1、電電 路路 分分 析析 基基 礎礎 電路分析基礎第八章第一節二階電路第二部分 動態電路分析 六、電容元件與電感元件 七、一階電路 八、二階電路 九、沖擊函數在動態電路分析中的應用 十、交流動態電路 電路分析基礎課程內容介紹電路分析基礎第二部分：第八章 目錄第八章 二 階 電 路1 LC電路中的正弦震蕩 4 RLC電路的零輸入響應 欠阻尼情況2 RLC電路的零輸入響應 5 直流RLC串聯電路的完全響應 過阻尼情況3 RLC電路的零輸入響應 6 GCL并聯電路的分析 臨界阻尼情況 7 一般二階電路電路分析基礎第二部分：第八章內容回顧 所有電路都是由動態電路和電阻電路兩類電路組成的；內容回顧： 雖然

2、電阻電路和動態電路是兩類性質完全不同的電路，但 第一部分中的分析方法，幾乎所有都能得到應用，當然， 動態電路還有其自己的方法； 電容和電感是基本的動態元件，它們都是儲能元件。電容 通過存儲電荷來存儲電能，電感通過存儲磁鏈來存儲磁能。 電容的電壓和電感的電流是它們最本質的變量，一般情況 下，它們都不能突變。 所有電路受到兩類約束。即： 電路中的各支路電流、電壓受到KVL、KCL的約束， 元件上的電流、電壓受到元件VAR的約束；電路分析基礎第二部分：第八章主要內容本章主要內容： 本章研究的是包含兩個動態元件的二階電路，它們用二 階線性常系數常微分方程描述。本章著重分析有電感和 電容組成的二階電路。

3、 和一階電路不同，二階LC電路會出現震蕩形式。 學習時應注意：電路微分方程的建立，特征根的重要意義， 微分方程解的物理含義等方面的內容。 然后通過分析說明RLC電路的一般分析方法，以及固有頻 率與固有形式的關系。 本章首先從物理概念上闡述LC電路的零輸入響應具有正弦 震蕩的形式；電路分析基礎第二部分：8-1 1/58-1 LC電路中的正弦震蕩問題的提出：上一章一階電路的分析中只涉及到一種儲能電場能量或磁場能量，如果一個電路既能儲存電能，又能儲存磁能，這樣的電路會有什么特點呢？特例：我們研究一個只有電容和電感組成的電路的零輸入響應。設電容的初始電壓為U0，電感的初始電流為 0。C+U0LCIL開

4、始：雖然t=0時刻電流等于 0，但 di/dt 由于 U0 的存在而0。電流增長：由于 di/dt 0，使電流開始增長，而電壓開始下降。當電流達到最大且穩定時，電感短路，電壓降為零。電壓增長：雖然此刻電壓 = 0，但 du/dt 由于 I 的存在而0。從而電壓又開始反向增加，隨著電壓的增加，電流開始減小，當電壓達到最大值并穩定時，電容開路，電流等于零。C+U0L電路分析基礎第二部分：8-1 2/5電壓再增長：雖然此刻電壓 = 0，但 du/dt 由于 I 的存在而0。從而電壓又開始反向增加，隨著電壓的增加，電流開始減小，當電壓達到最大值并穩定時，電容開路，電流等于零。電流再增長：di/dt 由

5、于 U0 的存在而0，因此電流又開始反向增長，達到最大時，電感短路，電壓又等于零。注意：此刻電壓已經過兩次反向，已經與一開始的電壓極性相同，意味著“電能磁能”交換已完成了一次循環周期。C+U0LCILC+U0LCILC+U0LC+U0LCIL電路分析基礎第二部分：8-1 3/5還請注意：可以想象若電路中有電阻存在，則由于電阻消耗能量，而使電路經過一個周期后的電壓幅度比開始有所減少， 實際LC電路由于非理想而存在內阻損耗，即使不外加電阻，也會使震蕩存在阻尼。阻尼：這種由于電阻存在而使震蕩衰減的現象稱為“阻尼”。震蕩：這種由于LC元件之間“電能磁能”的交替變換而產生的電壓或電流的周期性變化過程稱為

