1、數值分析第二章 方程求根（2） 2016年11月14日 xyy = xx*y= (x)x0p0 x1p1 xyy = xx*y= (x)x0p0 x1p1 xyy = xx*y= (x)x0p0 x1p1xyy = xx*y= (x)x0p0 x1p1yxy *xababx)(xy bxa| )(|kx)(1kkxx|*)( |*)()(|*|xxxxxxkkk 11 Lx | )( | 由|*|xxLk |*|xxLk 12|*|.xxLk 01*|*|*|xxxxLxxkkk 0|*|*|xxLxxkk 1迭代法的收斂性迭代法的收斂性kx1kx)(kx)(1kx 324100f xxx11

2、.5，*x求方程求方程在在內的根內的根例：例：。解：解：原方程可以等價變形為下列三個迭代格式原方程可以等價變形為下列三個迭代格式2313111040,1,2,.1100,1,2,.22100,1,2,.34kkkkkkkkxxxxkxxkxkx （1） （ ） （ ）由迭代格式由迭代格式 （1） 231104kkkkxxxx01.25x 取初值取初值得得 123.04687526.04005xx 結果是發散結果是發散的？！的？！311102kkkxxx01.25x 1021324354657687981091.418351.336661.379481.357861.368981.363311.

3、366211.364731.365491.36510 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx，10 x由迭代格式由迭代格式 （2） 取初值取初值得得 結果精確到四位有效數字，迭代到結果精確到四位有效數字，迭代到得到收斂結果。得到收斂結果。 十步才能得到十步才能得到收斂的結果！收斂的結果！1104kkxxx01.25x 102132431.380131.363341.365471.36512xxxxxxxx4x 由迭代格式（由迭代格式（3） 取初值取初值得得 結果精確到四位有效數字，迭代到結果精確到四位有效數字，迭代到得到收斂結果。得到收斂結果。四步就能得到四步就能得到收斂的結果了！收斂的結果

4、了！ 23104xxxx 21 83xxx 1,1.5x 2381101xxx 迭代格式（迭代格式（1 1）的迭代函數為）的迭代函數為 求導得求導得 當當時時故迭代格式（故迭代格式（1 1）是發散的。）是發散的。分析分析: : 31102xx1,1.5x 33111.5 ,110 1.5 ,10 1221.287,1.51,1.5x 2330,410 xxx 33323401008xxxx 迭代格式（迭代格式（2 2）的迭代函數為）的迭代函數為 當當時時由由1,1.5x 2231.51.50.65561410 1.5x知知當當時，時， 所以迭代格式（所以迭代格式（2 2）是收斂的。）是收斂的。

5、 104xx1,1.5x 10101.5 ,1,1.54141.348,1.4141,1.5x 迭代格式（迭代格式（3 3）的迭代函數為）的迭代函數為當當時時 2532131040,1040,24xxxx 由由1,1.5x 3212110 140.1414210 x時，時， 知知當當所以迭代格式（所以迭代格式（3 3）也是收斂的。）也是收斂的。結論結論: : x x 通過以上算例可以看出對迭代函數通過以上算例可以看出對迭代函數所得到的所得到的若小于若小于1 1，則收斂；且上界越小收斂速度越快。，則收斂；且上界越小收斂速度越快。求導，求導，的上界若是大于的上界若是大于1 1，則迭代格式發散；，則

6、迭代格式發散； 4. 加速收斂技術加速收斂技術 L越小迭代法的收斂速度越快，因此，可以從越小迭代法的收斂速度越快，因此，可以從尋找較小的尋找較小的L來改進迭代格式以加快收斂速度。來改進迭代格式以加快收斂速度。思思路路(1). 松弛法松弛法引入待定參數引入待定參數 1 ，將將 ( )xx作等價變形為作等價變形為 1( )11xxx（9.3.4） 將方程右端記為將方程右端記為 ( )x，則得到新的迭代格式，則得到新的迭代格式 1()kkxx由定理由定理2知知 ( )1xL為了使新的迭代格式比原來迭為了使新的迭代格式比原來迭代格式收斂得更快，只要滿足代格式收斂得更快，只要滿足( )( )xx且且 1

7、1xx|( )|( )越小，所獲取的越小，所獲取的L就越小，就越小，迭代法收斂的就越快，因此我們希望迭代法收斂的就越快，因此我們希望 0 x( )。可取可取 =()1kkx ，若記，若記 11kk則（則（9.3.4）式可改寫為）式可改寫為1kkkkkxxx =(1-)+()n 稱為稱為松弛因子松弛因子，這種方法稱為，這種方法稱為松弛法松弛法。為使迭代速度加快，。為使迭代速度加快，需要邊計算邊調整松弛因子。由于計算松弛因子需要用到微商，需要邊計算邊調整松弛因子。由于計算松弛因子需要用到微商，在實際應用中不便使用，具有一定局限性。若迭代法是線性收在實際應用中不便使用，具有一定局限性。若迭代法是線性

8、收斂的，當計算斂的，當計算 不方便時，可以采用不方便時，可以采用埃特金加速公式。埃特金加速公式。 ( )x(2). 埃特金加速公式埃特金加速公式設迭代法是線性收斂，由定義知設迭代法是線性收斂，由定義知*1* lim0kkkxxcxx成立，故當成立，故當 k 時有時有 *12*1kkkkxxxxxxxx由此可得由此可得 的近似值的近似值 x2121()2kkkkkkkxxxxxxxx（9.3.5） 由此獲得比由此獲得比 1,kkxx和和 2kx更好的近似值更好的近似值 kx，利用利用（9.3.5）序列序列 kx的方法稱為的方法稱為(3). Steffensen 加速法：加速法： 將將Aitken加速公式與不動點迭代相結合，可得加速公式與不動點迭代相結合，可得(1)(2)(1)1112(1)1(2)(1)111(),(),0,1,2kkkkkkkkkkkxxxxxxxkxxxx （9.3.6） 式構造式構造埃