1、§ 2對(duì)函數(shù)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)2. 1 函數(shù)概念預(yù)習(xí)案" ©研謨導(dǎo)學(xué)，嘗情學(xué)生用書(shū)P19)1 .函數(shù)的定義給定兩個(gè)非空數(shù)集 A和B,如果按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系f,對(duì)于集合A中任何一個(gè)數(shù)x,在集合B中都存在唯一確定的數(shù) f(x)與之對(duì)應(yīng)，那么就把對(duì)應(yīng)關(guān)系f叫作定義在集合 A上的城應(yīng) 記作f: AfB,或y= f(x), xC A.此時(shí)，x叫作自變量，集合 A叫作函數(shù)的定義域，集 合f(x)|xC A叫作函數(shù)的值域.習(xí)慣上我們稱y是x的函數(shù).2.區(qū)間與無(wú)窮的概念(1)區(qū)間設(shè)a, b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且 a<b,規(guī)定如下表:定義名稱符號(hào)幾何表小x|a<x< b閉區(qū)間a

2、, b燧bxa<x<b開(kāi)區(qū)間(a, b)gq叫a：Ax|a< x<b左閉右開(kāi)區(qū)間a. b)»OaXx|a<x< b4開(kāi)啟閉區(qū)間(a. b0»aX這里實(shí)數(shù)a, b都叫作相應(yīng)區(qū)間的端旦(2)無(wú)窮概念及無(wú)窮區(qū)間定義Rx|x > ax|x>ax|x< ax|x<a符號(hào)(1 00 , + 00 )a，+8 )(a, +°°1( 一 °°, a(一0°, a)自習(xí)氏嘗試,2 .判斷正誤(正確的打，錯(cuò)誤的打"x”)任何兩個(gè)集合之間都可以建立函數(shù)關(guān)系.()(2)根據(jù)函數(shù)的

3、定義，定義域內(nèi)不同的x可以對(duì)應(yīng)同一個(gè) y.()對(duì)于函數(shù)f：人一8或丫=心)，xC A,其值域yy=f(x), xC A?B.()區(qū)間是一種特殊的集合.()答案：(1)X (2)V (3)， (4)，3 .已知 F(u)=u2, M(u)=6u2-u-3,則 F(3)+M(2) = ()A. 30B. 28C. 26D. 24解析：選 B.因?yàn)?F(3)=32=9, M(2)=6X 22-2-3= 19,所以 F(3) + M(2) = 9+19=28,故選 B.3,函數(shù)f(x)= 11的定義域是 (用區(qū)間表示).1 2x解析：要使函數(shù)f(x)= pJ有意義，則1 2x>0,即x<1

4、,所以f(x)的定義域?yàn)?一00,V1 -2x2答案：8 ,4.若a, 3a1為一確定區(qū)間，則 a的取值范圍是 1解析：根據(jù)區(qū)間的規(guī)定應(yīng)有 a<3a-1,即a會(huì)- 一 1答案：2， +°°廟名師指津H1 .函數(shù)的本質(zhì)兩個(gè)非空數(shù)集間的一種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系.由于函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系一經(jīng)確定，值域隨之確定，所以判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等只須兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系一樣即可.2,對(duì)函數(shù)相等的概念的理解(1)函數(shù)有三個(gè)要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系.函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系共同確定函 數(shù)的值域，因此當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù).(2)定義域和

5、值域都分別相同的兩個(gè)函數(shù)，它們不一定是同一函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)應(yīng)關(guān) 系不一定相同.如 y=x與y= 3x的定義域和值域都是 R,但它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，所以是 兩個(gè)不同的函數(shù).3.對(duì)函數(shù)符號(hào)f(x)的理解f(x)是函數(shù)符號(hào)，f表示對(duì)應(yīng)關(guān)系，f(x)表示x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，絕對(duì)不能理解為f與x的乘 積.在不同的函數(shù)中f的具體含義不同，對(duì)應(yīng)關(guān)系可以是解析式、圖像、表格等.函數(shù)除了 可用符號(hào)f(x)表示外，還可用g(x)、F(x)等表示.講解喏二程究:突球C. 2(2)下圖中能表示函數(shù)關(guān)系的是D. 3 【解析】(1)中，因?yàn)樵诩?M中，當(dāng)1<xw 2時(shí)，在N中無(wú)元素與之對(duì)應(yīng)，所以 不是；中，對(duì)于集合

