1、2017年上海中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷(3)、填空題1.復(fù)數(shù)，.的虛部是2. 已知函數(shù)? ( 2x)的定義域為-1, 1，則函數(shù) y=? ( log2X)的定義域為3.自圓 x2+y2=4 上點 A (2, 0)引此圓的弦 AB,則弦的中點的軌跡方程為4. 已知函數(shù)叩h 3),則方程 f2(X)_ f(x) =0 的實根共有Oi (s=o)5.在 二址.石】；!-的取值范圍為君建+3.已知函數(shù)一二對定義域內(nèi)的任意x 的值都有-1 f (x ) 0,則的最小值為m n8 一個四面體的各個面都是邊長為、廠5-二的三角形，則這個四面體體積9 .考察下列一組不等式：23+5322?5+2?52，24+54

2、23?5+2?53，25+55 23?52+22?53，.將使以上的不等式成為推廣不等式的特上述不等式在左右兩端仍為兩項和的情況下加以推廣，例，則推廣的不等式可以是10.關(guān)于 x 的方程 2x2+3ax+a2- a=0 至少有一個模為 1 的復(fù)數(shù)根，則實數(shù) a 的所有可能值11 .已知不等式_0一;I ；-：二-1-對大于 1 的自然數(shù) n 都成立，則實數(shù) a 的取值范圍為12.在一個給定的正 (2n+1 )邊形的頂點中隨機地選取三個不同的頂點，任何一種選法的可能性是相等的，則正多邊形的中心位于所選三個點構(gòu)成的三角形內(nèi)部的概率為、選擇題13.已知，那么實數(shù) a 的取十2值范圍是(的關(guān)系為(A.

3、 (- 1, 2)181814.已知 ABC 的三個頂點 C(-匕節(jié))D(-1,節(jié)A、B C 及平面內(nèi)一點 P 滿足一一百品二，則點 P 與厶 ABCA. P 在厶 ABC 內(nèi)部B.P在厶ABC外部C. P 在 AB 邊所在直線上D. P 是 AC 邊的一個三等分點15.若 a 1, b 1,且 lg(a+b) =lga+lgb，則 lg (a -1) +lg (b- 1)的值(r )1=A.等于 1 B.等于 lg2C.等于 0 D.不是常數(shù)16.對 b a 0,取第一象限的點A(Xk, yk) (k=1, 2, n),使 a, X1, X2，Xn, b成等差數(shù)列，且a, y1, y2,，y

4、n, b 成等比數(shù)列，則點A1, A2,，A與射線 L: y=x (x 0)的關(guān)系為(A.各點均在射線L 的上方 B .各點均在射線 L 的上面C.各點均在射線L 的下方 D .不能確定三、解答題t5-.一 -217.已知函數(shù):-一與 g (x) =cos x+a (1+cosx) - cosx - 3 的圖象在(0,n)2Sin|殲內(nèi)至少有一個公共點，求 a 的取值范圍.衍夭 7ZuR L18.- 在 ABC 中，a、b、c 分別是角A、B、C 的對邊，且- =-1cosC2a+c(1)求角 B 的大小；(2 )若 b= , a+c=4，求 a 的值.E是 PC的中點.(1)求異面直線 CD

5、 和 PB 所成角大小；(2)求直線 CD 和平面 ABE 所成角大小.t34 it汨20.設(shè)關(guān)于 x 的方程 2x2- ax - 2=0 的兩根分別為 a、3(a3),函數(shù) f(K)仝嚴,+1(1 )證明 f (x)在區(qū)間(a,3)上是增函數(shù)；(2)當 a 為何值時，f (x)在區(qū)間a,3上的最大值與最小值之差最小.21 現(xiàn)有流量均為 300m/s 的兩條河流 A, B 匯合于某處后，不斷混合，它們的含沙量分別為 2kg/m3和 0.2kg/m3.假設(shè)從匯合處開始，沿岸設(shè)有若干個觀測點，兩股水流在流往相鄰 兩個觀測點的過程中，其混合效果相當于兩股水流在1 秒內(nèi)交換 100ml的水量，其交換過

