1、第十一章計數(shù)原理第1講兩個基本計數(shù)原理考點梳理1分類加法計數(shù)原理完成一件事，有n類辦法：在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm1m2mn種不同的方法2分步乘法計數(shù)原理完成一件事，需要分成n個步驟，缺一不可，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有Nm1×m2××mn種不同的方法【助學·微博】兩個原理的聯(lián)系與區(qū)別聯(lián)系：兩個計數(shù)原理，都是關(guān)于完成一件事的不同方法種數(shù)的問題區(qū)別：分類計數(shù)原理與分類有關(guān)，各種方法相互

2、獨立，用其中任何一種方法都可以完成這件事一步到位；分步計數(shù)原理與分步有關(guān)，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成，缺一不可考點自測1“海山聯(lián)合2012”中俄聯(lián)合軍演在中國青島海域舉行，在某一項演練中，中方參加演習的有4艘軍艦、3架飛機；俄方有5艘軍艦、2架飛機，若從中、俄兩方中各選出2個單位(1架飛機或1艘軍艦都作為一個單位，所有的軍艦兩兩不同，所有的飛機兩兩不同)，且選出的四個單位中恰有一架飛機的不同選法共有_種解析若中方選出一架飛機，則選法有CCC120(種)；若俄方選出一架飛機，則選法有CCC60(種)故不同選法共有12060180(種)答案1802(2012·

3、全國大綱卷改編)6位選手依次演講，其中選手甲不在第一個也不在最后一個演講，則不同的演講次序共有_種解析甲先排在其余4個位置上有C種方法，剩余元素則進行全排列，有A種排法，由分步乘法計數(shù)原理，得一共有CA480(種)答案4803(2012·廣州模擬)已知集合A1,2,3,4，B5,6,7，C8,9現(xiàn)在從這三個集合中取出兩個集合，再從這兩個集合中各取出一個元素，組成一個含有兩個元素的集合，則一共可以組成_個集合解析CCCCCC26(個)答案264(2010·湖南卷改編)在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個信息，不同排列表示不同信息若所用數(shù)字只有0和

4、1，則與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為_解析若4個位置的數(shù)字都不同的信息個數(shù)為1；若恰有3個位置的數(shù)字不同的信息個數(shù)為C；若恰有2個位置上的數(shù)字不同的信息個數(shù)為C，由分類計數(shù)原理知滿足條件的信息個數(shù)為1CC11.答案115.某電子元件是由3個電阻組成的回路，其中有4個焊點A、B、C、D，若某個焊點脫落，整個電路就不通，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)電路不通了，那么焊點脫落的可能情況共有_種解析法一當線路不通時焊點脫落的可能情況共有2×2×2×2115(種)法二恰有i個焊點脫落的可能情況為C(i1,2,3,4)種，由分類計數(shù)原理，當電路不通時焊點脫落的可能情況共C

5、CCC15(種)答案15考向一分類加法計數(shù)原理【例1】 若集合A1、A2滿足A1A2A，則稱(A1，A2)為集合A的一種分拆，并規(guī)定：當且僅當A1A2時，(A1，A2)與(A2，A1)為集合A的同一種分拆，問集合Aa1，a2，a3的不同分拆種數(shù)有多少個？解若A1，則A2a1，a2，a3；若A1a1，則A2a2，a3或a1，a2，a3；若A1a2，則A2a1，a3或a1，a2，a3；若A1a3，則A2a1，a2或a1，a2，a3；若A1a1，a2，則A2a3或a1，a3或a2，a3或a1，a2，a3；若A1a1，a3，則A2a2或a1，a2或a2，a3或a1，a2，a3；若A1a2，a3，則A2

6、a1或a1，a2或a1，a3或a1，a2，a3；若A1a1，a2，a3，則A2或a1或a2或a3或a1，a2或a1，a3或a2，a3或a1，a2，a3故不同的分拆種數(shù)為13×23×4827.方法總結(jié) 分類時，首先要確定一個恰當?shù)姆诸悩藴剩缓筮M行分類；其次分類時要注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，只有滿足這些條件，才可以用分類加法計數(shù)原理【訓練1】如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有多少個？解把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：第一類，有一條公共邊的三角形共有8×4

7、32(個)；第二類，有兩條公共邊的三角形共有8(個)由分類加法計數(shù)原理知，共有32840(個)考向二分步乘法計數(shù)原理【例2】如圖所示三組平行線分別有m、n、k條，在此圖形中(1)共有多少個三角形？(2)共有多少個平行四邊形？解(1)每個三角形與從三組平行線中各取一條的取法是一一對應(yīng)的，由分步計數(shù)原理知共可構(gòu)成m·n·k個三角形(2)每個平行四邊形與從兩組平行線中各取兩條的取法是一一對應(yīng)的，由分類和分步計數(shù)原理知共可構(gòu)成CCCCCC個平行四邊形方法總結(jié) 此類問題，首先將完成這件事的過程分步，然后再找出每一步中的方法有多少種，求其積注意：各步之間相互聯(lián)系，依次都完成后，才能做完