6、“震蕩”(oscillation)。阻尼震蕩：由于阻尼存在而使震蕩幅度不斷變小的震蕩稱為“阻尼震蕩”(damped oscillation)。 下面對LC回路的震蕩作進一步的分析。設 L=1H，C=1F， uC(0) = 1V， iL(0) = 0。由LC元件的VAR可得iL(t)圖8-2 LC震蕩回路+uC(t)LC電路分析基礎第二部分：8-1 4/5（8-1） = iLduCdt（8-2） = uCdiLdt這兩個式子表明：電流需要電壓的變化，電壓需要電流的變化，結果是兩個都必須不停地變化。結合初始條件uC(0) = 1 （8-3）iL(0) = 0 （8-4） 由于電路的總儲能有限，因此

7、，電流電壓的幅度都有限；同時，根據本節一開始的分析，電流電壓的極性方向是正負交替不斷的變化的，因此，可以猜測uC(t) = cos t V，t0 （8-5）i L(t) = sin t A，t0 （8-6）電路分析基礎第二部分：8-1 5/5 = sin t = iLduCdt = cos t = uCdiLdt=dcos tdt = dsin tdt代入微分方程得顯然滿足由元件VAR構成的微分方程，也就是說，LC回路的等幅震蕩是按正弦方式隨時間變化的。LC回路的儲能為w(t) =12Cu2(t) +12Li2(t)（8-7）將L=1H，C=1F，u(t)=cos t, i(t) = sin

8、t代入上式，可得w(t) =12(cos2t + sin2t) =12J = 常量t=0的初始儲能為w(0) =12Cu2(0) +12Li2(0) =12J即 w(t) = w(0) （8-8）這表明：儲能不斷地在電場和磁場之間往返，永不消失。電路分析基礎第二部分：第八章 目錄第八章 二 階 電 路1 LC電路中的正弦震蕩 4 RLC電路的零輸入響應 欠阻尼情況2 RLC電路的零輸入響應 5 直流RLC串聯電路的完全響應 過阻尼情況3 RLC電路的零輸入響應 6 GCL并聯電路的分析 臨界阻尼情況 7 一般二階電路電路分析基礎第二部分：8-2 1/108-2 RLC串聯電路的零輸入響應過阻尼

9、情況 設含電感和電容的二階電路如圖8-3(a)所示，運用戴維南定理可得圖(b)所示RLC串聯電路。i(t)LC含源電阻網絡(a)圖8-3 RLC串聯電路i(t)+uCLC+ uL +uR+ uoc(b)對每個元件，寫出VAR為（8-9）i = CduCdtuR = Ri = RCduCdtuL = Ldidt= LCd2uCdt2根據KVL，可得uL + uR + uC = uocd2uCdt2LC+ uC = uocduCdt+ RC（8-10），t0電路分析基礎第二部分：8-2 2/10 方程式（8-10）是線性二階常微分方程，未知量為uC(t)。要求解必須知道兩個初始條件，即uC(0)和

10、uC(0)。 uC(0)為電容電壓的初值，而第二個條件為uC(t)在t=0處的導數，該如何確定？ 其實很簡單，因為電容電流為電壓的導數，因此uC(0) =duC(t)dt（8-11）0=i(t)C0=i(0)C而電容與電感串聯于一個回路，因此電流也是電感電流，即 i(0) = iL(0)，所以uC(0)等價為電感電流的初始狀態。也就是說：知道了電容初始電壓 uC(0) 和電感初始電流 iL(0)，就可以確定 t0 的電容電壓 uC(t)。本節重點是零輸入響應。也就是戴維南開路電壓 uoc(t) = 0 時方程式（8-10）的解，即d2uCdt2LC+ uC = 0 ，t0duCdt+ RC電路

11、分析基礎第二部分：8-2 3/10d2uCdt2LCuC = 0 ，t0duCdt1（8-12）或+RL+根據微分方程理論，此類方程的解取決于特征方程根的性質。（8-12）式的特征方程為 = 0（8-13）s2 +RLs +LC1該方程有兩個根，即LC1s1, 2 = R2L( )2R2L（8-14）特征根也即電路的固有頻率，它將確定零輸入響應的形式。由于R、L、C的數值不同，固有頻率 s1 和 s2 可以有三種情況：(1) 當LC1R2L( )2時，s1, s2 為不相等的負實數；LC1R2L( )2=(2) 當時，s1, s2 為相等的負實數；LC1R2L( )2時，亦即R2 4CL時，固

