1、控制系統的分析方法MATLAB技術運用控制系統的分析方法 早期的控制系統分析過程復雜而耗時，如想得到一個系統的沖激呼應曲線，首先需求編寫一個求解微分方程的子程序，然后將曾經獲得的系統模型輸入計算機，經過計算機的運算獲得沖激呼應的呼應數據，然后再編寫一個繪圖程序，將數據繪制成可供工程分析的呼應曲線。MATLAB控制系統工具箱和SIMULINK輔助環境的出現，給控制系統分析帶來了福音?？刂葡到y的分析包括系統的穩定性分析、時域分析、頻域分析及根軌跡分析。q對于延續時間系統，假設閉環極點全部在S平面左半平面，那么系統是穩定的。q對于離散時間系統，假設系統全部極點都位于Z平面的單位圓內，那么系統是穩定的

2、。q假設延續時間系統的全部零極點都位于S左半平面；或假設離散時間系統的全部零極點都位于Z平面單位圓內，那么系統是最小相位系統。系統穩定及最小相位系統判據控制系統的穩定性分析2、直接判別MATLAB提供了直接求取系統一切零極點的函數，因此可以直接根據零極點的分布情況對系統的穩定性及能否為最小相位系統進展判別。系統穩定及最小相位系統的判別方法1、間接判別工程方法勞斯判據：勞斯表中第一列各值嚴厲為正，那么系統穩定，假設勞斯表第一列中出現小于零的數值，系統不穩定。胡爾維茨判據：當且僅當由系統分母多項式構成的胡爾維茨矩陣為正定矩陣時，系統穩定。ii=find(條件式)用來求取滿足條件的向量的下標向量，以

3、列向量表示。例如 條件式real(p0)，其含義就是找出極點向量p中滿足實部的值大于0的一切元素下標，并將結果前往到ii向量中去。這樣假設找到了實部大于0的極點，那么會將該極點的序號前往到ii下。假設最終的結果里ii的元素個數大于0，那么以為找到了不穩定極點，因此給出系統不穩定的提示，假設產生的ii向量的元素個數為0，那么以為沒有找到不穩定的極點，因此得出系統穩定的結論。pzmap(p,z)根據系統知的零極點p和z繪制出系統的零極點圖一個動態系統的性能常用典型輸入作用下的呼應來描畫。呼應是指零初始值條件下某種典型的輸入函數作用下對象的呼應，控制系統常用的輸入函數為單位階躍函數和脈沖鼓勵函數即沖

4、激函數。在MATLAB的控制系統工具箱中提供了求取這兩種輸入下系統呼應的函數。時域分析的普通方法q求取系統單位階躍呼應：step()q求取系統的沖激呼應：impulse()控制系統的時域分析qy=step(num,den,t)：其中num和den分別為系統傳送函數描畫中的分子和分母多項式系數，t為選定的仿真時間向量，普通可以由t=0:step:end等步長地產生出來。該函數前往值y為系統在仿真時辰各個輸出所組成的矩陣。qy,x,t=step(A,B,C,D,iu)：其中A,B,C,D為系統的形狀空間描畫矩陣，iu用來指明輸入變量的序號。x為系統前往的形狀軌跡。q假設對詳細的呼應值不感興趣，而只

5、想繪制系統的階躍呼應曲線，可調用以下的格式：qstep(num,den)；step(num,den,t)；step(A,B,C,D,iu,t)；step(A,B,C,D,iu)；q線性系統的穩態值可以經過函數dcgain()來求取，其調用格式為：dc=dcgain(num,den)或dc=dcgain(a,b,c,d)qy,x,t=step(num,den)：此時時間向量t由系統模型的特性自動生成, 形狀變量x前往為空矩陣。step()函數的用法求取脈沖鼓勵呼應的調用方法與step()函數根本一致。y=impulse(num,den,t)；y,x,t=impulse(num,den)；y,x,

6、t=impulse(A,B,C,D,iu,t)impulse(num,den)；impulse(num,den,t)impulse(A,B,C,D,iu)；impulse(A,B,C,D,iu,t)impulse()函數的用法p對于典型二階系統根據其呼應時間的估算公式 可以確定。p對于高階系統往往其呼應時間很難估計，普通采用試探的方法，把t選大一些，看看呼應曲線的結果，最后再確定其適宜的仿真時間。p普通來說，先不指定仿真時間，由MATLAB本人確定，然后根據結果，最后確定適宜的仿真時間。p在指定仿真時間時，步長的不同會影響到輸出曲線的光滑程度，普通不易取太大。nswt43仿真時間t的選擇 時間

7、呼應探求系統對輸入和擾動在時域內的瞬態行為，系統特征如：上升時間、調理時間、超調量和穩態誤差都能從時間呼應上反映出來。MATLAB除了提供前面引見的對系統階躍呼應、沖激呼應等進展仿真的函數外，還提供了大量對控制系統進展時域分析的函數，如：covar：延續系統對白噪聲的方差呼應initial：延續系統的零輸入呼應lsim：延續系統對恣意輸入的呼應對于離散系統只需在延續系統對應函數前加d就可以，如dstep，dimpulse等。它們的調用格式與step、impulse類似，可以經過help命令來察看自學。常用時域分析函數控制系統的頻域分析q頻率呼應是指系統對正弦輸入信號的穩態呼應，從頻率呼應中可以

