1、基本知識點基本知識點4 對多自由度系統振動求響應對多自由度系統振動求響應3 固有振型的正交性固有振型的正交性2 多自由度系統特征值問題（固有頻率及固有振型）多自由度系統特征值問題（固有頻率及固有振型）1 多自由度系統運動微分方程多自由度系統運動微分方程5例題例題1 多自由度系統運動微分方程多自由度系統運動微分方程牛頓力學方法：牛頓力學方法：分析力學方法：分析力學方法： 這種方法必須考慮約束反力并畫出物體系統的受力這種方法必須考慮約束反力并畫出物體系統的受力圖，對于一些簡單問題，采用這種方法比較直觀簡便。圖，對于一些簡單問題，采用這種方法比較直觀簡便。 這種方法首先應該合理選取系統的廣義坐標，然

2、后這種方法首先應該合理選取系統的廣義坐標，然后根據拉格朗日方程等分析力學方法，建立系統的運動方根據拉格朗日方程等分析力學方法，建立系統的運動方程，由于這種方法僅涉及動能、勢能和功等標量形式的程，由于這種方法僅涉及動能、勢能和功等標量形式的物理量，對于復雜的多自由度振動系統建立運動微分方物理量，對于復雜的多自由度振動系統建立運動微分方程較為方便。程較為方便。MqCqKqQ)(ddtQqUqTqTtjjjj), 2 , 1(nj2 多自由度系統特征值問題（固有頻率及固有振型）多自由度系統特征值問題（固有頻率及固有振型）按無阻尼自由振動方程進行求解按無阻尼自由振動方程進行求解固有頻率求解：固有頻率求

3、解：MqKq022()det()0KM021)2(22)1(212nnnnnaaaa 將求得的固有頻率將求得的固有頻率r (r=1,2,n)分別代入下面的方分別代入下面的方程，得程，得2( )()(1,2, )rrrnKM u0固有振型求解：固有振型求解：正則振型正則振型 振型向量可以排列成為振型向量可以排列成為n階方陣，稱為階方陣，稱為模態矩陣模態矩陣( (或或振型矩陣振型矩陣) )，即，即(1)(2)( )nuuuu 一個很簡便的正則化方法就是令一個很簡便的正則化方法就是令( )T( )1(1,2, )rruurnM 有有( )T( )2(1,2, )rrruurnK3 固有振型的正交性（

4、主振型）固有振型的正交性（主振型）( )T( )0()srrsuMu( )T( )rrrMuMu( )T( )0()srrsuKu( )T( )rrrKuKuT12nMMMru MuMT12nKKKru KuK3 固有振型的正交性（正則振型）固有振型的正交性（正則振型）( )T( )0()srrsuMu( )T( )1rruMu( )T( )0()srrsuKu( )T( )2rrruKuT111rMu MuIT21222nrKu Ku4 對多自由度系統振動求響應對多自由度系統振動求響應求解的類型：求解的類型：u無阻尼振動系統對初始條件的響應無阻尼振動系統對初始條件的響應u無阻尼振動系統對任意

5、激勵的響應無阻尼振動系統對任意激勵的響應u有阻尼振動系統對各種激勵的響應有阻尼振動系統對各種激勵的響應（簡諧激勵、周期激勵、任意激勵）（簡諧激勵、周期激勵、任意激勵）4 對多自由度系統振動求響應對多自由度系統振動求響應求解的基本步驟：求解的基本步驟：(1)(1)列出振動微分方程列出振動微分方程無阻尼自由振動系統無阻尼自由振動系統有阻尼各種激勵振有阻尼各種激勵振動系統動系統MqKq0無阻尼任意激振無阻尼任意激振振動系統振動系統 Mq tKq tF t Mq tCq tKq tF t( )( )1rrruu( )( )TrrruMu4 對多自由度系統振動求響應對多自由度系統振動求響應求解的基本步驟

6、：求解的基本步驟：(2)(2)求系統的特征值和特征向量（固有頻率及主振型）求系統的特征值和特征向量（固有頻率及主振型）22()det()0KM2( )()(1,2, )rrrnKM u0(3)(3)將固有振型轉換成正則振型將固有振型轉換成正則振型正則振型正則振型主振型主振型正則化因子正則化因子組成正則振型矩陣組成正則振型矩陣(1)(2)( )nuuuu4 對多自由度系統振動求響應對多自由度系統振動求響應求解的基本步驟：求解的基本步驟：(4)(4)用正則振型矩陣進行坐標變換（方程組解耦）用正則振型矩陣進行坐標變換（方程組解耦）令令 q tu tn代入無阻尼自由振動系統，并用代入無阻尼自由振動系統

7、，并用uT左乘方程左乘方程 TTTu Mu tu Ku tu F tN(t) tNttrrrr2 ), 2 , 1(nrn代入無阻尼任意激振振動系統，并用代入無阻尼任意激振振動系統，并用uT左乘方程左乘方程 TTu Mu tu ku t0 02ttrrr ), 2 , 1(nr4 對多自由度系統振動求響應對多自由度系統振動求響應求解的基本步驟：求解的基本步驟：n代入有阻尼各種激勵振動系統，并用代入有阻尼各種激勵振動系統，并用uT左乘方程左乘方程（阻尼應為比例阻尼、振型阻尼）（阻尼應為比例阻尼、振型阻尼） 202sin()rrrrrrrtttNt nr, 2 , 1 T0rrN0uF TTTTu