8、這件事簡單說使用分步計數(shù)原理的原則是步與步之間的方法“相互獨立，逐步完成”【訓練2】 由數(shù)字1,2,3,4(1)可組成多少個3位數(shù)；(2)可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)；(3)可組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，且百位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于個位數(shù)字解(1)百位數(shù)共有4種排法；十位數(shù)共有4種排法；個位數(shù)共有4種排法，根據(jù)分步計數(shù)原理共可組成4364(個)3位數(shù)(2)百位上共有4種排法；十位上共有3種排法；個位上共有2種排法，由分步計數(shù)原理共可排成沒有重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)4×3×224(個)(3)排出的三位數(shù)分別是432、431、421、321，共4個考向三涂色問題【例3】

9、如圖，用5種不同的顏色給圖中A、B、C、D四個區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，求有多少種不同的涂色方法？解法一如題圖分四個步驟來完成涂色這件事：涂A有5種涂法；涂B有4種方法；涂C有3種方法；涂D有3種方法(還可以使用涂A的顏色)根據(jù)分步計數(shù)原理共有5×4×3×3180(種)涂色方法法二由于A、B、C兩兩相鄰，因此三個區(qū)域的顏色互不相同，共有A60(種)涂法；又D與B、C相鄰，因此D有3種涂法；由分步計數(shù)原理知共有60×3180(種)涂法方法總結(jié) 涂色問題的實質(zhì)是分類與分步，一般是整體分步，分步過程中若出現(xiàn)某一步需分類時還要進行分類

10、涂色問題通常沒有固定的方法可循，只能按照題目的實際情況，結(jié)合兩個基本原理和排列組合的知識靈活處理【訓練3】如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法數(shù)解法一可分為兩大步進行，先將四棱錐一側(cè)面三頂點染色，然后再分類考慮另外兩頂點的染色數(shù)，用分步乘法原理即可得出結(jié)論由題設(shè)，四棱錐SABCD的頂點S、A、B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×360(種)染色方法當S、A、B染好時，不妨設(shè)其顏色分別為1、2、3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法，若C染5，則D可染

11、3或4，有2種染法可見，當S、A、B已染好時，C、D還有7種染法，故不同的染色方法有60×7420(種)法二以S、A、B、C、D順序分步染色第一步，S點染色，有5種方法；第二步，A點染色，與S在同一條棱上，有4種方法；第三步，B點染色，與S、A分別在同一條棱上，有3種方法；第四步，C點染色，也有3種方法，但考慮到D點與S、A、C相鄰，需要針對A與C是否同色進行分類，當A與C同色時，D點有3種染色方法；當A與C不同色時，因為C與S、B也不同色，所以C點有2種染色方法，D點也有2種染色方法由分步乘法、分類加法計數(shù)原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1

12、15;32×2)420(種)法三按所用顏色種數(shù)分類第一類，5種顏色全用，共有A種不同的方法；第二類，只用4種顏色，則必有某兩個頂點同色(A與C，或B與D)，共有2×A種不同的方法；第三類，只用3種顏色，則A與C、B與D必定同色，共有A種不同的方法由分類加法計數(shù)原理，得不同的染色方法總數(shù)為A2×AA420(種)熱點突破28兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用高考對兩個計數(shù)原理應(yīng)用的考查，多以填空題的形式出現(xiàn)，考查蘊含在實際問題的解決中，多是兩原理結(jié)合在一起應(yīng)用，做好問題轉(zhuǎn)化，分好類與步是關(guān)鍵【示例】(2012·四川卷改編)方程ayb2x2c中的a，b，c3，2,0,1,

13、2,3，且a，b，c互不相同，在所有這些方程所表示的曲線中，不同的拋物線共有_條審題與轉(zhuǎn)化第一步：以y的系數(shù)a的取值為標準進行分類令a依次取值1,2,3，2，3.第二步：在a值確定的情況下，再依次確定c、b2值規(guī)范解答第三步：當a1時，若c0，則b2有4,9兩個取值，共2條拋物線；若c0，則c有4種取值，b2有兩種，共有2×48(條)拋物線；當a2時，若c0，b2取1,4,9三種取值，共有3條拋物線；若c0，c取1時，b2有2個取值，共有2條拋物線，c取2時，b2有2個取值，共有2條拋物線，c取3時，b2有3個取值，共有3條拋物線，c取3時，b2有3個取值，共有3條拋物線共有3223

