1、二次函數的應用能力點1二次函數的實際應用1. （2020 江蘇南京）小明和小麗先后從A地出發沿同一直道去B地.設小麗出 發第x min時，小麗、小明到B地的距離分別為yi m, y2 m, y1與x之間的函數 表達式是yi= -180x+2250, y2與x之間的函數表達式是y:= 10x （2020 山東日照）如圖，某小區有一塊靠墻（墻的長度不限）的矩形空地ABCD, 為美化環境，用總長為100 m的筒笆圍成四塊矩形花圃（靠墻一側不用筒笆，筒 笆的厚度不計）.（1）若四塊矩形花圃面積相等，求證：AE = 3BE； （2）在（1）的條件下，設BC的長度為x m,矩形區域ABCD的面積為y m求

2、y與X之間的函數關系式，并直接寫出自變量X的取值范圍.IIG 100x+ 2000.（1）小麗出發時，小明到A地的距離為 m；（2）小麗出發至小明到達B地這段時間內，兩人何時相距最近？最近距離是多 少？3. （2020 河北）用承重指數W衡量水平放置的長方體木板的最大承重量.實驗 室有一些同材質同長同寬而厚度不一的木板，實驗發現：木板的承重指數W與 木板的厚度x（厘米）的平方成正比，且當x=3時，W=3.（1）求W與x的函數關系式；（2）如圖，選一塊厚度為6厘米的木板，把它分割成與原來同長同寬但薄厚不同 的兩塊板（不計分割損耗）,設薄板的厚度為x（厘米），Q=W"-W陳求Q與x的函數

3、關系式；x為何值時，Q是W傅的3倍？注：（1）及中的不必寫x的取值范圍能力點2二次函數的綜合應用4. （2020 上海）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x + 5與x軸、y軸分別交于A, B兩點，拋物線y = ax,+bx（aW0）過點A.求線段AB的長；若拋物線y=ax?+bx經過線段AB上的另一點C,且BC=/,求這條拋物線 的表達式；(3)如果拋物線y = ax2+bx的頂點D在AAOB的內部，求a的取值范圍.5. (2020 山東煙臺)如圖，拋物線y = a必+bx + 2與x軸交于A, B兩點，且 0A=20B,與y軸交于點C,連接BC,拋物線的對稱軸為直線x=J, D為第一象 限

4、內拋物線上的一動點，過點D作DE_LOA于點E,與AC交于點F,設點D的橫 坐標為m.(1)求拋物線的表達式；(2)當線段DF的長度最大時，求D點的坐標；(3)拋物線上是否存在點D,使得以點0, D, E為頂點的三角形與aBOC相似？ 若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.備用圖6. (2020 山東淄博)如圖，在直角坐標系中，四邊形0ABC是平行四邊形，經O過A( 2, 0), B, C三點的拋物線y = ax2+bx+a(a<0)與x軸的另一個交點為 OD,其頂點為M,對稱軸與x軸交于點E.(1)求這條拋物線對應的函數表達式；(2)已知R是拋物線上的點，使得aADR的面積是00A

5、BC的面積的彳，求點R的坐標；(3)己知P是拋物線對稱軸上的點，滿足在直線MD上存在唯一的點Q,使得NPQE= 45”,求點P的坐標. 7.(2018 山東棗莊)如圖1,已知二次函數y = ax2+5x + c(a*0)的圖象與y軸交于點A(0, 4),與x軸交于點B, C,點C坐標為(8, 0),連接AB, AC.請直接寫出二次函數y=ax2+-x+c的表達式；乙(2)判斷4ABC的形狀，并說明理由；(3)若點N在x軸上運動，當以點A, N, C為頂點的三角形是等腰三角形時，請寫出此時點N的坐標；如圖2,若點N在線段BC上運動（不與點B, C重合），過點N作XMAC,交 AB于點當aAMN面

6、積最大時，求此時點N的坐標.8.(2020 山東濟寧)我們把方程(xm尸+(yn)2=/稱為圓心為(m, n),半徑長為r的圓的標準方程.例如，圓心為Q, 2),半徑長為3的圓的標準方程是(x-l尸+(y+2尸=9.在平面直角坐標系中，0c與x軸交于點A, B.且點B的坐標為(8, 0),與y軸相切于點D(0, 4),過點A, B, D的拋物線的頂點為E.(1)求圓C的標準方程；(2)試判斷直線AE與。C的位置關系，并說明理由.9. (2020 四川遂寧)閱讀以下材料，并解決相應問題: 小明在課外學習時遇到這樣一個問題：定義：如果二次函數y = aix'+bix + ci(ai#O,

