1、燕山大學Yanshan University4.5 任意激勵下的響應規律任意激勵下的響應規律系統振動微分方程：系統振動微分方程：)(tFKxxCxm 對于任意激勵的受迫振動對于任意激勵的受迫振動, ,常用常用杜哈美積分杜哈美積分( (卷積積分卷積積分) )法求系法求系統響應。統響應。杜哈美積分法的基本思想：杜哈美積分法的基本思想：在在t=d間隔內，質量間隔內，質量m受到一受到一個微沖量個微沖量F d的作用。根據動的作用。根據動量定律，質量量定律，質量m在在d時間內將時間內將獲得一速度增量獲得一速度增量dv和位移增量和位移增量dx：1.2Fddvdxdv dmF F(t)(t)是時間的任是時間的

2、任意函數，如圖所意函數，如圖所示。示。其中，其中，dx為高階無窮小為高階無窮小量，忽略不計，即假設量，忽略不計，即假設系統來不及發生位移。系統來不及發生位移。燕山大學Yanshan University根據有阻尼自由振動對初始條件的響應：根據有阻尼自由振動對初始條件的響應：)sin()(tAetxdtn根據上述思想，問題簡化為：根據上述思想，問題簡化為：000,xxdv000,xxdv2200021000()nddnvxAxxtgvxtemFdtevdxdtddtdnnsinsin0 當當t 時，即在微沖量尚未作用前，系時，即在微沖量尚未作用前，系統不發生運動；統不發生運動； 當當t 時，在微

3、沖量時，在微沖量Fd作用下，系統作用下，系統相當于在初始條件相當于在初始條件 作作用下的自由振動。用下的自由振動。燕山大學Yanshan University 由于微沖量由于微沖量Fd不是作用在不是作用在t = 0時時刻，而是作用在刻，而是作用在t = 時刻，相當于時時刻，相當于時間右移了間右移了，因而系統在微沖量，因而系統在微沖量Fd作作用下用下的響應：的響應： 當激振力當激振力F()由瞬時由瞬時 = 0到到 = t連續作用時，系統的響應等于連續作用時，系統的響應等于一系列微沖量一系列微沖量Fd從從 = 0到到 = t分別連續作用下系統響應的疊加。分別連續作用下系統響應的疊加。)(sin)(

4、temFddxdtdn有阻尼杜哈美積分：有阻尼杜哈美積分：dteFmxdttdn)(sin1)(0無阻尼杜哈美積分：無阻尼杜哈美積分：0)(sin10dtFmxntn燕山大學Yanshan University以上兩式的適應條件：以上兩式的適應條件：零初始條件。零初始條件。任意初始條件（任意初始條件（t=0、x0、 ），有阻尼杜哈美積分：），有阻尼杜哈美積分： 0 x dteFmtxtxxexdtddddntnn)(sin1cossin0000任意初始條件（任意初始條件（t t=0=0、x x0 0、 ），無阻尼杜哈美積分：），無阻尼杜哈美積分：0 x 0)(sin1cossin000dtFm

5、txtxxntnnnn在通常情況下，一般都假定初位移在通常情況下，一般都假定初位移x0和初速度和初速度 均等于零。均等于零。0 x 燕山大學Yanshan University例例1 1 求無阻尼振動系統對正弦激振力求無阻尼振動系統對正弦激振力F()=F0sin的響應。的響應。響應方程響應方程001sinsin()tnnxFtdm0000221sinsin()cos() cos()21111sin()sin()22(sinsin)ttnnnnnttnnnnnnnnnntdttdtttt 結論：結論： (1)(1)式中第一項代表強迫振動，是以激勵頻率式中第一項代表強迫振動，是以激勵頻率進行的穩態

6、振動；進行的穩態振動； (2)(2)式中第二項是以固有頻率式中第二項是以固有頻率n n進行的自由振動。只要系統有阻尼存進行的自由振動。只要系統有阻尼存在，就迅速衰減，所以是瞬態振動。在，就迅速衰減，所以是瞬態振動。)sin(sin1220ttmFxnnn解：由無阻尼杜哈美積分解：由無阻尼杜哈美積分燕山大學Yanshan University例例2 2 求無阻尼振動系統對階躍載荷求無阻尼振動系統對階躍載荷F F0 0的響應。的響應。解：解：結論：結論： (1)(1)階躍載荷階躍載荷F F0 0使系統產生周期為使系統產生周期為T=2n、振幅為、振幅為F0k的振動；的振動；(2)(2)彈簧最大變形為