14、313(條)拋物線同理，a2，3,3時，共有拋物線3×1339(條)由分類加法計數(shù)原理知，共有拋物線39138262(條)反思與回顧第四步：本題體現(xiàn)了分類討論思想在計數(shù)原理解題中的作用高考經(jīng)典題組訓練1(2012·北京卷改編)從0,2中選一個數(shù)字，從1,3,5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為_個解析三位數(shù)可分成兩種情況：(1)奇偶奇；(2)偶奇奇對(1)，個位(3種選擇)，十位(2種選擇)，百位(2種選擇)，共12種；對(2)，個位(3種選擇)，十位(2種選擇)，百位(1種選擇)，共6種，即12618(個)答案182(2012·浙江卷改編)若

15、從1,2,3，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有_種解析4個數(shù)和為偶數(shù)，可分為三類四個奇數(shù)C，四個偶數(shù)C，二奇二偶，CC.共有CCCC66(種)不同取法答案663(2012·課標全國卷改編)將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共有_種解析甲地由1名教師和2名學生：CC12(種)答案124(2011·北京卷)用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有_個(用數(shù)字作答)解析法一數(shù)字2只出現(xiàn)一次的四位數(shù)有C4(個)；數(shù)字2出現(xiàn)兩次的四位數(shù)有CC

16、6(個)；數(shù)字2出現(xiàn)三次的四位數(shù)有C4(個)故總共有46414(個)法二由數(shù)字2,3組成的四位數(shù)共有2416(個)，其中沒有數(shù)字2的四位數(shù)只有1個，沒有數(shù)字3的四位數(shù)也只有1個，故符合條件的四位數(shù)共有16214(個)答案145(2012·大綱卷改編)將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有_種解析利用分步計數(shù)原理，先填寫最左上角的數(shù)，有C3種；再填寫右上角的數(shù)為2種；再填寫第二行第一列的數(shù)有2種，一共有3×2×212(種)答案12分層訓練A級基礎(chǔ)達標演練(時間：30分鐘滿分：60分)一、填空題(每

17、小題5分，共30分)1由0,1,2,3這四個數(shù)字組成的四位數(shù)中，有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)共有_個解析可用排除法，由0,1,2,3可組成的四位數(shù)共有3×43192(個)，其中無重復(fù)的數(shù)字的四位數(shù)共有3A18(個)，故共有19218174(個)答案1742(2012·長春市三測)現(xiàn)有4名教師參加說題比賽，共有4道備選題目，若每位選手從中有放回地隨機選出一道題進行說題，其中恰有一道題沒有被這4位選中的情況有_種解析首先選擇題目，從4道題目中選出3道，選法為C，而后再將獲得同一道題目的2位老師選出，選法為C，最后將3道題目，分配給3組老師，分配方式為A，即滿足題意的情況共有CCA144(

18、種)答案1443某次活動中，有30人排成6行5列，現(xiàn)要從中選出3人進行禮儀表演，要求這3人中的任意2人不同行也不同列，則不同的選法種數(shù)為_(用數(shù)字作答)解析其中最先選出的一個人有30種方法，此時不能再從這個人所在的行和列共9個位置上選人，還剩一個5行4列的隊形，故選第二個人有20種方法，此時不能再從該人所在的行和列上選人，還剩一個4行3列的隊形，此時第三個人的選法有12種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，總的選法種數(shù)是30×20×127 200.答案7 2004.(2012·汕頭模擬)如圖，用6種不同的顏色把圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同

19、的涂法共有_種解析從A開始，有6種方法，B有5種，C有4種，D、A同色1種，D、A不同色3種，不同涂法有6×5×4×(13)480(種)答案4805高三年級的三個班去甲、乙、丙、丁四個工廠參加社會實踐，三個班去何工廠可自由選擇，但甲工廠必須有班級要去，則不同的分配方案有_種解析三個班去四個工廠不同的分配方案共43種，甲工廠沒有班級去的分配方案共33種，因此滿足條件的不同的分配方案共有433337(種)答案376(2011·全國卷改編)4位同學從甲、乙、丙3門課程中選修1門，則恰有2人選修課程甲的不同選法有_種解析分三步，第一步先從4位同學中選2人選修課程

20、甲共有C種不同選法，第二步給第3位同學選課程，有2種選法第三步給第4位同學選課程，也有2種不同選法故共有C×2×224(種)答案24二、解答題(每小題15分，共30分)7.如圖，用四種不同顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)六個點涂色，要求每個點涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個端點涂不同顏色則不同的涂色方法共有多少種？解先涂A、D、E三個點，共有4×3×224(種)涂法，然后再按B、C、F的順序涂色，分為兩類：一類是B與E或D同色，共有2×(2×11×2)8(種)涂法；另一類是B與E或D不同色，共有1×(1×

21、;11×2)3(種)涂法所以涂色方法共有24×(83)264(種)8現(xiàn)安排一份5天的工作值班表，每天有一個人值班，共有5個人，每個人都可以值多天班或不值班，但相鄰兩天不準由同一個人值班，問此值班表共有多少種不同的排法？解可將星期一、二、三、四、五分給5個人，相鄰的數(shù)字不分給同一個人星期一：可分給5人中的任何一人有5種分法；星期二：可分給剩余4人中的任何一人有4種分法；星期三：可分給除去分到星期二的剩余4人中的任何一人有4種分法；同理星期四和星期五都有4種不同的分法，由分步計數(shù)原理共有5×4×4×4×41 280(種)不同的排法分層訓練

