1、12第六章第六章 空間力系空間力系 重心重心 61 工程中的空間力系問題工程中的空間力系問題 62 力在空間坐標(biāo)軸上的投影力在空間坐標(biāo)軸上的投影 63 力對軸的矩力對軸的矩 64 空間力系的平衡方程空間力系的平衡方程 65 重心的概念重心的概念 66 重心坐標(biāo)公式重心坐標(biāo)公式 67 物體重心的求法物體重心的求法 習(xí)題課習(xí)題課 3(a) 空間匯交力系；空間匯交力系；(b) 空間平行力系；空間平行力系；(c) 空間空間一般一般力系。力系。6-1 6-1 工程中的空間力系問題工程中的空間力系問題空間力系：空間力系：作用在物體上的力系，其作用線分布在空間，而且作用在物體上的力系，其作用線分布在空間，而

2、且不能簡化到某一平面時(shí)，這種力系稱為空間力系。不能簡化到某一平面時(shí)，這種力系稱為空間力系。例如：例如：Z1P2zxyP1X1Z2X2迎迎 面面風(fēng)風(fēng) 力力側(cè)側(cè) 面面風(fēng)風(fēng) 力力b4力的三要素：力的三要素： 大小、方向、作用點(diǎn)大小、方向、作用點(diǎn)大小：大小：作用點(diǎn)：作用點(diǎn)： 在物體的哪點(diǎn)就是哪點(diǎn)在物體的哪點(diǎn)就是哪點(diǎn)方向：方向： 由力由力與坐標(biāo)軸或平面的與坐標(biāo)軸或平面的方位角確定。方位角確定。FF6-2 6-2 力在空間坐標(biāo)軸上的投影力在空間坐標(biāo)軸上的投影一、力在空間的表示一、力在空間的表示：bgqFxyO5bgOFxFyFz1、一次投影法（直接投影法）、一次投影法（直接投影法）g gb b cosFF

3、ZcosFFYcosFFXzyx二、力在空間坐標(biāo)軸上的投影二、力在空間坐標(biāo)軸上的投影gFxyOFxFyFz2、二次投影法（間接投影法）、二次投影法（間接投影法） g gcossinFFXx g gsinsinFFYyg gcosFFZz先將先將 F 投影到投影到xy面上，然后再面上，然后再投影到投影到x、y軸上。軸上。6bgOFxFyFz若以若以 表示力表示力F在直角坐標(biāo)軸的投影量。在直角坐標(biāo)軸的投影量。 zyxF,F,F222zyxFFFF則則F的大小和方向：的大小和方向：222222222zyxzzyxyzyxxFFFFcosFFFFcosFFFFcosg gb b 三、由坐標(biāo)軸上的投影量

4、求力三、由坐標(biāo)軸上的投影量求力F：76-2 6-2 力對軸的矩力對軸的矩 一、力對軸的矩的概念一、力對軸的矩的概念8 力對軸的矩力對軸的矩是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量，是是力使剛體繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)的度量，是代數(shù)量。其大小等于力在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)的投影與力代數(shù)量。其大小等于力在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)的投影與力臂臂d （軸與平面的交點(diǎn)到力在平面內(nèi)投影的垂直距離）的（軸與平面的交點(diǎn)到力在平面內(nèi)投影的垂直距離）的乘積，其符號按右手法則確定。乘積，其符號按右手法則確定。力對力對z軸的矩定義：軸的矩定義： 的的面面積積 BOAdFFmFmxyxyOz 2由實(shí)例可知：力由實(shí)例可知：力F與軸共面時(shí)，力對軸之矩為

5、零。與軸共面時(shí)，力對軸之矩為零。軸的平面內(nèi)分量軸的平面內(nèi)分量垂直于垂直于軸的分量軸的分量平行于平行于ZFZFFxyz9二、合力矩定理二、合力矩定理 iznzzzzFmFmFmFmRm21 空間力系的合力對某一軸的矩，等于力系中各分力空間力系的合力對某一軸的矩，等于力系中各分力對同一軸的矩的代數(shù)和。對同一軸的矩的代數(shù)和。稱為空間力系的合力矩定理稱為空間力系的合力矩定理 與平面力系情況類同，空間力系的合力矩定理為：與平面力系情況類同，空間力系的合力矩定理為： 空間合力矩定理可以用來確定物體的重心位置空間合力矩定理可以用來確定物體的重心位置 +-力對軸的矩力對軸的矩的符號規(guī)定的符號規(guī)定右手法則右手法

