1、 對稱法對稱法 電流疊加法電流疊加法 Y-變換法變換法 對具有一定對稱性的電路對具有一定對稱性的電路,通過對等勢點的拆、合，對通過對等勢點的拆、合，對稱電路的稱電路的“折疊折疊”，將電路簡化為基本的串并聯電路。，將電路簡化為基本的串并聯電路。 直流電路中各電源單獨存在時的電路電流代數疊加后與所直流電路中各電源單獨存在時的電路電流代數疊加后與所有電源同時存在的電路電流分布是一樣的，任一直流電路電流有電源同時存在的電路電流分布是一樣的，任一直流電路電流分布，總可歸結為只含某一個直流電源的電路電流分布這就分布，總可歸結為只含某一個直流電源的電路電流分布這就是電流的可疊加性對于一些并不具備直觀的對稱性

2、的電路，是電流的可疊加性對于一些并不具備直觀的對稱性的電路，可根據電流的可疊加性，重新設置電流的分布方式，將原本不可根據電流的可疊加性，重新設置電流的分布方式，將原本不對稱問題轉化成具有對稱性的問題加以解決對稱問題轉化成具有對稱性的問題加以解決 。利用利用Y型聯接電阻與型聯接電阻間等價關系的結論，通型聯接電阻與型聯接電阻間等價關系的結論，通過電阻過電阻Y型聯接與型聯接方式的互換，達到簡化電路成單純型聯接與型聯接方式的互換，達到簡化電路成單純串聯或并聯的目的串聯或并聯的目的 解解: :ABCDEFHGACBDEGFH3343ACR RRRRR 則則AC間等效電阻間等效電阻: 如圖所示，如圖所示，

3、12個阻值都是個阻值都是R的電阻，組成一立的電阻，組成一立方體框架，試求方體框架，試求AC間的電阻間的電阻RAC 、AB間的電阻間的電阻RAB與與AG間的電阻間的電阻RAG 續解續解ABCDEFHGAB間等效電阻間等效電阻:EGFHABCD2RR222.5222.5712ABRRRRRRRRRRRR 則則續解續解ABCDEFHGAG間等效電阻間等效電阻:FHCABEDG6R3R3R56AGRR 則則解解: :AB02r電源外電路電源外電路等效電阻等效電阻:000002.55240.577ABrrRrrr 通過電源的電流由通過電源的電流由6.0A40/71.05A ABIR 如圖所示的正方形網格

4、由如圖所示的正方形網格由24個電阻個電阻r0=8的電阻的電阻絲構成，電池電動勢絲構成，電池電動勢=6.0 V，內電阻不計，求通過電池的電流，內電阻不計，求通過電池的電流 波蘭數學家謝爾賓斯基波蘭數學家謝爾賓斯基1916年研究了一個有趣的幾何圖形他年研究了一個有趣的幾何圖形他將如圖將如圖1所示的一塊黑色的等邊三角形所示的一塊黑色的等邊三角形ABC的每一個邊長平分為二，再把平分點的每一個邊長平分為二，再把平分點連起來，此三角形被分成四個相等的等邊三角形，然后將中間的等邊三角形挖掉，連起來，此三角形被分成四個相等的等邊三角形，然后將中間的等邊三角形挖掉，得到如圖得到如圖2的圖形；接著再將剩下的黑色的

5、三個等邊三角形按相同的方法處理，的圖形；接著再將剩下的黑色的三個等邊三角形按相同的方法處理，經過第二次分割就得到圖經過第二次分割就得到圖3的圖形經三次分割后，又得到圖的圖形經三次分割后，又得到圖4的圖形這是帶有的圖形這是帶有自相似特征的圖形，這樣的圖形又稱為謝爾賓斯基鏤墊它的自相似性就是將其自相似特征的圖形，這樣的圖形又稱為謝爾賓斯基鏤墊它的自相似性就是將其中一個小單元（例如圖中一個小單元（例如圖4中的中的BJK）適當放大后，就得到圖）適當放大后，就得到圖2的圖形如果這個的圖形如果這個分割過程繼續下去，直至無窮，謝爾賓斯基鏤墊中的黑色部分將被不斷地鏤空分割過程繼續下去，直至無窮，謝爾賓斯基鏤墊

