1、高中數(shù)學(xué)第十章-排列組合二項定理考試內(nèi)容：分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理.排列排列數(shù)公式.組合組合數(shù)公式組合數(shù)的兩個性質(zhì).二項式定理.二項展開式的性質(zhì).考試要求：1掌握分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題.2理解排列的意義，掌握排列數(shù)計算公式，并能用它解決一些簡單的應(yīng)用問題.3理解組合的意義，掌握組合數(shù)計算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡單的 應(yīng)用問題.4掌握二項式定理和二項展開式的性質(zhì)，并能用它們計算和證明一些簡單的問題.0.排列組合二項定理知識要點一、兩個原理1. 乘法原理、加法原理2. 可以有重復(fù)元素的排列.從m個不同元素中，每次取出n個元素，元素可以重

2、復(fù)出現(xiàn)，按照一定的順序排成一排，那么第一、第二 第n位上選取元素的方法都是 m個，所以從m個不同元素中，每次取 出n個元素可重復(fù)排列數(shù) m- mm = m.例如：n件物品放入 m個抽屜中，不限放法，共有多少種不同放法？解：mn種二、排列.1. 對排列定義的理解.定義：從n個不同的元素中任取 m(m薛1)個元素，按照一定順序 排成一列，叫做從 n個不同 元素中取出m個元素的一個排列.相同排列.如果；兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序也必須完全相同.排列數(shù).從n個不同元素中取出 m(mcn)個元素排成一列，稱為從 n個不同元素中取出 m個元素的一個排列.從n個不同元素中

3、取出 m個元素的一個排列數(shù)，用符號 A；表示.排列數(shù)公式：Am n(n 1)(n m 1) n! (m n, n, m N)(n m)!注意：n n! (n 1)! n! 規(guī)定 0! = 1代：Am Am cmn Am mAmna：叭叫 規(guī)定 co cn 1設(shè)重集S有k個不同元素a1,生，.a其中限重復(fù)數(shù)2. 含有可重元素的排列問題. 對含有相同元素求排列個數(shù)的方法是:為 ni、n2n k,且 n = ni+n2+n k，那么S的排列個數(shù)等于nn!n1! n2!. nk!例如：數(shù)字3、2、2,求其排列個數(shù)n (1 2)! 3又例如：數(shù)字5、5、5、求其排列個1!2!數(shù)？其排列個數(shù)n3!1 .3

4、!三、組合.1組合：從n個不同的元素中任取 m(mcn)個元素并成一組，叫做從 n個不同元素中取出 m個元素的一個組合.組合數(shù)公式:cmAmn(n 1) (n m 1)m!cmn!m!(n m)!兩個公式：cm cn n；cmncmcnm 從n個不同元素中取出 m個元素后就剩下 n-m個元素，因此從n個不同元素中取出 n-m 個元素的方法是一一對應(yīng)的，因此是一樣多的就是說從n個不同元素中取出 n-m個元素的唯一的一個組合.或者從n+1個編號不同的小球中， n個白球一個紅球，任取 m個不同小球其不同選法，分二類，一類是含紅球選法有cm n c； cm n一類是不含紅球的選法有c； 根據(jù)組合定義與

5、加法原理得；在確定n+1個不同元素中取 m個元素方法時，對于某一元素，只存在取與不取兩種可能，如果取這一元素，那么需從剩下的n個元素中再取 m-1個元素，所以有 cm n，如果不取這一元素，那么需從剩余n個元素中取出 m個元素，所以共有 c：種，依分類原理有cmn cm sm.排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別 .聯(lián)系：都是從n個不同元素中取出 m個元素.區(qū)別：前者是 排成一排，后者是并成一組，前者有順序關(guān)系，后者無順序關(guān)系 幾個常用組合數(shù)公式cn cnkC1cnc；n 1Cnc： c52n 常用的證明組合等式方法例123i.裂項求和法.如:-n(n 1)!利用n 1n!1(n 1)!n!33334V.遞