7、ai,定Ci是常數)與y=a£+b2X + c2(a20, a2, b2, c2是常數)滿足 a1 + a: = O, bi=b2, c1+c2=0,則這兩個函 數互為“旋轉函數”.求函數y = 2x-3x+l的“旋轉函數”.小明是這樣思考的：由函數y=2x?3x+l可知，a1 = 2,匕=-3, c】 = l,根據 ai+a2=O, bi=b2, Ci+c2=0,求出a：, b2, C2就能確定這個函數的“旋轉函數”.請思考小明的方法解決下面的問題：(1)寫出函數y=x?4x + 3的“旋轉函數”；若函數y = 5x2+(m-l)x + n與y=-5x? nx-3互為“旋轉函數”，

8、求(m+ n) 2 °”的值；己知函數y=2(xl) (x + 3)的圖象與x軸交于A, B兩點，與y軸交于點C, 點A, B, C關于原點的對稱點分別是A1，B，C，試求證：經過點k, Bi, Q的 二次函數與y = 2(x l)(x+3)互為“旋轉函數”.參考答案1.解：(1) Vyi=-180x+2 250, %= 10/一 100x + 2 000, 當 x = 0 時，y1=2 250, y2=2 000, 小麗出發時，小明到A地的距離為2 250-2 000 = 250(m).故答案為250.(2)設小麗出發第x min時，兩人相距s m,則s=( 180x+2 250)

9、 ( 10x2-100x + 2 000) =10x2-80x+250 = 10(x-4)2+90, 當x = 4時，s取得最小值,此時s = 90.答：小麗出發第4 min時，兩人相距最近，最近距離是90 m.2 .(1)證明：.四塊矩形區域的面積相等，ME=BE,矩形AMXD的面積是矩形MEFX面積的2倍，AM=2ME, AE=AM+ME = 3ME = 3BE.5200 6 義解:BC的長度為x m,籬笆總長為100 m,-AB+3x=100,則AB的長度為一 m,矩形區域ABCD的面積為y nf,2006x 口100y->。且x>0,.0<x<亍2006x6，1

10、00、X+40x (0<x<-).3 .解：設 W=kx“kWO).當 x = 3 時，W=3, 3 = 9k,解得 k=粉,AW與x的函數關系式為W=1x2.o(2)設薄板的厚度為x厘米，則厚板的厚度為(6x)厘米,.*.Q=WJV-Wi«=1(6-x)2-1x:=-4x+12,AQ與x的函數關系式為Q=-4x+12.二飛是W薄的3倍，4x+12 = 3X4x) O解得Xi = 2, x?=6(不合題意，舍去)，x=2時，Q是W沛的3倍.4.解:當 x=0 時,y=一a + 5 = 5；當 y=1x+5=0 時，解得 x= 10, .A(10, 乙乙0), B(0, 5

11、), AA0=10, B0=5, AB=AO2+BO:=/102+52=55.設點C的坐標為(t, 1t + 5),則BC?=t，+(一1t尸=5,解得七=2, t:= 2 (舍去).AC(2, 4).將A, C點的坐標分別代入y=ax?+bx,得0 = 100a+10b,4=4a+2b,這條拋物線的表達式為y=-#+|x.:拋物線y = ax2+bx過點A,.,.100a+10b = 0,解得 b=-10a,/.y = ax2+bx = ax2_10ax=:a(x 5)2 25a,1拋物線的頂點 D 的坐標為(5,一 25a).,/拋物線的頂點D在 A0B的內部,51/.0<-25a&

12、lt;-,解得一詔Va<0. 乙JL U5.解：設OB=t,則0A=2t,則點A, B的坐標分別為（2t, 0）, （一t, 0）,則（2t t）=，解得 t = l, 點A, B的坐標分別為(2, 0), (-1, 0), 拋物線的表達式為y = a(x 2) (x+1) =ax2+bx+2,解得a= -1, 拋物線的表達式為y=-x?+x + 2.(2)對于 y=-V+x+2,令 x = 0,則 y = 2,故點 C(0, 2).由點A, C的坐標可得直線AC的表達式為y=-x+2, 點 D 的橫坐標為 m,，點 D(m, nf+m+2),點 F(m, m+2),且 0VmV2, 貝

13、DF=m,+m+2- (m+2) = -m' + 2m= (m-1)，+ 1.V-l<0, DF有最大值，此時m=L 點D(l, 2).(3)存在，理由如下：由(2)可知 OE=m, DE=m：+m+2,V ZB0C=Z0ED = 90°，要使得以點0, D, E為頂點的三角形與ABOC相似, lhDE OBJDE OC niIDE -JDE lrlll八而加=6E或加，即61=2或加=5即可，即 m+m+2 = 2或 小 +小+吆, 解得小口 或皿=-2 (舍去)或更或 mm241-33m=一(舍去)，一廣 1+33 m 1 HXi m. .6.解：（1）,四邊形OA