12、有頻率為不相等的負實數，齊次方程的解答可表示為其中常數K1 和 K2 由初始條件確定。其確定方法為uC(t) = K1e s1t + K2e s2t V，t0 iL(t) = K1e s1t + K2e s2t A，t0（8-15）由（8-15）得 uC(0) = K1 + K2 （8-16）由（8-15）求導得 uC(0) = K1 s1 + K2 s2 =（8-17）iL(0)C解上兩式聯立方程可得K1 =1s2 s1s2 uC(0) iL(0)C（8-18）K2 =1s1 s2s1 uC(0) iL(0)C（8-19）電路分析基礎第二部分：8-2 5/10由于 s1 和 s2 是不相等的

13、負實數，故它們可以表示為s1 = 1 ， s2 = 2LC1即1, 2 =R2L( )2R2L（8-22）以上結果表明：無論是 uC(t) 還是 iL(t)，都是由隨時間指數衰減的函數線性組合而成，因而都是非震蕩性的。將以上眾結果代入（8-15）， uC(t) 可以表示為uC(t) =（8-23）(2e 1t 1e 2t)2 1uC(0)+(e 1t e 2t)(2 1)CiL(0)V，t0iL(t) 可以表示為 iL(t) = CduCdt=(e 2t e 1t)2 1uC(0)21C+2 1iL(0)(2e 2t 1e 1t) A，t0（8-24）電路分析基礎第二部分：8-2 6/10uC

14、(0)= U0，iL(0)=0時的具體情況：時的具體情況：由(8-22)知： 1 2 ，故e 1t衰減得慢，e 2t衰減得快，如圖8-4(a)所示。由(8-23)和(8-24)知： 由于e 1t衰減得慢，e 2t衰減得快，使 e 2t e 1t，使uC(t) 單調衰減，iL(t)永遠為負。注意： uC(t) 的變化率決定著 iL(t)。uC(t)單調衰減，則其變化率永遠為負，所以 iL(t) 永遠為負。隨著時間的增加，最后兩者都衰減為零。（為什么？為什么？） iL(t) 在變化過程中，存在一點t=tm，使其幅度達到最大值。此時，diL /dt=d(e 2t e 1t)/dt=0，即圖8-4(b

15、) 非震蕩性響應OtU0uC iLuCiLtm圖8-4(a) 指數衰減曲線 1 4L/C)，所以能量消耗比能量轉換儲存更迅速；到 t=tm 時，電流達到最大值，以后磁能不再增加，而是隨著電流的衰減而逐漸釋放，連同電能一起被電阻消耗掉。因此電容電壓單調衰減，形成非震蕩放電過程。從物理意義上講： 從初始時刻開始，電容通過電感和電阻放電，其中一部分過阻尼情況：這種由于串聯回路中電阻更大(R2 4L/C)而產生非震蕩阻尼衰減的過程稱為RLC過阻尼情況。電路分析基礎第二部分：8-2 8/10例8-1 圖8-3所示電路，C=1F，L=1H，R=3；uC(0)=0，iL(0)= 1A；。t0時uoc(t)=

16、0，試求uC(t)、iL(t)，t0。解：電路的微分方程為d2uCdt2LCuC = 0duCdt1+RL+特征方程和特征根為 = 0s2 +RLs +LC1LC1s1, 2 = R2L( )2R2Ls1 = 0.382， s2 = 2.618 電路的微分方程的解為uC(t) = K1e s1t + K2e s2tV，t0將 uC(0)=0和uC(0)=iL(0)/C=1代入得K1 + K2 = 0， K1 s1 + K2 s2 = 1，0.382 K1 +2.618 K2 = 1K2 = 1/(2.6180.382) = 0.447, K1 = K2 = 0.447i(t)+uCLC+ uL

17、 +uR+ uoc電路分析基礎第二部分：8-2 9/10即 uC(t) = 0.447e 0.382 t 0.447e 2.618 t V ，t0 iL(t) = CduCdt= 0.171e 0.382 t + 1.17e 2.618 t A ，t0圖8-6(a) 指數衰減曲線 1 2Of(t)t1e 1t2e 2t21tm圖8-6(b)零輸入響應iL(t)OtI0iL(A)tm圖8-5 零輸入響應uC(t)OtUmuC(V)tm電路分析基礎第二部分：8-2 10/10例8-2 圖8-3所示電路，C=1/4F，L=1/2H，R=3；uC(0)=2V，iL(0)= 1A；。t0時uoc(t)=

