1、機(jī)械能守恒應(yīng)用2多物體機(jī)械能守恒問(wèn)題一、輕桿連接系統(tǒng)機(jī)械能守恒1、模型構(gòu)建輕桿兩端各固定一個(gè)物體，整個(gè)系統(tǒng)一起沿斜面運(yùn)動(dòng)或繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)或關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng)，該系統(tǒng)即為機(jī)械能守恒中的輕桿模型.2、模型條件(1) .忽略空氣阻力和各種摩擦.(2) .平動(dòng)時(shí)兩物體線速度相等，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)兩物體角速度相等，關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng)時(shí)沿桿方向速度相等。3、模型特點(diǎn)(1) .桿對(duì)物體的作用力并不總是指向桿的方向，桿能對(duì)物體做功，單個(gè)物體機(jī)械能不守恒.(2) .對(duì)于桿和球組成的系統(tǒng)，沒(méi)有外力對(duì)系統(tǒng)做功，因此系統(tǒng)的總機(jī)械能守恒.例1.轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)量分別為m和2m的兩個(gè)小球P和Q,中間用輕質(zhì)桿固定連接，桿長(zhǎng)為L(zhǎng),在離P球處有一個(gè)光滑固定3軸O,如圖8

2、所示.現(xiàn)在把桿置于水平位置后自由釋放，在 Q球順時(shí)針擺動(dòng)到最低位置時(shí)，求:(1)小球P的速度大小;(2)在此過(guò)程中小球P機(jī)械能的變化量.答案 "2gL 增加gmgL解析(1)兩球和桿組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，設(shè)小球Q擺到最低位置時(shí)P球的速度為v,由于P、Q兩球的角速度相等，Q球運(yùn)動(dòng)半徑是P球運(yùn)動(dòng)半徑的兩倍，故 Q球的速度為2V.由機(jī)械能守恒定律得2mg 2L mg 1L =1mv2+1 2m (2v)2, 3322解彳導(dǎo)v = 22gL.(2)小球P機(jī)械能增加量 AE = mg Jl+Jmv2 = *mgL 329跟蹤訓(xùn)練.如圖5 37所示，在長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿中點(diǎn)A和端點(diǎn)B各固定一質(zhì)量為 m

3、的球，桿可繞無(wú)摩擦的軸 O轉(zhuǎn)動(dòng), 使桿從水平位置無(wú)初速度釋放。求當(dāng)桿轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，輕桿對(duì)A、B兩球分別做了多少功？A B 'I 出M心 «圖 5-3-7解析：設(shè)當(dāng)桿轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，A球和B球的速度分別為Va和vb。如果把輕桿、兩球組成的系統(tǒng)作為研究對(duì)象，那么由 于桿和球的相互作用力做功總和等于零，故系統(tǒng)機(jī)械能守恒。若取B的最低點(diǎn)為重力勢(shì)能參考平面， 可得：2mgL=2mvA+2mvB+ 1mgL又因A球與B球在各個(gè)時(shí)刻對(duì)應(yīng)的角速度相同, 故 Vb =2va由以上二式得：VA=、J35L, VB='j12gL°根據(jù)動(dòng)能定理，可解出桿對(duì) A、B做的功。L 12

4、對(duì) A 有：Wa + mg2= 2mVA -0,所以 WA=0.2mgL。對(duì) B 有：Wb + mgL = 2mvB2 0,所以 Ws=0.2mgL。答案：0.2mgL 0.2mgL圖 53 9例2、平動(dòng)如圖5-3-9所示，傾角為9的光滑斜面上放有兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球A和B,兩球之間用一根長(zhǎng)為 L的輕桿相連，下面的小球B離斜面底端的高度為 h.兩球從靜止開(kāi)始下滑，不計(jì)球與地面碰撞時(shí)的機(jī)械能損失，且地面光滑，求：(1)兩球在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小；(2)整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中桿對(duì) A球所做的功.【解析】(1)因?yàn)闆](méi)有摩擦，且不計(jì)球與地面碰撞時(shí)的機(jī)械能損失，兩球在光滑地面上運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小相等，設(shè)為