6、程為從 A 股流入 B 股 100m3的水量，經(jīng)混合后，又從 B 股流入 A 股 100m3水并混合，問從第幾 個觀測點開始，兩股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3.(不考慮泥沙沉淀).22.已知橢圓的中心在原點，焦點在 x 軸上，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點，橢圓的一個頂點與兩焦點構(gòu)成等邊三角形，且|二i=2 .(1) 求橢圓方程；(2)對于x軸上的某一點T,過T作不與坐標軸平行的直線L 交橢圓于 P、Q 兩點，若存在x 軸上的點 S,使得對符合條件的L 恒有/ PST=ZQST 成立，我們稱 S 為 T 的一個配對點，當 T 為左焦點時，求 T 的配對點的坐標；(3) 在(2)條件下討論

7、當 T 在何處時，存在有配對點？42017 年上海中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷(3)參考答案與試題解析、填空題51.復(fù)數(shù)【考點】 的虛部是3-41rA2:復(fù)數(shù)的基本概念.【分析】復(fù)數(shù)的分子與分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡復(fù)數(shù)為、的虛部.【解答】解：復(fù)數(shù)八w 汀匕二；+ -.5 53-41 (3-41)(3+41)25復(fù)數(shù)的虛部為：；5故答案為：.52.已知函數(shù)？(2x)的定義域為-1, 1，則函數(shù)尸？ (log2X)的定義域為【考點】33 :函數(shù)的定義域及其求法.1 “【分析】由函數(shù)？(2X)的定義域為-1,1，知一 一匚.所以在函數(shù)-=: ,由此能求出函數(shù) y=? (log2X)的定義域.【解答】解：

8、函數(shù)？( 2X)的定義域為-1 , 1,y=? (log2X)中, K x 0解得-4waw4故答案為-4, 4.【解答】解：根據(jù)正弦定理,c_bsinCsinB二甘= 山=4COS2B-1IsinBsinB由/ C=3/ B, 4/BV180,故 0v/Bv45,COSB(亠，1)2故4COS2B1 ( 1 , 3).故答案為：(1, 3)36已知函數(shù) F 對定義域內(nèi)的任意x的值都有K f (x)w4，則 a 的取值范圍為 -ax+3【分析】將已知條件轉(zhuǎn)化為計亙成立,才+12+ax+40 x2-ax+10恒成立,令兩個二次恒成立-ax+10所以A=a-160L-a2-16 0,9則丄的最小值

9、為 8 .過n【考點】7G 基本不等式在最值問題中的應(yīng)用.【分析】先根據(jù)二次函數(shù)求出頂點坐標，然后代入直線方程可得2m+n=1,然后丄異中的 1m n用 2m+n 代入，2 用 4m+2n 代入化簡，利用基本不等式可求出最小值.【解答】 解：由題意可得頂點 A (- 2, - 1),又點 A 在直線 mx+ ny +1=0 上，二 2m+n=1, 則=4+；+八 4+2m n m n m n當且僅當一一 土?xí)r，等號成立，in n故答案為：&一個四面體的各個面都是邊長為靈 S 的三角形，則這個四面體體積為2 .【考點】LF:棱柱、棱錐、棱臺的體積.【分析】 考慮一個長方體 ABC- AB1C1D

10、1，其四個頂點就構(gòu)成一個四面體ABCD 恰好就是每個三角形邊長為頁、J 二，利用長方體的體積減去 4 個角的體積即可.【解答】 解：設(shè)長方體 ABCD- AiBiCiD 三棱分別是 a, b, c,于是列出方程 a2+b2=5, b2+c2=10, c2+a2=13 于是解出 a2=4, b2=1, c2=9, a=2, b=1, c=3,即對于三棱分別為 1, 2, 3 的長方體 去掉 4 個角 就得到題中要求的四面體.于是，所求四面體體積為：長方體體積-4 個角上直四面體體積=1X2X3=2.故答案為：2.9 .考察下列一組不等式：23+5322?5+2?52, 24+5423?5+2?5

