1、4.多項式的分解域多項式的分解域 我們都知道 所謂代數基本定理是什么。這個定理告訴我們，復數域C上一元多項式環 的每一個n次多項式在C里有n個根，換一句話說， 的每一個多項式在 里都能分解為一次因子的乘積。 C x C x C x 若是一個域E上的一元多項式環 的每一個多項式在 里都能分解為一次因子的乘積，那么E顯然不再有真正的代數擴域。這樣的一個域叫做代數閉域代數閉域。 E x E x 我們有以下事實：對于每一個域F都存在F的代數擴域E，而E是代數閉域。 這一事實的證明也超出本書范圍。但分裂的理論可以在一定意義下離補這一個缺陷。 定義定義 域F的一個擴域E叫做 的n次多項式多項式 在在F上的

2、一個分裂域上的一個分裂域（或根域根域），假如 （）在 里（有時簡稱在E里） 可以分解為一次因子的積： （）在一個小于E的中間域 里， 不能這樣地分解。 F x f x E x f x 12nnif xaxxxEI FIE f x 按這個定義，E是一個使得 能夠分解為一次因子的F的最小擴域。我們先看一看，一個多項式的分裂域應該有什么性質。 f x 定理定理 1 令E是域F上多項式 的一個分裂域：（1） 那么 f x 12nnif xaxxxE12,nEF 證明證明 我們有 并且在 中， 已經能夠分解成（1）的形式。因此根據多項式的分裂域的定義， 12,nFFE 12,nF f x12,nEF 根

3、據這個定理，如果有F上的多項式 的分裂域E存在，那么E剛好是把 的根添加于F所得的擴域。因此我們也把多項式的分裂叫做它的跟域。現在我們證明多項式的分裂域的存在。 f x f x 定理定理 2 給了域F上一元多項式環 的一個n次多項式 ，一定存在 在F的分裂域E。 F x f x f x 證明證明 假定在 里， 這里 最高系數為1的不可約多項式。那么存在一個域 而 在F上的極小多項式是 在 里 ，所以 因此在 里 F x 11f xfx gx 1fx11EF1 1fx1E 10f 1|xf x1E 122f xxfx gx 這里 是 里最高系數為1的不可約多項式。這樣存在一個域 而 在 上的極小

4、多項式是 在 是 是 的最高系數為1的不可約多項式。這樣我們又可以利用 來得到域 ，使得在 里 這樣一步一步地我們可以得到域 使得在 里 證完 2fx 1E x2121212,EEFF 21E 2fx 2Ex 1233f xxxfx gx 3fx 2Ex 3fx3123,EF 3Ex 12344f xxxxfx gx123,EF E x 12nnf xaxxx 域F上一個多項式 當然可能有不同的在F上的分裂域。但是這些域都同構。要證明這一點，我們需要兩個引理。 f x 引理引理 1 令 和 是兩個同構的域。那么多項式環 和 也同構。LL L x L x 證明證明 令 是 與 間的同構映射，我們

5、規定一個 到 的映射 顯然是 與 間的一一映射。我們看 的兩個元 和 ：aaLL L x L x:iiiia xa x L x L x L x f x g x iiiiiiiif xa xa xfxg xb xb xg x iiiiiiiiikkkiiiiiikij kkij kkij kab xab xab xf xg xfxg xabcab xa b xf x g xfx g x 那么 所以是同構映射。證完。 在上述同構映射 這下， 的一個不可約多項式的象顯然是 的一個不可約的多項式。 L x L x 引理引理 2 令 與 是同構的域， 是 的一個最高系數為1的不可約多項式， 是與 對應的

6、 的不可約多項式。又假定 與各 是 與 的單擴域，滿足條件 和 。那么存在 與 尖的一個同構映射，并且這個同構映射能夠保持原來的 與 間的同構映射。LL p x L x p x p x L x L LLL 0p 0p L LLL 證明證明 假定 的次數是n，那么 的次數也是n。這樣，若 是 與 間的同構映射，那么 是一個 與 間的一一映射，看 的兩個元 由于 有 p x p xaaLL:1100nniiiiiiaa L L L 1100,nniiiiiifagb111000nnniiiiiiiiiiiiababab f xg xfg我們知道， ，這里 由引理1得 因此 這樣， 是 與 間的同構

7、映射。 至于 能夠保持原來 與 間同構映射，顯然。證完。 fgr f x g xq x p xr x fx g xq x p xr xfgr fgrrfg L LLL現在我們證明一個多項式的分裂域的唯一性。我們證明更一般小下述 定理定理 3 令 與 是同構的域， 的 與 的 是在引理1的意義下相對應的n次多項式。又假定 是 在 上的一個分裂域， 是 在 上的一個分裂域，那么在 與 間存在一個同構映射 ， 能夠保持 與 間的同構映射，并且可以分別換掉 還的次序，使在 之下 。 FF F x f x F x fx12,nEF f xF12,nEF fxFEEFFii和ii 證明證明 我們已經知道：

8、 。假定對于 ，我們能夠分別掉換 的次序，使得 這個同構映射保持 與 間的同構映射，并且在這個同構映射之下， 設在 里 這里 是 的一個最高系數為1的不可約多項式。由引理1，在 里 而 是 的一個最高系數為1的不可約多項式。FFknii和1212,kkLFFL FF1,2,iiik L x 12kkkf xxxxpx gx kpx L x L x 12kkkf xxxxpx gx kpx L x 在 和 里，因子 進一步分別分解為 和 。分別掉換 和 的次序，不妨假定 于是由引理2， 這個同構映射保持 與 間的同構映射，并且在這個同構映射下 證完12,nF 12,nF kkkkpx gxpx

9、gx和1knxx1knxx1,kn1,kn110,0kkkkpp11211211,kkkkLFFL FF1,2,1iiik 我們知道，一個n次多項式在一個域最多有n個根（），6，推論1）。分裂域的存在定理告訴我們，域 上多項式 在 的某一個擴域里一定有n個根。分裂域的唯一存在定理告訴我們，用不同方法找到的 的兩組根，抽象地來看，沒有什么區別這樣，給了任何一個域 和 上一個n次多項式 ，我們總可以談論 的n個根。因此，分裂域的理論在一定意義下可以代替所謂代數基本定理。F f xF f xFF f x f x 在域 上一個多項式 在分裂域里，并不是只有 可以分解成一次因子的乘積。我們有以下重要的F

10、 f x f x 定理定理 4 令E是多項式 在域 上的分裂域，而 是E的一個任意元。那么 在 上的極小多項式在E里分解為一次因子的乘積。 f xFF證明證明 令 在域 上的分裂域是 假定 在 上的極小多項式 不能在 里分解為一次因子的乘積。那么在 里 而 是 中最高系數為1的不可約多項式，且 的次數m大于1。做單擴域 f xF12,nEF F g x E x E x 1g xxp x gx p x E x p x12,nEEF 使得 我們看一看 由于 根據，2，定理4，有 因而由引理1，有 而且在這個同構映射這下 這樣，由定理3， 在 上的分裂域與 在 上的分裂同構。但 是 在 上的一個分裂域而 是 在 上的一個分裂域