5、v,根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：c ，、 L .八、122mc(h + 2Sin 。) =2x 2mv解得：v = pgh+gLsinK.(2)因兩球在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度v比B單獨(dú)從h處自由滑下的速度寸加大，增加的機(jī)械能就是桿對(duì)B做正功的結(jié)果.B增加的機(jī)械能為 EkB=2mvmgh= 2mgLin 9因系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，所以桿對(duì)B球做的功與桿對(duì) A球做的功的數(shù)值應(yīng)該相等，桿對(duì)B球做正功，對(duì) A球做負(fù)功，所以1.桿對(duì)A球做的功 W= - 2mglsin 9 .1【答案】 (1) 2gh+gLsin(2) -2mgLin 9跟蹤訓(xùn)練.如圖8所示，在傾角9= 30。的光滑固定斜面上，放有兩個(gè)質(zhì)量分別

6、為1 kg和2 kg的可視為質(zhì)點(diǎn)的小球 A和B, 兩球之間用一根長(zhǎng) L = 0.2 m的輕桿相連，小球 B距水平面的高度h = 0.1 m.兩球由靜止開(kāi)始下滑到光滑地面上，不計(jì)球與地 面碰撞時(shí)的機(jī)械能損失，g取10 m/s2則下列說(shuō)法中正確的是()A.整個(gè)下滑過(guò)程中 A球機(jī)械能守恒B.整個(gè)下滑過(guò)程中B球機(jī)械能守恒C.整個(gè)下滑過(guò)程中 A球機(jī)械能的增加量為2 J3- 一一， , 2D.整個(gè)下滑過(guò)程中 B球機(jī)械能的增加量為w J38答案 D解析 在下滑的整個(gè)過(guò)程中，只有重力對(duì)系統(tǒng)彳脫功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，但在 B球沿水平面滑行，而 A沿斜面滑行時(shí)，桿的 彈力對(duì)A、B球做功，所以A、B球各自機(jī)械能不守

7、恒，故 A、B錯(cuò)誤；根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒得：mAg(h+Lsin 0) + mBgh=-2(mA+ mB)v2,解得：v = 3iJ6 m/s,系統(tǒng)下滑的整個(gè)過(guò)程中 B球機(jī)械能的增加量為mBv2 mBgh = | J,故D正確；A球的機(jī)械能 減少量為2 J, C錯(cuò)誤.3例3.聯(lián)動(dòng)(2015新課標(biāo)全國(guó)口 21)(多選)如圖5,滑塊a、b的質(zhì)量均為m, a套在固定豎直桿上，與-光滑水平地面相距 h, b放在地面上.a、b通過(guò)較鏈用剛性輕桿連接，由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng).不計(jì)摩擦，a、b可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度大小為g.W()圖5A. a落地前，輕桿對(duì)b一直做正功B. a落地時(shí)速度大小為/2ghC. a下落過(guò)程中

8、，其加速度大小始終不大于g D. a落地前，當(dāng)a的機(jī)械能最小時(shí)，b對(duì)地面的壓力大小為 mg答案 BD解析 滑塊b的初速度為零，末速度也為零，所以輕桿對(duì)b先做正功，后做負(fù)功，選項(xiàng) A錯(cuò)誤；以滑塊a、b及輕桿為研究1 2對(duì)象，系統(tǒng)的機(jī)械能守怛，當(dāng) a剛落地時(shí)，b的速度為零，則 mgh=mva + 0,即va=，時(shí)，選項(xiàng)B正確；a、b的先后受力 分析如圖甲、乙所示.甲乙由a的受力情況可知，a下落過(guò)程中，其加速度大小先小于 g后大于g,選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)a落地前b的加速度為零（即輕 桿對(duì)b的作用力為零）時(shí)，b的機(jī)械能最大，a的機(jī)械能最小，這時(shí) b受重力、支持力，且 FNb=mg,由牛頓第三定律可知，b 對(duì)