22、B級創(chuàng)新能力提升1(2012·無錫調(diào)研)將數(shù)字1,2,3,4,5,6按第一行1個數(shù)，第二行2個數(shù)，第三行3個數(shù)的形式隨機排列，設(shè)Ni(i1,2,3)表示第i行中最大的數(shù)，則滿足N1N2N3的所有排列的個數(shù)是_(用數(shù)字作答)解析由已知數(shù)字6一定在第三行，第三行的排法種數(shù)為AA60；剩余的三個數(shù)字中最大的一定排在第二行，第二行的排法種數(shù)為AA4，由分步計數(shù)原理滿足條件的排列個數(shù)是240.答案2402.(2013·鹽城檢測)數(shù)字1,2,3，9這九個數(shù)字填寫在如圖的9個空格中，要求每一行從左到右依次增大，每列從上到下也依次增大，當數(shù)字4固定在中心位置時，則所有填寫空格的方法共有_種

23、解析必有1、4、9在主對角線上，2、3只有兩種不同的填法，對于它們的每一種填法，5只有兩種填法對于5的每一種填法，6、7、8只有3種不同的填法，由分步計數(shù)原理知共有22×312(種)填法答案123(2010·上海)從集合Ua，b，c，d的子集中選出4個不同的子集，需同時滿足以下兩個條件：(1)，U都要選出；(2)對選出的任意兩個子集A和B，必有AB或AB.那么，共有_種不同的選法解析將選法分成兩類第一類：其中一個是單元素集合，則另一集合為含兩個或三個元素且含有單元素集合中的元素，有C×624(種)第二類：其中一個是兩個元素集合，則另一個是含有這兩個元素的三元素集合

24、，有C×212(種)綜上共有241236(種)答案364(2012·揭陽一中檢測)用n個不同的實數(shù)a1，a2，an可得到n！個不同的排列，每個排列為一行寫成一個n！行的數(shù)陣，對第i行ai1，ai2，ain，記biai12ai23ai3(1)nn·ain，i1,2,3，n！.例如：用1,2,3可得數(shù)陣如圖，由于此數(shù)陣中每一列各數(shù)之和都是12，所以，b1b2b6122×123×1224.那么，在用1,2,3,4,5形成的數(shù)陣中，b1b2b120等于_解析在用1,2,3,4,5形成的數(shù)陣中，每一列的和為(12345)×A360，b1b2b1

25、203602×3603×3604×3605×3603×3601 080.答案1 0805(2012·揚州調(diào)研一)用n種不同的顏色為兩塊廣告牌著色(如圖甲、乙所示)要求在，四個區(qū)域中相鄰(有公共邊界)的區(qū)域不用同一種顏色(1)若n6，為甲著色時共有多少種不同的方法？(2)若為乙著色時共有120種不同的方法，求n的值解完成著色這件事，共分為四個步驟，可以依次考慮為，這四個區(qū)域著色時各自的方法數(shù)，再利用分步乘法計數(shù)原理確定出總的著色種數(shù)，因此有：(1)為區(qū)域著色時有6種方法，為區(qū)域著色時有5種方法，為區(qū)域著色時有4種方法，為區(qū)域著色時有4種

26、方法，依據(jù)分步(乘法)計數(shù)原理，不同的著色方法為6×5×4×4480(種)(2)由題意知，為區(qū)域著色時有n種方法，為區(qū)域著色時有(n1)種方法，為區(qū)域著色時有(n2)種方法，為區(qū)域著色時有(n3)種方法，由分步計數(shù)原理得不同的著色數(shù)為n(n1)(n2)(n3)n(n1)(n2)(n3)120.而1205×4×3×2，n5.6(2012·鎮(zhèn)江調(diào)研二)已知集合Aa1，a2，a3，a4，B0,1,2,3，f是從A到B的映射(1)若B中每一元素都有原象，這樣不同的f有多少個？(2)若B中的元素0無原象，這樣的f有多少個？(3)若f滿

27、足f(a1)f(a2)f(a3)f(a4)4，這樣的f又有多少個？解(1)顯然對應(yīng)是一一對應(yīng)的，即a1找象有4種方法，a2找象有3種方法，a3找象有2種方法，a4找象有1種方法，所以不同的f共有4×3×2×124(個)(2)0無原象，1,2,3有無原象不限，所以為A中每一元素找象時都有3種方法所以不同的f共有3481(個)(3)分為如下四類：第一類，A中每一元素都與1對應(yīng)，有1種方法；第二類，A中有兩個元素對應(yīng)1，一個元素對應(yīng)2，另一個元素與0對應(yīng)，有C·C12(種)方法；第三類，A中有兩個元素對應(yīng)2，另兩個元素對應(yīng)0，有C·C6(種)方法；第

