1、第18題空間向量與立體幾何1、如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,AE 平面 BCE ,且 AE 1 .1 .求證：平面ABCD 平面ABE ; R2 .線(xiàn)段AD上是否存在一點(diǎn)F,使二面角A BF E所成角的余弦值為 Y6 ?若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由2、如圖， BCD與MCD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面 mcd 平面BCD，AB 平面BCD， AB 2/3.(1)證明：直線(xiàn) AB平面MCD(2)求直線(xiàn)am與平面BCD所成的角的大小；(3)求平面acm與平面BCD所成的二面角的正弦值3、如圖，在三棱錐 DABC 中，DA 平面 ABC, CAB=90 ,且 AC=AD=1

2、 , AB= 2 , E為BD的中點(diǎn).(1)求異面直線(xiàn)AE與BC所成角的余弦值；(2)求二面角ACEB的余弦值.4、如圖，在正四棱柱 ABCDAiBiCiDi 中，AA = 3, AB=1.(1)求異面直線(xiàn)A1B與ACi所成角的余弦值;(2)求平面ABC與平面ACiD所成二面角的正弦值.5、如圖，矩形ABCD中，AB 6, AB 6,AD 273點(diǎn)F是AC上的動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將矩形ABCD沿1.求證：當(dāng) AF 43 時(shí)，D'F BC ；兀2.試求CF的長(zhǎng)，使得二面角A D'F B的大小為-.6、如圖，在空間直角坐標(biāo)系 Oxyz中，已知正四棱錐 PABCD的高OP= 2,點(diǎn)B, D和C,

3、 A分別在x軸和y軸上，且AB J2,點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn).(1)求直線(xiàn)AM與平面PAB所成角的正弦值；(2)求二面角APBC的余弦值.7、如圖，在正方體中，棱長(zhǎng)為2, M,N分別為AiB的中點(diǎn).歷Ci(1)證明：MN /BiC ； (2)求AB與平面AiBiCD所成角的大小.8、如圖，在三麴隹p ABC中，PA 平面ABC, AB AC, PA AC 3,一 31 一AB - , BE EC，AD 2DC 22證明: de 平面PAE ;(2)求二面角A PE B的余弦值.9、如圖，在四黏t P ABCD中，底面ABCD為平行四邊形 AB 2AD . BD T3aD ,且 PD底面ABCD .

4、uur uur(2)若Q為PC的中點(diǎn)，且 AP BQ 1 ,求二面角 Q BD C的大小.10、如圖，三棱錐S ABC中，ASC ABC 90°, CAB 30°, CAS 60 , SB 胸，AC 4恭求證:平面ASC 平面ABC；5 -(2)M是線(xiàn)段AC上一點(diǎn)，若AM -J3,求二面角 A SM B的大小.4答案以及解析1答案及解析：答案：1. / AE 平面BCE , BE 平面BCE , BC 平面BCE ,. AE BE,AE BC ,又 BC AB, AE AB A,BC 平面 ABE ,又BC 平面 ABCD ,平面 ABCD 平面 ABE.2.如圖所示，建立

5、空間直角坐標(biāo)系A(chǔ) xyz, AE 1,AB 2, AE BE, BE , 3 .假設(shè)線(xiàn)段AD上存在一點(diǎn)F滿(mǎn)足題意，3 iE(,一,0), B(0,2,0), F(0,0,h),(h 0), 2 2tr易知：平面 ABF的一個(gè)法向量為 m (1,0,0),uuin33uuurv BE ( ，-,0), BF (0, 2,h), 22rr uuu n BE 由 r uuu n BF，設(shè)平面 BEF的一個(gè)法向量為 n (x,y,z),33c1 ,得 n (V3,1,),h0x y 0，得22 y ，取ycos m,n點(diǎn)F為線(xiàn)段AD的中點(diǎn)時(shí)，二面角 A BF02y hz 0E所成角的余弦值為解析:2答

6、案及解析：答案：(1)取CD中點(diǎn)O,連接MO,平面mcd 平面BCD，則MO 平面BCDAB 平面BCD，所以MO/AB又 MO 面 MCD , AB 面 MCD,所以 AB / 面 MCD取中點(diǎn) O，連， OM，則 OB CD，OM CD，又平面MCD 平面BCD，則MO 平面BCD.以O(shè)為原點(diǎn)，直線(xiàn)OC、BO、0M為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖OB 0M 6則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為O 0,0,0 , C 1,0,0 , M 0,0,我,B 0,瘋0 ,A 0,出,2 73 ，設(shè)直線(xiàn)am與平面BCD所成的角為因AMr0,73,、/3，平面BCD的法向量為rn 0,0,1則有sinuuuu