6、則10例例1 已知已知P=2000N, C點(diǎn)在點(diǎn)在Oxy平面內(nèi)。求力平面內(nèi)。求力P對三個(gè)坐標(biāo)對三個(gè)坐標(biāo) 軸的矩。軸的矩。6045604545coscosPPsincosPPsinPPyxz解：解： mN2386045560456.coscosPsincosPPmPmPmPmzzyzxzz mN884456600.sinPPPmPmPmPmzzxyxxxx mN770455500.sinPPPmPmPmPmzzyyyxyy11 建立空間任意力系平衡方程的方法與平面力系的方法相同，建立空間任意力系平衡方程的方法與平面力系的方法相同，都是采取力系簡化的方法。只是對于空間力系推導(dǎo)平衡條件的都是采取力系

7、簡化的方法。只是對于空間力系推導(dǎo)平衡條件的過程比較復(fù)雜。這里只用比較直觀的方法得出空間一般力系平過程比較復(fù)雜。這里只用比較直觀的方法得出空間一般力系平衡方程。衡方程。6-4 6-4 空間力系的平衡方程空間力系的平衡方程 nFF,F,F321 設(shè)作用在剛體上有設(shè)作用在剛體上有空間一般力系空間一般力系12 如果該物體平衡，則必須要使該物體不能沿如果該物體平衡，則必須要使該物體不能沿x、y、z三三軸移動(dòng)，也不能繞軸移動(dòng)，也不能繞x、y、z三軸轉(zhuǎn)動(dòng)。即滿足三軸轉(zhuǎn)動(dòng)。即滿足: 0 00 00 0Fm,ZFm,YFm,Xzyx空間力系一般的平衡方程空間力系一般的平衡方程 各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和及

8、各力對此三軸各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和及各力對此三軸力矩的代數(shù)和都必須分別等于零。力矩的代數(shù)和都必須分別等于零。 共六個(gè)獨(dú)立方程，可以求解獨(dú)立的六個(gè)未知量。共六個(gè)獨(dú)立方程，可以求解獨(dú)立的六個(gè)未知量。空間一般力系平衡的充要條件：空間一般力系平衡的充要條件：13 對于空間匯交力系：（選取匯交點(diǎn)為原點(diǎn)）對于空間匯交力系：（選取匯交點(diǎn)為原點(diǎn)）則則 000FmFmFmzyx成為恒等式成為恒等式故空間匯交力系的平衡方程為：故空間匯交力系的平衡方程為：000ZYXOxyzF1F2F3Fn14對于空間平行于對于空間平行于 z 軸的平行力系：軸的平行力系： 000YXFmz成為恒等式成為恒等式故空間平行于

9、故空間平行于 z 軸的軸的平行力系的平衡方程為：平行力系的平衡方程為： 000FmFmZyxOxyzF1F2F3Fn則則151、球形鉸鏈、球形鉸鏈幾種典型的空間約束幾種典型的空間約束162、向心軸承，蝶鉸鏈，滾珠、向心軸承，蝶鉸鏈，滾珠(柱柱)軸承軸承173、滑動(dòng)軸承、滑動(dòng)軸承 184、止止推推軸軸承承 MxMy195、帶有銷子的夾板、帶有銷子的夾板206、空間固定端、空間固定端21最好每一個(gè)方程有一最好每一個(gè)方程有一個(gè)未知量，方便求解個(gè)未知量，方便求解解：選研究對象解：選研究對象 作受力圖作受力圖 選坐標(biāo)列方程選坐標(biāo)列方程例例1 已知已知:RC=100mm, RD=50mm,Px=466N,

10、 Py=352N, Pz=1400N。求平衡時(shí)力。求平衡時(shí)力Q和軸承和軸承A , B處的約束反力？處的約束反力？(Q力作用在力作用在C輪的最低點(diǎn)）輪的最低點(diǎn)） N35200yAyAPY，PY，Y N746020100500QcosQP，mzy22 N437020 50200503000BByxzXcosQXPPm， N729020 0AxBA，XcosQPXXX， N2040020 503002000BzBxZsinQPZm， N385020 0AzBA，ZsinQPZZZ，23物體的每個(gè)微小部分都受到重力作物體的每個(gè)微小部分都受到重力作用，可認(rèn)為該力系是用，可認(rèn)為該力系是空間平行力系空間平行

