1、龍?jiān)雌诳W(wǎng) http:/提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)：問題解決的視角作者：王海伴來源：數(shù)學(xué)教學(xué)通訊 高中版2020 年第 03 期龍?jiān)雌诳W(wǎng) http:/摘;要通過主題關(guān)于導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)無法直接求解”的解決，闡述在高考二輪備考復(fù)習(xí)中, 以函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、不等式的解集之間的關(guān)系為突破口，尋求解決問題的思路與方法，領(lǐng)悟這類數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，來嘗試激活備考狀態(tài)下的數(shù)學(xué)課堂，落實(shí)高三學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素 養(yǎng).關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)；導(dǎo)函數(shù);零點(diǎn)高中數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之間相互影響、相互制約、相互促進(jìn)，其中直觀想象是邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的思維基礎(chǔ).導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)無法直接求解，是學(xué)生導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題中最常見、最

2、犯難的一類問題，導(dǎo)致很多學(xué)生無法參與課堂教學(xué)，更談不上核心素養(yǎng)的落實(shí).下面通過實(shí)例來談?wù)勥@類問題中提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的看法，不當(dāng)之處，懇請批評指正.問題提出在高三文科二輪備考復(fù)習(xí)中，學(xué)生反饋，近幾年高考文科數(shù)學(xué)新課標(biāo)(n)卷導(dǎo)數(shù)壓軸題，難度較大，得分率很低，通過與學(xué)生的交流發(fā)現(xiàn)，問題的焦點(diǎn)在于導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)無法直接求解，其實(shí) 2016 年 20 題、2017 年 21 題與 2010 年新課標(biāo)理科 21 題相似.問題：(2010 年新課標(biāo)全國n卷理第 21 題)設(shè)函數(shù) f (x) =ex-1-x-ax2.(I )略；(n )若當(dāng) x 寸，f(x) 0,求 a 的取值范圍.問題分析與解決龍?jiān)雌?/p>

3、刊網(wǎng) http:/對于上述問題第二問，筆者在教學(xué)實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生存在以下學(xué)習(xí)障礙 .學(xué)習(xí)障礙一：不明白為什么要對原函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，從而導(dǎo)致導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)無法直接求解時迷失 方向;學(xué)習(xí)障礙二：學(xué)生對函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根、不等式的解集之間的關(guān)系認(rèn)識不夠，導(dǎo)致無 法處理導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問題 ;學(xué)習(xí)障礙三：學(xué)生沒有從數(shù)與形的角度來深刻領(lǐng)悟常見不等式模型，也就談不上常見不等 式放縮模型的應(yīng)用 .1. 數(shù)形結(jié)合，嘗試求根，落實(shí)直觀想象素養(yǎng)學(xué)生完成 f (x) =ex-1-2ax , x啲計(jì)算，令 f (x) =0，無法直接求出 f (x)的零點(diǎn)， 此時引導(dǎo)學(xué)生回顧解方程與不等式的常用方法，讓其認(rèn)識到除了從數(shù)的角度，

4、也可以從形的角 度(圖像)近似估算方程的根通過學(xué)生容易理解的方程，例如x2-4=0,由特殊到一般歸納解方程、解不等式、求函數(shù)零點(diǎn)的數(shù)學(xué)本質(zhì)相同.f (x)=0,即 ex-2ax-1=0，從而 ex-1=2ax，令 g(x)=ex-1，h(x)=2ax，此時類比 x2=4 的圖像解法.如圖 1，由于在點(diǎn)(0，0)處 g(x)的 切線為 y=x，所以當(dāng)2ah (x),?坌 x (0, +呵，則(0, + 為 f(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間.又 f (0)=0，所以 x0,+8),f(x) 0.當(dāng) a時，如圖 2 所示，存在 x (0, +8)，使得 f (x) =0，這樣在區(qū)間(0, x ) 上 f(

5、x) 0,從而(0, +8)為 f (x)的一個單調(diào)遞減區(qū)間.又 f (0) =0,于是當(dāng) x ( 0, x ) 時，f (x)0,只需 f ( x) min0但方程 f (x) =0 無法直接求出，學(xué)生思維受阻，無法通過導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性. 引導(dǎo)學(xué)生回顧高中階段解方程的一般性思路,不能直接解方程時,能否考慮利用圖像法近似解方程,考慮在點(diǎn)(0,0)處 g (x)的切線為 y=x，對 2a 進(jìn)行分類討論，使問題得到了順利解決 .通過數(shù)形結(jié)合，使 學(xué)生在求根的思考中有效落實(shí)了直觀想象素養(yǎng) .2. 參考特值,多次求導(dǎo),提升邏輯推理素養(yǎng)引導(dǎo)學(xué)生再次類比 x2-4=0 的圖像解法，令 f (x) =