18、0，試求uC(t)、iL(t)，t0。解：LC1s1, 2 = R2L( )2R2L= 3 1 ，s1 = 2， s2 = 4同理可得K1 = 6, K2 = 4即 uC(t) = 6e 2 t 4e 4 t V ，t0iL(t) = CduCdt= 4e 4 t 3e 2 t A ，t0Ot6e 2 t4e 4 t圖8-7 零輸入響應 uC(t) 和 iL(t)Ot1iL(A)uC(V)24e 4 t3e 2 t電路分析基礎第二部分：第八章 目錄第八章 二 階 電 路1 LC電路中的正弦震蕩 4 RLC電路的零輸入響應 欠阻尼情況2 RLC電路的零輸入響應 5 直流RLC串聯電路的完全響應

19、過阻尼情況3 RLC電路的零輸入響應 6 GCL并聯電路的分析 臨界阻尼情況 7 一般二階電路電路分析基礎第二部分：8-3 1/38-3 RLC串聯電路的零輸入響應臨界阻尼情況( )LC1R2L2=圖8-3電路中，若，亦即R2 = 4CL時，固有頻率為相等的負實數，齊次方程的解可表示為uC(t) = K1e t + K2te t V，s1 = s2 = iL(t) = K1e t + K2te t A，s1 = s2 = （8-26）其中常數K1 和 K2 由初始條件確定。其確定方法為uC(0) = K1 （8-27）uC(0) = K1 s1 + K2 = K1 + K2 =（8-28）iL

20、(0)CiL(0)CK2 =+ K1 =iL(0)C+ uC(0) （8-29）即 uC(t) = uC(0)(1+t)e t +（8-30）te tiL(0)CV，t0iL(t)=CduCdt= uC(0)2Cte t + iL(0)(1t)e t A （8-31）t0電路分析基礎第二部分：8-3 2/3從(8-30)和(8-31)兩式可知：電路電路響應仍然是非震蕩性的，但如果電阻稍稍減小一點點，以致R2 4L/C，則響應將為震蕩性。因此，符合條件R2 = 4L/C時的響應處于臨近震蕩狀態，稱為臨界阻尼(critically damped)情況。例8-3 圖8-3所示電路，C=1F，L=1/

21、4H，R=1；uC(0)= 1V，iL(0)= 0；t0時uoc(t)=0。試求iL(t)，t0。解：電路固有頻率為 LC1s1, 2 = R2L( )2R2L= 2電路屬于臨界阻尼狀態。iL(t) = K1e 2 t + K2te 2 t A，t0iL(0) = K1 = 0 （a）iL(0) = s1K1 + K2 = 2K1 + K2又根據KVL，可得uL(0)+uC(0)+uR(0)=Ldidt0+uC(0)+Ri(0)=0iL(0) = uC(0)/L = 4電路分析基礎第二部分：8-3 3/3因此s1K1 + K2 = 2K1 + K2 = 4 （b）由(a)、(b)兩式可得 K1

22、 = 0， K2 = 4 因此 iL(t) = 4te 2 t A , t0頂點計算：令diL/dt = 0，可得 4te 2 t(1-2t)=0，即t=0.5S，代入原式可得 iL(0.5) = 40.5e 2 0.5 = 2/e = 0.7376 圖8-8 臨界阻尼時的零輸入響應iL(t)Ot0.74iL(A)0.5電路分析基礎第二部分：第八章 目錄第八章 二 階 電 路1 LC電路中的正弦震蕩 4 RLC電路的零輸入響應 欠阻尼情況2 RLC電路的零輸入響應 5 直流RLC串聯電路的完全響應 過阻尼情況3 RLC電路的零輸入響應 6 GCL并聯電路的分析 臨界阻尼情況 7 一般二階電路電

23、路分析基礎第二部分：8-4 1/118-4 RLC串聯電路的零輸入響應欠阻尼情況當LC1R2L( )2時，亦即R2 4CL時，固有頻率為共軛復數，可表示為LC1s1, 2 = R2L( )2R2LLC1= R2L j( )2R2L= j d （8-32）其中 = R2L（8-33）d =LC1R2L( )2LC1= 02 2 （8-34）0 =電路分析基礎第二部分：8-4 2/11uC(t) = e t (K1 cos dt + K2 sin dt) V，t0 iL(t) = e t (K1 cos dt + K2 sin dt) A，t0 （8-35）在此種情況下，齊次方程的解可表示為其中常