11、3, 25+55 23?52+2 勺 53,.將上述不等式在左右兩端仍為兩項和的情況下加以推廣，使以上的不等式成為推廣不等式的特例，則推廣的不等式可以是2n+5n 2n-k5k+2k5n-k, n3, 1wkwn .【考點】F1：歸納推理.【分析】 題目中的式子變形得 22+1+52+122?51+21?52( 1) 23+1+53+123?51+21?53(2)觀察會發(fā) 現(xiàn)指數(shù)滿足的條件，可類比得到2m+5m+n 2m5n+2n5m,使式子近一步推廣得2n+5n 2n-紂+2 弓_ k,n3,1wk 22?51+21?52(1)1123+I+53+I23?51+21?53(2)觀察(1) (

12、2) ( 3)式指數(shù)會發(fā)現(xiàn)規(guī)律，則推廣的不等式可以是：2n+5n2 葉k5k+2k5nk, n 3, K k 2n-k5k+2k5n-k, n3, 1 k 0,得 a0,將 x=1 代入方程，得 2+3a+a2- a=0, 即卩 a2+2a+2=0, a 無實根；將 x= - 1 代入方程，得 2 - 3a+a2- a=0, 即卩 a2- 4a+2=0,得 a=2j,i(2)若方程有共軛復(fù)數(shù)根，則可設(shè)兩根為cos0+isin0、cos0- isin0,22 =9a - 8 (a - a) =a (a+8)v0,得-8vav0 由韋達定理,有3有 cos0+isin0+cos0 -isin0=2

13、cos0=-= a,一2/曰。3/得cos 0=- a,2212(cos0+isin0 ) (cos0 -isin0 )=cos0+sin0=1 =(a-a),Zzl/A.2(a - 2) =0, ? a=2 或 a= - 1, a=2 不在-8vav0 的范圍內(nèi)，舍去.-a= 1故答案為： a=2 二或-1即(a+1)a=- 1 時,cos0-1,1;1211.已知不等式 I - 0，二 Sn 隨 n 的增大而增大.當 n=2 時，2n+l 2rt+2n+1 2n+l 2n+2Sn 取得最小值，S2=.-.3 4 12|恒成立.移向化簡整理得 loga（a - 1 ）0, a 1,再根據(jù)對數(shù)

14、函數(shù)單調(diào)性得a- 1 , a2- a- 1a 0，聯(lián)立解得一：=2故答案為：一：=212.在一個給定的正（2n+1 ）邊形的頂點中隨機地選取三個不同的頂點，任何一種選法的可能性是相等的，則正多邊形的中心位于所選三個點構(gòu)成的三角形內(nèi)部的概率為丄丄4n-2【考點】C7:等可能事件的概率.【分析】從（2n+1）邊形的頂點中隨機地選取三個不同的頂點中取3 個的所有不同的取法有C2n+13,每種取法等可能出現(xiàn)，屬于古典概率，正多邊形的中心位于所選三個點構(gòu)成的三角形 內(nèi)部，若第一個點取的就是點 2n +1,對于第二個點分類考慮：第二個點取取的是點 1,第二 個點取的是點 2第二個點取的是 m 第二個點取的

15、是點 n,再考慮第三個點的所有取法， 利用古典概率的公式可求.【解答】 解：不妨設(shè)以時鐘 12 點方向的頂點為點 2n+1 ,順時針方向的下一個點為點1,則以時鐘 12 點和 6 點連線為軸，左右兩邊各有n 個點.多邊形中心位于三角形內(nèi)部的三角形個數(shù)a:【分析】最小值，, （n2）,由已知，只需-小于 Sn 的利用作差法得出 Sn 隨 n 的增大而增大，當 n=2 時 Sn 取得最小值二，再解對數(shù)不設(shè) s=._ 一14假設(shè)第一個點取的就是點2n+1,則剩下的兩點必然在軸線的一左一右.=lg115對于第二個點取的是點1,二、選擇題13已知?-| r,. . -. i：.- I-.i 廠 Liz