6、0，無法直接求出 f (x)的零點(diǎn)，然 而導(dǎo)函數(shù) f (x)的單調(diào)性未知，怎樣考察y=f (x)的單調(diào)性，此時自然會想到計(jì)算f (x)設(shè) g (x) =ex-2ax-1 , g (x) =ex-2a，當(dāng) aw時，g (x)0這樣0, +8)為 g (x)的一個單 調(diào)遞增區(qū)間，于是 g (x)g(0),即 f (x)0從而0, +8)為 f(x)一個單調(diào)遞增區(qū) 間，f (0)=0,則 x0,+8),f(x) 0. ,+8時，由 g(x)0，得 ex2a，解得 xln(2a)，所以0, In (2a)為 g (x)的一個單調(diào)遞減區(qū)間，In (2a), +為 g (x)的一 個單調(diào)遞增區(qū)間又 g龍?jiān)?/p>

7、期刊網(wǎng) http:/(x) min=g (In (2a) g (0) =0 ,所以0, In ( 2a)為 f (x)單調(diào) 遞減區(qū)間由 f (0) =0，得 x 0 , In(2a)時，f (x) 1+)的理解，這樣才有可能將這一直觀模型在問題解決中信手拈來由不等式模型 ex 1+x 得 f(x)Xax= (1-2a) x，即 aw時，f (x) 0(x0，故(0, +x)為 f (x)的一個單調(diào)遞增，而 f (0) =0，于是當(dāng) x 時，f (x) 0. 由 ex1+x(x0，得 e-x1-x(x0當(dāng) a ,+8,f(x)ex-1+2a(e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a)，故當(dāng)

8、x(0, In2a) , f(x) 0，而 f(0) =0，于是當(dāng) x ( 0, In2a),f(x) 1+x xln(x+1)等模型，引導(dǎo)學(xué)生利用不等式ex 1+x(當(dāng)且僅當(dāng) x=0 時，取等號)直觀模型，參考特值f (0) =0, f ( 0) =0 ,使問題得到圓滿解決,從而有效發(fā)展了學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)建模素養(yǎng) 4 設(shè)出零點(diǎn)，整體代換，增強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升,不能定格在簡單模仿解決問題的層面上,而是要抓住數(shù)學(xué)本真 教師應(yīng)該在把握學(xué)情、注重過程性學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上,努力為學(xué)生設(shè)置合理的問題充分調(diào)動學(xué)生的積極性,讓其創(chuàng)造性地解決問題,這也正是數(shù)學(xué)的魅力所在 例：(2013 年新課標(biāo)

9、全國n卷理第 21 題)已知函數(shù) f (x) =ex-ln (x+m).(I )略；(n)當(dāng) m0.引導(dǎo)學(xué)生完成，當(dāng) mW2,x (-m,+8)時，In(x+m) wln(x+2)的判斷，為后續(xù)問題 掃清障礙故只需證明當(dāng) m=2 時，f (x) 0.當(dāng) m=2 時，函數(shù) f (x) =ex-在(-2, +8)上單調(diào)遞增 y=f (x)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)無法直接求解，給學(xué)生充分探究空間，為創(chuàng)造性解決問題奠定基 礎(chǔ).又 f(-1)0，故 f (x)=0 在(-2，+s)上有唯一實(shí)根 x0, x0 (-1, 0). 當(dāng) x (-2, x0)時，f (x) 0,從而當(dāng) x=x0 時，f (x)取 得最小值 . 此時根據(jù)學(xué)生探索情況,注意引導(dǎo)學(xué)生體會轉(zhuǎn)化思想的重要作用,然后通過f (x0) =0 得出 ex0=，這樣就得到 In (x0+2) =-x0，而 f (x0) = +x0= 0.由以上分析得 mfC2時, f( x) 0.通過問題解決,學(xué)生領(lǐng)悟到當(dāng)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)直接不可求時,可以借助零點(diǎn)定理設(shè)出零點(diǎn),由 f (x0) =0,得ex0=進(jìn)行整體代換，從而使問題得到順利解決，有效促進(jìn)了學(xué)生邏輯推理與 數(shù)學(xué)運(yùn)算 .結(jié)束語要論證某種教學(xué)方式的正確性和有效性,應(yīng)該根據(jù)核心素養(yǎng)的要求