6、推法即用 cm Cmn Cn：遞推如：C3C4 C5CnCn 1.Vi.構(gòu)造二項式.如：(C0)2(cn)2 (Cn)2 C2n證明：這里構(gòu)造二項式(x 1)n(1 x)n (1 x)2n其中xn的系數(shù)，左邊為0n 1 n 1 2 n 2CnCn CnC n CnC ncnc0(cn)2(cn)2(Cn)2，而右邊c?n四、排列、組合綜合.1. i.排列、組合問題幾大解題方法及題型： 直接法.排除法. 捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關(guān)元素當(dāng)作一個元素來考慮，待整體排好之后再 考慮它們局部的排列它主要用于解決 元素相鄰問題例如，一般地，n個不同元素排成一列，要求其中某 m(m n)個元素必

7、相鄰的排列有A： ： 1 A：個淇中A： ： 1是一個 整體排 列而A：那么是局部排列.又例如有n個不同座位，A、B兩個不能相鄰，那么有排列法種數(shù)為a2 An； a2. 有n件不同商品，假設(shè)其中 A、B排在一起有A：1 A：.有n件不同商品，假設(shè)其中有二件要排在一起有An注：區(qū)別在于是確定的座位，有a；種；而的商品地位相同， 是從n件不同商品任取的2個，有不確定性. 插空法：先把一般元素排列好， 然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決元素不相鄰問題.例如：n個元素全排列，其中m個元素互不相鄰，不同的排法種數(shù)為多少？ An：Anmm插空法，當(dāng)n -m+1m,即m m,即卩m:_

8、1時有意義2 隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題例如：Xi X2 X3 X4 12的正整數(shù)解的組數(shù)就可建立組合模型將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成11個空隙中任選三個插入3塊摸板，把球分成4個組每一種方法所得球的數(shù)目依次為X1,X2,X3,X4顯然X1 X2 X3 X4 12，故X1,X2,X3,X4丨是方程的一組解.反之,方程的任何一組解(y1,y2,y3,y4)，對應(yīng)著惟一的一種在 12個球之間插入隔板的方式如圖IIIX1 X2X3 X4所示故方程的解和插板的方法一一對應(yīng)即方程的解的組數(shù)等于插隔板的方法數(shù)c；.注意：假設(shè)為非負數(shù)解的X個數(shù)，即用a1,a2,.an中a等于X, 1

9、 ,有X1 X2 X3. Xn A a11 a21.an 1 A ,進而轉(zhuǎn)化為求a的正整數(shù)解的個數(shù)為n 1CA n . 定位問題：從n個不同元素中每次取出 k個不同元素作排列規(guī)定某r個元素都包含在內(nèi)，Ar k rr An r .例如：從n個不同元素中，每次取出m個元素的排列，其中某個元素必須固定在或不固定在某一位置上，共有多少種排法？固定在某一位置上：A： 1 ；不在某一位置上：A： A： 1或An； Am 1 a： 1一類是不取出 特殊元素a,有An：，類是取特殊元素 a,有從m-1個位置取一個位置，然后再從n-1個元素中取m-1，這與用插空法解決是一樣的 指定元素排列組合問題.i. 從n個

10、不同元素中每次取出 k個不同的元素作排列或組合，規(guī)定某r個元素都包含在 內(nèi)。先C后A策略，排列CrrC；k rrAk ；組合c：cn r.ii.從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列或組合，規(guī)定某r個元素都不包含在內(nèi)。先C后A策略，排列Cn rkAk ；組合Cnk.iii從n個不同元素中每次取出k個不同元素作排列或組合，規(guī)定每個排列或組合都Cs k s ks k s,rCn A ；組合 Cr Cn r .II.排列組合常見解題策略： 特殊元素優(yōu)先安排策略；合理分類與準(zhǔn)確分步策略；排列、組合混合問題先選后排的 策略處理排列組合綜合性問題一般是先選元素，后排列；正難那么反，等價轉(zhuǎn)化策略；相鄰問