16、- .idM 廠，那么實數(shù) a 的取值范圍是()A.(-1,2)B.C. ： - .D. d：【考點】1C:集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題.【分析】由題意，可先化簡集合 A,再由 AUB=A 得 B? A,由此對 B 的集合討論求 a,由于 集合 B 可能為空集，可分兩類探討，當 B 是空集時，與 B 不是空集時，分別解出 a 的取值范 圍，選出正確選項【解答】解：由題意，匚.,：二丁J.：.二,由 AUB=A 得 B? A又 B=x|x2- 2ax+a+2 0當 B 是空集時，符合題意，此時有厶=4a2- 4a- 8v0 解得-1vav2對于第二個點取的是點2,第三個點能n+1、點 n+2，有 2

17、 種對于第二個點取的是點m 第三個點能取點n+1、點 n+2點 n+m 有 m 種對于第二個點取的是點n,第三個點能取點n+1，點 n+2點 2n,有 n 種一共 1+2+n= ( n+1) n 種2如果第二個點取的是點 n+1 到點 2n,可視為上述情況中的第三個點.所以 a= (n+1) n x (2n+1) = (2n+1) (n+1) n236一共可構(gòu)成三角形個數(shù)b= (2n +1) n ( 2n- 1)3p=_!_Cn+1)(2n+l?7Ti(2n-l) (2n+l)故答案為:n+14n-216故選 D14.已知 ABC 的三個頂點 A、B C 及平面內(nèi)一點 P 滿足，則點 P 與厶

18、 ABC的關(guān)系為（）A. P 在厶 ABC 內(nèi)部B. P 在厶 ABC 外部C. P 在 AB 邊所在直線上D. P 是 AC 邊的一個三等分點【考點】9V:向量在幾何中的應(yīng)用.【分析】利用向量的運算法則將等式變形， 得到：;-：-. 1,b 1,且 lg (a+b) =lga+lgb，則 lg (a - 1) +lg (b- 1)的值()A.等于 1 B.等于 lg2C.等于 0D.不是常數(shù)【考點】4H：對數(shù)的運算性質(zhì).【分析】 由 lg (a+b) =lga+lgb，知 lg (a+b) =lg (ab) =lga+lgb，所以 a+b=ab，由此能求出 lg (a- 1) +lg (b

19、- 1)的值.【解答】解：.Tg (a+b) =lga+lgb , lg (a+b) =lg (ab) =lga+lgb , a+b=ab, lg ( a- 1) +lg (b- 1)=lg(a-1)x(b-1)=lg (ab- a- b+1)當 B 不是空集時，有A=4a2-4a-8011-2a+a42 0綜上知，實數(shù) a 的取值范圍是:-.=lg117=lgab -( a+b) +1=lg( ab - ab+1)18=0.故選 c.16.對 b a 0,取第一象限的點A(Xk, yk) ( k=1, 2,0)的關(guān)系為(k-yk=aq =afb n+l a - -v 0J J E各點 Ak

20、均在射線 L: y=x (x 0)的下方故選 C三、解答題t517.- 已知函數(shù):- =與 g (x)2sin| 2內(nèi)至少有一個公共點，求 a 的取值范圍.，n), 使 a, X1,X2，,Xn, b成等差數(shù)列，且a , y1, y2,，yn, b 成等比數(shù)列，則點A1, A2,，A與射線 L: y=x (xA.各點均在射線L 的上方 B .各點均在射線 L 的上面C.各點均在射線L 的下方 D .不能確定【考點】8M 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合.【分析】 先由等差數(shù)列的通項公式，求出x_k (b-a)Xk= 再由等比數(shù)列的通項公式，求出yk=a1,最后作差即可證明各點均在射線a【解答】 解：依