7、 r| cos AM , n |uuuu rAM nuuuu | AM,3645uuuu CM_ uuu1,0,5/3 ， CA1,.3,2 3ur設(shè)平面ACM的法向重為n1x, y, z ,uv由uv n1uuuvCM /日 uuv得CA3z3y02 3z 0.解得x xir_取 n1J3,1,1 ,又平面rBCD的法向重為nit r0,0,1 ,貝cos(n1,nn1 n-urT|n1|n|設(shè)所求二面角為，則sin255解析:3答案及解析:答案：因?yàn)?DA 平面ABC,CAB= 90 ,Axyz.所以可以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系因?yàn)?AC= AD = 1 AB= 2,所

8、以 A(0,0,0) C(1,0,0) B(0,2,0), D(0,0J),因?yàn)镋為線(xiàn)段BD的中點(diǎn), ,1所以 E 0,1,-.uuu(1) AE1 uur0,1- , BC 1, 2,0 ,2,uuir uuir 所以 cos： AE,BCunr uuirAE BCuuir uurAE BC5所以異面直線(xiàn)AE與BC所成角的余弦值為-5(2)設(shè)平面ACE的法向量為必=(% y, z),uuiruur 1因?yàn)?AC 1,0,0 , AE 0,1-, 2uuruuir1所以 n1 AC 0,n1 AE 0,即 x= 0且 y+-z=取 y= 1 得 x=0, z=-2 ,2所以 = (0,1, 2

9、)是平面ACE的一個(gè)法向量.設(shè)平面BCE的法向量為n2=(x, y, z),uuiruuu1因?yàn)?BC=(1,-2,0),BE0, 12uur uuu所以 n2 BC 0,n2 BE 0 ,1 一 一即 x-2y= 0且-y+-z=,取 y= 1 ,得 x= 2, z= 2 , 2所以n2= (21,2)是平面BCE的一個(gè)法向量.所以 cos ni,n2:n1 n2I ni 11n 2 I3所以二面角ACEB的余弦值為叵5解析:4答案及解析：答案：(1)以AB, AD, AA所在直線(xiàn)為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)(0,0,3), B(1,0,0) Ci(1,13),uurujuiui所

10、以 BA=(-1, ,3), AC1(1,1,3),umr uuun. 所以 cos BA,ACi1 94.而10? 1155(2)由題意得 C(1,1,0) D( 0,1,0), uuuruiurluuruuir所以 AB=(1, , 3),AC(1,1,-3),AG=(1,1,3),AD=(0,1,0), 設(shè)平面A1BC的一個(gè)法向量為n1 = (x1, y1，z1)，則uuirA1B np1rl x13z1uuuu即0AC n1x1y13z1令 Z1= 1 ,則 n1=(3,0,1).設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為n2= (x2, y2, Z2),則uuiuiAC1 出口 h xy23z2uu

11、ir即AD n2V2令 z2=1 ,則 n2= 6 3,0,1),所以 cos n1 ,n2rii上|5|巾2|9 15 '所以平面A1BC與平面AGD所成二面角的正弦值為 解析:5答案及解析：答案：1.連結(jié)DF,BF.在矩形 ABCD 中，AD 2j3,CD 6,.AC 43,CAB 30 , DAC 60 .在ADF中, AF. DF 2DA2AF22DA AF cos DAC9,DF2AF2DA2,.DFAC ,即D'FAC.又在ABF中,2BF2AB 2AB AF cosCAB 21,在 FB 中,D'F2FB2 32 ( .21)2DB2 ,.BF D'

12、;F又. ACFBD'F平面ABC.D'FBC .2.在矩形ABCD中，過(guò)D作DEAC于。，并延長(zhǎng)交AB于E.沿著對(duì)角線(xiàn)AC翻折后，由1可知，OE,OC,OD'兩兩垂直，以。為原點(diǎn)，OE的方向?yàn)閤軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系O xyz, 則 O(0,0,0), E(1,0,0),D'(0,0,3), B(3,2 3,0) EO 平面 AD'F ,的一個(gè)法向量.uuu OE (1,0,0)為平面 AD'F設(shè)平面BD'F的法向量為n(x,y,z)3,t 2 3,0), F(0,t,0),uuuu- uur .BD' ( 3, 2 3,