8、得出帶寬、增益、轉機頻率、閉環穩定性等系統特征。q頻率特性是指系統在正弦信號作用下，穩態輸出與輸入之比對頻率的關系特性。頻率特性函數與傳送函數有直接的關系，記為：頻域分析的普通方法q求取系統對數頻率特性圖波特圖：bode()q求取系統奈奎斯特圖幅相曲線圖或極坐標圖：nyquist()為相頻特性為幅頻特性其中)()()()()()()()()()()(wwwwXwXwAewAjwXjwXjwGioiowjioq頻域分析法是運用頻率特性研討控制系統的一種典型方法。采用這種方法可直觀地表達出系統的頻率特性，分析方法比較簡單，物理概念比較明確，對于諸如防止構造諧振、抑制噪聲、改善系統穩定性和暫態性能等

9、問題，都可以從系統的頻率特性上明確地看出其物理本質和處理途經。通常將頻率特性用曲線的方式進展表示，包括對數頻率特性曲線和幅相頻率特性曲線簡稱幅相曲線，MATLAB提供了繪制這兩種曲線的函數。1、對數頻率特性圖波特圖q對數頻率特性圖包括了對數幅頻特性圖和對數相頻特性圖。橫坐標為頻率w，采用對數分度，單位為弧度/秒；縱坐標均勻分度，分別為幅值函數20lgA(w)，以dB表示；相角，以度表示。MATLAB提供了函數bode()來繪制系統的波特圖，其用法如下：qbode(a,b,c,d)：自動繪制出系統的一組Bode圖，它們是針對延續形狀空間系統a,b,c,d的每個輸入的Bode圖。其中頻率范圍由函數

10、自動選取，而且在呼應快速變化的位置會自動采用更多取樣點。qbode(a,b,c,d,iu)：可得到從系統第iu個輸入到一切輸出的波特圖。qbode(num,den)：可繪制出以延續時間多項式傳送函數表示的系統的波特圖。qbode(a,b,c,d,iu,w)或bode(num,den,w)：可利用指定的角頻率矢量繪制出系統的波特圖。q當帶輸出變量mag,pha,w或mag,pha援用函數時，可得到系統波特圖相應的幅值mag、相角pha及角頻率點w矢量或只是前往幅值與相角。相角以度為單位，幅值可轉換為分貝單位：magdb=20log10(mag)2、奈奎斯特圖幅相頻率特性圖q對于頻率特性函數G(j

11、w)，給出w從負無窮到正無窮的一系列數值，分別求出Im(G(jw)和Re(G(jw)。以Re(G(jw) 為橫坐標， Im(G(jw) 為縱坐標繪制成為極坐標頻率特性圖。MATLAB提供了函數nyquist()來繪制系統的極坐標圖，其用法如下：qnyquist(a,b,c,d)：繪制出系統的一組Nyquist曲線，每條曲線相應于延續形狀空間系統a,b,c,d的輸入/輸出組合對。其中頻率范圍由函數自動選取，而且在呼應快速變化的位置會自動采用更多取樣點。qnyquist(a,b,c,d,iu)：可得到從系統第iu個輸入到一切輸出的極坐標圖。qnyquist(num,den)：可繪制出以延續時間多項

12、式傳送函數表示的系統的極坐標圖。qnyquist(a,b,c,d,iu,w)或nyquist(num,den,w)：可利用指定的角頻率矢量繪制出系統的極坐標圖。q當不帶前往參數時，直接在屏幕上繪制出系統的極坐標圖圖上用箭頭表示w的變化方向，負無窮到正無窮 。當帶輸出變量re,im,w援用函數時，可得到系統頻率特性函數的實部re和虛部im及角頻率點w矢量為正的部分?？梢杂胮lot(re,im)繪制出對應w從負無窮到零變化的部分。MATLAB除了提供前面引見的根本頻域分析函數外，還提供了大量在工程實踐中廣泛運用的庫函數，由這些函數可以求得系統的各種頻率呼應曲線和 特征值。如：margin：求幅值裕

13、度和相角裕度及對應的轉機頻率freqs：模擬濾波器特性nichols：求延續系統的尼科爾斯頻率呼應曲線即對數幅相曲線ngrid：尼科爾斯方格圖常用頻域分析函數margin()函數qmargin函數可以從頻率呼應數據中計算出幅值裕度、相角裕度以及對應的頻率。幅值裕度和相角裕度是針對開環SISO系統而言，它指示出系統閉環時的相對穩定性。當不帶輸出變量援用時，margin可在當前圖形窗口中繪制出帶有裕量及相應頻率顯示的Bode圖，其中幅值裕度以分貝為單位。q幅值裕度是在相角為-180度處使開環增益為1的增益量，如在-180度相頻處的開環增益為g，那么幅值裕度為1/g；假設用分貝值表示幅值裕度，那么等