21、題意，設(shè)數(shù)列Xn的公差為 d ,由 b=a+ (n+1) d,得 d=-4A n+1Xk=a+kd=a+設(shè)數(shù)列yn的公比為 yk- Xk=a=cos2x+a (1+cosx) - cosx - 3 的圖象在(0,L 的下方q,由 b=aqn+1,得=lg119【考點】3R 函數(shù)恒成立問題.【分析】要使 f (X)與 g (X)的圖象在(0,n)內(nèi)至少有一個公共點可轉(zhuǎn)化成f (x)=g20(x)在(0,n)內(nèi)至少有一個解，然后根據(jù)三角函數(shù)公式進行化簡整理，將 求出另一側(cè)的取值范圍即可求出所求.a 分離出來,【解答】解:函數(shù)t5-與2siriy -2g (x) =cos x+a (1+cosx)c

22、osx - 3 的圖象在(0,n)內(nèi)至少有一個公共點,2siny1 2=cos x+a (1+cosx)2cosx - 3 在(0,n)內(nèi)至少有一個解2即 sin， sin=2sincos x+a (1+cosx) - cosx - 3匕bibi3x2/ 2cos, sinx=2sin cos x+a (1+cosx) - cosx - 322?；計22cos2x+cosx=cos x+a (1+cosx ) - cosx - 3 a= (1+cosx) +-1+cosx令 1+cosx=t , t ( 0, 2)a 2a 的取值范圍是2 , +s)18.- 在 ABC中，a、b、c 分別是角

23、 A、B、C 的對邊，且-=-cosC 2a+c(1) 求角 B 的大小；(2) 若 b=JjM, a+c=4，求 a 的值.【分析】(1)根據(jù)正弦定理化簡已知的等式，再利用兩角和的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡后，由 sinA 不為 0，即可得到 cosB 的值，根據(jù) B 的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出 B 的度數(shù);(2)利用余弦定理得到b2=a2+c2- 2accosB，配方后把 b, a+c 及 cosB 的值代入，列出關(guān)于a 的方程，求出方程的解即可得到 a 的值.【解答】解：(1)由正弦定理得a_ b_csinAsinB=2R 得21a=2RsinA , b=2RsinB , c

24、=2RsinC,代入 ggB = _cosC 2sinA+si nC即 2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0 ,化簡得：2sinAcosB+sin ( B+C =0,TA+B+C=n ,/ sin(B+C =sinA ,/ 2sinAcosB+sinA=0 ,1 -sinA豐0,. cosB=,9o又角 B 為三角形的內(nèi)角， B= 一 ;3(2)將 b=*；三,a+c=4, B= _ ,代入余弦定理 b2=a2+c2- 2accosB，得2297T13=a + ( 4 - a) - 2a (4 - a) cos _,3Zx *a- 4a+3=0, a=1 或 a=3.19

25、.如圖，在四棱錐 P- ABCD 中, PAL 底面 ABCDAB 丄 AD, AC 丄 CD, / ABC=60 ,E 是 PC 的中點.(1) 求異面直線 CD 和 PB 所成角大小；【考點】Ml:直線與平面所成的角；LM 異面直線及其所成的角.【分析】 分別以 AB AD, AP 為 x 軸，y 軸，z 軸建立空間直角坐標系(1)設(shè)異面直線 CD 和 PB 所成角為a，用向量表示 CD 和 PB,再利用公式可求.(2)先求平面 ABE 的法向量，再利用公式求解.(2) 求直線 CD 和平面 ABE 所成角大小.PA=AB=BC22【解答】解：由題意，分別以 AB AD, AP 為 x 軸

