1、附錄2A.1:偏好,效用函數(shù)和需求函數(shù)如果消費(fèi)者的偏好是理性的.(完備的和傳遞的.,連續(xù)的.,那么就存在著一個(gè)能代表該偏好的連續(xù)效用函數(shù).:L u +R R 。其中L 表示消費(fèi)集的維度,也就是商品的種類(lèi),除非做特別說(shuō)明,我們總是假定2L =,即消費(fèi)者消費(fèi)1x 和2x 兩種商品。我們還假定偏好是單調(diào).的和凸的.,則效用函數(shù)u 是遞增的和擬凹的.。給定上述假定,我們能夠得到一組形狀良好的無(wú)差異曲線,如圖2A -1,消費(fèi)者的無(wú)差異曲線是一組凸向原點(diǎn)的曲線,離原點(diǎn)越遠(yuǎn),其代表的效用水平越高1。 圖2A -1 無(wú)差異曲線一個(gè)常用的符合上述假定的效用函數(shù)是柯布-道格拉斯效用函數(shù),其形式是:1212(,u

2、x x Ax x =其中0,01,01A 。顯然,u 是連續(xù)的,遞增的,凹的。一個(gè)理性的消費(fèi)者面臨的問(wèn)題是在約束條件下追求效用最大化.。其約束條件為: 1122p x p x w +其中,12,p p 為兩種商品的市場(chǎng)價(jià)格,w 則表示消費(fèi)者的財(cái)富(或收入。給定偏好的單調(diào)性,這一約束一定是緊的,也就是1122p x p x w +=。則消費(fèi)者的效用最大化問(wèn)題可以描述為:12max (,x u x x1122.s t p x p x w += 上述問(wèn)題的拉格朗日函數(shù)可以寫(xiě)為: 121122(,(L u x x w p x p x =+-這一問(wèn)題的一階條件為:11u p x =,22u p x =

3、假定效用函數(shù)是凹的,上述條件是充分必要的。兩式相除,得到:1 關(guān)于偏好,以及偏好與效用效用函數(shù)關(guān)系的進(jìn)一步討論,參見(jiàn)馬斯-克萊爾等人,微觀經(jīng)濟(jì)理論,中國(guó)社會(huì)科學(xué)出版社,2001年版;瓦里安,微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)(高級(jí)教程,經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社,1997年版。 Ox 1 x21212uu p p x x = 上式意味著消費(fèi)者實(shí)現(xiàn)效用最大化的條件是消費(fèi)兩種商品最后一單位的邊際效用之比等于兩種商品的價(jià)格之比。我們還定義消費(fèi)者無(wú)差異曲線斜率的絕對(duì)值為邊際替代率(MRS ,表示給定效用水平保持不變(比如u ,少消費(fèi)一單位商品1,必須增加消費(fèi)多少單位的商品2,即21dx MRS dx =-。無(wú)差異曲線的數(shù)學(xué)形式為:12(

4、,u x x u =,表示使消費(fèi)者的效用水平達(dá)到u 的所有商品組合,兩位全微分,得到12120u u dx dx du x x +=,這樣我們就得到,2121dx u u x x dx -=。這一結(jié)果表明,邊際替代率(MRS 等于邊際效用之比。解上述問(wèn)題,得到消費(fèi)者效用最大化的解:*1112(,x x p p w =*2212(,x x p p w =上面兩個(gè)式子就是消費(fèi)者的(馬歇爾需求函數(shù),表示當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格和財(cái)富分別為12,p p w 時(shí),消費(fèi)者愿意消費(fèi)的(效用最大化的商品1x 和2x 的數(shù)量。顯然,*12112212(,(,(,u x x u x p p w x p p w =為給定價(jià)格和財(cái)

5、富水平為12,p p w 時(shí)消費(fèi)者所能達(dá)到的最大效用,我們令:12112212(,(,(,v p p w u x p p w x p p w =12(,v p p w 是一個(gè)復(fù)合函數(shù),我們將其稱(chēng)為間接效用函數(shù),它表示隨著價(jià)格和財(cái)富水平的變化,消費(fèi)者所能夠?qū)崿F(xiàn)的最大效用的變化。下面我們給出兩個(gè)特例:特例1:柯布-道格拉斯偏好消費(fèi)者的效用最大化問(wèn)題為:12max x Ax x 1122.s t p x p x w +=一階條件為:1121A x x p -=和1122A x x p -=,兩式相除得到: 2112x p x p = 將約束條件代入,可以得到:(*11w x p =+,(*22w x