9、地面的壓力大小為 mg,選項(xiàng)D正確.跟蹤訓(xùn)練.內(nèi)壁光滑的環(huán)形凹槽半徑為 R,固定在豎直平面內(nèi)，一根長(zhǎng)度為 寸2R的輕桿，一端固定有質(zhì)量為 m的小球甲，另一端固定有6所示.由靜止釋放后（）質(zhì)量為2m的小球乙，將兩小球放入凹槽內(nèi)，小球乙位于凹槽的最低點(diǎn)，如圖A .下滑過(guò)程中甲球減少的機(jī)械能總等于乙球增加的機(jī)械能B .下滑過(guò)程中甲球減少的重力勢(shì)能總等于乙球增加的重力勢(shì)能C.甲球可沿凹槽下滑到槽的最低點(diǎn)D.桿從右向左滑回時(shí)，乙球一定能回到凹槽的最低點(diǎn)答案 AD解析 根據(jù)題設(shè)條件可知甲、乙兩小球組成的系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒定律，故 A、D對(duì)，B錯(cuò)；由于乙球的質(zhì)量大于甲球的質(zhì)量，所以甲球不可能沿凹槽下滑到槽的

10、最低點(diǎn)，否則就不滿足機(jī)械能守恒，C錯(cuò).、輕繩連接系統(tǒng)機(jī)械能守恒例1 .甲、乙兩物體用細(xì)線相連，跨過(guò)兩光滑滑輪按如圖12所示方式連接，滑輪上方放置一豎直的光滑半圓形軌道，甲物體與地面接觸，乙物體緊挨滑輪位置，兩滑輪到地面距離與半圓軌道直徑相等，且與圓心在同一水平線上。若兩滑輪與甲、乙物體均視為質(zhì)點(diǎn)，且兩滑輪之間距離可視為與半圓軌道直徑相等，現(xiàn)將乙由靜止開(kāi)始釋放，甲物體向上運(yùn)動(dòng)到圓弧軌道后，恰好能沿半圓軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，則甲、乙兩物體質(zhì)量之比為（）A.1 : 7C.1 ： 5D.1 ： 4解析 設(shè)甲、乙兩物體質(zhì)量分別為mi、m2,軌道半徑為R,當(dāng)乙下落到地面、甲運(yùn)動(dòng)到半圓軌道下端時(shí)，由題意知，對(duì)系統(tǒng)

11、由機(jī)械能守恒定律可得 2m2gR2migR=；(m2 + mi)v2,甲球恰好能做圓周運(yùn)動(dòng)，則甲球在圓軌道最高點(diǎn)時(shí)必有mig = m=V1,甲2R由軌道下端運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)過(guò)程中由機(jī)械能守恒定律可得：2m1v2= migR+2miv2,聯(lián)立以上各式可得：m2=7m1，則A正確。答案 A跟蹤訓(xùn)練.如圖12所示，質(zhì)量分別為2m和m的A、B兩物體用不可伸長(zhǎng)的輕繩繞過(guò)輕質(zhì)定滑輪相連，開(kāi)始兩物體處 于同一高度，繩處于繃緊狀態(tài)，輕繩足夠長(zhǎng)，不計(jì)一切摩擦.現(xiàn)將兩物體由靜止釋放，在A落地之前的運(yùn)動(dòng)中，下列說(shuō)法中正確的是()a| rna圖12A. A物體的加速度為gB. A、B組成系統(tǒng)的重力勢(shì)能增大C.下落t秒時(shí)，

12、B所受拉力的瞬時(shí)功率為3mg2tD.下落t秒時(shí)，A的機(jī)械能減少了 2mg2t2答案 D、.一,.2mg mg 1解析 A與B的加速度大小相等，根據(jù)牛頓第二定律得：對(duì)A、B整體有：a=(g,故A錯(cuò)誤；A、B組成系統(tǒng)的2m+ m 3機(jī)械能不變，動(dòng)能增大，重力勢(shì)能減小，故B錯(cuò)誤；B受到的才藝力:F=m(g+a) = 4mg,下落t秒時(shí)，B的速度：v=at= 3gt,33所受拉力的瞬時(shí)功率為 P=Fv=4mg2t, C錯(cuò)誤；對(duì)A有：2mgFT = 2ma,得細(xì)繩的拉力FT=4mg.下落t秒時(shí)，A下落的高 93度為h = 1at2 = 1gt2,則A克服細(xì)繩拉力做功為 W= FTh = ：mg2t2.根

