1、12第七章第七章 彎曲變形彎曲變形71 引言72 梁的撓曲線近似微分方程73 積分法計算梁的變形74 疊加法計算梁的變形75 梁的剛度計算76 簡單超靜定梁的求解彎曲變形小結彎曲變形小結37 71 1 引言引言4一、撓曲線：梁變形后的軸線。一、撓曲線：梁變形后的軸線。 性質：性質：連續、光滑、彈性、 極其平坦的平面曲線。二、撓度：橫截面形心沿垂直于二、撓度：橫截面形心沿垂直于 軸線方向的位移。軸線方向的位移。 用用 “ “w w” 表示。表示。w w =w =w（x x） 撓曲線方程。撓度向上為正；向下為負。撓度向上為正；向下為負。三、轉角：橫截面繞中性軸轉過的角度。用三、轉角：橫截面繞中性軸

2、轉過的角度。用“ ” ” 表示。表示。=(x)=(x)轉角方程。由變形前的橫截面轉到變形后，逆時針為正；順時針為負。逆時針為正；順時針為負。四、撓度和轉角的關系四、撓度和轉角的關系w w =w =w（x x）上任一點處wxwdxdwtg)(wtgw w C 1xCwPABF57 72 2 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程一、曲率與彎矩的關系：一、曲率與彎矩的關系：EIMr1EIM)()(1xxr（1）二、曲率與撓曲線的關系：二、曲率與撓曲線的關系：232)(1)(1wwx rwx )(1r（2）三、撓曲線與彎矩的關系三、撓曲線與彎矩的關系： 聯立（1）、（2）兩式得wx EIM)(

3、)(xwM EI6wxM00)( xw撓曲線近似微分方程的近似性撓曲線近似微分方程的近似性忽略了“Fs”、 對變形的影響。2)(w使用條件：使用條件：彈性范圍內工作的細長梁。M00)( xw)(xwM EI結論：撓曲線近似微分方程結論：撓曲線近似微分方程wx7)()(xMxwEI 1)()(CdxxMxwEI21)()(CxCdxdxxMxEIw 7-3 7-3 積分法計算梁的變形積分法計算梁的變形步驟步驟：（EI為常量）1、根據荷載分段列出彎矩方程 M（x）。2、根據彎矩方程列出撓曲線的近似微分方程并進行積分3、根據彎曲梁變形的邊界條件和連續條件確定積分常數。0Aw0Bw0Dw0 D 右右左

4、左CC 連續條件：連續條件：右右左左CCww 邊界條件：邊界條件：DPFPABCF8（1 1）、固定支座處：撓度等于零、轉角等于零。）、固定支座處：撓度等于零、轉角等于零。（2 2）、固定鉸支座處；可動鉸支座處：撓度等于零。）、固定鉸支座處；可動鉸支座處：撓度等于零。（3 3）、在彎矩方程分段處：）、在彎矩方程分段處： 一般情況下一般情況下稍左稍右的兩個截面撓度相等、轉角相等。稍左稍右的兩個截面撓度相等、轉角相等。4、確定撓曲線方程和轉角方程 。5、計算任意截面的撓度、轉角；撓度的最大值、轉角的最大值。9EIFLLw3)(3例：例：求圖示懸臂梁自由端的撓度及轉角求圖示懸臂梁自由端的撓度及轉角(

5、 ( EI=EI=常數）常數）。解一：解一：建立坐標系并寫出彎矩方程)()(xLFxM寫出微分方程并積分應用位移邊界條件求積分常數)()(xLFxMwEI 12)(21CxLFwEI213)(61CxCxLFEIwFLwxx322161 ; 21FLCFLC確定撓曲線、轉角方程3233)(6)(LxLxLEIFxw22)(2LxLEIFwEIFLL2)(2自由端的撓度及轉角X=0, w=0 ; =010解二：解二：建立坐標系并寫出彎矩方程)()(xLFxM寫出微分方程并積分應用位移邊界條件求積分常數)()(FxFLxMwEI 1221CFxFLxwEI213262CxCFxFLxEIwX=0,