26、，y 軸，z 軸.設(shè) PA=a,則P(0, 0，a), B(a , 0 , 0),，-. ，小I . ：.,;；.一乙0輕吐(1)設(shè)異面直線 CD 和 PB 所成角為a異面直線 CD 和 PB 所成角為二- -s-(2)設(shè)直線 CD 和平面 ABE 所成角為3PA=AB=BCZABC=60，故 PA=AC E 是 PC 的中點，故 AE PC,PAL 底面 ABCD- CDL PA又 CDL AC PAAAC=A 故 CDL 面 PAC AE?面 PAC 故 CDLAE.從而 AEL面 PCD 故 AELPD.易知 BAL PD,故 PD 丄面 ABE二:二:.一2一“ 4x-a20.設(shè)關(guān)于

27、x 的方程 2x-ax-2=0 的兩根分別為a、3 ( a3),函數(shù)一 (1 )證明 f (x)在區(qū)間(a,3)上是增函數(shù)；(2)當 a 為何值時，f (x)在區(qū)間a,3上的最大值與最小值之差最小.【考點】3W 二次函數(shù)的性質(zhì).【分析】(1)設(shè) (x) =2x2- ax - 2,則當a x3時，(x) 0,利用 f( x)的符號進行判定函數(shù)的單調(diào)性即可；一6 4(2)運用方程的根，求得 f(a) ?f (3) =- 40,最小值 f(a)0,而 f(a)?f( 3 )=-4,則當 f(3 )=-f( a )=2 時，f(3)-f(a)取最小值，從而得到結(jié)論.【解答】 解：(1)證明：設(shè) ( x

28、) =2x2- ax - 2,則當a x3時，(x) 0.224f，(x)(4XF)_ _ *(2 乂芷-2)0函數(shù) f（X）在（a,B）上是增函數(shù).（2）由關(guān)于 x 的方程 2x2-ax - 2=0 的兩根分別為=/界+16B=注屮/+61 r 21 現(xiàn)有流量均為 300m/s 的兩條河流 A, B 匯合于某處后，不斷混合，它們的含沙量分別為 2kg/m3和 0.2kg/m3.假設(shè)從匯合處開始，沿岸設(shè)有若干個觀測點，兩股水流在流往相鄰r*兩個觀測點的過程中，其混合效果相當于兩股水流在為從A股流入B股 ioom 的水量，經(jīng)混合后，又從B股流入A股 ioom 水并混合，問從第幾MY、個觀測點開始

29、，兩股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3.（不考慮泥沙沉淀）【考點】8B:數(shù)列的應(yīng)用.【分析】我們設(shè)第 n 個觀測點 A 股水流含沙量為 an, B 股水流含沙量為 bn.由已知我們易得 *弋尢孑an- bn是以 ai- bi為首項，：為公比的等比數(shù)列求出數(shù)列的通項公式后，構(gòu)造不等式，解不不等式，即可得到結(jié)論.【解答】 解：設(shè)第 n 個觀測點 A 股水流含沙量為 ankg/m3, B 股水流含沙量為 bn.爲0 #0叫)寺也)即：an- bn=( an- 1- bn-l) an- bn是以 ai- bi為首項，為公比的等比數(shù)列.(x?+i)2可得a即有 f函數(shù) f4 a -aa2+l(a)

30、?f(（X）在 aVa2+16-Jf（ B）可界+16+律?-64B ) =：-4 0，最小值 f 當且僅當 f(B)=-f (a) =2 時,f(B)-f( a )=|f( B )|+|f(a)| 取最小值 4,此時 a=0, f (B) =2.當 a=0 時，f（X）在區(qū)間a,B上的最大值與最小值之差最小.i 秒內(nèi)交換 loom5的水量，其交換過程an=() 180,又由 n 正整數(shù),因此，從第 9 個觀測點開始，兩股水流含沙量之差小于0.01kg/m3 .22.已知橢圓的中心在原點，焦點在x 軸上，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點，橢圓的一個頂點與兩焦點構(gòu)成等邊三角形，且|-|=2 .(1) 求橢圓方程；(2)對于 x 軸上的某一點 T,過 T 作不與坐標軸平行的直線L 交橢圓于 P、Q 兩點，若存在x 軸上的點 S,使得對符合條件的 L 恒有/ PST=ZQST 成立，我們稱