1、 由一階微分方程描述的電路稱為一階電路由一階微分方程描述的電路稱為一階電路。本章主要。本章主要討論由直流電源驅動的含一個動態元件的線性一階電路。討論由直流電源驅動的含一個動態元件的線性一階電路。含一個電感或一個電容加上一些電阻元件和獨立電源組成含一個電感或一個電容加上一些電阻元件和獨立電源組成的線性一階電路，可以將連接到電容或電感的線性電阻單的線性一階電路，可以將連接到電容或電感的線性電阻單口網絡用戴維寧諾頓等效電路來代替（如圖口網絡用戴維寧諾頓等效電路來代替（如圖81和和82所示）。所示）。圖圖81圖圖82 我們的重點是討論一個電壓源與電阻及電容串聯，或我們的重點是討論一個電壓源與電阻及電容

2、串聯，或一個電流源與電阻及電感并聯的一階電路。一個電流源與電阻及電感并聯的一階電路。 與電阻電路的電壓電流僅僅由獨立電源所產生不同，與電阻電路的電壓電流僅僅由獨立電源所產生不同，動態電路的完全響應則由獨立電源和動態元件的儲能共同動態電路的完全響應則由獨立電源和動態元件的儲能共同產生。產生。 僅由動態元件初始條件引起的響應稱為零輸入響應僅由動態元件初始條件引起的響應稱為零輸入響應。 僅由獨立電源引起的響應稱為零狀態響應僅由獨立電源引起的響應稱為零狀態響應。 動態電路分析的基本方法是建立微分方程，然后用數動態電路分析的基本方法是建立微分方程，然后用數學方法求解微分方程，得到電壓電流響應的表達式。學

3、方法求解微分方程，得到電壓電流響應的表達式。81 零輸入響應零輸入響應 圖圖8-3(a)所示電路中的開關原來連接在所示電路中的開關原來連接在1端，電壓源端，電壓源U0通過電阻通過電阻Ro對電容充電，假設在開關轉換以前，電容電壓對電容充電，假設在開關轉換以前，電容電壓已經達到已經達到U0。在。在t=0時開關迅速由時開關迅速由1端轉換到端轉換到2端。已經充電端。已經充電的電容脫離電壓源而與電阻的電容脫離電壓源而與電阻R并聯，如圖并聯，如圖(b)所示。所示。 圖圖8-3一、一、RC電路的零輸入響應電路的零輸入響應 我們先定性分析我們先定性分析t0后電容電壓的變化過程。當開關倒后電容電壓的變化過程。當

4、開關倒向向2端的瞬間，電容電壓不能躍變，即端的瞬間，電容電壓不能躍變，即 0CC)0()0(Uuu 由于電容與電阻并聯，這使得電阻電壓與電容電壓相由于電容與電阻并聯，這使得電阻電壓與電容電壓相同，即同，即 0CR)0()0(Uuu 電阻的電流為電阻的電流為 RUi0R)0( 該電流在電阻中引起的功率和能量為該電流在電阻中引起的功率和能量為 tdiRtWtRitp 0 2RR2R)( )()()( 電容中的能量為電容中的能量為 )(21)(2CtCutW 隨著時間的增長，電阻消耗的能量需要電容來提供，隨著時間的增長，電阻消耗的能量需要電容來提供，這造成電容電壓的下降。一直到電容上電壓變為零和電容

5、這造成電容電壓的下降。一直到電容上電壓變為零和電容放出全部存儲的能量為止。也就是電容電壓從初始值放出全部存儲的能量為止。也就是電容電壓從初始值uC(0+)=U0逐漸減小到零的變化過程。這一過程變化的快慢逐漸減小到零的變化過程。這一過程變化的快慢取決于電阻消耗能量的速率。取決于電阻消耗能量的速率。 為建立圖為建立圖(b)所示電路的一階微分方程，由所示電路的一階微分方程，由KVL得到得到 0CRuu 由由KCL和電阻、電容的和電阻、電容的VCR方程得到方程得到 tuRCRiRiuddCCRR 代入上式得到以下方程代入上式得到以下方程 ) 18()0(0ddCCtutuRC 這是一個常系數線性一階齊