7、靜變形的兩倍。彈簧最大變形為靜變形的兩倍。)cos1()(cos)(sin002000tKFtmFdtmFxntnnntn階躍載荷響應曲線階躍載荷響應曲線燕山大學Yanshan University例例3 3 求無阻尼振動系統對矩形脈沖的響應。求無阻尼振動系統對矩形脈沖的響應。解：解：(1)0(1)0t tt t1 1時，振動系統的響應時，振動系統的響應由下式表示由下式表示(2) t t1 時時，F()=0)cos1 (0tKFxn10200011( )sin()sin()cos() costtnnnnnnFxFtdtdmmFtttK燕山大學Yanshan University另外一種解法另外

8、一種解法當當tt1時，激振力已經除去，系統以時，激振力已經除去，系統以t= t1時刻的位移和速度為初始條件、時刻的位移和速度為初始條件、按固有頻率按固有頻率n進行自由振動進行自由振動。011011(1cos)sinnnnFxtKFxtKcos)(cossin)(sin)cos1)(cos)(sin)(cos10111101111tttKFttttttKFttxttxxnnnnnnnnn無阻尼自由振動對初始位移無阻尼自由振動對初始位移 x1 和初始速度和初始速度 的響應的響應1x )cos1 (0tKFxn燕山大學Yanshan University振幅：振幅：式中：式中：T T系統自由振動的周

9、期。系統自由振動的周期。TtKFtKFtKFxxAnnn1010102121sin22sin2)cos1 (2結論：結論：常力除去后，振幅隨比值常力除去后，振幅隨比值t1T的變的變化而變化。化而變化。 (1)(1)當當t1=T2時，時，A=2F0K。系統響應如。系統響應如圖圖 (b)(b)所示。所示。(2)(2)當當t1=T時，時，A=0，即除去，即除去F0后，系統停止后，系統停止不動。其響應如圖不動。其響應如圖(c)(c)所示。所示。燕山大學Yanshan University產生這種現象的原因：產生這種現象的原因：)cos1 (sin)cos1 (12002000011tKFtdtKFtK

10、FdFWntnntn 當當t1 =T2時，時， ，所以，除去，所以，除去F0 后，系統保持這個能后，系統保持這個能量繼續振動；當量繼續振動；當t1 =T時，時，W=0，所以，所以， F0 除去后，系統靜止于除去后，系統靜止于平衡位置，不再運動。平衡位置，不再運動。KFW202F F0 0在在t t1 1時間內所作的功為時間內所作的功為燕山大學Yanshan University例例4 圖示為一彈簧圖示為一彈簧質量系統，箱子由高質量系統，箱子由高h處靜止自處靜止自由下落，當箱子觸到地面時，試求傳遞到質量由下落，當箱子觸到地面時，試求傳遞到質量m上的最上的最大力是多少？假定質量大力是多少？假定質量

11、m和箱子之間有足夠的間隙，不和箱子之間有足夠的間隙，不會碰撞。會碰撞。 解：設解：設x與與y分別代表質量分別代表質量m與箱子與箱子的絕對位移，在自由下落過程中，的絕對位移，在自由下落過程中，質量質量m的運動微分方程為的運動微分方程為)(yxkxm 以以z=x- -y代表質量代表質量m相對于箱子的相對位移，有相對于箱子的相對位移，有yzzn 2式中式中mkn燕山大學Yanshan University假定箱子的質量遠大于質量假定箱子的質量遠大于質量m，因而可以認為質量，因而可以認為質量m的的運動不影響箱子的自由下落。由于箱子是由高運動不影響箱子的自由下落。由于箱子是由高h處自由處自由下落，故有下

12、落，故有由杜哈美積分，有由杜哈美積分，有221gty gy 或tnnnntgtgz 0 2)cos1 (d)(sintgznnsinyzzn 22nzzg 這就是在箱子著地前質量這就是在箱子著地前質量m相相對于箱子的位移與速度。對于箱子的位移與速度。燕山大學Yanshan University設箱子著地的瞬時為設箱子著地的瞬時為t1，由自由落體知，由自由落體知ght21在著地瞬時，質量在著地瞬時，質量m的相對位移和相對速度為的相對位移和相對速度為同時箱子的速度為同時箱子的速度為1gty 11211(1 cos)sinnnnngztgzt 2(1cos)sinnnnngztgzt 燕山大學Yan