11、力系6-5 6-5 重心的概念重心的概念一、物體重心的概念一、物體重心的概念平行力系的中心，稱為平行力系的中心，稱為物體的重心物體的重心 平行力系的合力，稱為平行力系的合力，稱為物體的重力物體的重力二、研究物體重心的意義二、研究物體重心的意義重心位置重心位置會(huì)影響物體的平衡和穩(wěn)定會(huì)影響物體的平衡和穩(wěn)定例如：不倒翁玩具、飛機(jī)和船舶、高速旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子等例如：不倒翁玩具、飛機(jī)和船舶、高速旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子等 WWWi Wi24一、平行力系的中心一、平行力系的中心由合力矩定理可得：由合力矩定理可得：iiiCiiCiiCFRRzFzRyFyRxFx 空間平行力系，當(dāng)它有合力時(shí)，合力的作用點(diǎn)空間平行力系，當(dāng)它有合力

12、時(shí)，合力的作用點(diǎn)C 就是就是空間平行力系的中心空間平行力系的中心6-6 6-6 重心坐標(biāo)公式重心坐標(biāo)公式25 如果把物體的重力都看成如果把物體的重力都看成為平行力系，則求重心問題就為平行力系，則求重心問題就是求平行力系的中心問題。是求平行力系的中心問題。 iiCxWxW二、重心坐標(biāo)的一般公式二、重心坐標(biāo)的一般公式WWWi Wi由合力矩定理：由合力矩定理：WzWzWyWyWxWxiiCiiCiiC重心坐標(biāo)的一般公式重心坐標(biāo)的一般公式MgWgmWii和和代代入入MzmzMymyMxmxiiCiiCiiC26三、均質(zhì)物體的重心坐標(biāo)公式三、均質(zhì)物體的重心坐標(biāo)公式均質(zhì)物體的重量均勻分布，設(shè)單位體積的重量

13、為均質(zhì)物體的重量均勻分布，設(shè)單位體積的重量為 iiVWVWg gg g均質(zhì)物體的重心坐標(biāo)公式均質(zhì)物體的重心坐標(biāo)公式VVzzVVyyVVxxiiCiiCiiCWWWi Wi均質(zhì)物體的重心只與物體的形狀有關(guān)，而與物體的均質(zhì)物體的重心只與物體的形狀有關(guān)，而與物體的重量無關(guān)。因此重量無關(guān)。因此均質(zhì)物體的重心也稱為物體的形心均質(zhì)物體的重心也稱為物體的形心 27例如例如對于均質(zhì)物體，對于均質(zhì)物體，重心坐標(biāo)重心坐標(biāo)：VdVzzVdVyyVdVxxVCVCVC四、均質(zhì)薄板的重心四、均質(zhì)薄板的重心xyCxCyCOAAyyAAxxiiCiiC平面薄板，重心有二個(gè)坐標(biāo)平面薄板，重心有二個(gè)坐標(biāo) 物體分割的越多，求得的

14、重心位置物體分割的越多，求得的重心位置就越準(zhǔn)確。常用就越準(zhǔn)確。常用積分法積分法求物體的重心位置。求物體的重心位置。對于均質(zhì)對于均質(zhì)薄板薄板，重心坐標(biāo)重心坐標(biāo)：AdAyyAdAxxACAC28一、對稱性法一、對稱性法： 具有對稱軸、對稱面或?qū)ΨQ中心的物體。這種物體具有對稱軸、對稱面或?qū)ΨQ中心的物體。這種物體的重心一定在對稱軸、對稱面或?qū)ΨQ中心上。的重心一定在對稱軸、對稱面或?qū)ΨQ中心上。6-7 6-7 物體重心的求法物體重心的求法分割法分割法二、組合法二、組合法：n 分割法分割法n 負(fù)面積法（或負(fù)體積法）負(fù)面積法（或負(fù)體積法）將形狀比較復(fù)雜的物體分成幾個(gè)簡單幾何圖形物體，將形狀比較復(fù)雜的物體分成幾

15、個(gè)簡單幾何圖形物體，然后根據(jù)重心坐標(biāo)公式求出組合形體的重心。然后根據(jù)重心坐標(biāo)公式求出組合形體的重心。簡單圖形的面積及重心坐標(biāo)公式可查表簡單圖形的面積及重心坐標(biāo)公式可查表6-129分割法分割法0Cx解：建立圖示坐標(biāo)解：建立圖示坐標(biāo)cmRycmycmR,RSS2484102180cm212 221，例例1 已知圖示薄板平面，求該組合體的重心？已知圖示薄板平面，求該組合體的重心？10cm8cm由對稱性由對稱性cm.SSySySAyAyiiC46212211負(fù)面積法（或負(fù)體積法）負(fù)面積法（或負(fù)體積法）在物體內(nèi)切去一部分，這類物體的重心，仍可應(yīng)用在物體內(nèi)切去一部分，這類物體的重心，仍可應(yīng)用分割法，只是切