6、M中的任意一個(gè)數(shù) x,在N中都有唯一的數(shù)與之對(duì)應(yīng) ，所以是； 中，x=2對(duì)應(yīng)元素y=3?N,所以不是；中，當(dāng)x= 1時(shí)，在N中有兩個(gè)元素與之對(duì) 應(yīng)，所以不是.因此只有是.故選 B.(2)由于中的2與1和3同時(shí)對(duì)應(yīng)，故不是函數(shù).【答案】(1)B(2)卜(1)判斷所給對(duì)應(yīng)是否為函數(shù)的方法先觀察兩個(gè)數(shù)集 A, B是否非空.驗(yàn)證對(duì)應(yīng)關(guān)系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性.(2)根據(jù)圖形判斷對(duì)應(yīng)是否為函數(shù)的步驟任取一條垂直于 x軸的直線1.在定義域內(nèi)平行移動(dòng)直線1.若1與圖形有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒(méi)有交點(diǎn)或有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn)，則不是函數(shù).在JR蹤訓(xùn)練1.下列集合A到集合B的

7、對(duì)應(yīng)f是函數(shù)的是()A. A=-1, 0, 1, B = 0, 1, f: A 中的數(shù)平方B. A=0, 1, B = -1, 0, 1, f: A 中的數(shù)開(kāi)方C. A=Z, B = Q, f: A中的數(shù)取倒數(shù)D. A=R, B=正實(shí)數(shù), f： A中的數(shù)取絕對(duì)值解析：選A.選項(xiàng)B中，集合A中的元素1對(duì)應(yīng)集合B中的元素士，不符合函數(shù)定義中 一個(gè)自變量的值對(duì)應(yīng)唯一的函數(shù)值的條件；選項(xiàng)C中，集合A中的元素0取倒數(shù)沒(méi)有意義，也不符合函數(shù)定義中集合 A中任意元素都對(duì)應(yīng)著唯一函數(shù)值的要求；選項(xiàng) D中，集合A中 的元素0在集合B中沒(méi)有元素與其對(duì)應(yīng)，也不符合函數(shù)定義.只有選項(xiàng)A符合函數(shù)定義.探究點(diǎn)2 相等函數(shù)

8、的判定學(xué)生用書(shū)P20例團(tuán)下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是否表示同一函數(shù)？(1)f(x)=|x|,想)="；(2)y= Rx+ 1 .x- 1, y =孝-1 ；(3)y= J1 +x 小x, y = 1 -x2 ；.x24(4)f(x)=-T，g(x)=x+2； x 2(5)f(x)= N (x+ 2) 2, g(x)= |x+ 2|.,只是表示形式不【解】(1)在定義域R上，f(x) = |x|和(f(t)=、/F的對(duì)應(yīng)關(guān)系完全相同 同，所以它們表示同一函數(shù).(2)y= jx+ 1 7x 1 的定義域?yàn)?, +°°), y = )x2 1 的定義域?yàn)?00, - 1 U

9、1 , + °°),它們的定義域.同，故它們不表示同一函數(shù).(3)在定義域1, 1上，y = «1 + x 41 x與y= 5 x2表示同一函數(shù).x2 4,(4)f(x)=x+2(xw2),它與g(x)=x + 2的對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同，所以它x 2們不表示同一函數(shù).(5)f(x)=N (x+ 2) 2 =|x+2,它與g(x)=|x+2|的對(duì)應(yīng)關(guān)系和定義域分別相同，所以它們表示同一函數(shù).國(guó)園國(guó)判斷兩個(gè)函數(shù)為相等函數(shù)應(yīng)注意的三點(diǎn)(1)定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系兩者中只有一個(gè)不相同就不是相等函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不一定是相等函數(shù).(2)函數(shù)是兩個(gè)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)