13、shan University 由于箱子著地后即靜止在地面上，不回跳。在箱由于箱子著地后即靜止在地面上，不回跳。在箱子著地的瞬間，質量子著地的瞬間，質量m相對箱子的位移與速度分別為相對箱子的位移與速度分別為01120111(1cos)sinnnnngzztgzzytgt 取瞬時取瞬時t1為初始瞬時，則箱子著地后質量為初始瞬時，則箱子著地后質量m相對箱相對箱子作自由振動，其相對運動方程為子作自由振動，其相對運動方程為 tztzznnncossin00ttgtttgnnnnnnncos)cos1 (sin)sin(12112)sin(tAn燕山大學Yanshan University212112)

14、cos1 ()sin(tttgAnnnn振幅和相位差為振幅和相位差為1111sincos1tgtttnnn通過彈簧傳遞到質量通過彈簧傳遞到質量m上的最大力等于上的最大力等于kA，即，即kAFmax212112)cos1 ()sin(tttkgnnnn燕山大學Yanshan University計算機模擬通過彈簧傳遞到質量計算機模擬通過彈簧傳遞到質量m上的最大力上的最大力燕山大學Yanshan University 機器運轉時會發生振動，振動不僅會影響到機器本身的結構機器運轉時會發生振動，振動不僅會影響到機器本身的結構強度，而且會影響機器的運行性能、降低效率。強度，而且會影響機器的運行性能、降低

15、效率。 機器的振動也會通過基礎的傳遞而影響周圍儀器設備，降低機器的振動也會通過基礎的傳遞而影響周圍儀器設備，降低其靈敏度和精度。其靈敏度和精度。 為了減小機器的振動或者為了減小傳遞給基礎上的力，常在為了減小機器的振動或者為了減小傳遞給基礎上的力，常在機器與基礎之間安裝彈簧和阻尼器用來隔振。機器與基礎之間安裝彈簧和阻尼器用來隔振。3.5 振動系統的隔振振動系統的隔振隔振：隔振：在振源和振動體之間設置彈簧和阻尼器系統，以減小或隔在振源和振動體之間設置彈簧和阻尼器系統，以減小或隔離振動的傳遞。離振動的傳遞。隔振分類：隔振分類：主動隔振主動隔振( (積極隔振積極隔振) )，被動隔振，被動隔振( (消極

16、隔振消極隔振) )。主動隔振：主動隔振：隔離機械設備通過支座傳遞給地基的振動，以減小動隔離機械設備通過支座傳遞給地基的振動，以減小動力的傳遞。力的傳遞。被動隔振：被動隔振：防止地基的振動通過支座傳遞給需保護的設備，以減防止地基的振動通過支座傳遞給需保護的設備，以減小運動的傳遞。小運動的傳遞。燕山大學Yanshan University 機器本身是振源，通過設置阻尼器和彈簧，使它與地基隔離機器本身是振源，通過設置阻尼器和彈簧，使它與地基隔離開來，隔掉傳到基礎上的力，以減小它對周圍設備的影響。開來，隔掉傳到基礎上的力，以減小它對周圍設備的影響。3.5.1 主動隔振主動隔振間諧激勵間諧激勵: :F=

17、F0sint主動隔振力學模型主動隔振力學模型系統響應系統響應: :sin()xXt振幅振幅: :2220)2()1 (1KFX通過彈簧傳遞給基礎的力通過彈簧傳遞給基礎的力: :sin()kFKXt通過阻尼器傳遞給基礎的力通過阻尼器傳遞給基礎的力: :)cos(tCXFc傳遞給基礎的合力傳遞給基礎的合力: :)cos()sin(tCXtKXFkc傳遞給基礎合力的幅值傳遞給基礎合力的幅值: :22220222)2()1 ()2(1)2(1)(FXKKCXFt燕山大學Yanshan University傳遞率或主動隔振系數傳遞率或主動隔振系數傳遞率或主動隔振系數傳遞率或主動隔振系數22220)2()