6、 p =+。 特例2:擬線性偏好 如果消費(fèi)者的偏好是擬線性的,那么她的效用函數(shù)的形式為:1212(,(u x x x x =+,這時(shí),給定相對(duì)價(jià)格不變,消費(fèi)者愿意消費(fèi)的商品2x 的數(shù)量*2x 是唯一.的,無(wú)論消費(fèi)者的財(cái)富水平怎樣變化(只要保證*22w p x 。為了說(shuō)明這一點(diǎn),我們來(lái)求消費(fèi)者的最大化問(wèn)題:12max (x x x +1122.s t p x p x w +=一階條件是:11p =,22(x p =,得到:221(x p p =,則*1221(x p p -=,這意味*2x 僅僅是相對(duì)價(jià)格的函數(shù),與財(cái)富水平無(wú)關(guān)。給定相對(duì)價(jià)格不變,財(cái)富的變化只會(huì)改變消費(fèi)者對(duì)1x 的消費(fèi)數(shù)量,而不會(huì)

7、改變她對(duì)2x 的消費(fèi)數(shù)量。假定22(ln x x =,則有:*212x p p =,*111x w p =-。擬線性偏好非常重要,在公共經(jīng)濟(jì)學(xué),特別是公共產(chǎn)品和外部性理論中有廣泛的應(yīng)用。附錄2A.2:生產(chǎn)集,生產(chǎn)函數(shù),成本函數(shù)和生產(chǎn)可能性邊界現(xiàn)在我們考察企業(yè)的行為。企業(yè)總是在特定的技術(shù)約束下將投入品轉(zhuǎn)化為產(chǎn)品,從而可行的生產(chǎn)計(jì)劃總是受到特定技術(shù)的約束。我們把在技術(shù)上可行的所有的投入和產(chǎn)出組合(生產(chǎn)計(jì)劃的集合稱(chēng)作生產(chǎn)集.,通常用Y 表示。如圖2A -2,假定只有一種投入品z ,一種產(chǎn)品y ,圖中的陰影部分就是生產(chǎn)集。通常,我們假定生產(chǎn)集是一個(gè)非空的閉集,也就是說(shuō)生產(chǎn)集包括它的邊界,這條邊界線所確

8、定的函數(shù)就是生產(chǎn)函數(shù).,用(y f z =表示。這樣,我們就可以把生產(chǎn)集Y 寫(xiě)成:(,:(0,0Y z y y f z z =-。我們還假定生產(chǎn)集是凸的,也就是任意兩個(gè)可行的生產(chǎn)計(jì)劃的線性組合一定是可行的。可以證明,對(duì)于單一產(chǎn)出的技術(shù),生產(chǎn)集是凸的等價(jià)于生產(chǎn)函數(shù)(y f z =是凹的2。 圖2A -2 生產(chǎn)集為了考察企業(yè)在成本約束下的最優(yōu)投入品組合,我們現(xiàn)在假定存在兩種投入要素,1z 和2z ,生產(chǎn)函數(shù)為12(,y f z z =。企業(yè)面臨的問(wèn)題是給定成本約束,選擇最優(yōu)的投入品組合,使其產(chǎn)出最大化,即:12max (,z f z z1122.s t z z c +=其中,c 為企業(yè)的最高成本約

9、束,12,分別為兩種投入品的市場(chǎng)價(jià)格。一階條件是11f z =和22f z =。假定生產(chǎn)函數(shù)是凹的,上述條件是充分必要的。兩式相除,得到:1122f z f z =2 關(guān)于生產(chǎn)集及其與生產(chǎn)函數(shù)的關(guān)系的進(jìn)一步討論參見(jiàn)馬斯-克萊爾等人,微觀經(jīng)濟(jì)理論;瓦里安,微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)(高級(jí)教程。上式表明兩種要素的邊際產(chǎn)出之比(即邊際技術(shù)替代率MRTS 等于要素價(jià)格之比。上述生產(chǎn)最大化問(wèn)題的一個(gè)對(duì)偶問(wèn)題是成本最小化問(wèn)題,給定產(chǎn)出約束,即:1122min z z z +.s t 12(,f z z y =其中,y 為企業(yè)的最低產(chǎn)出約束。一階條件同樣是11f z =和22f z =,將其代入約束條件,可以解得:*111