11、題插空處理策略；不相鄰問題插空處理策略；定序問題除法處理策略；分排問題直排處理的策略；小 集團排列問題中先整體后局部的策略；構(gòu)造模型的策略2. 組合問題中分組問題和分配問題 .均勻不編號分組：將 n個不同元素分成不編號的 m組，假定其中r組元素個數(shù)相等，不管是否分盡，其分法種數(shù)為 A/A；其中A為非均勻不編號分組中分法數(shù)如果再有K組均勻分組應(yīng)再除以 Ak .例：10人分成三組，各組元素個數(shù)為2、4、4,其分法種數(shù)為C1(fC；C4/A2 1575假設(shè)分成六組，各組人數(shù)分別為1、1、2、2、2、2,其分法種數(shù)為 Cio1C91c|c(2c cI/a! A： 非均勻編號分組：n個不同元素分組，各組

12、元素數(shù)目均不相等，且考慮各組間的順序，其 分法種數(shù)為a Am例：10人分成三組，各組人數(shù)分別為2、3、5，去參加不同的勞動，其安排方法為：C10 c8c5 A種.假設(shè)從10人中選9人分成三組，人數(shù)分別為2、3、4,參加不同的勞動，那么安排方法有C1oC83c5 a3 種 均勻編號分組：n個不同元素分成 m組，其中r組元素個數(shù)相同且考慮各組間的順序，其 分法種數(shù)為A/A； A；.例：10人分成三組，人數(shù)分別為 2、4、4，參加三種不同勞動，分法種數(shù)為24CgCgC 非均勻不編號分組：將n個不同元素分成不編號的m組，每組元素數(shù)目均不相同，且不m 1m 2m k考慮各組間順序，不管是否分盡，其分法種

13、數(shù)為 A Cn1 Cn-m1Cn-(m1 m2 . mk-1)例：10人分成三組，每組人數(shù)分別為2、3、5,其分法種數(shù)為C102c8C5 2520假設(shè)從10人中選出6人分成三組，各組人數(shù)分別為1、2、3，其分法種數(shù)為C10c fc? 12600 .五、二項式定理.n 0 n. 01 n 1r n r rn 0. n1.二項式疋理：(a b) Cna b C*a b C*a bCna b .展開式具有以下特點：項數(shù)：共有n 1項；系數(shù)：依次為組合數(shù) 霍心心，,cn， ，c 每一項的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降幕排列，b的升幕排列展開二項展開式的通項(a b)n展開式中的第 r 1 項為

14、：TriC；anrbr(O r n,r Z).二項式系數(shù)的性質(zhì) 在二項展開式中與首未兩項等距離的兩項的二項式系數(shù)相等； 二項展開式的中間項二項式系數(shù)最大nI. 當(dāng)n是偶數(shù)時，中間項是第 -1項，它的二項式系數(shù)C舟最大；2n 1 n 1 n 1n 1II. 當(dāng)n是奇數(shù)時，中間項為兩項，即第項和第 1項，它們的二項式系數(shù) C 2n C 2n2 2最大. 系數(shù)和：C0cnC2 C4Cn1 C；附:般來說(axby)n (a, b為常數(shù)在求系數(shù)最大的項或最小的項時均可直接根據(jù)性質(zhì)二求解.當(dāng)a 1或 b 1時，一般采用解不等式組Ak Ak 1,或Ak Ak 1 (Ak為Tk 1的系數(shù)或系數(shù)Ak Ak1Ak Ak1的絕對值的方法來求解 如何來求(a b c)n展開式中含a pbqcr的系數(shù)呢？其中p,q,r N,且p q r n把(a b c)n (a b) cn視為二 項式，先找出含有 Cr的項cn(a b)n rCr，另一方面 在(a b)n r中含有bq的項為C