋里裝有分別標有漢字百、年、經、典、南、山的六個小球，除漢字不同之外，小球沒有任何區別，每次摸球前先攪拌均勻再摸球.I假設從中任取一個球，求球上的漢字剛好是南的概率；n從中任取一球，不放回，再從中任取一球，請用樹狀圖的方法，求取出的兩個球上的漢字恰能組成

10、經典或 南山的概率P1；川從中任取一球，記下漢字后再放回袋中，然后再從中任取一球，記取出的兩個球上的漢字恰能組成 經典或南山的概率為P2,指出P1, P2的大小，并證明你的結論.22. 本小題總分值12分如右圖所示，點 A 4, 0，點kB在y軸上，經過A、B兩點的直線與反比例函數y k 1x在第四象限的圖像只有一個公共點. 又一次函數y x 2k的圖 像與x軸、y軸分別交于點C、D兩點.當四邊形 ABCD的面積 最小時，求k的值及面積的最小值.23. 本小題總分值12分如右圖所示，在平面直角坐標系 xOy 中，多邊形OABCDE的頂點分別為 0 0, 0，A 0, 6，B 4, 6，C 4,

11、 4，D 6, 4，E 6, 0.直線l經過點M，分別與 邊OA、DE相交，且將多邊形 OABCDE分成面積相等的兩局部.11I假設點 M 0,，求直線I的函數表達式；3n是否存在一點 M ,使得過點M有無數條直線I將多邊形OABCDE 分成面積相等的兩局部？假設存在，求出M的坐標；否那么，說明理由.第23題圖24. 本小題總分值12分如以下列圖所示， QOi與G)02外切于點0,直線I分別與Q0、02外切于點A、B，分別與x軸、y軸交于點M(2.3,0)、C(0,2).I求O0,的半徑長；相似，并求出點 P的坐標.n在直線I上找一點P,使得 MO.P與 MOB1 225. 本小題總分值14分

12、如以下列圖所示，過 y軸上一點M 0, 1丨作直線與二次函數 y x4 的圖像交于 A、B兩點，過A、B兩點分別作y軸的垂線，垂足為 C、D，直線I過點M關于原 點0的對稱點N,且與y軸垂直.過點 A作I的垂線，垂足為 E.I當A點的橫坐標是一1時，證明AM=AE;n當直線 AB變化時點A與點0不重合，求OC OD AC BD的值；川當直線 AB變化時點A與點O不重合，試判斷直線I與以AB為直徑的圓的位置關系， 并證明你的結論.第25題圖綿陽南山中學實驗學校2021年自主招生考試數學參考答案及評分標準選擇題本大題共12個小題，每題3分，共36分每題給出的四個選項中，只有一個符合 題目的要求題號

13、123456789101112答案CBBCDBADACDCC.顯然a3b2 a6b2正確，應選擇C.(x 3)(x 1) 0x 3,應選擇B.|x 1| 42. B.2x2 2x 33. B.顯然P、N區域只能給看到一面,M區域只能看到兩面,Q區域可以看到三面，應選擇B.4. C.開始時勻速行駛，此時對應的圖像為直線，函數的圖像遞減.途中因交通堵塞停留了一段時間，此時到學校的距離為常數，最后加快速度行駛對應的曲線為上凸曲線，應選擇5. D .用 a、b、c、d依次表示A、B、C、D的得票,由條件可得a b c d，于是(b d c) bcd,bc, a b (b d a)d,ad , 于是a

14、d>b c ,應選擇D .6.B.由得2xy .當 y=1 時，x2舍去;當y=2時，x2 ;當 y=3yx24 y3此時 EFDCDF BDEBAC，于是 cos EFDcos BAC8 . D .令 BE 由 EF2 CFS AEF疋S弟形ABCFx，貝U AECE2 得: 1-3(1 x2)42 x2AF2xEF .1 x2, DF x,CF 2(1 x)2, x 2.3.2、3，應選擇D .9. A .由圖像知,1時,2a成立，當a 1時,CE 1a2 a時，a2 a 1，當 aa1時,a2a，應選擇A .10 . C .假設進水量為1,那么從左到右的六個出水口的出水量依次為:-