10、關(guān)系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒(méi)有限制的.(3)在化簡(jiǎn)解析式時(shí)，必須是等價(jià)變形.旦JR蹤訓(xùn)練2.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()2A. f(x)=x-1, g(x)=:一1B. f(x)=|x|, g(x)=(Vx)2C. f(x)=x, g(x) = >/x3D. f(x)=2x, g(x)= V4x2解析：選C.A、B中兩函數(shù)的定義域不同，D中兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故選C.探究點(diǎn)3 求函數(shù)的定義域?qū)W生用書(shū)P20例叵1 (1)函數(shù)y=Tx±，的定義域是()A . (- 1 , +8 )C. ( 1, 1)U(1, +8)(2)若函數(shù)y=f(x)的定義域是0, 2

11、,A. 0, 1C. 0, 1)U(1, 4x+1>0, 【解析】(1)由x 1 W0, 得 xC 1, 1) U (1 , + 8).0<2x<2,(2)由得 xC 0, 1).x 1 W0,【答案】(1)D (2)BB. 1, +8 )D. -1, 1)U (1, i ) f (2x則函數(shù)g(x)=:的定義域是()x 1B. 0, 1)D. (0, 1)(1)求函數(shù)的定義域，就是求使得函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍.當(dāng)f(x)是整式時(shí)，其定義域?yàn)镽;當(dāng)f(x)是分式時(shí)，其定義域是使分母不為0的實(shí)數(shù)的集合；當(dāng)f(x)是偶次根式時(shí)，其定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子大于或等于0的實(shí)

12、數(shù)的集合(2)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閍, b,則函數(shù)f(g(x)的定義域是指滿足不等式 a<g(x)<b 的x的取值集合.一般地，函數(shù)f(g(x)的定義域?yàn)閍, b,指的是xCa, b,要求f(x)的定 義域，就是求x a, b時(shí)g(x)的值域.在自蹤訓(xùn)練3.(1)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?, 1,求f(x2+1)的定義域；(2)已知函數(shù)f(2x1)的定義域?yàn)?, 1),求f(1 3x)的定義域.年：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x2+1)中的x2+1相當(dāng)于函數(shù)f(x)中的x,所以 0<x2+ K 1,所以一1Wx2W0,所以x=0,所以f(x2+1)的定義域?yàn)?.(2)因?yàn)閒(2

13、x1)的定義域?yàn)?, 1),即 0Wxv1 ,所以一1W2x1<1,所以f(x)的定義域?yàn)?1,1),即一K 1-3x< 1,所以0<x< 2,3所以f(1 3x)的定義域?yàn)?,2.3探究點(diǎn)4 求函數(shù)值和值域?qū)W生用書(shū)P21例 4 已知 f(x) = ；(xC R, xw 2), g(x)=x+ 4(xCR).E. x(1)求 f(1), g(1)的值;(2)求 fg(x).1 【解】(1)f(1) =1, g(1)= 1 + 4=5.1 _1_一 廠c、(2)fg(x)=f(x+ 4)=2_(/4)= _2 _x= x+ 2(xTR，且 xw 2).Q目國(guó)I陶E91 .

14、在本例條件下，求 gf(1)的值及f(2x+ 1)的表達(dá)式.解：gf(1)=g(1)=1 + 4=5.1111f(2x+ 1) = -7t= - x x C R,且xw -.'2 2 ( 2x +1) 2x-122 .若將本例g(x)的定義域改為0,1,2, 3,求g(x)的值域.解：因?yàn)?g(x)=x+4, xC0, 1, 2, 3,所以 g(0) = 4, g(1) = 5, g(2) = 6, g(3) = 7.所以g(x)的值域?yàn)?, 5, 6, 7.(1)求函數(shù)值的方法先要確定出函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系f的具體含義，然后將變量取值代入解析式計(jì)算，對(duì)于fg(x)型的求值,按“由內(nèi)到外”的

15、順序進(jìn)行,要注意fg(x)與gf(x)的區(qū)別.(2)求函數(shù)值域的常用方法觀察法：對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過(guò)觀察得到；配方法：此法是求“二次函數(shù)類”值域的基本方法，即把函數(shù)通過(guò)配方轉(zhuǎn)化為能直接 看出其值域的方法；分離常數(shù)法：此方法主要是針對(duì)有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的 形式，便于求值域；換元法：即運(yùn)用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域.在黑除訓(xùn)練4.(1)已知函數(shù)f(x)=51,且f(a)=3,則a =.(2)求下列函數(shù)的值域：丫; 2x+ 1;y=x24x+ 6, xC1, 5)；3x- 1x+ 1 ' y=x+ 由.解：(1)因