28、四類，A中有一個元素對應(yīng)1，一個元素對應(yīng)3，另兩個元素與0對應(yīng)，有C·C12(種)方法所以不同的f共有11261231(個).特別提醒：教師配贈習題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見創(chuàng)新設(shè)計·高考總復(fù)習光盤中內(nèi)容.第2講排列與組合考點梳理1排列與排列數(shù)(1)排列的定義：從n個不同的元素中取出m(mn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列(2)排列數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用A表示(3)排列數(shù)公式：An(n1)(n2)(nm1)，其中n，mN*，且mn.

29、(4)全排列：n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個不同元素的一個全排列，An·(n1)·(n2)··2·1n！.排列數(shù)公式寫成階乘的形式為A，這里規(guī)定0！1.2組合與組合數(shù)(1)組合的定義：從n個不同元素中取出m(mn)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合(2)組合數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用C表示(3)組合數(shù)的計算公式：C，由于0！1，所以C1.(4)組合數(shù)的性質(zhì)：CC；CCC.【助學·微博】解決排列類應(yīng)用題的主要方法(1)直接

30、法：把符合條件的排列數(shù)直接列式計算；(2)特殊元素(或位置)優(yōu)先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；(3)捆綁法：相鄰問題捆綁處理的方法，即可以把相鄰元素看作一個整體參與其他元素排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列；(4)插空法：不相鄰問題插空處理的方法，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中；(5)分排問題直接處理的方法；(6)“小集團”排列問題中先集體后局部的處理方法；(7)定序問題除法處理的方法，即可以先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列組合數(shù)公式的兩種形式組合數(shù)公式有兩種形式，(1)乘積形式；(2)階乘形式前者多用于數(shù)字計算，后者多用于證明恒等式

31、及合并組合數(shù)簡化計算注意公式的逆用即由寫出C.考點自測18名運動員參加男子100米的決賽，已知運動場有從內(nèi)到外編號依次為1,2,3,4,5,6,7,8的八條跑道，若指定的3名運動員所在的跑道編號必須是三個連續(xù)數(shù)字(如：4,5,6)，則參加比賽的這8名運動員安排跑道的方式共有_種解析可分步完成，先從8個數(shù)字中取出3個連續(xù)的三個數(shù)字共有6種可能，將指定的3名運動員安排在這三個編號的跑道上，最后剩下的5個排在其他的編號的5個跑道上，故共有6AA4 320(種)方式答案4 3202若甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩

32、位前面不同的安排方法共有_種解析分三類：甲在周一，共有A種排法；甲在周二，共有A種排法；甲在周三，共有A種排法；AAA20(種)答案203(2010·山東卷改編)某臺小型晚會由6個節(jié)目組成，演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前兩位，節(jié)目乙不能排在第一位，節(jié)目丙必須排在最后一位該臺晚會節(jié)目演出順序的編排方案共有_種解析因為丙必須排在最后一位，因此只需考慮其余五人在前五位上的排法當甲排在第一位時，有A24(種)排法；當甲排在第二位時，有A·A18(種)排法，所以共有方案241842(種)答案424(2013·溫州檢測)如圖，將1,2,3填入3×3的方格中，要

33、求每行、每列都沒有重復(fù)數(shù)字，右面是一種填法，則不同的填寫方法共有_種123312231解析只需要填寫第一行第一列，其余即確定了因此填寫方法共有AA12(種)答案125(2013·南京師大附中階段檢測)某工程隊有6項工程需要先后單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程乙完成后才能進行，又工程丁必須在工程丙完成后立即進行，那么安排這6項工程的不同排法種數(shù)是_(用數(shù)字作答)解析可將6項工程分別用甲、乙、丙、丁、a、b表示，要求是甲在乙前，乙在丙前，并且丙丁相鄰丙在丁前，可看作甲、乙、丙丁、a、b五個元素的排列，可先排a、b，再排甲、乙、丙丁共AC20(種)排法也可先

34、排甲、乙、丙丁，再排a、b，共CA20(種)排法答案20考向一排列問題【例1】 有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法總數(shù)：(1)全體排成一行，其中甲只能在中間或者兩邊位置；(2)全體排成一行，其中甲不在最左邊，乙不在最右邊；(3)全體排成一行，其中男生必須排在一起；(4)全體排成一行，男、女各不相鄰；(5)全體排成一行，男生不能排在一起；(6)全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變；(7)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(8)全體排成一行，甲、乙兩人中間必須有3人解(1)利用元素分析法(特殊元素優(yōu)先安排)，甲為特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三個位置可供甲選