6、中的黑色部分將被不斷地鏤空 圖圖1 圖圖2 圖圖3 圖圖4 數學家對這類幾何圖形的自相似性進行了研究，創造和發展出了一門稱為數學家對這類幾何圖形的自相似性進行了研究，創造和發展出了一門稱為“分形幾何學分形幾何學”的新學科近三十多年來，物理學家將分形幾何學的研究成果和的新學科近三十多年來，物理學家將分形幾何學的研究成果和方法用于有關的物理領域，取得了有意義的進展方法用于有關的物理領域，取得了有意義的進展 我們現在就在這個背景下研究按謝爾賓斯基鏤墊圖形的各邊構成的電阻網絡的我們現在就在這個背景下研究按謝爾賓斯基鏤墊圖形的各邊構成的電阻網絡的等效電阻問題：設如圖等效電阻問題：設如圖1所示的三角形所示

7、的三角形ABC邊長邊長L0的電阻均為的電阻均為r；經一次分割得到；經一次分割得到如圖如圖2所示的圖形，其中每個小三角形邊長的電阻是原三角形所示的圖形，其中每個小三角形邊長的電阻是原三角形ABC的邊長的電阻的邊長的電阻r的二分之一；經二次分割得到如圖的二分之一；經二次分割得到如圖3所示的圖形，其中每個小三角形邊長的電阻所示的圖形，其中每個小三角形邊長的電阻是原三角形是原三角形ABC的邊長的電阻的邊長的電阻r的四分之一；三次分割得到如圖的四分之一；三次分割得到如圖4所示的圖形，其所示的圖形，其中每個小三角形邊長的電阻是原三角形中每個小三角形邊長的電阻是原三角形ABC的邊長的電阻的邊長的電阻r的八分

8、之一的八分之一 試求經三次分割后，三角形試求經三次分割后，三角形ABC任意兩個頂點間的等效電阻任意兩個頂點間的等效電阻 試求按此規律作了試求按此規律作了n次分割后，三角形次分割后，三角形ABC任意兩個頂點間的等效電阻任意兩個頂點間的等效電阻ABCDEFABCDEFABCl0ABCDEFKGI J解答解答解解: :讀題讀題對三角形對三角形ABC,任意兩點間的電阻任意兩點間的電阻 r023Rr A BC對分割一次后對分割一次后的圖形的圖形 2r1635925Rrr 56r對分割二次后對分割二次后的圖形的圖形 512r256r 225623Rr 可見可見, ,分割三次后分割三次后的圖形的圖形 331

9、252235634rrR 2536nnRr 遞推到分割遞推到分割n次后的圖形次后的圖形 如圖所示的平面電阻絲網絡中，每一直如圖所示的平面電阻絲網絡中，每一直線段和每一弧線段電阻絲的電阻均為線段和每一弧線段電阻絲的電阻均為r試求試求A、B兩點間兩點間的等效電阻的等效電阻 解解: :ABABBABAr34ABRr ABAB 三個相同的均勻金屬圓圈兩兩相交地連三個相同的均勻金屬圓圈兩兩相交地連接成如圖所示的網絡已知每一個金屬圓圈的電阻都是接成如圖所示的網絡已知每一個金屬圓圈的電阻都是R，試求圖中試求圖中A、B兩點間的等效電阻兩點間的等效電阻RAB 解解: : 三個金屬圈共有六個結點，每四分之三個金屬

10、圈共有六個結點，每四分之一弧長的電阻一弧長的電阻R/4. . 將三維金屬圈將三維金屬圈“壓扁壓扁”到到ABAB所在平面并所在平面并“抻直抻直”弧線成下圖弧線成下圖4R8RBA882882ABRRRRRRR 548R 4R 正四面體框架形電阻網絡如圖所示，其中每一小正四面體框架形電阻網絡如圖所示，其中每一小段電阻均為段電阻均為R試求試求RAB和和RCD 解解: :34ABRr BAEF2R4R2R2RABHIE乙乙2R2RDCIGHL甲甲甲甲BAFDCIGHLEDC丙丙2R2R2R2R38CDRr 解解: :解題方向解題方向:由于對稱，可將由于對稱，可將ABAB中垂線上各電勢點拆分，中垂線上各電