13、3), BF (ULUUn BD' 0由 LUU 得n BF 03x 23y 3z 03x (t 2眄 y 0 取 y3則 x t 273, z t,n(t 2 3,3, t)兀.cos 4unrOEL_LUU1-7何但卜273.(t 2 3)2 9 t2t立 I4、-11 L . 兀，當(dāng)CF 73時(shí)二面角A D'F B的大小是一44解析:6答案及解析:答案：1.記直線(xiàn)AM 與平面PAB所成的角為，A(0,1,0), B(1,0,0), C(0,1,0), P(0,0,2)1uurM(0,-,1),則 AB2LUU(1,1,0),PA (0,uumr1, 2), AM3(0,

14、一,1)，2r設(shè)平面PAB的法向量為n(x, y, z),所以r n r nUUUABUUUPAy 0 b r y 取n2x 0(2, 2,1),所以sinruuuunAMruuuunAMr uuuu cos n, AM4 1339即直線(xiàn)AM與平面PAB所成角的正弦值為勺國(guó)UU39UurUUU2.設(shè)平面 PBC 的法向量為 n1 (x,y,z) , BC ( 1,1,0),PB(1,0, 2)UUUUirr)1 BC 0UUUUUn)1 PB 0x y 0b uu即取n1x 2y 0,r iu(2,2,1),所以 cost n,nruunn1由圖可知二面角 APBC的余弦值為 解析:7答案及解

15、析：答案：（1）如圖，以點(diǎn) D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸,DC為y軸，DDi為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則 A 2,0,0 ,C 0,2,0 ,Ai 2,0,2 ,Bi 2,2,2 ,M 2,1,1 ,N 1,1,0 .uuuuMN ( 1,0, 1),uuuuBiC ( 2,0, 2).uuur ujiu uuuu luunB1C 2MN , BQ/MN ,即 MN/BQ.(2)易得 A(2,0,0), B1(2,2,2),uurluurDC (0,2,0), AB (0,2, 2) .設(shè)平面 ADE的一個(gè)法向量ir 為m（%,必，4）,r uiuun B1C 0, 2x 2z 0, 則r uiu

16、u即n A1B1 0, 2y 0,ir令 z 1 ,則 x 1,y 0,所以 m ( 1,0,1).設(shè)AB與平面AB1CD所成角為0 ,uuir r則sin|cosuuir rAB,n I| A1B n|tutf-rAB nI 2| 12/2 & 2 AiB與平面ABiCD所成角為30 .解析:8答案及解析：答案：證明：Q PA 平面ABC,AB,AC在平面ABC內(nèi)，PA AB,PA AC .又AB AC , AB, AC, AP兩兩垂直，以點(diǎn) A為坐標(biāo)原點(diǎn)AB,AC,AP分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由題意得A 0,0,03B ,0,0 C 0,3,0 ,P2,0,0

17、,3BE EC2E 1,1,0Q AD 2DC , D0,2,0 .UUITDEuuuuur uur(1, 1,0), AE (1,1,0). / DE AEuurQ, - DEuuuAE , DEAE，同理可得DEAP,又APAEA, DE 平面 PAE .(2)解設(shè)irmx,y,z是平面r m PEB的一個(gè)法向量，則 rmuuu CE, uuu PE,x-2y 0,令z 1 , x y -3z 0.2,1,1uuir 由得DE(1, 1,0)是平面APE的一個(gè)法向量，ur umrm, DEr uur m DE|m|uurIDE |2 13耳 &-6-,由圖形得二面角 APE B為銳

18、角，二面角A PE B的余弦值為解析:9答案及解析:答案：(1)證明：AD22_ 2BD ABAD BDQ AD /BCBC BD又 PD 底面ABCDPD BC PDI BD D BC 平面 PBDQ BC 平面PBC，平面PBC 平面PBD(2)由1知，DA,DB,DP兩兩垂直分別以DA, DB,DP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系 Dxyz設(shè) AD 1 得 AB 2 ,BD m，令 PD t ,則 A(1,0,0), B(0,3, 0),C( 1,3,0), P(0,0, t),Q(13 t、一,一)2 2 2uuurumr1AP ( 1,0,t),BQ (-, 2uuu uuur t2 1AP BQ 1 , - t2uuir1 3 1 uur故 DQ ( 2,”BQ蟲(chóng)).2 211點(diǎn)1、2,三3r設(shè)平面QBD的法向重為n (x, y, z),ruuur131nDQxy-z0則222ruur131n BQ -x y -z 0222r令 x 1 ,得 y 0,z 1 ,即 n (1,0,1)ir易知平面BDC的一個(gè)法向量為 m (0,0,1)則cosr rm, n，二面角Q BD C的大小為-.解析：10答案及解析：答案：(1)證明：如圖，過(guò)點(diǎn) S作SH A