1、一、矩陣的秩定義1在一個mxn矩陣A中，任意選定k行和k列(kwminm,n),位于這些選定的行和列的交點上的k2個元素按原來的次序所組成的kxk矩陣的行列式，稱為A的一個k階子式。例1在矩陣1131、02-14A=0005、0000,中，選第1,3行和第3,4歹I，它們交點上的元素所成的2階行列式1-155就是一個2階子式。又如選第1,2,3行和第1,2,4歹1，相應的3階子式就是111024=10.005定義2非零矩陣的不為零的子式的最高階數稱為該矩陣的秩，零矩陣的秩規定為0。矩陣A的秩記為rank(A)0例2證明：矩陣A與其轉置矩陣AT有相同的秩。例3證明：階梯形矩陣的秩等于它的非零行的

2、個數。證設A是一個階梯形矩陣，不為零的行數是r。選取這r個非零行以及各非零行第一個非零元素所在的列，由這些行和列交點上的元素所成的r階子式是一個上三角行列式，并且主對角線上的元素都不為零，因此它不等于零。而A的所有階數大于r的子式都至少有一行的元素全為零，因而子式為零。所以ranA=r。由于矩陣的子式的階數不超過矩陣的行數及列數，所以mMn矩陣A的秩rank(A)«min(m,n)而如果rank(A)=m,就稱A是行滿秩的；如果rank(A)=n,就稱A是列滿秩的。止匕外，如果A的所有r+1階子式全為零，由行列式的定義可知，A的r+2階子式也一定為零，從而A的所有階數大于r的子式全都

3、為零。因此秩有下面等價的定義：定理1mn矩陣A的秩為r充分必要條件是：在A中存在一個r階子式不為零,且在rank(A)<min(m,n)時，夕1陣A的所有r+1子階式都為零。定理2初等變換不改變矩陣的秩。換句話說，等價的矩陣具有相同的秩。證設4刈經初等行變換變為Bm>n,且ran(R)=，ran(B)=2。當對A施以交換兩行或以某非零數乘某一行的變換時，矩陣B中的任何r1+1階子式等于某非零數c與A的某個ri+1階子式的乘積，其中c=±1或其他非零數。因為A的任彳r1+1階子式皆為零，故B的任何r1+1階子式也都為零。當對A施以第i行的k倍加到第j行的變換時，矩陣B的任何

4、一個1+1階子式|BJ,若它不含B的第j行或既含第j行又含第i行，則它等于A的一個十1階子式；若圓含B的第j行但不含第i行,則B1=閥+kAz|,其中囹,倒是A的兩個+1階子式，由A的任何+1階子式均為零，知B的任何r1+1階子式也全為零。根據以上分析，若對A施以一次初等行變換得到B,則口<口+1,即口Wr1。由于B可經一次適當的行變換變回A,同樣地就有r1Mr2。所以r1=r2顯然，上述結論對列變換也成立。現在我們來看一下，怎樣計算一個矩陣的秩。因為初等變換不改變矩陣的秩，而階梯形矩陣的秩就等于它的非零行的個數。所以，為了計算一個矩陣的秩，只要用初等變換把它變成階梯形(根據第一節定理1

5、,僅用行的初等變換就可以做到)，這個階梯形矩陣中非零行的個數就是原來矩陣的秩例4設164-14A二3-236-12015-3i32050求矩陣A的秩，并求A的一個最高階非零子式解對A作初等行變換，使之變成階梯形:16-4-14、1641I，0-43At201710431-3210-1297<32050)0-161284，-1-11一12-4-1-816-414、0_431-1T為上式右端階梯形矩陣的非零行數是3,所以rank(A)=3。再求A的一個最高階非零子式。由rank(A)=3知，A的最高階非零子式是3階的，A的3階子式共有C：C3=40個，要從中找出一

6、個非零子式是比較麻煩的。如果B是矩陣A僅用行的初等變換變成的階梯形矩陣，用B的各非零行第一個非零元素所在的列按在B中的次序構成矩陣B1,把A中相應列按在A中的次序構成的矩陣記作A。那么Bi也是階梯形的，它的非零行個數與B的相同，并且就等于B的列數。因此，B是一個與B有相同秩的列滿秩矩陣。同時，用那些將A變成B的行變換可將A變成Bi，這說明A是與A有相同秩的列滿秩矩陣。考慮到A是由A的某些列按在A中的次序構成的矩陣，A的子式必是A的子式，A的最高階非零子式必是A的最高階非零子式在本例中，16-4-14、16-T16-T0-431-10-413-26B=,B1=,A1二00004-8004205&