13、據(jù)功能關(guān)系得知：A的機(jī)械能減少量為 無(wú)尸W=2mg2t2, 2699故D正確.規(guī)律怠結(jié)多物體機(jī)械能守恒問(wèn)題(1)多物體機(jī)械能守恒問(wèn)題的分析方法：對(duì)多個(gè)物體組成的系統(tǒng)要注意判斷物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒.注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系.列機(jī)械能守恒方程時(shí)，一般選用Ek： 4Ep的形式.(2)多物體機(jī)械能守恒問(wèn)題的三點(diǎn)注意：正確選取研究對(duì)象.合理選取物理過(guò)程.正確選取機(jī)械能守恒定律常用的表達(dá)形式列式求解.專題訓(xùn)練：1如圖5 3 2所示，質(zhì)量分別為 m和2m的兩個(gè)小球A和B,中間用輕質(zhì)桿相連，在桿的中點(diǎn)O處有一固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸,把桿置于水平位置后釋放，在 B球順時(shí)針擺動(dòng)到最低

14、位置的過(guò)程中(不計(jì)一切摩擦)()圖 5-3-2A. B球的重力勢(shì)能減少，動(dòng)能增加，B球和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒B. A球的重力勢(shì)能增加，動(dòng)能也增加， A球和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒C. A球、B球和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒D. A球、B球和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能不守恒解析A球在上擺過(guò)程中，重力勢(shì)能增加，動(dòng)能也增加，機(jī)械能增加， B項(xiàng)正確；由于A球、B球和地球組成的系統(tǒng)只 有重力做功，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤；所以B球和地球組成系統(tǒng)的機(jī)械能一定減少，A項(xiàng)錯(cuò)誤。答案BC2.圖 53 11（多選）輕桿AB長(zhǎng)2L, A端連在固定軸上，B端固定一個(gè)質(zhì)量為2m的小球，中點(diǎn)C固定一個(gè)質(zhì)量為

15、m的小球.AB桿可以 繞A端在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng).現(xiàn)將桿置于水平位置，如圖5-3-11所示，然后由靜止釋放，不計(jì)各處摩擦與空氣阻力，則下列說(shuō)法正確的是（）一，.一,、一， ,4B. AB桿轉(zhuǎn)到豎直位置的過(guò)程中，B端小球的機(jī)械能的增量為mgL9C. AB桿轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中桿 CBM B球做正功，對(duì) C球做負(fù)功，桿AC對(duì)C球做正功D. AB桿轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，C球機(jī)械能守恒【解析】 在AB桿由靜止釋放到轉(zhuǎn)到豎直位置的過(guò)程中，以B球的最低點(diǎn)為零勢(shì)能點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：mg- 2L+2mg2L） = mg62><2爪3 - 2L）2+gm3L）2,解得角速度值，A項(xiàng)正確.在此過(guò)程中B端小球機(jī)械能

16、的增量為： Eb= E末E初= ；-2m> - 2L）2-2mg- （2 L） =4mgL B項(xiàng)正確.AB桿轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，桿 ACM C球不做功，桿 CB對(duì) 29C球做負(fù)功，對(duì)B球做正功，C項(xiàng)錯(cuò).C球機(jī)械能不守恒，B、C球系統(tǒng)機(jī)械能守恒，D項(xiàng)錯(cuò).【答案】 AB1-3 （多選）如圖5所示，有一光滑軌道 ABC, AB部分為半徑為R的4圓弧，BC部分水平，質(zhì)重均為 m的小球a、b固je在 豎直輕桿的兩端，輕桿長(zhǎng)為 R,不計(jì)小球大小。開(kāi)始時(shí) a球處在圓弧上端 A點(diǎn)，由靜止釋放小球和輕桿，使其沿光滑軌道下 滑，下列說(shuō)法正確的是（）圖5A. a球下滑過(guò)程中機(jī)械能保持不變B. a、b兩球和輕桿組成的系