6、次微分方程。其通解為這是一個常系數線性一階齊次微分方程。其通解為 stKtue)(C 代入式代入式(81)中，得到特征方程中，得到特征方程 )28 (01RCs 其解為其解為 ) 38 (1RCs 稱為電路的固有頻率。稱為電路的固有頻率。 于是電容電壓變為于是電容電壓變為 0 te)(CRCtKtu 式中式中K是一個常量，由初始條件確定。當是一個常量，由初始條件確定。當t=0+時上式變時上式變為為 KKuRCte)0(C 根據初始條件根據初始條件 0CC)0()0(Uuu 求得求得 0UK ) c48 ()0( e )()()b48 ()0(edd)()a48 ()0( e)( 0CR 0CC

7、 0CtRUtititRUtuCtitUtuRCtRCtRCt 最后得到圖最后得到圖83(b)電路的零輸入響應為電路的零輸入響應為 圖圖8-3 從式從式84可見，各電壓電流的變化快慢取決于可見，各電壓電流的變化快慢取決于R和和C的的乘積。令乘積。令 =RC，由于，由于 具有時間的量綱，故稱它為具有時間的量綱，故稱它為RC電電路的時間常數。引入路的時間常數。引入 后，式后，式84表示為表示為 圖圖8 84 4 RC電路零輸入響應的波形曲線電路零輸入響應的波形曲線 ) c58()0( e )()()b58()0(edd)()a58()0( e)( 0CR 0CC 0CtRUtititRUtuCti

8、tUtuttt 下面以電容電壓下面以電容電壓 為例，說明電壓的變化與為例，說明電壓的變化與時間常數的關系。時間常數的關系。 0Ce)(tUtu 當當t=0時，時，uC(0)=U0，當，當t= 時，時，uC( )=0.368U0。表。表81列出列出t等于等于0， ，2 ，3 ，4 ，5 時的電容電壓值，由于波時的電容電壓值，由于波形衰減很快，實際上只要經過形衰減很快，實際上只要經過45 的時間就可以認為放電的時間就可以認為放電過程基本結束。過程基本結束。t0 2 3 4 5 uc(t)U00.368U00.135U00.050U00.018U00.007U00 電阻在電容放電過程中消耗的全部能量

9、為電阻在電容放電過程中消耗的全部能量為 0 0 20202RR21d)e(d)(CUtRRUtRtiWRCt 計算結果證明了電容在放電過程中釋放的能量的確全計算結果證明了電容在放電過程中釋放的能量的確全部轉換為電阻消耗的能量。部轉換為電阻消耗的能量。圖圖8 84 4 RC電路零輸入響應的波形曲線電路零輸入響應的波形曲線 由于電容在放電過程中釋放的能量全部轉換為電阻消由于電容在放電過程中釋放的能量全部轉換為電阻消耗的能量。電阻消耗能量的速率直接影響電容電壓衰減的耗的能量。電阻消耗能量的速率直接影響電容電壓衰減的快慢，我們可以從能量消耗的角度來說明放電過程的快慢。快慢，我們可以從能量消耗的角度來說

10、明放電過程的快慢。 例如在電容電壓初始值例如在電容電壓初始值U0不變的條件下，增加電容不變的條件下，增加電容C，就增加電容的初始儲能，使放電過程的時間加長；若增加就增加電容的初始儲能，使放電過程的時間加長；若增加電阻電阻R，電阻電流減小，電阻消耗能量減少，使放電過程，電阻電流減小，電阻消耗能量減少，使放電過程的時間加長。的時間加長。 這就可以解釋當時間常數這就可以解釋當時間常數 =RC變大，電容放電過程會變大，電容放電過程會加長的原因。加長的原因。例例8-1 電路如圖電路如圖85(a)所示，已知電容電壓所示，已知電容電壓uC(0-)=6V。 t=0閉合開關，求閉合開關，求t 0的電容電壓和電容