35、擇，有A種，其余6人全排列，有A種由分步計數(shù)原理得AA2 160(種)(2)位置分析法(特殊位置優(yōu)先安排)先排最左邊，除去甲外，有A種，余下的6個位置全排有A種，但應(yīng)剔除乙在最右邊的排法數(shù)AA種則符合條件的排法共有AAAA3 720(種)(3)捆綁法將男生看成一個整體，進行全排列，再與其他元素進行全排列，共有AA720(種)(4)插空法先排好男生，然后將女生插入其中的四個空位，共有AA144(種)(5)插空法先排女生，然后在空位中插入男生，共有AA1 440(種)(6)定序排列第一步，設(shè)固定甲、乙、丙從左至右順序的排列總數(shù)為N；第二步，對甲、乙、丙進行全排列，則為7個人的全排列，因此AN

36、15;A，N840(種)(7)與無任何限制的排列相同，有A5 040(種)(8)從除甲、乙以外的5人中選3人排在甲、乙中間的排法有A種，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相鄰的排法有AA種，最后再把選出的3人的排列插入到甲、乙之間即可，共有A×A×A720(種)方法總結(jié) 本題集排列多種類型于一題，充分體現(xiàn)了元素分析法(優(yōu)先考慮特殊元素)、位置分析法(優(yōu)先考慮特殊位置)、直接法、間接法(排除法)、等機會法、插空法等常見的解題思路【訓練1】 有4名男生、5名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法？(1)甲不在中間也不在兩端；(2)甲、乙兩人必須排在兩端；(3)男女相間

37、解(1)法一(元素分析法)先排甲有6種，其余有A種，故共有6·A241 920(種)排法法二(位置分析法)中間和兩端有A種排法，包括甲在內(nèi)的其余6人有A種排法，故共有A·A336×720241 920(種)排法法三(等機會法)9個人的全排列數(shù)有A種，甲排在每一個位置的機會都是均等的，依題意，甲不在中間及兩端的排法總數(shù)是A×241 920(種)法四(間接法)A3·A6A241 920(種)(2)先排甲、乙，再排其余7人，共有A·A10 080(種)排法(3)(插空法)先排4名男生有A種方法，再將5名女生插空，有A種方法，故共有A

38、3;A2 880(種)排法考向二組合問題【例2】 某課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名隊長現(xiàn)從中選5人主持某種活動，依下列條件各有多少種選法？(1)只有一名女生；(2)兩隊長當選；(3)至少有一名隊長當選；(4)至多有兩名女生當選；(5)既要有隊長，又要有女生當選解(1)一名女生，四名男生故共有C·C350(種)(2)將兩隊長作為一類，其他11人作為一類，故共有C·C165(種)(3)至少有一名隊長含有兩類：只有一名隊長和兩名隊長故共有：C·CC·C825(種)或采用排除法：CC825(種)(4)至多有兩名女生含有三類：

39、有兩名女生、只有一名女生、沒有女生故選法為：C·CC·CC966(種)(5)分兩類：第一類女隊長當選：C；第二類女隊長不當選：C·CC·CC·CC.故選法共有：CC·CC·CC·CC790(種)方法總結(jié) 對于有條件的組合問題，可能遇到含某個(些)元素與不含某個(些)元素問題；也可能遇到“至多”或“至少”等組合問題的計算，此類問題要注意分類處理或間接計算，切記不要因為“先取再后取”產(chǎn)生順序，從而造成計算錯誤【訓練2】 已知甲、乙兩人從4門課程中各選修2門(1)甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有多少種？(2)甲、乙

40、所選的課程中至少有一門不相同的選法有多少種？解(1)甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，且甲、乙所選課程中恰有1門相同的選法種數(shù)共有CCC24(種)(2)甲、乙兩人從4門課程中各選兩門不同的選法種數(shù)為CC，又甲乙兩人所選的兩門課程都相同的選法種數(shù)為C種，因此滿足條件的不同選法種數(shù)為CCC30(種)考向三排列、組合的綜合應(yīng)用【例3】 將4個編號為1,2,3,4的小球放入4個編號為1,2,3,4的盒子中(1)有多少種放法？(2)每盒至多一球，有多少種放法？(3)恰好有一個空盒，有多少種放法？(4)每個盒內(nèi)放一個球，并且恰好有一個球的編號與盒子的編號相同，有多少種方法？(5)把4個不同的小球換成4個相

41、同的小球，恰有一個空盒，有多少種不同的放法？解(1)有44256(種)放法(2)有A24(種)放法(3)先取4個球中的兩個“捆”在一起，有C種選法，再將三組小球投入四個盒子中的三個盒子，有A種投放方法，故共有CA144(種)放法(4)有C×28(種)放法(5)先從四個盒子中選出三個盒子，再從三個盒子中選出一個盒子放兩個球，余下兩個盒子各放一個球，由于球相同，所以共有CC12(種)放法方法總結(jié) 排列、組合綜合題目，一般是將符合要求的元素取出(組合)或進行分組，再對取出的元素或分好的組進行排列其中分組時，要注意“平均分組”與“不平均分組”的差異及分類的標準【訓練3】 有6本不同的書按下列