24、數K1 和 K2 由初始條件確定。其確定方法為為了便于反映響應的特點，將式（8-35）進一步改寫為uC(t) = e tsin dtK12 +K22K1K12 +K22cos dt +K2K12 +K22= Ke t cos ( dt + ) V，t0 （8-39）其中 K = K12 +K22 ， = arctgK2K1uC(0) = K1 （8-36）uC(0) = K1 + dK2 =（8-37）iL(0)CiL(0)CK2 =+ K1 =iL(0)C（8-38）+ uC(0)1d1d電路分析基礎第二部分：8-4 3/11OtuC(t)Ke t 包絡線 Ke t 包絡線周期 =d2圖8-

25、9 震蕩性零輸入響應，uC(0) = U0U0uC(t) = Ke t cos ( dt + )(8-39)式表明： uC(t) 是衰減震蕩性的，如圖8-9所示。振幅Ke t 隨時間作指數衰減。因此R2 4L/C、能引起衰減震蕩的情況稱為欠阻尼(underdamped)情況。電路分析基礎第二部分：8-4 4/11衰減因子或衰減系數： = L/2R 稱為衰減因子， 越大，衰減震蕩的振幅衰減得就越快，反之則越慢。 震蕩角頻率： d 稱為震蕩角頻率， d 越大，衰減震蕩的震蕩速度就越快，震蕩周期越小，反之則速度越慢、周期越大。 包絡線(envelope)： 按 Ke t 變化的曲線， 將震蕩信號包裹

26、在中間，其衰減速度取決于 。 等幅震蕩： 當電路中電阻為零時， = 0，包絡線Ke t 變成 K 兩條與 t 軸平行的直線， 因此震蕩信號就變成幅度恒定的等幅震蕩。能量在L、C之間無損失地交替轉換儲存。 將K1 和 K2代入式（8-39）可得e t cos (dt) +uC(t) = uC(0)d0e t sin dt V （8-40）iL(0)dCd2 + 2 ， = arctg0 =d= arcsin0，t0電路分析基礎第二部分：8-4 5/11此時，以上所推導的參數變成：LC1 = 0，d = 0 =；uC(0) = K1，K2 =iL(0)0CuC(t) 和 iL(t) 變成：cos

27、0t +uC(t) = uC(0)sin 0t V，t0 （8-42）iL(0)0CiL(t) = iL(0) cos 0t uC(0 ) 0C sin 0t A，t0 （8-43）此時，對任意的L、C值，總能量為：w(t) =12Cu2(t) +12Li2(t) =12Cu2(0)12Li2(0) = w(0) （8-44）+e t cos (dt+) uC(0)iL(t) = iL(0)d0e t sin dt Ad02C（8-41），t0電路分析基礎第二部分：8-4 6/11cos 0t +uC(t) = uC(0)sin 0tiL(0)0CiL(t) = iL(0) cos 0t uC

28、(0 ) 0C sin 0tOtuC(t)Ke t 包絡線 Ke t 包絡線周期=02零輸入響應為等幅震蕩，uC(0) = U0U0周期 =d2K K電路分析基礎第二部分：8-4 7/11諧振角頻率： 當電路等幅震蕩時的角頻率0 = 1/ LC，稱為諧振(resonant)角頻率，是電路的固有頻率（s = j 0）。階段總結階段總結（1）綜上所述，電路的零輸入響應取決于電路的固有頻率 s 。固有頻率可以是實數、復數或虛數，決定了零輸入響應是非震蕩過程（過阻尼、臨界阻尼）、衰減震蕩過程或等幅震蕩過程。（2）我們可以認為固有頻率 s 是復頻率（固有頻率只有實部或虛部是其特殊情況）。（3）一階網絡的

29、固有頻率 s= 1/，=RC或L/R，是負實數，表示一階網絡的零輸入響應是按指數規律衰減的非震蕩過程。電路分析基礎第二部分：8-4 8/11例8-4 圖8-3所示電路，C=1F，L=1H，R=1；uC(0)= 1V，iL(0) = 1A。求零輸入響應 uC(t) 及 iL(t)，t0。解：LC1s1, 2 = R2L( )2R2L= 21 j23= j d固有頻率是復數，電路響應是欠阻尼狀態下的衰減震蕩。衰減系數 = ，衰減震蕩角頻率 d = 3/2。uC(0) = K1 = 1， uC(0) = K1 + dK2 =iL(0)CuC(t) = e t (K1 cos dt + K2 sin