11、勢點拆分，原電路變換為圖乙，我們看到這是一個具有自相似性的無原電路變換為圖乙，我們看到這是一個具有自相似性的無限網絡，其基本單元如圖丙限網絡，其基本單元如圖丙BBnAnnA nB RxRRRR2R丙丙BA甲甲AABAB乙乙當當n時，多一個單元，只是使時，多一個單元，只是使Rx按邊長同比增大，即按邊長同比增大，即 222222222xxxxxRRRRRRRRRRRRR 713xRR 713ABaR 試求框架上試求框架上A、B兩點間的電阻兩點間的電阻RAB此框架是用同種細金此框架是用同種細金屬制作的，單位長度的電阻為屬制作的，單位長度的電阻為一連串內接等邊三角形的數目可認為趨向無窮，一連串內接等邊

12、三角形的數目可認為趨向無窮，如圖所示取如圖所示取AB邊長為邊長為a，以下每個三角形的邊長依次減少一半，以下每個三角形的邊長依次減少一半 解解: :解題方向解題方向:將原無限長立體正三棱柱框將原無限長立體正三棱柱框架沿左、右遞縮為三棱臺再架沿左、右遞縮為三棱臺再“壓壓”在在AB所在平面，各電阻連接如圖所在平面，各電阻連接如圖 ABC2rr23r3r33rxrxrx 由由3216xr AB2 2121ABrR 如圖所示是由電阻絲連接成的無限電阻網絡，已如圖所示是由電阻絲連接成的無限電阻網絡，已知每一段電阻絲的電阻均為知每一段電阻絲的電阻均為r，試求，試求A、B兩點之間的總電阻兩點之間的總電阻 AB

13、C返回返回解解: :ABABOO2I8IABO24I524I52842422ABIRIRIRII 2924ABRR 田字形電阻絲網絡如圖所示，每小段電阻絲的電田字形電阻絲網絡如圖所示，每小段電阻絲的電阻均為阻均為R，試求網絡中，試求網絡中A、B兩點間的等效電阻兩點間的等效電阻RAB R2R 如圖所示的一個無限的平面方格導線網，連接兩如圖所示的一個無限的平面方格導線網，連接兩個結點的導線的電阻為個結點的導線的電阻為r0，如果將，如果將A和和B接入電路，求此導線網的等接入電路，求此導線網的等效電阻效電阻RAB 解解: :BA044ABIrIRI 02ABRr 解解: :ba006336abIIII

14、RRIR 0abRR 有一無限大平面導體網絡，它有大小相同的正六有一無限大平面導體網絡，它有大小相同的正六邊形網眼組成，如圖所示，所有六邊形每邊的電阻均為邊形網眼組成，如圖所示，所有六邊形每邊的電阻均為R0，求間位，求間位結點結點a、b間的等效電阻間的等效電阻 如圖是一個無限大導體網絡，它由無數個大小相如圖是一個無限大導體網絡，它由無數個大小相同的正三角形網眼構成，小三角形每邊的電阻均為同的正三角形網眼構成，小三角形每邊的電阻均為r，求把該網絡，求把該網絡中相鄰的中相鄰的A、B兩點接入電路中時，兩點接入電路中時，AB間的電阻間的電阻RAB 解解: :AB66ABIIIRR 3ABRR 半徑為半

15、徑為R的薄壁導電球由連在的薄壁導電球由連在A、B兩點上的（兩點上的（AOBO，O點是球心）兩根細導線接到直流電源上，如圖通過電源的電流為點是球心）兩根細導線接到直流電源上，如圖通過電源的電流為I0問在球問在球面上面上C點處（點處（OCOA，OCOB）電荷朝什么方向運動？若在）電荷朝什么方向運動？若在C點附近球面上作點附近球面上作兩個小標志，使它們相距兩個小標志，使它們相距R1000，其連線垂直電荷運動方向問總電流中有多，其連線垂直電荷運動方向問總電流中有多大部分通過這兩標志之連線？大部分通過這兩標志之連線？ 解解: :BAB A Ci2i1C處單位長度上的處單位長度上的“經線經線” 電流和電流