16、為 f(x)=01,所以 f(a) = «1.又因?yàn)閒(a)=3,所以血一1 = 3, a=16.故填16.(2)因?yàn)閤C R,所以2x+1CR,即函數(shù)的值域?yàn)?R.配方：y=x2-4x+6=(x-2)2+2,因?yàn)?xC 1 , 5),如圖所示.W 1 2 3 4 5所以所求函數(shù)的值域?yàn)?, 11).借助反比例函數(shù)的特征求.3 (x+ 1)4 q片x+1=3 x+1'顯然.可取0以外的一切實(shí)數(shù)，x+ 1即所求函數(shù)的值域?yàn)閥|yw3.設(shè) u= >/x(x>0),則 x= u2(u> 0),c.1 21 一y=u2+u= u+ 2 4(u)0).由u>0,

17、可知u+2 >1，所以y>0.所以函數(shù)y=x+ 4x的值域?yàn)?, +°°).養(yǎng)提升易錯(cuò)警示求函數(shù)定義域時(shí)因考慮不全而致誤工店 一，t (X 1) 0,一,典例 函數(shù)f(x) =，-5x + 6 +x+岡的定義域?yàn)?【解析】要使函數(shù)有意義，必須-5x+6>0,x- 1 w 0, 解得x+ |x|w 0,故函數(shù)的定義域是(0,x< 5, 56 一即 0<xW)且 xW 1 ,xw 1,5'x>0, 61)U 1, 5 .【答案】(0, 1)U 1, 65(1)易忽略x- 1W0或x+|x|W0的限制致錯(cuò).(2)若函數(shù)y=f(x)的解析

18、式是由幾部分?jǐn)?shù)學(xué)式子組成，則函數(shù)的定義域是指使解析式有 意義的實(shí)數(shù)的集合，即是使各部分有意義的集合的交集.當(dāng)堂檢測(cè) 1 I 111,函數(shù)y= 2x3的定義域是()x 233A. 2, +00b. 2, 2 U(2, +8 )3 八 , 一一， C. 2, 2 U(2, +8)d. ( 8, 2)U(2, +8)2x- 3>0,33解析：選B.由得x>3且xw2,所以定義域?yàn)?",2 U(2, +8).x2W0,222 .函數(shù)的圖像與直線x= 1的交點(diǎn)最多有()A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D.以上都不對(duì)解析：選B.當(dāng)1在函數(shù)的定義域內(nèi)時(shí)，直線x= 1與函數(shù)的圖像有且只有

19、1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng) 1不在函數(shù)的定義域內(nèi)時(shí)，無(wú)交點(diǎn).3 .設(shè)f（x）=x2=，則匚號(hào)一等于（） x十11f 2A. 13C.5解析：選 B. f(2)= f x = 52B.D.3-,所以 1.故選B.51f 24 .已知集合 M = y|y=x x1, x C R , N = x|y = >j3 _x2,則 MAN =解析：因?yàn)?M = -1, +8), N= <3,妙,所以 MAN=1,噩,答案:1,斕1 .下列各組函數(shù)表示相等函數(shù)的是（）x2 9 人A. y=r與 y = x+ 3x x-3B. y=-/x2-1 與 y=x-12C. y="與 y=x（xw0） xD .

20、 y=2x+ 1, xCZ 與 y=2x 1, xC Z解析：選C.A中兩函數(shù)定義域不同，B、D中兩函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，C中兩函數(shù)定義域 與對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，故選C.2.若函數(shù)y = f(x)的定義域?yàn)?M=x|2WxW2,值域?yàn)镹 = y|0<y<2,則函數(shù)y =f（x）的圖像可能是（）解析：選B.A中定義域是x| 2WxW 0,不是M = x|-2<x< 2, C中圖像不表示函 數(shù)關(guān)系，D中值域不是N= y|0< y< 2.13,函數(shù)y=-"的定義域?yàn)椋ǎ〢. x" 0B. x|xw 1C. x/0 或 xw - 1D. xXw0 且 x