14、于：-20*log10(g)。類似地，相角裕度是當開環增益為1.0時，相應的相角與180度角的和。qmargin(mag,phase,w)：由bode指令得到的幅值mag不是以dB為單位 、相角phase及角頻率w矢量繪制出帶有裕量及相應頻率顯示的bode圖。qmargin(num,den) ：可計算出延續系統傳送函數表示的幅值裕度和相角裕度并繪制相應波特圖。類似，margin(a,b,c,d)可以計算出延續形狀空間系統表示的幅值裕度和相角裕度并繪制相應波特圖。qgm,pm,wcg,wcp=margin(mag,phase,w)：由幅值mag不是以dB為單位 、相角phase及角頻率w矢量計算

15、出系統幅值裕度和相角裕度及相應的相角交界頻率wcg、截止頻率wcp，而不直接繪出Bode圖曲線。freqs()函數qfreqs用于計算由矢量a和b構成的模擬濾波器H(s)=B(s)/A(s)的幅頻呼應。qh=freqs(b,a,w)用于計算模擬濾波器的幅頻呼應，其中實矢量w用于指定頻率值，前往值h為一個復數行向量，要得到幅值必需對它取絕對值，即求模。qh,w=freqs(b,a)自動設定200個頻率點來計算頻率呼應，這200個頻率值記錄在w中。qh,w=freqs(b,a,n)設定n個頻率點計算頻率呼應。q不帶輸出變量的freqs函數，將在當前圖形窗口中繪制出幅頻和相頻曲線，其中幅相曲線對縱坐

16、標與橫坐標均為對數分度。)1(.)2(1)1(.)2()1()()()(11nasasmbsbsbsAsBsHnnmmq所謂根軌跡是指，當開環系統某一參數從零變到無窮大時，閉環系統特征方程的根在s平面上的軌跡。普通來說，這一參數選作開環系統的增益K，而在無零極點對消時，閉環系統特征方程的根就是閉環傳送函數的極點。q根軌跡分析方法是分析和設計線性定常控制系統的圖解方法，運用非常簡便。利用它可以對系統進展各種性能分析根軌跡分析方法的概念控制系統的根軌跡分析1穩定性當開環增益K從零到無窮大變化時，圖中的根軌跡不會越過虛軸進入右半s平面，因此這個系統對一切的K值都是穩定的。假設根軌跡越過虛軸進入右半s

17、平面，那么其交點的K值就是臨界穩定開環增益。2穩態性能開環系統在坐標原點有一個極點，因此根軌跡上的K值就是靜態速度誤差系數，假設給定系統的穩態誤差要求，那么可由根軌跡確定閉環極點允許的范圍。3動態性能當0K0.5時，閉環極點為復數極點，系統為欠阻尼系統，單位階躍呼應為阻尼振蕩過程，且超調量與K成正比。 通常來說，繪制系統的根軌跡是很繁瑣的事情，因此在教科書中引見的是一種按照一定規那么進展繪制的概略根軌跡。在MATLAB中，專門提供了繪制根軌跡的有關函數。pzmap：繪制線性系統的零極點圖rlocus：求系統根軌跡。rlocfind：計算給定一組根的根軌跡增益。sgrid：在延續系統根軌跡圖和零

18、極點圖中繪制出阻尼系數和自然頻率柵格。根軌跡分析函數MATLAB提供了函數pzmap()來繪制系統的零極點圖，其用法如下：qp,z=pzmap(a,b,c,d)：前往形狀空間描畫系統的極點矢量和零點矢量，而不在屏幕上繪制出零極點圖。qp,z=pzmap(num,den)：前往傳送函數描畫系統的極點矢量和零點矢量，而不在屏幕上繪制出零極點圖。qpzmap(a,b,c,d)或pzmap(num,den)：不帶輸出參數項，那么直接在s復平面上繪制出系統對應的零極點位置，極點用表示，零點用o表示。qpzmap(p,z)：根據系統知的零極點列向量或行向量直接在s復平面上繪制出對應的零極點位置，極點用表示

19、，零點用o表示。零極點圖繪制MATLAB提供了函數rlocus()來繪制系統的根軌跡圖，其用法如下：qrlocus(a,b,c,d)或者rlocus(num,den)：根據SISO開環系統的形狀空間描畫模型和傳送函數模型，直接在屏幕上繪制出系統的根軌跡圖。開環增益的值從零到無窮大變化。qrlocus(a,b,c,d,k)或rlocus(num,den,k)： 經過指定開環增益k的變化范圍來繪制系統的根軌跡圖。qr=rlocus(num,den,k) 或者r,k=rlocus(num,den) ：不在屏幕上直接繪出系統的根軌跡圖，而根據開環增益變化矢量k ，前往閉環系統特征方程1k*num(s)/den(s)=0的根r，它有length(k)行，length(den)-1列，每行對應某個k值時的一切閉環極點。或者同時前往k與r。q假設給出傳送函數描畫系統的分子項num