重難點09極值點偏移與拐點偏移問題【七大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1極值點偏移：加法型】 2【題型2極值點偏移：減法型】 3【題型3極值點偏移：乘積型】 5【題型4極值點偏移：商型】 6【題型5極值點偏移：平方型】 7【題型6極值點偏移：復雜型】 8【題型7拐點偏移問題】 91、極值點偏移與拐點偏移問題極值點偏移是指函數在極值點左右的增減速度不一樣，導致函數圖象不具有對稱性，極值點偏移問題常常出現在高考數學的壓軸題中，是高考考查的熱點內容，這類題往往對思維要求較高，過程較為煩瑣，計算量較大，解決極值點偏移，稱化構造函數法和比值代換法，二者各有千秋，獨具特色.【知識點1極值點偏移問題及其解題策略】1．極值點偏移的概念(1)已知函數y=f(x)是連續函數，在區間(a,b)內只有一個極值點x0，f(x1)=f(x2)，且x0在x1與x2之間，由于函數在極值點左右兩側的變化速度不同，使得極值點偏向變化速度快的一側，常常有，這種情況稱為極值點偏移.(2)極值點偏移若，則極值點偏移，此時函數f(x)在x=x0兩側，函數值變化快慢不同，如圖(2)(3).(左陡右緩，極值點向左偏移)若f(x1)=f(x2)，則x1+x2>2x0；(左緩右陡，極值點向右偏移)若若f(x1)=f(x2)，則x1+x2<2x0.2．極值點偏移問題的一般題設形式(1)函數f(x)存在兩個零點x1，x2且x1≠x2，求證：x1+x2>2x0(x0為函數f(x)的極值點)；(2)函數f(x)中存在x1，x2且x1≠x2，滿足f(x1)=f(x2)，求證：x1+x2>2x0(x0為函數f(x)的極值點)；(3)函數f(x)存在兩個零點x1，x2且x1≠x2，令，求證：f'(x0)>0；(4)函數f(x)中存在x1，x2且x1≠x2，滿足f(x1)=f(x2)，令，求證：f'(x0)>0.3．極值點偏移問題的常見解法(1)(對稱化構造法)：構造輔助函數：①對結論x1+x2>2x0型，構造函數.②對結論型，方法一是構造函數，通過研究的單調性獲得不等式；方法二是兩邊取對數，轉化成lnx1+lnx2>2lnx0，再把lnx1，lnx2看成兩變量即可.(2)(比值代換法)：通過代數變形將所證的雙變量不等式通過代換化為單變量的函數不等式，利用函數單調性證明.【知識點2指數、對數均值不等式解決極值點偏移問題】極值點偏移問題是近幾年高考的熱點問題，求解此類問題的一個重要工具就是指數均值不等式和對數均值不等式.1．對數均值不等式結論1對任意的a,b>0(a≠b)，有.2．指數均值不等式結論2對任意實數m,n(m≠n)，有.【題型1極值點偏移：加法型】【例1】（2024·江蘇揚州·模擬預測）已知函數fx=lnmx?xm>0．(1)若fx≤0恒成立，求(2)若fx有兩個不同的零點x1,【變式1-1】（2024·遼寧·三模）已知fx(1)討論函數fx(2)當a>0時，證明：函數fx有且僅有兩個零點x1,【變式1-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數f(x)=xe1x?a(x>0)，且(1)求實數a的取值范圍．(2)證明：x1【變式1-3】（2024·全國·模擬預測）已知函數fx(1)若曲線fx在點1,?1處的切線與曲線gx有且只有一個公共點，求實數(2)若方程gx?fx①求實數a的取值范圍；②求證：x1【題型2極值點偏移：減法型】【例2】（2024·全國·模擬預測）已知函數f(x)=x2?(2+a)x+a(1)討論f(x)的單調性；(2)設g(x)=exx?f(x)+x2?(a+1)x?2a+(a?1)lnx（i）證明：2a>e（ii）證明：x2【變式2-1】（2024·湖南株洲·一模）已知函數fx=x+aebx(1)求a、b的值及fx(2)設x1，x2是方程fx=kx【變式2-2】（2024·北京朝陽·二模）已知函數f(1)求曲線y=fx在點0,f(2)若fx≥0恒成立，求(3)若fx有兩個不同的零點x1,x2【變式2-3】（2024·河南·模擬預測）已知b>0，函數fx=x+alnx+b(1)求a，b的值;(2)若方程fx=1e（e為自然對數的底數）有兩個實數根x【題型3極值點偏移：乘積型】【例3】（2024·全國·模擬預測）已知函數fx(1)當a=1時，討論函數fx(2)若fx有兩個極值點x①求實數a的取值范圍；②求證：x1【變式3-1】（2024·四川眉山·三模）已知函數f(x)=xln(1)若過點(1,0)可作曲線y=f(x)兩條切線，求a的取值范圍；(2)若f(x)有兩個不同極值點x1①求a的取值范圍；②當x1>4x【變式3-2】（23-24高二下·重慶·階段練習）已知函數fx=x+a(1)求實數a的值并求函數f(x)的極值；(2)若fx1=f【變式3-3】（2024·安徽合肥·模擬預測）已知函數f(x)=a(1?2ln(1)討論f(x)的單調性；(2)若x1，x2x1≠【題型4極值點偏移：商型】【例4】（2023·全國·模擬預測）已知函數fx(1)設函數gx=ekx?(2)若方程fx=m有兩個不相等的實根x1、x【變式4-1】（23-24高二下·河南平頂山·階段練習）已知函數fx(1)若fx恰有兩個零點，求a(2)若fx的兩個零點分別為x1,x2【變式4-2】（2023·湖北武漢·三模）已知函數fx=ax+a?1(1)討論函數fx(2)若關于x的方程fx=xex?