21、w1解析：選D.由題意可得xW。且1 + 1W0,即xW0且xW 1.x4.下列函數(shù)中，不滿足 f(2x)=2f(x)的是()A. f(x)=|x|B, f(x) = x|x|C. f(x)=x+1D. f(x) = x解析：選 C.若 f(x)=|x|,則 f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x);若 f(x)=x-|x|,則 f(2x) = 2x-|2x| = 2(x|x|)=2f(x);若 f(x) = x,則 f(2x)=2x=2f(x);若 f(x)=x+1,則 f(2x)=2x+1,不 滿足 f(2x)=2f(x).5.若函數(shù)f(x)=ax2-1, a為一個(gè)正數(shù)，且f(f(1)=

22、1,則a的值是()A. 1B. 0C. - 1D. 2解析：選 A.因?yàn)?f(x) = ax21,所以 f(1)=a1,f(f(-1)=f(a-1) = a (a-1)2-1 = - 1.所以 a(a 1)2=0.又因?yàn)閍為正數(shù)，所以a= 1.6 .下表表示y是x的函數(shù)，則當(dāng)x=6時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是 .x0<x< 11<x< 55<x< 10x> 10y1234解析：因?yàn)?<6< 10,所以當(dāng)x=6時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是 3.答案：37 .如果函數(shù) f: A-B,其中 A = -3, -2, 1, 1, 2, 3, 4,對(duì)于任意 a A,在 B

23、 中都有唯一確定的同和它對(duì)應(yīng)，則函數(shù)的值域?yàn)?.解析：由題意知，對(duì)aCA, |a|CB,故函數(shù)值域?yàn)? , 2, 3, 4.答案：1 , 2, 3, 418 .已知函數(shù) f(x)="-, g(x)=x2+2,則 f(g(2)=, g(f(2)=.1 + x2解析：g(2) = 22+2=6, f(g(2)=f(6) = =；, f(2) = = , g(f(2) = g ； =+21+671+233319 =9 .答案：7 1991 k 1 9,記函數(shù)f(x)=-=的7£義域?yàn)榧?A,函數(shù)g(x)=圖像在第二、四象限時(shí)，k2x-3x的取值集合為B,函數(shù)h(x) = x2+

24、2x+4的值域?yàn)榧?C.(1)求集合A, B, C.(2)求集合 AU (?rB), AA(BUC).3解：(1)由 2x-3>0,得 x>2,所以 A= 3, +00 ,由 k- 1<0,得 k<1,所以 B=(- 8, 1),因?yàn)?h(x)=x2+2x+ 4=(x+ 1)2+3>3,所以 C= 3,+).(2)AU (?rB)= 1 , +8), An(BUC)=3, + oo).x2io.已知函數(shù)f(x)=m. 1x2(1)求 f(2)+f . , f(3) + f 1 的值 23.1 u(2)求證：f(x) + f ；是7E值. x求 2f(1) + f

25、(2)+f 2 +f(3) + f 3 + f(2 016)+f 焉 +f(2 017) + f 2017 的值. 232 0 162 017xf(4) + f 4 =1,解：(1)因?yàn)?f(x)=±”，1 + x222 .1所以 f(2) + f 2 =1 + 22_ 1f(3) + f 3,十1 +1232 2,-12 1，2(2)證明:1 + 321 f(x) + f x xx21 + x21 2x11+ xx2 1 x2,1x2+ 1=x2+ =1, 走7直.1 一一 一-=1,因?yàn)?f(1)+f(1)= 1, x(3)由(2)知 f(x)+fI ,f(2) + f 2 =1,f(3) + f 1 =1,31 f(2 017)+ f 2=1,所以 2f(1)+f(2) + f 1 +f(3) + f 1 +f(2 016) + f +f(2 017) + f T1Z =2 017. 232 0 162 0 17B 能力提升II .已知 f(x)滿足 f(ab)=f(a) + f(b),且 f(2) = p, f(3) = q,那么 f(72)等于()A.C.p+q2p+ 3qB.D.3p+ 2q p3+q2解析：選 B.因?yàn)?f(ab)=f(a