10、2(,z z y =*2212(,z z y = 上面兩個(gè)式子就是所謂的條件要素需求函數(shù).。令: 12(,c y =12*12z z +=11122212(,(,z y z y + 則12(,c y 為企業(yè)的成本函數(shù).,表示給定要素價(jià)格和產(chǎn)出要求下的最小成本。如果生產(chǎn)函數(shù)是凹的,可以證明成本函數(shù)對(duì)于產(chǎn)量y 是凸的。現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向企業(yè)的利潤(rùn)最大化問(wèn)題,即在給定產(chǎn)品和投入品市場(chǎng)價(jià)格的前提下,選擇產(chǎn)量使利潤(rùn)最大化。上述問(wèn)題可以表示為:12max (,y py c y - 這一問(wèn)題的一階條件是p c y =,由于目標(biāo)函數(shù)對(duì)y 是凹的,這一條件是充分必要的。意味著利潤(rùn)最大化的條件是選擇產(chǎn)量使邊際成本等于價(jià)

11、格。現(xiàn)在我們考慮兩種產(chǎn)品的情況,為了和上節(jié)一致,分別用1x 和2x 表示這兩種產(chǎn)品。生產(chǎn)函數(shù)分別為:112112(,x f z z =和222212(,x f z z =,可以分別解得兩種產(chǎn)品的要素需求函數(shù): *12(,j j l l j z z x =, 1,2;1,2l j = 假定投入品總量分別為1z 和2z ,且被完全充分利用,則有:12121122(,(,l l l z z x z x =+, 1,2l = 圖2A -3畫(huà)出了所有可能的兩種產(chǎn)品生產(chǎn)組合(我們不考慮負(fù)產(chǎn)出,稱(chēng)為生產(chǎn)可能性.集.,其中FF 曲線被稱(chēng)為生產(chǎn)可能性邊界.,它表示當(dāng)資源(所有投入品被充分利用時(shí),兩種產(chǎn)品所有的可

12、能性組合,也就是,隨著其中一種產(chǎn)品的產(chǎn)量變化,另一種產(chǎn)品所能獲得的最大產(chǎn)量的變化軌跡。 圖2A -3 生產(chǎn)可能性集我們將生產(chǎn)可能性邊界的斜率的絕對(duì)值定義為邊際轉(zhuǎn)換率.(MRT ,表示當(dāng)資源充分利用時(shí),多生產(chǎn)一單位1x ,需要放棄多少單位的2x 。一般用生產(chǎn)轉(zhuǎn)換函數(shù)12(,0F x x =來(lái)表示生產(chǎn)可能性邊界,則生產(chǎn)可能性集就可以寫(xiě)作:12121,2(,:(,0,0x x F x x x 且。我x 1 x 2F們通常假定生產(chǎn)可能性集是一個(gè)凸集,假定12(,F x x 是一個(gè)凸函數(shù)。對(duì)生產(chǎn)轉(zhuǎn)換函數(shù)兩邊全微分,得到:12120F F dx dx x x += 這意味著:2121dx FF MRT x

13、 x dx =-=。另外,經(jīng)濟(jì)學(xué)中還有一個(gè)常用的結(jié)論,就是邊際轉(zhuǎn)換率等于邊際成本之比。現(xiàn)在我們來(lái)證明這個(gè)結(jié)論:兩種產(chǎn)品的成本函數(shù)可以表示為:1211122212(,(,(,j j j j j j c x z x z x =+ 1,2j = 則有:121212121122111211122221212122(,(,(,(,(,(,c x c x z x z x z x z x +=+ 在生產(chǎn)可能性邊界上,投入品被充分利用,這意味著:121212112212(,(,c x c x z z +=+令上式兩邊對(duì)12(,x x 全微分,得到:1212120c c dx dx x x += 這意味著:12

14、2121dx c c MRT x x dx =-=。2.1.2 福利經(jīng)濟(jì)學(xué)第一定理:數(shù)學(xué)證明本節(jié)我們對(duì)福利經(jīng)濟(jì)學(xué)第一定理給出一個(gè)簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)證明。讀者應(yīng)該將本節(jié)和附錄2A.1和2A.2結(jié)合起來(lái)學(xué)習(xí)。首先我們給出帕累托最優(yōu)的數(shù)學(xué)條件。假定存在兩個(gè)消費(fèi)者A 和B ,兩個(gè)企業(yè)1和2,分別生產(chǎn)商品1x 和2x 。假定有兩種投入品1z 和2z ,但投入品不能直接用于消費(fèi)。 生產(chǎn)函數(shù)分別為:111112(,x f z z =和222212(,x f z z =。我們用12(,0F x x =表示生產(chǎn)可能性邊界。我們用1A x 和2A x 表示A 消費(fèi)兩種產(chǎn)品的數(shù)量,用1B x 和2B x 表示B 消費(fèi)的數(shù)量