16、去部分面積或體積取負(fù)值。分割法，只是切去部分面積或體積取負(fù)值。30O例例2 求半徑為求半徑為R，頂角為，頂角為2 的均質(zhì)圓弧的均質(zhì)圓弧AB的重心。的重心。三、積分法三、積分法： 解：由于對稱關(guān)系解：由于對稱關(guān)系q qRddL q qq q sinRRdcosRLxdLxLC2 2用數(shù)學(xué)積分求物體的重心的方法用數(shù)學(xué)積分求物體的重心的方法q qcosRx 取微段取微段圓弧重心必在圓弧重心必在Ox軸，即軸，即yC=031 0由于FmB01稱CxPlPPlPxC1稱稱故故 稱重法稱重法四、實(shí)驗(yàn)法四、實(shí)驗(yàn)法： 懸掛法懸掛法可用于測定外形復(fù)雜或質(zhì)量分布不均勻物體的重心可用于測定外形復(fù)雜或質(zhì)量分布不均勻物體

17、的重心32一、空間力系的平衡方程一、空間力系的平衡方程空間匯交力系空間匯交力系 000ZYX空間任意力系空間任意力系000000zyxmmmZYX空間空間x軸力軸力系系000zymmX第六章第六章 空間力系習(xí)題課空間力系習(xí)題課33選研究對象選研究對象畫受力圖畫受力圖選坐標(biāo)、列方程選坐標(biāo)、列方程解方程、求出未知數(shù)解方程、求出未知數(shù) 二、解題步驟、技巧與注意問題：二、解題步驟、技巧與注意問題： 1、解題步驟：、解題步驟： (與平面的相同與平面的相同) 34 2、解題技巧：、解題技巧： 用取矩軸代替投影軸，解題常常方便用取矩軸代替投影軸，解題常常方便 投影軸盡量選在與未知力投影軸盡量選在與未知力垂直

18、，力矩軸選在與未知垂直，力矩軸選在與未知力平行或相交力平行或相交 一般從整體一般從整體 局部的研究方法。局部的研究方法。 摩擦力摩擦力F = N f ，方向與運(yùn)動(dòng)趨勢方向相反。，方向與運(yùn)動(dòng)趨勢方向相反。 力偶在投影軸中不出現(xiàn)（即在投影方程中不出現(xiàn)）力偶在投影軸中不出現(xiàn)（即在投影方程中不出現(xiàn)） 空間力偶是矢量，平面力偶是代數(shù)量。空間力偶是矢量，平面力偶是代數(shù)量。 求物體重心問題常用組合法。求物體重心問題常用組合法。 對于均質(zhì)物體，重心、中心、形心為同一點(diǎn)。對于均質(zhì)物體，重心、中心、形心為同一點(diǎn)。3、注意問題：、注意問題：35例例1 已知：已知：AB=3m,AE=AF=4m, Q=20kN; 求求

19、：繩繩BE、BF的拉力和桿的拉力和桿AB的內(nèi)力的內(nèi)力kN54604515011TsinQsin，TY由由C點(diǎn)：點(diǎn)：解：分別研究解：分別研究C點(diǎn)和點(diǎn)和B點(diǎn)作受力圖點(diǎn)作受力圖平面匯交力系平面匯交力系36kN 230 kN 419 53 54 0 60 0045 45 60 0045 45 0232321232132NTTsincossinTsinTcosTN,ZcoscosTcoscosTsinT,YcoscosTcoscosT,Xq qq qq qq qq qq qq qq q由B點(diǎn)：平平面面匯匯交交力力系系37此題訓(xùn)練：此題訓(xùn)練：例例2 曲桿曲桿ABCD，已知，已知ABC=BCD=900 ，AB=a，BC=b，CD=c， m2，m3，求：支座反力及，求：支座反力及m1了解空間支座反力了解空間支座反力力偶不出現(xiàn)在投影式中力偶不出現(xiàn)在投影式中力偶在力矩方程中出現(xiàn)是把力偶力偶在力矩方程中出現(xiàn)是把力偶當(dāng)成矢量，類似力在投影式中投影當(dāng)成矢量，類似力在投影式中投影