14、BC是平行四邊形，BC=0A=2,拋物線的對稱軸為直線x = l,=1,o將點A的坐標代入拋物線的表達式，得0=4a 2b+w.聯立并解得1o q二拋物線的表達式為y=-x2+|x+|. jj j(2)由拋物線的表達式易得點M(l, 3),點D(4, 0).3V AADR的面積是00ABC的面積的彳，Z.|aD- |yR|=|()A-0B,即3X6| 門| =|x2x|,4解得力= 士不 O12 S 41 o q 4當 丫區=一？；+;+5=鼻時，解得 Xr=1 ±；當 yR= -xs:+-xR+-= -W,解得 xr=1±13,點 r 的坐標為<)或(i一<)

15、或(i+m，;)或(i南，<) oJ<5o(3)(1)如圖，作4PEQ的外接圓R,VZPQE=45° ,故NPRE=90° ,則APRE為等腰直角三角形,當直線MD上存在唯一的點Q,則RQLMD,點M, D的坐標分別為(1, 3), (4, 0), 則 ME = 3, ED = 4 1 = 3,則 MD = 3噌,過點R作RH_LME于點H, 設點 P(L 2m),則 PH=HE=HR=m,則圓R的半徑為啦m,則點RQ+m, m),SamED=Sa)£RD-H S.£Mh + SmRE， ED=/1D RQ+|eD yn+j-ME RH,.|

16、x3X3 = 1x3V2Xm+1x3Xm+|x3m,乙乙乙乙33解得m=1故點P(L -). X乙(II)當點Q與點D重合時，由點M, E, D的坐標知,ME=ED,即NMDE=45° ；當點P在x軸上方時，當點P與點M重合時，此時NPQE = 45° ,此時點P(L3),當點P在x軸下方時，同理可得：點P(l, -3),3綜上，點P的坐標為(1,萬)或(L 3)或(1, -3). 乙137.解：(l)y=-x2+-x+4.3提示：:二次函數y=ax二+x + c的圖象與y軸交于點A(0, 4),與x軸交于點 乙 C,點C坐標為(8, 0),c=4,64a+12 + c =

17、 0,1 a= r, 解得j4、c=4,1 Q拋物線的表達式為y=-x2+-x+4.AABC是直角三角形.理由如下：13令 y=0,貝ij彳x+5x+4 = 0, X乙解得 Xi = 8, x2=-2,點B的坐標為（-2, 0）.在 RtAABO 中，AB=BO+ACyZi+nZO,在 RtAAOC 中，AC:=A0:+C0: = 42+82=80.又 VBC = 0B+0C = 2+8 = 10,AABC 中，AB2+AC:=20+80 = 102=BC2,ABC是直角三角形.(3) VA(0, 4), C(8, 0), AAC=42+8:=4/5.以A為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸于點

18、N,此時N的坐標為(-8, 0)；以C為圓心，以AC長為半徑作圓，交x軸于點N,此時N的坐標為(8 44， 0)或(8+4而，0)；作AC的垂直平分線，交x軸于點N,此時N的坐標為(3, 0).綜上所述，若點N在x軸上運動，當以點A, N, C為頂點的三角形是等腰三角 形時，點N的坐標分別為(-8, 0), (8 4小，0), (8+4小，0), (3, 0). (4)設點N的坐標為(n, 0),則BN=n+2.如圖，過M點作MD_Lx軸于點D, ，MDOA, BMDsbaO,BM_MD ba=6a-BM BN .MD BN岷AC，,喘=而，喘=而VOA = 4, BC=1O, BN=n+2,

19、2 ，MD=M(n+2).VSaaSaabnSabms-BN OA-BN MD=J(n + 2) X4-x|(n + 2)2=-1(n- /z 3尸+5,當n = 3時，.最大,，當aAMN面積最大時,N點坐標為(3, 0).8.解:(1)如圖，連接CD, CB,過點C作CF_LAB于點F.點D(0, 4), B(8, 0),設。C半徑為r, G)C與y軸相切于點D,ACD=BC = 0F=r, CF=4.CF_LAB,AAF=BF=8-r.在 4BCF 中，BF:+CF:=BC即(8尸+42 = /,解得 r = 5, CD=0F=5,即 C(5, 4), OC的標準方程為(x5)?+ (y

20、 4>=25.由可得 BF=3=AF,則 0A=0B-AB=2,即 A(2, 0).設拋物線的表達式為y = a/+bx + c,將A, B, D坐標代入得,0 = 4a + 2b + c,a 4'< 0 = 64a+8b + c ,解得5/b-，4 = c,N、c=4,拋物線的表達式為y=)尹+ 4,9點 E(5,-).設直線AE的表達式為y=mx + n,將點A和E的坐標代入,f 9 -=5m+n解得，3 n=5,可得J 4、0 = 2m+n,33，直線AE的表達式為y=x+- JL乙OC的標準方程為(x5"+ (y4)2=25,f33聯立J42I (x5)