15、,則: AB j j j x x x +=, 1,2j = 所謂帕累托最優(yōu)配置是指在不損害其他人的效用的前提下使任何個(gè)人的效用達(dá)到最大。因此,一個(gè)帕累托最優(yōu)問(wèn)題可以寫(xiě)成:12max (,A A A x u x x 12.(,B B B s t u x x u 12(,0F x x 在單調(diào)性假設(shè)下,上述約束實(shí)際上都是緊的。這一問(wèn)題的拉格朗日函數(shù)是:121212(,(,(,A A A B B B L u x x u u x x F x x =-一階條件是: 11A A u F x x = (2.1u A F = A x2 x2 (2.2 u B F = B x1 x1 (2.3 u B F B =

16、 x2 x2 和(2.6兩式相除，得到： (2.4 我們假定效用函數(shù)是凹的， 生產(chǎn)轉(zhuǎn)換函數(shù)是凸的， 則上述一階條件是充分必要的。 將(2.5 u A x1A 將(2.7和(2.8兩式相除，得到： u A F = x2A x1 u B F = B x2 x1 B F x2 F x2 (2.5 u B x1B A (2.6 ，這就是我們?cè)谏弦还?jié)給 (2.9和(2.10式意味著： MRS = MRS = MRT （參見(jiàn)附錄） 出的帕累托最優(yōu)的條件。 下面我們證明完全競(jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)的一般均衡配置 （以下簡(jiǎn)稱(chēng)競(jìng)爭(zhēng)性均衡） 是滿(mǎn)足上述帕累托 條件的。一般而言，競(jìng)爭(zhēng)性市場(chǎng)的本質(zhì)特征是價(jià)格接受，這就要求存在非常多的

17、消費(fèi)者和生 產(chǎn)者，而我們的模型只有兩個(gè)消費(fèi)者，兩個(gè)生產(chǎn)者，為此，我們可以把兩個(gè)消費(fèi)者理解為兩 群消費(fèi)者，同理，把兩個(gè)生產(chǎn)者理解為兩群生產(chǎn)者。我們假定投入品稟賦屬于消費(fèi)者，分別 用 zl 和 zl （ l = 1, 2 ）表示，滿(mǎn)足： zl + zl = z l （ l = 1, 2 ） 。 A B A B 假定消費(fèi)者擁有企業(yè)利潤(rùn)，其利潤(rùn)份額用 j （ i = A, B ， j = 1, 2 ）表示，滿(mǎn)足： i jA + jB = 1 （ j = 1, 2 ） 。 和一組價(jià)格 p1 , p2 ; 1 , 2 ，使得： * * * * 所謂競(jìng)爭(zhēng)性均衡，是指一組資源配置 ( x1 , x2 , (

18、x1 , x2 ; x1 , x2 ; ( z1 , z2 , ( z1 , z2 （1）生產(chǎn)者利潤(rùn)最大化條件：對(duì)每一個(gè)企業(yè) j， x j 滿(mǎn)足： * * p*j x*j c j (1* , 2 , x*j = max x p*j x j c j (1* , 2 , x j ， * A* A* B* B* * * 1* 1* 2* 2* j = 1, 2 我們假定成本函數(shù)是凸的，則上述條件等價(jià)于： p = * j c j (1 , 2 , x* j x j ， j = 1, 2 將上面兩式相除，得到： * p1* p2 = * c1 (1 , 2 , x1 x1 * c 2 (1 , 2 , x2 = MRT x2 i* i* (2.7 （2）消費(fèi)者效用最大化條件：對(duì)每一個(gè)消費(fèi)者 i， ( x1 , x2 滿(mǎn)足： i i u i ( x1i* , x2* = max x u i ( x1i , x2 ， i = A, B * * i * i * s.t. p1 x1i + p2 x2 1* z1i + 2 z2 + ij p* x j c j (1* , 2 , x j j j =1 2 我們假定效用函數(shù)是凹的，成本函數(shù)是凸的，則上述條件等價(jià)于： i u i ( x1i* , x2* = (1 ij p* ， i =