6、 w=0 ; =0確定撓曲線、轉角方程3236)(xLxEIFxw222xLxEIFwEIFLLww3)(3maxEIFLL2)(2max最大撓度及轉角0 ; 021CCFLwxx11qLABxC解：解：建立坐標系并寫出彎矩方程寫出微分方程并積分應用位移邊界條件求積分常數確定撓曲線和轉角方程最大撓度及最大轉角ql/2ql/2)(222)(22xlxqqxxqlxM21431322)126(2)32(2)(2CxCxlxqEIwCxlxqwEIxlxqwEI X=0 , w=0 ; x=L , w=0 . 例：例：求圖示梁的最大撓度和最大轉角 （EI=常數）)46(24)2(24323323xl

7、xlEIqwxlxlEIqxw0,24231CqlCEIqlEIqlwBALx2438453max42max12bABFaCL解：解：建立坐標系并寫出彎矩方程寫出微分方程并積分Fb/LFa/L例：例：求圖示梁的跨中的撓度和轉角 （EI=常數）x1x2)()()(22211axFxLFbxMxLFbxM左側段（0 x1a）：右側段（ax2L）：11131112111162DxCxLFbEIwCxLFbwEIxLFbwEI 222323222222222226)(62)(2)(DxCaxFxLFbEIwCaxFxLFbwEIaxFxLFbwEI 13跨中撓度及轉角確定撓曲線和轉角方程應用位移邊界條

8、件和連續條件求積分常數X=0 , w=0 ; x=L , w=0 . X1=X2=a ，w1=w2 ；w1=w20);(6212221DDbLLFbCC2122112122116)(66xbLLEIFbwxbLLEIFbxw)(31)(2)()(62222222222232322bLxaxbLLEIFbwxbLxaxbLLEIFbw2222424);43(4822bLLEIFbwbLEIFbwLLxxLEIaLFabLEIbLFabBA6)(;6)(兩端支座處的轉角兩端支座處的轉角14討論：討論：1、此梁的最大撓度和最大轉角。、此梁的最大撓度和最大轉角。 LEIbLFabxwA6)(00max

9、111max1 左左側側段：段： 右右 側側 段：段：LEIaLFabLxwB6)(0max222max2 當當 ab 時時LEIaLFabB6)(max3221max1221max)(393)2(301blLEIFbwwaxbaabLxwwxx當當 ab 時時最大撓度一定在左側段最大撓度一定在左側段15 2、a=b 時時此梁的最大撓度和最大轉角。此梁的最大撓度和最大轉角。EIFLwwEIFLLxCBA48;163max2max2ABFCLab寫出下列各梁變形的寫出下列各梁變形的邊界條件和連續條件邊界條件和連續條件.,; 02121CCCCBEBAwwLww1C截面稍左截面稍左2C截面稍右截面

10、稍右ABFCL/2L/2EABC.; 0; 0, 021CCBAAwwww167 75 5 疊加法計算梁的變形疊加法計算梁的變形1 1、載荷疊加：、載荷疊加：2 2、結構形式疊加（逐段剛化法）：、結構形式疊加（逐段剛化法）：)()()()(221121nnnFFFFFF )()()()(221121nnnFwFwFwFFFw 一、前提條件：彈性、小變形。一、前提條件：彈性、小變形。二、疊加原理：梁上有幾個（幾種）荷載共同作用的變形等于每二、疊加原理：梁上有幾個（幾種）荷載共同作用的變形等于每 個荷載（每種）荷載單獨作用產生的變形的代數和。個荷載（每種）荷載單獨作用產生的變形的代數和。三、疊加法

