1、 第2課時等差數列的性質1復習鞏固等差數列的概念及其通項公式2掌握等差中項的應用3掌握等差數列的性質，并能解決有關問題1等差數列(1)定義：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于_，這個數列就叫做等差數列，這個常數就叫做等差數列的_，公差通常用字母d表示定義還可以敘述為：在數列an中，若an1and(nN*)，d為常數，則數列an是等差數列常數d稱為等差數列的公差(2)通項公式：an_，a1為首項，d為公差【做一做11】 等差數列an的公差d2，a12，則an等于()A2 B2n2 C2n D2n2【做一做12】 在等差數列an中，a37，a5a26，則a6_.2等差中項

2、如果a，A，b成等差數列，那么A叫做a與b的_由a，A，b成等差數列，得AabA，所以A.反過來，如果A，那么2Aab，AabA，即a，A，b成等差數列【做一做2】 x1與y1的等差中項為10，則xy等于()A0 B10 C20 D不確定答案：1(1)同一個常數公差(2)a1(n1)d【做一做11】 C【做一做12】 132等差中項【做一做2】 C1等差數列的性質剖析：若數列an是公差為d的等差數列，則(1)當d0時，數列為常數列；當d0時，數列為遞增數列；當d0時，數列為遞減數列(2)d(m，n，kN*)(3)anam(nm)d(m，nN*)(4)若mnpq(m，n，p，qN*)，則aman

3、apaq.(5)若k，則aman2ak(m，n，kN*)(6)若數列an是有窮等差數列，則與首末兩項等距離的兩項之和都相等，且等于首末兩項之和，即a1ana2an1ai1ani(n，iN*)(7)數列anb(，b是常數)是公差為d的等差數列(8)下標成等差數列且公差為m的項ak，akm， ak2m，(k，mN*)組成公差為md的等差數列(9)若數列bn也為等差數列，則kanmbnb(k，m，b為常數)是等差數列由等差數列的定義及通項公式易證明性質(1)(2)(3)(4)(6)(8)(9)，下面證明其他兩個證明性質(5)：ana1(n1)d，ama1(m1)d，aka1(k1)d，aman2a1

4、(mn2)d2a1(2k2)d2a12(k1)d2a1(k1)d2ak.證明性質(7)：ana1(n1)d，且，b為常數，anba1(n1)db(a1b)(n1)d，an1ba1(n2)db(a1b)(n2)d，(anb)(an1b)d(常數)，數列anb也是等差數列，公差為d.2對問題“等差數列an中，若mpq(m，p，qN*)，則amapaq不成立”的理解剖析：要解決這個問題，我們還是回到性質“等差數列an中，當m，n，p，qN*，mnpq時，amanapaq”的推導中事實上，由于ana1(n1)ddna1dknb(k，b為常數)，所以我們有amkmb，apkpb，aqkqb，則apaqk

5、(pq)2b，令kmbk(pq)2b，注意到mpq，所以b0.這告訴我們，當且僅當b0，即a1d時，上述結論才成立，而對于一般等差數列而言，a1d.因此等差數列an中，若mpq，則amapaq不一定成立這個事實告訴我們，在學習中遇到一些似是而非的問題時，要加以推理論證，而不要隨意地類比遷移題型一 等差數列性質的應用【例題1】 設an為等差數列，若a3a4a5a6a7450，求a2a8.分析：方法一：依性質“若mnpq，則amanapaq”求解即可方法二：將a3a4a5a6a7用a1，d表示，再將a2a8用a1，d表示，從中尋找關系來解決反思：(1)比較方法一和方法二，顯然方法一要優于方法二，因

6、此要注意靈活運用性質解題(2)等差數列的性質實質上是數列的定義、通項、等差中項的綜合應用，因此應用得法可為解題帶來極大的方便，如本題方法一題型二 等差中項的應用【例題2】 已知三個數成等差數列并且是遞增數列，它們的和為18，平方和為116，求這三個數分析：充分利用等差中項的定義求解未知量反思：當三個數或四個數成等差數列時，可設出這幾個數，由已知條件列方程組求解，如本題解法一；也可采用對稱的設法，三個數時，設ad，a，ad.四個數時，設a3d，ad，ad，a3d，利用已知條件列方程(組)先求出其中的a與d，再進一步解題，如本題解法二題型三 等差數列的綜合問題【例題3】 一個等差數列的首項為，公差

7、d0，從第10項起每一項都大于1，求公差d的范圍分析：從第10項起每一項都大于1是指轉化為解不等式組反思：等差數列是關于n的一次函數(d0時為常數函數)，對于有關單調性、取值范圍的問題，可先結合已知條件利用通項公式，得到一個以a1和d為未知數的方程或不等式，再利用函數、不等式的有關方法來解決題型四 易錯辨析【例題4】 設數列an是等差數列，apq，aqp(pq)，試求apq.錯解：數列an是等差數列，apqapaqpq.錯因分析：性質amanapaq中必須是兩項相加等于兩項相加，如a7a8a6a9，并不是下標和相等即相等，如a15a78a7a8.反思：利用等差數列的性質解決問題時，所用的性質必

8、須是經過證明成立的，才能應用，否則不能應用答案：【例題1】 解：方法一：a3a7a4a62a5a2a8，a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180.方法二：an為等差數列，設首項為a1，公差為d，a3a4a7a12da13da16d5a120d，即5a120d450，a14d90.a2a8a1da17d2a18d180.【例題2】 解法一：設這三個數為a，b，c，則由題意，得解得a4，b6，c8.故這三個數是4,6,8.解法二：設這三個數為ad，a，ad，由已知，得由，得a6.代入，得d±2.該數列是遞增的，d2舍去這三個數為4,6,8.【例題3】 解：設等差數列為an，由d0，知a1a2a9a10a11，依題意，有即解得d，即公差d的取值范圍是.【例題4】 正解：設數列an的公差為d，apaq(pq)d，d1.從而apqapqdqq×(1)0，apq0.1已知等差數列an中，a1a2a3a4a520，則a3_.2已知數列an是等差數列，若a1a5a9a13a17117，則a3a15_.3在數列an中，a1，a12是方程0的兩根，若an是等差數列，則a5a8_.4在等差數列an中，已知a510，a1231，求公差d的取值范圍5已知三個數成等差數列，其和為15，首末兩項的積