42、分配方式分配，問共有多少種不同的分配方式？(1)分成1本、2本、3本三組；(2)分給甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；(3)分成每組都是2本的三組；(4)分給甲、乙、丙三人，每人2本解(1)分三步：先選一本有C種選法；再從余下的5本中選2本有C種選法；對于余下的三本全選有C種選法，由分步乘法計數(shù)原理知有CCC60(種)選法(2)由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配的問題，因此共有CCCA360(種)選法(3)先分三步選取，則應(yīng)是CCC種選法，但是這里面出現(xiàn)了重復(fù)，不妨記6本書為分別A、B、C、D、E、F，若選取時選取了(AB，CD，EF)，則CCC種分法

43、中還有(AB、EF、CD)，(CD、AB、EF)、(CD、EF、AB)、(EF、CD、AB)、(EF、AB、CD)共有A種情況，而且這A種情況僅是AB、CD、EF的順序不同，因此只算作一種情況，故分配方式有15(種)(4)在問題(3)的基礎(chǔ)上再分配，故分配方式有·ACCC90(種)熱點突破29有限制條件的排列、組合問題在高考中，主要考查用排列、組合知識解決實際問題注重對學生理解、分析和解決問題的能力及分類討論思想的考查【示例】(2012·山東卷改編)現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不

44、同取法的種數(shù)為_審題與轉(zhuǎn)化第一步：無紅色時，分3張不同色和2張同色兩類；有紅色時，分剩余2張同色與2張不同色兩類規(guī)范解答第二步：若沒有紅色卡片，則需從黃、藍、綠三色卡片中選3張，若都不同色，則有C×C×C64(種)，若2張同色，則有C×C×C×C144(種)；若紅色卡片有1張，剩余2張不同色，則有C×C×C×C192(種)，剩余2張同色，則有C×C×C72(種)，所以共有6414419272472(種)不同的取法反思與回顧第三步：解決這類問題通常有以下三種方法：(1)元素分析法：以元素為主，應(yīng)先

45、滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素(2)位置分析法：以位置為主，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置(3)先不考慮附加條件，計算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù)高考經(jīng)典題組訓練1(2012·遼寧卷改編)一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐在一起，則不同的坐法種數(shù)為_(用階乘表示)解析由于一家人坐在一起，可以將一家三口人看作一個整體，一家人坐法3！，三個家庭即(3！)3，三個家庭又可全排列，因此(3！)4答案(3！)42(2011·全國卷改編)某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法共有_種解

46、析分兩種情況：選2本畫冊，2本集郵冊送給4位朋友有C6(種)方法；選1本畫冊，3本集郵冊送給4位朋友有C4(種)方法不同的贈送方法共有6410(種)答案103(2010·四川卷改編)由1,2,3,4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字且1,3都不與5相鄰的六位偶數(shù)的個數(shù)是_解析分析可知5只能在第1,2,4,5位，5在第1位，1與3在第3,4,5位，有A·A36(個)；5在第2位，1與3在第4,5位，有A·A12(個)；5在第4位同第2位，在第5位同第1位，故共有(3612)×296(個)答案964(2011·湖北卷)給n個自上而下相連的正方形著黑色或白色當

47、n4時，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示：由此推斷，當n6時，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有_種，至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有_種(結(jié)果用數(shù)值表示)123456解析如圖所示的六個正方形若互不相鄰有：不著黑色，共有1種；著一格黑色共有C6(種)；著兩格黑色共有CC10(種)；著三格黑色共有4種共計21種所有著色情況共有2664(種)，又由上知互不相鄰的著色方案有21種故至少有兩個相鄰的著色方案共有642143(種)答案21435(2012·湖北卷)回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)如22,121,3 443,94 249等顯然2位回

48、文數(shù)有9個：11,22,33，99.3位回文數(shù)有90個：101,111,121，191,202，(1)4位回文數(shù)有_個；(2)2n1(nN)位回文數(shù)有_個解析從左右對稱入手考慮(1)4位回文數(shù)第1、4位取同一個非零數(shù)有C9(種)選法，第2、3位可取0，有10種選法，故有9×1090(個)，即4位回文數(shù)有90個(2)首位和末位不能取0，故有9種選法，其余位關(guān)于中間數(shù)對稱，每兩數(shù)都有10種選法，中間數(shù)也有10種選法，故2n1(nN)位回文數(shù)有9×10n個答案909×10n分層訓練A級基礎(chǔ)達標演練(時間：30分鐘滿分：60分)一、填空題(每小題5分，共30分)1某班新年