16、和“赤道赤道”電流大電流大小小0212 2 CIiR C處垂直于電荷運動方向處垂直于電荷運動方向上一段弧上的電流為上一段弧上的電流為0212 21000IRiR 024000I I0I00122 IiiR C處單位長度上電流處單位長度上電流iC 如圖所示的電阻網絡包括兩個立方形，每邊電阻均為如圖所示的電阻網絡包括兩個立方形，每邊電阻均為2r，求，求A、B間的電阻間的電阻 解解: :ABBACC15I1115I415IBA815I715IC215I1151072415151515ABRrIIIr 2ABRr 2rr4r返回返回ACIAIc甲甲BIBRABRACRBCacIaIcO乙乙RaRbRc

17、bIbA CA BAA BA CB CB ABA BB CC AC BCC AB CUUIRRUUIRRUUIRR 0a baabba caaccb cbbccabcUIRIRUIRIRUIRIRIII abcacbaacabbcU RU RIR RR RR R AaBbCcIIIIII ABabACacBCbcUUUUUU bcabacbacabbcU RU RIR RR RR R cabcbacacabbcU RU RIR RR RR R abcacbacabbcU RU RR RR RR R bcabacacabbcU RU RR RR RR R cabcbaacabbcU RU RR

18、RR RR R 1cacabbcABRR RR RR RR 1bacabbcACRR RR RR RR 1aacabbcBCRR RR RR RR Y變換變換 YYYABBCcaACbRRRRRR Y變換變換 ABACABBCACBCabcRRRRRRRRR ABBCACRRR 解解: :abBAdcDCAB4r AB間等效電阻間等效電阻:cabO/2r/2r/4r2rr1.5r1.25rOBAC2Y6r 24 /5r4r4rABR 242445245525242445245525r 4780r 如圖所示如圖所示,一個原來用一個原來用12根相同的電阻絲構成的根相同的電阻絲構成的立方體框架，每根

19、電阻絲的電阻均為立方體框架，每根電阻絲的電阻均為r，現將其中一根拆去，求，現將其中一根拆去，求A、B兩點間的電阻兩點間的電阻 244acbr rr rrRRRr221.264451.2655ACABBCRRrrrrrR r 如圖所示如圖所示,甲中三端電容網絡為型網絡元，乙甲中三端電容網絡為型網絡元，乙中三端電容網絡為型網絡元，試導出其間的等效變換公式中三端電容網絡為型網絡元，試導出其間的等效變換公式 解解: :ACqAqC甲甲BqBCABCACCBC乙乙acqaqcbqbCbCaCcOAaBbCcqqqqqq ABabACacBCbcUUUUUU AABABACACBBAABBCBCCCACA

20、CBBCqUCUCqUCUCqUCUC0abababacacacabcqqUCCqqUCCqqqY變換變換 YYYabbcacABBCCAC CC CCCCCC Y變換變換 abBCCAABcCCCCCC YabcCCCABACBABCCBCACCCCCC 解解: :RABR/3R/8R/2R/6ABR 1511R 電阻均為電阻均為R的九個相同的金屬絲組成構架的九個相同的金屬絲組成構架如圖所示，求構架上如圖所示，求構架上A、B兩點間電路的電阻兩點間電路的電阻 如圖所示，由九根相同的導線組成的一個三棱如圖所示，由九根相同的導線組成的一個三棱柱框架，每根導線的電阻為柱框架，每根導線的電阻為R，導線之間接觸良好，求，導線之間接觸良好，求BD之間的電之間的電阻值阻值 解解: :BDRBR/3DR/62R/32RDRR 1115R 解解: :AB2RRR/8R/4ABR13111842213124842 R4722R 如圖所示，由電阻絲構成的網絡中，每如圖所示，由電阻絲構成的網絡中，每一段電阻絲的電阻均為一段電阻絲的電阻均為R，試求，試求RAB 由由7個阻值相同的均為個阻值相同的均為r的電阻組成的網絡元如的電阻組成的網絡元如圖所示，由這種網絡元彼此連接形成的無限網絡如圖所示，試求圖所示，由這種網絡元彼此連接形成的無限網絡如圖所示，試求P