18、1 ()2(1FFTtr評價隔振效果的系數。傳遞率評價隔振效果的系數。傳遞率越低，隔振效果越好。越低，隔振效果越好。主動隔振系數主動隔振系數頻率曲線頻率曲線(1)(1)若使若使Ft F0，即，即Tr15 時，時，Tr曲線近似為水平線，下降效果不很明顯，一般曲線近似為水平線，下降效果不很明顯，一般取取=2.5=2.55.05.0。2(3)(3)當頻率比當頻率比 時，隔振系數隨著時，隔振系數隨著增加而提高，增大阻增加而提高，增大阻尼不利于隔振，因此盲目增加阻尼并不能得到好的隔振效果。尼不利于隔振，因此盲目增加阻尼并不能得到好的隔振效果。 2燕山大學Yanshan University在在重型鍛錘隔

19、振系統重型鍛錘隔振系統中應用粘滯阻尼減振器中應用粘滯阻尼減振器振振動動造造成成45 度度裂裂縫縫 重型鍛錘是機械、冶金、汽車、船舶等行業廣泛使用重型鍛錘是機械、冶金、汽車、船舶等行業廣泛使用的重要設備。鍛錘在鍛打坯料時將產生嚴重的振動和噪聲，的重要設備。鍛錘在鍛打坯料時將產生嚴重的振動和噪聲，許多生產車間的勞動條件因之而惡化，錘基的振動，又通過許多生產車間的勞動條件因之而惡化，錘基的振動，又通過土壤傳給周圍環境，對鍛工、廠房、精密儀器儀表及工廠周土壤傳給周圍環境，對鍛工、廠房、精密儀器儀表及工廠周圍的居民生活構成一大公害。圍的居民生活構成一大公害。隔振技術的實際應用隔振技術的實際應用燕山大學Y

20、anshan University彈簧彈簧粘帶阻尼減振器粘帶阻尼減振器 鍛錘安裝減振隔振系統之后，鍛錘安裝減振隔振系統之后，鍛錘使用過程中對周圍環境影響較小，鍛錘使用過程中對周圍環境影響較小，且衰減較快，明顯地減少了振動與噪且衰減較快，明顯地減少了振動與噪聲這一公害。聲這一公害。鍛鍛錘錘直直接接安安裝裝減減振振器器燕山大學Yanshan University粘滯阻尼減振器的結構與安裝使用技術粘滯阻尼減振器的結構與安裝使用技術下下底底座座直接直接彈性彈性支承支承隔振隔振系統系統 如圖所示為并聯粘滯如圖所示為并聯粘滯阻尼彈簧隔振器成一體安阻尼彈簧隔振器成一體安裝于鍛錘機體的底部。阻裝于鍛錘機體的底

21、部。阻尼器的特性基本上不受溫尼器的特性基本上不受溫度影響。實踐證明，它已度影響。實踐證明，它已可以作為一種標準隔振方可以作為一種標準隔振方案，幾乎可以使用于所有案，幾乎可以使用于所有種類的鍛錘上。鍛錘采用種類的鍛錘上。鍛錘采用彈簧彈簧粘滯阻尼減振器設粘滯阻尼減振器設備是一種最佳的選擇。備是一種最佳的選擇。燕山大學Yanshan University Santana轎車整車薄壁上粘貼高阻尼材料，以達到轎車整車薄壁上粘貼高阻尼材料，以達到減振降噪的效果。減振降噪的效果。燕山大學Yanshan University橋梁、高塔等高大建筑的消振橋梁、高塔等高大建筑的消振 高大的橋梁、鐵塔等建筑物，四周用

22、鋼索拉緊。高大的橋梁、鐵塔等建筑物，四周用鋼索拉緊。當受到風力、車輛和行人激勵時，鋼索會產生振動，進當受到風力、車輛和行人激勵時，鋼索會產生振動，進而使橋梁、鐵塔等建筑物穩定性受到威脅。為此，在鋼而使橋梁、鐵塔等建筑物穩定性受到威脅。為此，在鋼索上裝有阻尼的動力消振器。索上裝有阻尼的動力消振器。燕山大學Yanshan University從從20世紀世紀70年代以來，年代以來，人們開始逐步地把阻尼人們開始逐步地把阻尼減振技術轉用到建筑、減振技術轉用到建筑、橋梁、鐵路等工程中，橋梁、鐵路等工程中，并發展十分迅速。并發展十分迅速。在航天航空、軍工、汽車等在航天航空、軍工、汽車等行業中早已應用了阻尼器來行業中早已應用了阻尼器來減振消能。到減振消能。到20世紀末，全世紀末，全世界已有近世界已有近100多個結構工程多