8、 Mu tu Cu tu Ku tu F tN(t)1 1）簡諧激勵，）簡諧激勵， sint0F tF4 對多自由度系統振動求響應對多自由度系統振動求響應求解的基本步驟：求解的基本步驟： 2012cossin2rrrrrrrjjjtttaNtaj tbj t nr, 2 , 1 2 2）周期激勵，）周期激勵， ()ttjTFF4 對多自由度系統振動求響應對多自由度系統振動求響應求解的基本步驟：求解的基本步驟： 3 3）任意激勵，）任意激勵， 22( )rrrrrrrtttN t nr, 2 , 1(5)(5)按單自由度相關方法求各正則坐標下的響應按單自由度相關方法求各正則坐標下的響應n各正則坐

9、標下單自由度自由振動系統，對初始條件的各正則坐標下單自由度自由振動系統，對初始條件的響應響應 1 1）原坐標下的初始條件變換為正則坐標下的初始條件）原坐標下的初始條件變換為正則坐標下的初始條件100u q100u qTT,0000u Mqu Mq4 對多自由度系統振動求響應對多自由度系統振動求響應 2 2）初始條件響應求解公式）初始條件響應求解公式 tttrrrrrrsincos00), 2 , 1(nrn各正則坐標下單自由度無阻尼任意激振振動系統的響各正則坐標下單自由度無阻尼任意激振振動系統的響應應 1 1）原坐標下的初始條件變換為正則坐標下的初始條件）原坐標下的初始條件變換為正則坐標下的初

10、始條件 2 2）任意激振響應求解公式）任意激振響應求解公式(5.6-14) trrrrrrrrrtNttt 0 00dsin1sincos4 對多自由度系統振動求響應對多自由度系統振動求響應n各正則坐標下單自由度有阻尼振動系統對各種激振的各正則坐標下單自由度有阻尼振動系統對各種激振的響應響應 1 1）簡諧激勵（穩態響應）簡諧激勵（穩態響應） 02222sin12rrrrrrrNtt 122tg1rrrr rr T0rrN0uF4 對多自由度系統振動求響應對多自由度系統振動求響應 2 2）周期激勵（穩態響應）周期激勵（穩態響應） 102sincos21jrjjrjjrjrrtjbtjajHat式

11、中式中 2222112rjrrrHjjj1222tg1rrrjrjjrr4 對多自由度系統振動求響應對多自由度系統振動求響應 3 3）任意激勵）任意激勵 000 0ecossin1esindrrrrtrrrrrrdrdrdrttrdrdrtttNt 21drrr TT00,rrrr00uMquMq經過上述步驟可求得正則坐標下的響應經過上述步驟可求得正則坐標下的響應 12( )( )( )Tnttt(t)4 對多自由度系統振動求響應對多自由度系統振動求響應(5)(5)變換為原坐標下的響應變換為原坐標下的響應 111121212221212( )( )( )nrrrnnnnnnntuuuuuutt

12、tuuuq tu(t)u123000000mmmM5 例題例題 求解振動方程求解振動方程圖示三自由度有阻尼受迫振動系統。已知：圖示三自由度有阻尼受迫振動系統。已知： 試建立該系統的振試建立該系統的振動微分方程，并寫出系統的特征矩陣。動微分方程，并寫出系統的特征矩陣。 kkk41kk5 . 123,2kk123,mmmm1k2k3k4k1r2r3r4r1m2m3m1Q2Q3Q1x2x3x解：解： 122223333400kkkkkkkkkkK122223333400rrrrrrrrrrC123QQQQ123xxxX5 例題例題 求解振動方程求解振動方程123xxxX123xxxXMXCXKXQ則

13、系統的微分方程為則系統的微分方程為 系統的特征矩陣為系統的特征矩陣為 22222.51.501.53.52023kmkkkmkkkmHKM5 例題例題 響應求解響應求解某振動系統的運動微分方程為：某振動系統的運動微分方程為： MqKqF(t)其中，其中， mmm0005 . 10002M520230kkkkkkk K20sin0QtF(t)已知該振動系統的二階振型為，已知該振動系統的二階振型為， (2)0.6790.60661.000 u試用模態分析法求對應于二階振型的強迫振動解。試用模態分析法求對應于二階振型的強迫振動解。 (2)(2)22000.6790.6790.6066101.500.

14、60662.474001TpmMmmm uMu(2)(2)25200.6790.6790.60661230.60663.974801TpkkKKkkkkkk uu22.474m5 例題例題 響應求解響應求解對應第二階主質量和主剛度分別為對應第二階主質量和主剛度分別為 求正則化因子求正則化因子 將陣型正則化，有將陣型正則化，有 (2)(2)20.6790.43171110.60660.38572.4741.0000.6358mmuu2000.4317110.43170.38570.635801.500.38571000.6358mmmmm5200.4317110.43170.38570.6358230.38571.606600.6358kkkkkkmmmkk2200.385710.4317