11、計算的兩種類型：三、疊加法計算的兩種類型：17aaFaaq=+例例：疊加法求A截面的轉角和C截面 的撓度.解解、載荷分解如圖、由梁的簡單載荷變形表， 查簡單載荷引起的變形。EIFaEIFLwFC64833EIFaEIFLFA41622EIqaEIqLwqC245384544EIqaEIqLqA32433aaqFA AC CA18)6245(34EIFaEIqawwwqCFCCqAFAA)43(122qaFEIa、疊加q q 0 00 0. .5 5L L0 0. .5 5L LA AB BC C例：例：疊加法求C點撓度.解解、載荷無限分解如圖載荷無限分解如圖、查梁的簡單載荷變形表，查梁的簡單載

12、荷變形表，dbLbqdbbqdF02)(EIbLbdFwdFC48)43()(32dbEIbLqb24)43(322、疊加疊加dFCqCwwEIqLdbEILbLqbL24024)43(45.00322d bdFb19=+L/2qFL/2ABC例例：確定圖示梁C截面的撓度和轉角。解解：1、載荷分解如圖2、查梁的簡單載荷變形表EIqLEIqLwCqCq6;834L/2qL/2L/2FL/2EIFLEILFEIFLEILFwBFBF82)2(;243)2(2233EIFLLEIFLEIFLLwwBFBFCF48528242323EIFLBFCF82 DCxEIwCwEIxMwEI0)(2LBFBF

13、w203、疊加EIFLEIqLEIFLEIqLwwwCFCqCCFCqC86;48582334L/2L/2qA AC CA=+例例：求圖示梁C截面的撓度。解解：1、載荷分解如圖2、查梁的簡單載荷變形表EIqLEILqwwwwCaCbCaC7685384)2(50443、疊加0;384)2(54CbCawEILqwL/2A AC CAq/2L/2(a)L/2L/2A AC CAq/2q/2(b)21例例: :結構形式疊加（逐段剛化法結構形式疊加（逐段剛化法) ) 原理說明原理說明+1w2w21www=P PA AB BL L 1 1L L 2 2C CFP PA AB BL L 1 1L L 2

14、 2C C剛化剛化A A C C 段段FP PA AB BL L 1 1L L 2 2C C剛化剛化B B C C 段段FP PB BL L 2 2C C等價等價FP PA AB BL L 1 1L L 2 2C CM等價等價Fw22例例：求圖示梁C截面的撓度。解解：1、結構分解如圖2、查梁的簡單載荷變形表L/2FL/2ABC2EIEIL/2FL/2ABC（a）=+L/2FL/2ABC（b）M=FL/2EIFLLEILFLEILFEILFEILFLLwwEIFLEILFwBbBbCbCa48722)2(2)2(2)2()2(33)2()2(22)2(22243)2(32333、疊加EIFLEI

15、FLEIFLwwwCbCaC1634872433323=+A AB BL La aC Cq qqaqaA AB BL L C CM=qa2/2（b）例例：求圖示梁B截面的撓度（EI已知）。已知）。解解：1、結構分解如圖2、查梁的簡單載荷變形表3、疊加B B C Cq q（a）EILqaaEILqaawEIqawCbBbBa63)21(;8324EILaqaEILqaEIqawwwBbBaB24)43(6833424qaAB例例、用疊加法求圖示等截面直梁A、D、E（BC之中點）點的撓度。EIqawA841 解解：結構和載荷分解如圖。 EIqaaEIaqawA3322422EIqawE842EIq

16、aaEIaqawD6622422E（1）（2）Pq=P/aaABDC2aaFq=F/aBP2aADC2aaqa /2F25EIqaEIFawD33433EIqaaEIaFawA36244EIqaEIaFawE44424EIqaaEIaFawD323244EIqawwiAiA2419441EIqawwiEiE83441EIqawwiDiD67441（4）FDCa（3）PaABDC2aaPaFFaPq=P/aaABDC2aaFq=F/a26例：例：拐桿如圖，A處為一軸承，允許桿在軸承內自由轉動，但不能上下移動，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求 B 截面的垂直位移。分析分析：B點的垂直位移由