11、電流。的電容電壓和電容電流。 圖圖85 例例81 解：在開關閉合瞬間，電容電壓不能躍變，由此得到解：在開關閉合瞬間，電容電壓不能躍變，由此得到 V6)0()0(CCuu 將將連接于電容兩端的電阻單口網絡連接于電容兩端的電阻單口網絡等效于一個電阻，等效于一個電阻，其電阻值為其電阻值為 k10k)36368(oR 得到圖得到圖(b)所示電路，其時間常數為所示電路，其時間常數為 s05. 0s105 s1051010263RC 根據式根據式85得到得到 )0(mAe6 . 0mAe10106edd)()0(Ve6e)(20203 0CC20 0CtRUtuCtitUtuttttt 電阻中的電流電阻中

12、的電流iR(t)可以用與可以用與iC(t)同樣數值的電流源代替同樣數值的電流源代替電容，用電阻并聯的分流公式求得電容，用電阻并聯的分流公式求得 iR(t) mAe2 . 0mAe6 . 031)(633)(2020CRtttiti二、二、RL電路的零輸入響應電路的零輸入響應 電感電流原來等于電流電感電流原來等于電流I0，電感中儲存一定的磁場能，電感中儲存一定的磁場能量，在量，在t=0時開關由時開關由1端倒向端倒向2端，換路后的電路如圖端，換路后的電路如圖(b)所所示。示。圖圖8-6 我們以圖我們以圖86(a)電路為例來說明電路為例來說明RL電路零輸入響應的電路零輸入響應的計算過程。計算過程。

13、在開關轉換瞬間，由于電感電流不能躍變，即在開關轉換瞬間，由于電感電流不能躍變，即iL(0+)= iL(0-)= I0 ，這個電感電流通過電阻，這個電感電流通過電阻R時引起能量的消耗，這時引起能量的消耗，這就造成電感電流的不斷減少，直到電流變為零為止。就造成電感電流的不斷減少，直到電流變為零為止。 綜上所述，圖綜上所述，圖(b)所示所示RL電電路是電感中的初始儲能逐漸釋路是電感中的初始儲能逐漸釋放出來消耗在電阻中的過程。放出來消耗在電阻中的過程。與能量變化過程相應的是各電與能量變化過程相應的是各電壓電流從初始值，逐漸減小到壓電流從初始值，逐漸減小到零的過程。零的過程。 列出列出KCL方程方程 0

14、LRLRiRuii 代入電感代入電感VCR方程方程 dtdiLuuLLR 得到以下微分方程得到以下微分方程 )68(0ddLL itiRL 這個微分方程與式這個微分方程與式(81)相似，其通解為相似，其通解為 ) 0(e)(LtKtitLR 代入初始條件代入初始條件iL(0+)=I0求得求得 0IK 最后得到電感電流和電感電壓的表達式為最后得到電感電流和電感電壓的表達式為 )b78( )0(dd)()a78( )0( ee)( 0 0LL 0 0LteRIeRItiLtutIItittLRttLR 其波形如圖所示。其波形如圖所示。RL電路零輸入響應也是按指數規律電路零輸入響應也是按指數規律衰減

15、，衰減的快慢取決于常數衰減，衰減的快慢取決于常數 。由于。由于 =L/R具有時間的量具有時間的量綱，稱為綱，稱為RL電路的時間常數。電路的時間常數。 圖圖8-7例例8-2 電路如圖電路如圖88(a)所示，開關所示，開關S1連接至連接至1端已經很久，端已經很久， t=0時開關時開關S由由1端倒向端倒向2端。求端。求t 0時的電感電流時的電感電流iL(t) 和電感電壓和電感電壓uL(t)。 圖圖8-8解：開關轉換瞬間，電感電流不能躍變，故解：開關轉換瞬間，電感電流不能躍變，故 A1 . 0)0()0(LLii 將連接到電感的電阻單口網絡等效為一個的電阻，得將連接到電感的電阻單口網絡等效為一個的電阻，得到的電路如圖到的電路如圖(b)所示。該電路的時間常數為所示。該電路的時間常數為 1mss10200H2 . 03RL 根據式根據式87得到電感電流和電感電壓為得到電感電流和電感電壓為)0( Ve20Ve101 . 02 . 0dd)()0( A e1 . 0e)(33310103LL10 0LttiLtutItitttt 通過對通過對RC和和RL一階電路零輸入響應的分析和計算表一階電路零輸入響應的分析和計算表明，電路中各電壓電流均從其初始值開始，按照指