30、dt)V ，t0= 1K1 = 1， K2 = 3因此uC(t) = e t ( cos23t +323sint ) V， t0電路分析基礎第二部分：8-4 9/11或uC(t) = 2e t cos233V， t0t iL(t) = 2e t cos233A， t0t +Ot周期=41 13sindt電路分析基礎第二部分：8-4 10/11Ot22e tOt11cos(dt+60)Ot22uC(t)12e t2e t電路分析基礎第二部分：8-4 11/11 這是周期等于180或 的余弦信號，只要將初始相位和幅度正確掌握，可以很輕松的畫出波形曲線來。例8-5 圖8-12所示電路，C=4F，L=

31、 1/16 H；uC(0)= 1V，iL(0) = 1A。求零輸入響應 uC(t) 及 iL(t)。iL(t)圖8-12 LC震蕩回路+uC(t)LC解：d2uCdt2LCuC = 01+LC1s2 += 0s1, 2 = j 0 = j LC1= j 2uC(t) = K1 cos 0t + K2 sin 0tuC(0) = K1 = 1， uC(0) = 0K2 =iL(0)C= 1/4 K1 = 1， K2 = 1/8即 uC(t) = cos 2t + 1/8 sin 2t = 1.008 cos(2t 7) V ，t0iL(t) = CduCdt= 8 sin 2t + cos 2t

32、 = 8.06 cos(2 t + 82.875) A，t0電路分析基礎第二部分：第八章 目錄第八章 二 階 電 路1 LC電路中的正弦震蕩 4 RLC電路的零輸入響應 欠阻尼情況2 RLC電路的零輸入響應 5 直流RLC串聯電路的完全響應 過阻尼情況3 RLC電路的零輸入響應 6 GCL并聯電路的分析 臨界阻尼情況 7 一般二階電路電路分析基礎第二部分：8-5 內容回顧內容回顧： 本章研究的是包含兩個動態元件的二階電路，它們用二 階線性常系數常微分方程描述。本章著重分析有電感和 電容組成的二階電路。 和一階電路不同，二階LC電路會出現震蕩形式。 學習時應注意：電路微分方程的建立，特征根的重要

33、意義， 微分方程解的物理含義等方面的內容。 然后通過分析說明RLC電路的一般分析方法，以及固有頻 率與固有形式的關系。 本章首先從物理概念上闡述LC電路的零輸入響應具有正弦 震蕩的形式；電路分析基礎第二部分：8-5 1/88-5 直流RLC串聯電路的完全響應問題的提出：如果圖8-3電路中， uoc(t) = Us(t0)，則，這樣的電路的響應會有什么特點呢？由（8-10）式可得電路的微分方程為特征方程：其特征方程仍如（8-13）式所示：LCs2 + RCs + 1 = 0。 滿足（8-44）式的特解是uCp = Us (t0)。因此，對第一種情況特征方程有兩個不相等的負實數根的解可表示為d2u

34、Cdt2LC+ uC = Us t0 （8-44）duCdt+ RC三種情況：根據固有頻率的三種不同情況，本方程的解也分為三種情況，其三種情況的齊次解分別如(8-15)、(8-26)、(8-30)式所示。常數K1 和 K2 必須要求得（8-44）的特解，并再加上齊次解形成通解后，再根據初始條件來確定。電路分析基礎第二部分：8-5 2/8uC(t) = K1e s1t + K2e s2t + Us t0 （8-45）根據初始條件可求得 K1 =1s2 s1s2 uC(0) Us iL(0)C（8-46）K2 =1s1 s2s1 uC(0) Us iL(0)C（8-47）因此，這個響應與零輸入響應

35、相比，差別僅僅在于將(8-46)、(8-47)兩式中的 uC(0) Us 代替了(8-18)、(8-19)兩式中的 uC(0) 。例8-6 電路如圖8-3(b)所示，已知R2 4L/C，直流電壓uoc(t) = Us(t0)，試求uC(t)，并繪出波形圖。設電路為零初始狀態。解：R2 (1) 當 G=10S 時，屬于過阻尼iL(t) = K1e s1t + K2e s2t + 125 1s1, 2 = 5 = 5 24s1 = 5 + 2s2 = 5 266其中特解 iLp=1。已知uC(0)=iL(0)=0，故得iL(0) = K1 + K2 = 0 iL(0) = K1 s1 + K2 s