17、統(tǒng)在下滑過(guò)程中機(jī)械能保持不變C. a、b滑到水平軌道上時(shí)速度為 V2gRD.從釋放到a、b滑到水平軌道上，整個(gè)過(guò)程中輕桿對(duì)a球做的功為m2R解析：選BD 由機(jī)械能守恒的條件得，a球機(jī)械能不守恒，a、b系統(tǒng)機(jī)械能守恒，所以 A錯(cuò)誤，B正確。對(duì)a、b系統(tǒng) 由機(jī)械能守恒定律得：mgR+ 2mgR=2x2mv2,解彳1 v = V3gR, C錯(cuò)誤。對(duì)a由動(dòng)能定理得：mgR+W= 1mv2,解彳1 W= mgR, D正確。4 .繩連接的系統(tǒng)機(jī)械能守恒如圖7,可視為質(zhì)點(diǎn)的小球 A、B用不可伸長(zhǎng)的細(xì)軟輕線連接，跨過(guò)固定在地面上、半徑為 R的 光滑圓柱，A的質(zhì)量為B的兩倍.當(dāng)B位于地面時(shí)，A恰與圓柱軸心等高.

18、將 A由靜止釋放，B上升的最大高度是（）A. 2R5RB.y4R圖72RD.9答案 C解析 設(shè)A球剛落地時(shí)兩球速度大小為 v,根據(jù)機(jī)械能守恒定律得，2mgRmgR=1(2m+m)v；解得v2= 2gR, B球繼續(xù)上升 2'3的高度h=v- = R, B球上升的最大高度為 h+R = 4R. 2g 335 .如圖13所示，一輕桿兩端分別固定質(zhì)量均為m的小球A和B,放置于半徑為R的光滑半圓軌道中，A球與圓心等高，B球恰在半圓的最低點(diǎn)，然后由靜止釋放，求在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中兩球的最大速度的大小.a圖13答案小/2-1 gR解析 當(dāng)桿處于水平狀態(tài)時(shí)，A、B兩球組成的系統(tǒng)重心最低，兩球速度最大，A球下降

19、的高度4hA=R cos 45°, B球上升的高度 歆b=R(1cos 45)°由兩球角速度相等知：兩球速度大小相等，設(shè)為 v.12由機(jī)械能寸怛得： mgAhA= mgAhB+2 2mv解得：v =4(啦-1 gR6、如圖5所示，一半徑為R的光滑半圓柱水平懸空放置， C為圓柱最高點(diǎn)，兩小球 P、Q用一輕質(zhì)細(xì)線懸掛在半圓柱上，水 平擋板AB及兩小球開(kāi)始時(shí)位置均與半圓柱的圓心在同一水平線上，水平擋板AB與半圓柱間有一小孔能讓小球通過(guò)，兩小球質(zhì)量分別為mP = m, mQ= 4m,水平擋板到水平面 EF的距離為h = 2R,現(xiàn)讓兩小球從圖示位置由靜止釋放，當(dāng)小球 P到達(dá)最高點(diǎn)C時(shí)

20、剪斷細(xì)線，小球 Q與水平面EF碰撞后等速反向被彈回，重力加速度為 g,不計(jì)空氣阻力，取 ,3。求:P到達(dá)最高點(diǎn)C的過(guò)程中，系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒，mPgR+2mPvC=2mPvi,解得 vi = 2VgR° ,112滿足機(jī)械能寸怛，則有一mQgx4x 2R+2mQvC =(1)小球P到達(dá)最高點(diǎn)C時(shí)的速率vC；(2)小球P落到擋板AB上時(shí)的速率vi；(3)小球Q反彈后能上升的最大高度hmax。解析(1)取兩小球及細(xì)線為系統(tǒng)且圓心所在水平面為零勢(shì)能面，則在小球.11D. I<-mQgX4x2無(wú)R+mPgR+2(m)P+miQ)vC= 0,解得 vC=V2gRo(2)因vC>如R,所以剪斷細(xì)線后小球 P做平拋運(yùn)動(dòng)，由機(jī)械能守恒定律知 (3)剪斷細(xì)線后，小球Q做豎直下拋運(yùn)動(dòng)，反彈后做豎直上拋運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)