17、兩部分組成，即：BA彎曲和CA桿扭轉由A截面轉角而引起。 F FBwB1FBAC CMA=FLABwB2ABAcABBBBLEIFLwww3321PACABABABGILFLLEIFL33333101052103123 . 0603410202104 . 0325 . 03 . 0603 . 0mm22. 8500300P=60NBAC C20510F272829 用用疊加法求疊加法求AB梁上梁上E處的處的撓度撓度 wEE1E2+ +30+ +E2317 77 7 梁的剛度條件與合理剛度設計梁的剛度條件與合理剛度設計 max一、梁的剛度條件一、梁的剛度條件其中稱為許用轉角；/L稱為許用撓跨比。

18、、校核剛度：、設計截面尺寸；（對于土建工程，強度常處于主要地位，剛度常處于從屬地位。特殊構件例外） LLwwwwmaxmaxmax二、剛度計算二、剛度計算、確定外載荷。32例：例：下圖為一空心圓桿，內外徑分別為：d=40mm、D=80mm，桿的E=210GPa，工程規定C點的/L=0.00001,B點的 =0.001弧度,試校核此桿的剛度.F F2 2A AB BC CD DF F2 2A AB BC CD DF F2 2B B C CA AB BL L 1 1 C CMF F2 2A AB BC CF F1 1D D=+=F F2 2=2=2KNKNA AB BL=0.4mL=0.4ma a

19、=0.1=0.1m mC CF F1 1=1=1KNKND D0.20.2 m m33EIaLFawBC162111EILFB16211EILaFEIaFEIaLFwC3316223221EILaFEIMLB3323EILaFawBC32233EILaFEILFB316221解解：結構變換，查表求簡單 載荷變形。02 B EIaFwC3322疊加求復雜載荷下的變形=A AB BC CP P1 1D D+圖圖1 1圖圖2 2圖圖3 3P P2 2B Ba aC CA AB BL La aC CMP P2 2F1F2F2F F2 2=2=2KNKNA AB BL=0.4mL=0.4ma a=0.1

20、=0.1m mC CF F1 1=1=1KNKND D0.20.2 m m34mEILaFEIaFEIaLFwC62232211019. 53316)(10423. 0)320016400(18802104 . 03164221弧度EILaFEILFB481244441018810)4080(6414. 3)(64mdDI 001.010423.04maxLLwmaxmLmLwLwC556max10103.1104.019.5/校核剛度35三、提高梁的剛度的措施三、提高梁的剛度的措施由梁在簡單荷載作用下的變形表和前面的變形計算可看：梁的撓度和轉角除了與梁的支座和荷載梁的支座和荷載有關外還取決于

21、下面三個因素：材料材料梁的位移與材料的彈性模量 E 成反比成反比；截面截面梁的位移與截面的慣性矩 I 成反比成反比；跨長跨長梁的位移與跨長 L 的的 n 次冪成正比次冪成正比。 （轉角為（轉角為 n 的的 2 次冪，撓度為次冪，撓度為 n 的的 3 次冪）次冪）1、增大梁的抗彎剛度（、增大梁的抗彎剛度（EI）2、調整跨長和改變結構、調整跨長和改變結構方法方法同提高梁的強度的措施相同同提高梁的強度的措施相同36注意：注意： 同類的同類的材料材料，“E”E”值相差不多值相差不多，“ j xj x”相差較大相差較大，故換故換用同類材料只能提高強度，用同類材料只能提高強度，不能提高剛度不能提高剛度。