36、2 =uC(0)L= 0 解上兩式聯立方程可得K1 =s2s1 s2K2 =s1 s2s1= 65 + 264=65 26464iL(t) = 1 +故得(52 6 ) e1 (5+2 6 ) t (5+2 6 ) e (52 6 ) t(t)電路分析基礎第二部分：8-6 6/8LC1G2C( )2=(2) 當 G=2S 時，屬于臨界阻尼iL(t) = K1e s1t + K2te s2t + 1s1 = s2 =G2C= 1iL(0) = K1 + 1 = 0 iL(0) = K1 s1 + K2 =uC(0)L= 0 K1 = 1，K2 = 1iL(t) = 1 (1+ t)e t (t)

37、LC1G2C( )2(3) 當 G=0.1S 時，屬于欠阻尼s1, 2 = j d= 0.05 jiL(0) = K1 + 1 = 0iL(0) = K1 + dK2 = 0iL(t) = e t (K1 cos dt + K2 sin dt) + 1 故 iL(t) = 1 e 0.05 t (cos t + 0.05 sin t) (t) 1 e 0.05 t cos t (t) K2 =dK1 = 1 = 0.05由此可得電路分析基礎第二部分：8-6 7/8OtuC(t)圖8-18 例8-9Us2040電路分析基礎第二部分：8-6 8/8再一次強調： 要了解電路固有響應，只要掌握特征根（

38、固有頻率）的性質即可。固有頻率一般為復數，可以用復頻率面（縱軸為虛數，橫軸為實數）上的點表示： 若固有頻率分布在復頻率面的左半面，則固有響應幅度是衰減的（穩定），屬于欠阻尼狀態；若在右半面，則固有響應的幅度是發散的（不穩定）。 若固有頻率分布在復頻率面的實軸上，則固有響應幅度是非震蕩的。根據固有頻率是不重合或重合，可確定 RLC 或 GCL 是過阻尼狀態，或是臨界阻尼狀態。 若固有頻率分布在復頻率面的虛軸上，則固有響應幅度是等幅震蕩的，完全沒有衰減。 雖然本章只是討論二階動態電路，但以上結論可以推廣到高階電路，因為根據第四章電路分解理論，高階電路可以分解為低階（一階、二階）電路的組合。電路分析

39、基礎第二部分：第八章 目錄第八章 二 階 電 路1 LC電路中的正弦震蕩 4 RLC電路的零輸入響應 欠阻尼情況2 RLC電路的零輸入響應 5 直流RLC串聯電路的完全響應 過阻尼情況3 RLC電路的零輸入響應 6 GCL并聯電路的分析 臨界阻尼情況 7 一般二階電路電路分析基礎第二部分：8-7 1/78-7* 一般二階電路 除了前面介紹的一階電路和LC二階電路以外，其他二階電路，以及高階電路也可以用狀態方程來描述。狀態變量：動態電路中，動態元件的連續電壓或連續電流稱為動態變量，典型為電容電壓或電感電流。狀態方程：動態電路中，根據KCL或KVL列寫的、由狀態變量及其一截微分以及輸入電壓或電流構

40、成的方程稱為狀態方程。 狀態方程具有一定的標準形式，可以遵循系統化的列寫步驟。本節重點介紹狀態方程的列寫方法和解法。二階電路：動態電路中，由兩個動態元件構成的動態電路稱為二階電路，典型為電容電感型、電容電容型或電感電感型。電路分析基礎第二部分：8-7 2/7狀態方程的物理意義：狀態方程體現了電路狀態演變的情況，具體地說，就是反映了狀態變量的變化率變化率是狀態狀態變量當前值變量當前值和當前輸入變量當前輸入變量的函數。i C2N(b)+u C2i C1+u C1C 1C 2Li LN(a)+u Li C+u CC 圖8-22 二階電路的三種 基本結構形式L2i L1N(c)+u L2i L1+u L1L1狀態方程的具體形式：對任何二階電路（圖8-22），其輸入為一個獨立電壓源u s，則狀態方程可描述為duCdt= f1(u C, i L, u s )（8-51）di Ldt= f2(u C, i L, u s )（8-52）若圖8-22(a)中的網絡 N 為一個有源電阻網絡，則用電壓源 u C 置換電容、電流源置換電感 i L 以后，用疊加定