15、，應選擇A .5x(0 x 1).15 10 10 5132'32'32'32'32'32時，x 6，所以x、y的值有兩組，應選擇 B.7. A .由 EF CD ,CD與AB垂直時，EF最小.于是正確.水流量最大與最小的三角形分別是最上面的三角形與第五排最左或最右的三角形，流經最上面的三角形的水量為1,而流經第五排最左或最右的三角形的水量為16于是正確.應選擇 C .11. D .如圖，令 AB邊的高線為 CF，在CB上作一點E,使得 CA=CE，聯結DE，那么 CAD也B, BE DE AD 2 . CED，所以 CED CAD 2 B, BDE于是

16、BGGD .3,AB2 2.3,CA1 J3 在厶ACF中可得CF3,31屁,AF:3 V3-,FD222在厶CDF中可得CD. CF2DF2.6，應選擇D 過E作EG丄BD交BD于G,由ABC 30 得 EG=1,12. C 如圖，延長 BA、CD交于點F.由條件可得 BD是等腰 BCF的角平分線,可得CDAD DE 2 5 由CDE s CAF 得CECDCE2 石 CE 5AF .CF2CA24 CFCA4.5jJ匚5CE 3BC2AB2CA2(BF AF)2 CA2,BC2(BC4)282, BC 10，應選擇C 填空題本大題共 6個小題，每題4分，共24分將答案填寫在答題卡相應的橫線

17、上ED第12題圖題號131415161718答案4 x 2360VT5cm503m413 .第一次運行的結果為 3x 2，第二次運行的結果為 33x 22 9x 8，第三次運行的結果為 3(9x 8) 227 x 26 由條件得 9x 8 104 x 2 27x 26 10 314 由圖可知：S四邊形ABCD =S0邊形EFGH2S四邊形PQRS20，S四邊形pqrs 60 15 圓錐底面周長 2等于扇形的弧長，于是可得扇形的半徑等于4cm，于是圓錐的高為42 12cm 15cm 16由得，爸爸從接到他的位置A處開車到達學校 B，那么往返AB段開車用時為20分鐘,單程AB段開車用時10分鐘，于

18、是小明步行了 50分鐘.17 由條件得a 一2a24(m10對任意的實數a恒成立，2即(a 1)(4m3)0,4m330, m418 .設 OS 與 AD交于點L由DSAD知AS為DAC的角平分線SCAC由 DAC 60 及 OA=OD，知DAO為正三角形，有 AD=AO又由AS平分DAC，知ASO 也 ASDASLASCASO也ASC 又DAC60，那么ACL為正角形，且S為其中心設BM與AD的延長線交于 LCMCSACAC cCM 1BMBC1注意到SM /BD2MOSDADAOAM 2MLAL2DL AD ACL為正三角形故SM/BD 點L與點L重合 點L在AD的延長線上S為正 ACL的

19、中心OS OM 1 SM/CL, 且 SM 1，因此正確.19. 1原式=3 | 丄 1| 122令a 2021，那么原式13 -21(a 1)(a 1) a 1 (aa2a2 2a+11 (a a 2122a12 a 2a 21) a 2021.(a 1)20 .分配給甲店鋪 A款式服裝x件x取整數，且5* 30,那么分配給甲B款式服裝30-x件. 分配給乙店鋪 A款式服裝35 - x件，分配給乙B款式服裝25 30- x=x 5件. 4分甲店鋪的利潤為y甲，那么有y甲 30x 40(30 x) 1200 10x , 6分乙店鋪的利潤為y乙，那么有y乙 27(35 x) 36(x 5) 9x