49、聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單，那么不同插法的種數(shù)為_解析可分為兩類：兩個節(jié)目相鄰或兩個節(jié)目不相鄰，若兩個節(jié)目相鄰，則有AA12(種)排法；若兩個節(jié)目不相鄰，則有A30(種)排法由分類計數(shù)原理共有123042(種)排法(或A42)答案422(2010·北京卷改編)8名學生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為_種解析不相鄰問題用插空法，8名學生先排有A種排法，產(chǎn)生9個空，2位老師插空有A種排法，所以最終有A·A種排法答案AA32010年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別

50、從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的選派方案共有_種解析若四人中包含小張和小趙兩人，則不同的選派方案有AA12(種)；若四人中恰含有小張和小趙中一人，則不同的選派方案有：CAA24(種)，由分類計數(shù)原理知不同的選派方案共有36種答案364某外商計劃在4個候選城市中投資3個不同的項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個，則該外商不同的投資方案有_種解析若3個不同的項目投資到4個城市中的3個，每個城市一項，共A種方法；若3個不同的項目投資到4個城市中的2個，一個城市一項、一個城市兩項共CA種方法，由分類計數(shù)原理共ACA60

51、(種)方法答案605有5名男生和3名女生，從中選出5人分別擔任語文、數(shù)學、英語、物理、化學學科的課代表，若某女生必須擔任語文課代表，則不同的選法共有_種(用數(shù)字作答)解析由題意知，從剩余7人中選出4人擔任4個學科課代表，共有A840(種)答案8406將4名新來的同學分配到A、B、C三個班級中，每個班級至少安排1名學生，其中甲同學不能分配到A班，那么不同的分配方案有_種解析將4名新來的同學分配到A、B、C三個班級中，每個班級至少安排一名學生有CA種分配方案，其中甲同學分配到A班共有CACA種方案因此滿足條件的不同方案共有CACACA24(種)答案24二、解答題(每小題15分，共30分)7在10名

52、演員中5人能歌8人善舞，從中選出5人，使這5人能演出一個由1人獨唱4人伴舞的節(jié)目，共有幾種選法？解本題中的“雙面手”有3個，僅能歌的2人，僅善舞的5人把問題分為：(1)獨唱演員從雙面手中選，剩下的2個雙面手和只能善舞的5個演員一起參加伴舞人員的選拔；(2)獨唱演員不從雙面手中選拔，即從只能唱歌的2人中選拔，這樣3個雙面手就可以和只能善舞的5個演員一起參加伴舞人員的選拔故選法種數(shù)是CCCC245(種)8某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生12名，外科醫(yī)生8名，現(xiàn)選派5名參加賑災(zāi)醫(yī)療隊，其中：(1)某內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共有多少種不同選法？(2)甲、乙均不能參加，有多少種選法？(3)甲、乙兩人至少有一人

53、參加，有多少種選法？(4)隊中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有幾種選法？解(1)只需從其他18人中選3人即可，共有C816(種)；(2)只需從其他18人中選5人即可，共有C8 568(種)；(3)分兩類：甲、乙中有一人參加，甲、乙都參加，共有CCC6 936(種)；(4)方法一(直接法)：至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生的選法可分四類：一內(nèi)四外；二內(nèi)三外；三內(nèi)二外；四內(nèi)一外，所以共有CCCCCCCC14 656(種)方法二(間接法)：由總數(shù)中減去五名都是內(nèi)科醫(yī)生和五名都是外科醫(yī)生的選法種數(shù)，得C(CC)14 656(種)分層訓練B級創(chuàng)新能力提升1(2012·蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研)甲、乙、

54、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是_(用數(shù)字作答)解析當每個臺階上各站1人時有CA種站法，當兩個人站在同一個臺階上時有CCC種站法，因此不同的站法種數(shù)有ACCCC210126336(種)答案3362(2012·無錫調(diào)研)某車隊有7輛車，現(xiàn)要調(diào)出4輛按一定順序出去執(zhí)行任務(wù)要求甲、乙兩車必須參加，且甲車要先于乙車開出有_種不同的調(diào)度方法(填數(shù)字)解析先從除甲、乙外的5輛車任選2輛有C種選法，連同甲、乙共4輛車，排列在一起，選從4個位置中選兩個位置安排甲、乙，甲在乙前共有C種，最后安排其他兩輛車共有A種方法，不同的調(diào)度方法為C·C·A120(種)答案1203(2013·鹽城模擬)3位男生和3位女生共6位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同的排法種數(shù)是_解析記三名男生為甲、乙、丙，三名女生為a、b、c，先排男生，若甲在男生兩端有4種排法，然后3位女生去插空，排法如甲丙乙共有4AAA種，若男生甲排在中間，有兩種排法，然后女生去插空，排法如乙甲丙共有2AA種排法根據(jù)分類計數(shù)原理共有4AAA2AA288(種)不同排法答案2884(2013·蘇州期末調(diào)研)以一個正五棱柱的頂點為頂點的四面體共有