（ⅰ）求實數a的取值范圍；（ⅱ）求證：ex【變式4-3】（2024·全國·一模）已知f(1)若fx≥0，求實數(2)設x1,x2是fx的兩個零點（x【題型5極值點偏移：平方型】【例5】（2024·福建南平·模擬預測）已知函數fx=ln(1)討論fx(2)若方程fx=1有兩個不同的根(i)求a的取值范圍；(ii)證明：x1【變式5-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數fx(1)求函數fx在1,3(2)若方程fx=1a有兩個不相等的解x1【變式5-2】（2024·四川涼山·二模）已知函數fx(1)若函數fx在R上是增函數，求a(2)設gx=x?12sin【變式5-3】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知函數fx=x2ln(1)求實數m的取值范圍；(2)求證：t<1；(3)比較t與2e及2m+【題型6極值點偏移：復雜型】【例6】（2024·四川·一模）已知函數fx(1)若a=1，求fx(2)若fx有2個零點x1,【變式6-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數fx=x2a(1)求a的取值范圍；(2)證明：x1【變式6-2】（2024·貴州·模擬預測）已知函數f(x)=xe(1)求函數fx(2)若方程f(x)=4ex+4elnx有兩個不相等的實數根x1【變式6-3】（2024·山東·模擬預測）已知函數fx=1(1)當a≥1時，判斷fx(2)若fx存在兩個極值點x（ⅰ）證明：x2（ⅱ）證明：x∈1,+∞時，【題型7拐點偏移問題】【例7】（23-24高三下·四川成都·期末）已知函數fx(1)當a=1時，求fx在x=0(2)設函數gx=fx?sinx，當【變式7-1】（23-24高三下·陜西西安·階段練習）“拐點”又稱“反曲點”，是曲線上彎曲方向發生改變的點.設φ′x為函數φx的導數，若α為φ′x已知函數fx=aex?xlnx有兩個極值點x(1)求a的取值范圍；(2)證明：C在Q處的切線與其僅有一個公共點；(3)證明：f′【變式7-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數f(x)=2ln（1）求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程.（2）若正實數x1,x2滿足【變式7-3】（23-24高二下·貴州貴陽·階段練習）設f′x是函數fx的導函數，若f′x可導，則稱函數f′x的導函數為fx的二階導函數，記為f″(1)研究發現，任意三次函數fx=ax3+bx2+cx+da≠0，曲線y=fx都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(2)已知函數gx（i）求曲線y=gx（ii）若gx1+g一、單選題1．（2024·河北衡水·模擬預測）已知函數fx=lnx+1?ax有兩個零點x1A．a>1 B．xC．x1?x2．（2024·全國·模擬預測）若函數fx=alnx+12x2?2xA．?∞,?5 B．?∞,?5 C．3．（2023·吉林通化·模擬預測）已知函數f(x)=x2+2x3?3ax2+b滿足：①定義域為R；②1A．(?2,?1) B．?1,?12 C．124．（2024·遼寧·三模）已知函數f(x)=lnx+12ex2?ax存在兩個極值點，若對任意滿足f(xA．(2e,C．(2e,1+5．（2023·四川南充·一模）已知函數f(x)=lnx?2x+2?m（0<m<3）有兩個不同的零點x1，x2（①x2x1<e2m

②xA．1 B．2 C．3 D．46．（2023·全國·模擬預測）已知函數fx=ex?mx2有兩個極值點x1，x2（0<x1<xA．0<M<1e C．M>e2+17．（2023·四川成都·一模）已知函數fx=lnx2?a2xlnx+aeA．?1e2?e,0 B．?8．（2023·四川南充·一模）已知函數f(x)=lnx?2x+2?m（0<m<3）有兩個不同的零點x1，x2（①x2x1<e2mA．0 B．1 C．2 D．3二、多選題9．（2024·貴州畢節·二模）已知函數fx=xe?x，方程fxA．fx≤1e C．lnx1?10．（2024·山西太原·三模）已知x1是函數fx=x3A．fx的對稱中心為0,n B．C．2x1+11．（23-24高二上·湖北武漢·期中）已知函數f(x)=xlnx?x與y=a有兩個不同的交點，交點坐標分別為x1,y1，A．f(x)在(0,1)上單調遞減，在(1,+∞B．a的取值范圍為(?1,0]C．xD．x三、填空題12．（2023·河北衡水·模擬預測）已知函數f(x)=2023ex?ax2?1(a∈R)有兩個極值點13．（23-24高三下·云南·階段練習）若關于x的方程ex?3ax=0有兩個不同的實根x1，x2，且x114．（2023·陜西西安·二模）若函數fx=12ax2?ex+1四、解答題15．（2024·陜西安康·模擬預測）已知函數fx=x(1)求a的取值范圍；(2)若fx1=f16．（2024·重慶·模擬預測）已知函數f(x)=a(ln(1)求證：1+xln(