20、 765,8分于是總利潤 y總 y甲 y乙 (1200 10x)(9x 765) x 1965.2分由條件得y乙9x 765950,解得x20 5 .9要使10分x 1965隨著x的增大而減小，又x 20 5，故取x=21，即分配給甲店鋪9兩種款式服裝14件與16件.此時，既保證乙店鋪獲利潤不小于對于y總y總最大，那么x必須最小.A、B兩種款式服裝21件與9件，分配給乙店鋪950元，又保證了在此前提下,SLMC2CL3注意到SSCMSSCMSocdSOCBSCCMOCSCAC1 k,SBCMS OCDS OCBS BCMCDOCCMCD AC AD那么方程x2 3kx 10有等根1.綜上，正確

21、的結論有.三解答題本大題共7個小題，共90分解容許寫出文字說明證明過程或演算步驟121. I任取一球，共有 6種不冋結果，所以球上漢字剛好是南的概率P 13分n由題知樹狀圖如下：百年經年經典南山百經典南山百年典南山典南山百年經南山百年經典山百年經典南共有30種不冋取法，能滿足要求的有4種，所以P 42 5 分7分3015川P1>P2 .8分唐老板獲取的總利潤最大，最大利潤是y總21 1965 1944元.12分各種情況列表如下:百年經典南山百白白百年經百典百南百山百年百年年年:經年典年南年山年:經百經年經經經經典南經山經典百典:年典經典lTTL lTTL/、/、南典山典南百南:年南經南典

22、南南南南山山百山:年山:經出典出南出山山一共有36種結果，滿足要求的結果有4種，于是F2 -，所以P>P2 . 12分36922.經過點A4, 0的直線的函數表達式令為 y m(x 4)(m 0) , 1分ky 2由 x可得：mx 4mx k 0 . 3分y m(x 4)因為直線與反比例函數圖像只有一個公共點，2于是 16m 4mk 0, k 4m. 5分易得 C(2k,0), D(0, 2k), B(0, k)，可得 AC 4 2k, BD 3k . 7分1 1于是恥形 abcd 2BD AC 2(3k)(42k) 3k(k 2)3k2 6k 3(k 1)2 3(k1). 10 分于是

23、當k 1時，Sa邊形ABCD有最小值，最小值等于9. 12分23.I如圖1,延長BC交x軸于F，聯結OB、AF交于P,聯結DF、CE交于Q.易知P 2, 3，Q 5, 2是兩個矩形的中心，過 P的直線將矩形 OABF的面積平分，過 Q的 直線將矩形 CDEF的面積平分，于是直線 PQ將多邊形OABCDE的面積平分.2分第23題解答圖1第23題解答圖3直線PQ的函數表達式為y1 x3114分3 .111顯然M (0,)在yx3311上3 ，且M不是GH的中點，故直線l的函數表達式為 y1x3115分3 .11另解如圖2,令過M (0,3)的直線的表達式為 y kx 3，與DE交于點H,11那么H

24、的坐標為(6,6 k),1分那么S梯形OMHE而S多邊形OABCDE(11 6k 11) 63318k 22.24 2 432 由題意得18k2216, k1,于是直線l的表達式為y3n如圖3,1由I知直由線I的函數表達式為 y - x31 11x337，可得 GW,11), H (6,5).33令M為GH的中點，貝y M的坐標為(3,8)，此即為滿足條件的點M .3證明如下:另取一條過點 M (3,8)的直線分別與 OA、DE交于G、H1.3注意到線段G1H1的中點也為M(3,8),3那么S MGG1S MHH 1?四邊形OG1H1E S多邊形AG1H1DCB，故G1 H 1也是滿足條件的直線.由G1H1的任意性，知滿足條件的直線有無數條.8故存在滿足條件的點M，其坐標為(3,).3210分12分24.I如圖1，易知tanAMO2AMO2 30 .令0。1與OO2的半徑分別是R與r，1的半徑R 2 3 .n* BO2M 60,OO2B 120 ,于是得 MOB是等腰三角形，且BOM假設存在滿足條件的點 P,貝U MO1P 30 分如圖2,當 MOf 30時，由 MO