22、不同類的材料不同類的材料，“E”E”和和“G”G”都相差很多（鋼都相差很多（鋼E=200GPa , E=200GPa , 銅銅E=100GPaE=100GPa），故可選用不同類的材料以達到），故可選用不同類的材料以達到提高剛度提高剛度的目的目的。但是，改換材料，其的。但是，改換材料，其原料費用也會隨之發生很大的改變原料費用也會隨之發生很大的改變！377 76 6簡單超靜定梁的求解簡單超靜定梁的求解1 1、用多余約束反力代替多余約束（取靜定基，原則：便于計算）、用多余約束反力代替多余約束（取靜定基，原則：便于計算）2 2、在多余約束處根據變形協調條件列出變形的幾何方程、在多余約束處根據變形協調條

23、件列出變形的幾何方程3 3、把物理條件代入幾何方程列出力的補充方程求出多余反力、把物理條件代入幾何方程列出力的補充方程求出多余反力4、計算梁的內力、應力、強度、變形、剛度。、計算梁的內力、應力、強度、變形、剛度。L/2A AC CAqL/2B=L/2A AC CAqL/2BFcY分析0CYCFCqCwww048384534EILFEIqLCYqLFCY85步驟步驟38q q 0 0L LA AB BF FBYBY=q q 0 0L LA AB BEI、幾何方程解解：、建立靜定基00BYBFBqBwww、由物理關系確定力的 補充方程求出多余反力EILFwEILqwBYBFBqBY3;834000

24、38340EILFEILqBY830LqFBY00AAMAqAq q 0 0L LA AB BM A=A AB BR R B Bq q 0 0A AB B+F FBYBY39q q 0 0L LA AB BC CEI、幾何方程 解解：、建立靜定基BCBFBqBLwwwBY0例例：結構如圖，求B點反力。L LBCBCEA、補充方程求出支反力EILFwEILqwBYBFBqBY3; 83400EALFLBCBYBC)3(8340EILALILqFBCBYEALFEILFEILqBCBYBY38340=q q 0 0L LA AB BR R B BEIFBYq q 0 0A AB B+=A AB B

25、R RB BFBY40q q 0 0L LA AB BC CEIL LB BC CEA例：結構如上圖例：結構如上圖，E=210GPa，s=240MPa，LBC=1m，ABC=1cm2, AB為矩形截面梁,b=10cm,h=30cm,L=2m，q0=20 kN/m, 求結構的安全系數。 解解：由上題可知q q0 0A AB BNBC)(14.8)3(8340kNEILALILqFFBCBYNBCMx-23.72k N m1.64k N m maxmaxzABWM)(6237202MPa 彎矩如圖. )(4.81108140 4MPaAFBCNBCBC94.24.81240ma

26、x snFNBC41確定撓曲線大致形狀確定撓曲線大致形狀原則：原則：1、由彎矩的正負判斷撓曲線彎曲的大致形狀（畫彎矩圖）； 2、由梁的支座處的邊界條件及梁變形的連續條件判斷。mm分析分析1、畫M圖，2、據M圖、支座和變形的連續條件畫撓曲線的大致形狀。mxM3FFaaaMxFaFa拐點拐點42xMM/32M/3 A AB BMa2aM/3aM/3aaaaF2F1R2R1xMF2aR1a設：設： F1產生變形的效果大于產生變形的效果大于F2。43彎曲變形小結彎曲變形小結一、撓曲線：梁變形后的軸線。一、撓曲線：梁變形后的軸線。 性質：性質：連續、光滑、彈性、極其平坦的平面曲線。二、撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的位移。二、撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的位移。撓度向上為正；向下為負。撓度向上為正；向下為負。三、轉角：橫截面繞中性軸轉過的角度。用三、轉角：橫截面繞中性軸轉過的角度。用“ ” ” 表示。表示。順時針為負；逆時針為正。順時針為負；逆時針為正。四、撓度和角度的關系四、撓度和角度的關系wtg基本概念基本概念442、曲率與撓曲線的關系：wx )(1r（2）3、撓曲線與彎矩的關系： wx EIM)(撓曲線近似微分方程的近似性撓曲線近似微分方程的近似性忽略了“Fs”、 對變形的影響。2)(w使