1、專題2:圓與橢圓中的最值與取值范圍銅山縣棠張中學 單麗虹2009年4月29日 1、圓的標準方程和一般方程.這是平面解析幾何初步的重要內容，體現了二元二次方程之間的內在聯系. 2、橢圓的標準方程與幾何性質。這是圓錐曲線的重要內容，在高考試卷中多為一道小題或一道與其他知識相結合的綜合性解答題.143,1)3146,2（基本不等式，二次函數）（數形結合 ，幾何意義）（數形結合，不等式）（橢圓性質，二次函數）PQQxyOB(-1,0)A(1,0)DPQ22(1)4xy223314xy規律方法：規律方法： 1、平面向量具有幾何形式和代數形式雙重身份，利、平面向量具有幾何形式和代數形式雙重身份，利用向量把

2、用向量把2BD=DE轉化為數的關系。轉化為數的關系。 2、P，Q均為動點，可先把其中一點看作定點，使其均為動點，可先把其中一點看作定點，使其一定一動，把問題轉移到熟悉的情境中來。一定一動，把問題轉移到熟悉的情境中來。 3、借助圖形，利用圓的性質、橢圓定義、三角形中、借助圖形，利用圓的性質、橢圓定義、三角形中兩邊之差小于第三邊，逐個擊破難點。兩邊之差小于第三邊，逐個擊破難點。 4、平面上點到圓上最大最小值過圓心。、平面上點到圓上最大最小值過圓心。 5、橢圓上點到焦點與一定點距離之和（差）的最值、橢圓上點到焦點與一定點距離之和（差）的最值問題往往可用定義轉化到另一焦點距離之差（和）進而求問題往往可

3、用定義轉化到另一焦點距離之差（和）進而求解。解。 6、本題利用了三角形三邊關系，求最值的方法。、本題利用了三角形三邊關系，求最值的方法。： 圓與橢圓中的最值問題，往往可利用圖形解決，通過圓與橢圓中的最值問題，往往可利用圖形解決，通過研究圖形，在運動變化中尋求特殊情況。常用的方法有：研究圖形，在運動變化中尋求特殊情況。常用的方法有： 1、利用數形結合，尤其是以圓與橢圓的性質求最值。、利用數形結合，尤其是以圓與橢圓的性質求最值。 2、借助圖形，利用幾何意義，尤其是斜率、距離求、借助圖形，利用幾何意義，尤其是斜率、距離求最值。最值。 1、條件不變求、條件不變求PQ+PD的最的最小小值；值； 2233

4、14xyxyOBAD(P)Q22(1)4xyxyOBAD223314xy22(1)4xy 2、條件不變求、條件不變求 的最小值；的最小值； 2 33PDPBxyoPB(-1,0)A(1,0)D1D223314xy 3、條件不變求、條件不變求 的取值范圍；的取值范圍； PB PA yoPBA(-1,0)(1,0)(x,y)223314xy 4、若已知、若已知 取值范圍為取值范圍為 ，求橢圓，求橢圓 的方程；的方程； 2 1,3 3PB PA xyoPBA22221(0)xyababxyoM(0,3)N(x,y)222212xybb規律方法：規律方法： 1、本題設、本題設M點坐標，引入變量，利用兩

5、點間距離公式，點坐標，引入變量，利用兩點間距離公式， 建立不等式。建立不等式。 2、本題利用求恒成立問題轉化為二次函數含參最值的問、本題利用求恒成立問題轉化為二次函數含參最值的問題，求短軸長的范圍。題，求短軸長的范圍。 3、最值與取值范圍問題所依據的數學思想主要是函數思、最值與取值范圍問題所依據的數學思想主要是函數思想，解決這類問題必須構建一個函數關系式，通過函數去想，解決這類問題必須構建一個函數關系式，通過函數去研究最值，也就是在運動變化中尋求特殊情況，是高考考研究最值，也就是在運動變化中尋求特殊情況，是高考考查函數的思想問題，歷年的高考試題中這類問題占有相當查函數的思想問題，歷年的高考試題

6、中這類問題占有相當大的比例。大的比例。變式訓練變式訓練: 1、去掉條件、去掉條件“點點M在橢圓內部在橢圓內部” 變式訓練變式訓練: 2、設點、設點M(0,3)在橢圓內部，若在橢圓內部，若橢圓橢圓C上上存在到點存在到點M的距離為的距離為 的的點點，求橢圓，求橢圓C的短軸長的取值范圍。的短軸長的取值范圍。25變式訓練變式訓練: 3、 在在(2)的條件下，過橢圓的條件下，過橢圓C上的任意一點上的任意一點N作圓作圓O的的切線切線NA，NB切點為切點為A，B求求 的最小值的最小值.2213618xyOA OB yoANB2218xyx五、課堂小結五、課堂小結： 解析幾何中的最值與取值范圍問題涉及的知識面較廣，但主要運用數形結合、函數兩大數學思想，具體方法有以下幾種： 1、利用數形結合，尤其是以圓與橢圓的性質求最值與取值范圍。 2、利用幾何意義，尤其是斜率、距離