1、中國石油大學（北京）2009 2010學年第一學期研究生期末考試試題 A （閉卷考試）所有試題答案寫在答題紙上，答案寫在試卷上無效題號二三四五總分得分注：計算題取小數點后四位一、填空題（共30分，每空3分）1、已知x=O. 004532是由準確數a經四舍五入得到的近似值，則工的絕對誤差界為,2、數值微分公式廠（£" /（勺+"） /（叫）的截斷誤差為II3、已知向量 x = (1,V3)7,求 Householder 變換陣 使 Mr = ( 2,0)丁H=4、利用三點高斯求積公式9/(0) + 0.5556/(0.7746)J f(x)dx ? 0.5556/(

2、-0.7746) + 0.-14導出求積分f（x）dx 的三點高斯求積公式 05、若/*(兀)=5* + 2 _3,則 / 0.1,0.2,0.3,0.4,0.5 =?6、以川+ 1個互異節點心(k =0,1, ?, ), (n>7)為插值節點的Lagrange插值基函數為 ik(x)(k =0,1, M),則 為人(0)(心 + 1) =:7、已知人（工）是用極小化插值法得到的 cosx在0,4上的三次插值多項式，則人（兀）的截斷誤差上界為1尺（兀）| =|cos XR(x) <?已知向量工=（3,2, 5）丁，求Gauss變換陣使Lx = （3,0,0）卩。£ =10

3、、下面M文件是用來求解什么數學問題的 ？function x f k=dd (x0)for k=l:1000xpos (xO);if abs(x-xO)<0. 00001, break end x0=x;end二（15分）已知矛盾方程組 Ax=b,其中A= 22（1） 用施密特正交化方法求矩陣 A的正交分解，即A=QRo（2）用此正交分解求矛盾方程組 AxM的最小二乘解。三、（10分）已知求解線性方程組的分量迭代格式-£ %?屮/畋，J=z + 1（1）試導出其矩陣迭代格式及迭代矩陣；若q:介推導上述迭代格式收斂的充分必要條件。四、（15分）（1）證明對任何初值 Xo?/?,由

4、迭代公式工如=1 + ?sin 七, * = 0,1,2,所產生的序列耳二都收斂于方程x = l + |sinx的根（2）迭代公式孔+嚴2七一 1 一 gsin 七, *=0,1,2,是否收斂五、（15分）用最小二乘法確定一條經過原點（0,0）的二次曲線，使之擬合下列數據J 小-2-112 b 3 0.8 13.4并求平方誤差 六、（15分）（1）寫出以0, 1,2為插值節點的二次Lagrange插值 多項式R （x）；（2）以0, 1,2為求積節點，建立求積分 匸付（x） dx的一個插值型求積公式,并推導此求積公式的截斷誤差中國石油大學（北京）2009 2010學年第一學期4、（30 分）1

5、、丄 xIO"；2研究生期末考試試題標準答案 A （閉卷考試）題號?二三四五、°六總分得分1.1112/(0.4508) +1.7778/(2) +1.1112/(3.5492；2、0 (h);Il _ n3H =-2 -V3116% 1 :7、-& L=5.5;12、9 %、2 (理 J)'）=心一理一76（理-7 工；0-% 1 0;10、用簡單迭代法 Xa+1 = COS（ XA）求方程x = cos（ x）的根(15 分)(1)均=(1,2,2/>2 = (1, 0,1 )卩兒二妁=(1,2,2)卩，斫=*( 1,2,2)卩,=“2斫=? (2

6、,? 2,1),灼二 ”2二？ (2,? 2, 1)廠1212?2121=3 務 U2 = £ $2A = QR =扌3(2)Rx = Q 7 b =三、(10分)?5/3I 1/3,X =4 1 丨 分）i-1u注嚴=b廠乞%£：'-乞al:j-i j-i+iDXk+l) ="Lx(k+l)aUx(k) (D-L)x k+l)=uX*bx u+1) = (DLy1 b 迭代法的矩陣形.式 迭代矩陣B =( DAL ) - U(2) 迭代矩陣B = (D-L UL)1 Ux + (D右端向量0 J = Bx +01-a、0 )其中< 1 °

7、 )0一 "L<0 、 1丿<P。丿<代=g0<ann )'00、S? ? ? ? ? ? 宀 1ttnn-°>u =-（4 分）比心匚占（6分）p （B） = aA代格式收斂的充分必要條件是p （ B） <1,即a2<l->0<|a|vl四、（15 分）（1）記卩（兀）=1 + 丄 sin 兀，貝V （px） = -cosx 。2 2先考慮區間0.5, 1.5,當 x e05J.5時，?>(x) = 1 + - sin x e 0-5,1 -5,0（刃| =2oe0.5,1.5,將此旺看成新的迭代初(5由

8、（1） 可知，由迭代公式七+嚴1 +半彳 11 孔, * = 0,1,2,. .產生的序列孔二都收“ I斂于方程+n兀的根。(3分)(2)記卩(工)=2x-l -si nx , 則(p'(x)=2- -cosx,對任意 xwR, 有 0(x)|ni ? 5所以迭代公式兀如=2心一 1 一片sin心，*=0,1,2,不收斂(3分)五、（15 分）-243?>.-110.8=1，21,y =1243.4 ?a?（兀）=兀，02（兀）=*(10100034 b127.4a t )hII r 0J27.4.34 Jr"0.10.8059=22¥=一). 0x+一8058059 x 27.4 = ° 0183六、（15分）(1) P2(x)=（兀一 1）（兀/(0) +（兀一 0）（兀一 /+2J（2）= £ /（x）Jx?£ F2（x）dx =酚（兀）"，代入求積公式，左邊丁 3匕x 2、右邊 代數精度為2?（5 分）（5分）對任意初值x°e/f, 有xi=l + -sinx 佩（訂，則呱丫 ）P2 ( 0)= / ( 0)丿 2(2) =/ ，"=廠(2)/(x)-p(x) = ZAx(x-2) 2,a<A<b%x)dx- f p (