7、#169;0000，1000，325A的三階子式只有C：=4個，其中必有不為零的，如子式1 6-13-26=-322 05就不為零，那么它也是A的一個最高階非零子式。例5設1-112、A二3九T2,5366j已知rank(A)=2,求九與N的值2.3riAr3-5riLi0©-113-4852、C214-4T211”-4-4九+3-45-58,1211132t0-4-4九+3001-15-兒j因rank(A)=2,故R1=0,5九=0,從而R=1,九=5例6證明：矩陣添加一列(或一行)，則秩或不變，或增加1。證設矩陣A=(aj1河的秩為r。在A中任意添加一列B=(h,b2，bm,、一

8、、一、一一一、一通過一些列的父換，總可以使所得矩陣變成A=(A,B),而秩不變。因此我們只需研究A的秩與A的秩之間的關系、-，一.一一、"W-一、一、一一用初等行變換將A化成階梯形矩陣A,相應地，A的子矩陣A也化成了.一、一、,-A=(A,B1兩m父n階子矩陣A,并且A也是階梯形的,其非零行都在矩陣的上、，、一一-一、.-一部。因為rank(A)=r,所以A恰好有r個非零行。這樣，A的前r行也都是非零行。如果A只有這r個非零行，則rank(A)=r。要不然，A的第r+1行也是非零行。這時，因為A只有r個非零行，所以A的第r十1行的前n個元素必定都是零，只有最后那個元素不為零，由于A是

9、階梯形矩陣，A的第r+1行之后的各行(如果還有的話)必定都是零行，因此，rank(A)=r+1。Er這就證明了添加一列的情形，類似地可證明添加行的情形定理2還說明，在mn矩陣A的標準形0r,n-rV0m-r,r0m-r,n-r中，r=rank(A)。從而，n階方陣A非退化的充分必要條件是n=rank(A)。逆方陣定義3對于方陣A,如果存在同階方陣B,使得AB=BA=E則稱A可逆，B就稱為A逆矩陣，記為A-o若方陣A可逆，那么A的逆矩陣是唯一的。事實上，如果A還有一個逆矩陣C,則由定義AC=CA=E，所以C=EC=A,AC=A，AC=A,E=A卜面要解決的問題是：在什么條件下方陣A是可逆的？如果

10、A可逆，怎樣求A？=AEAJA非退化，而(1131)定理矩陣A可逆的充分必要條件是定義4設Aj是方陣a11a12ana21a22-a2nA=a-m&n1an2,ann)中元素aj的代數余子式，矩陣A11A21An11_*A12A22W-An2A=*1A1nA2nW-.Ann)稱為A的伴隨矩陣。由行列式的定義和性質立即得出'A0*0AAA=AA=<00A.11*證明當A#0,由（1131）可知，A可逆，且A=二人。|A|二1反過來，如果A可逆，那么有a使AA=E,兩邊取行列式，得A|A因而A¥0,即A非退化。逆方陣適合以下規律：A二A(AT廣=(A。TAB=BWi

11、1jkA=A,k=0kA>IA"其中A,B都是可逆方陣，k是不為零的常數。推論對于同階方陣A,B,如果AB=E,那么A,B都是可逆的并且它們互為逆矩陣。證B=EB=A。AB=A,AB=A'E=A不難看出，初等矩陣都是可逆的，它們的逆矩陣還是初等矩陣。事實上P(i,jJ1=P(i,j)P(i(k=P(i(k，)P(i,j(k=P(i,j(k)。定理n階方陣A可逆的充分必要條件是它能表成一些初等矩陣的乘積：定理兩個矩陣乘積的秩不超過每個因子的秩。特別地，當有一個因子是可逆矩陣時，乘積的秩等于另一因子的秩。證設A是一個ixm矩陣，B是一個mn矩陣，并且rank(A)=r。由第一節定理2,可以用初等變換將A化為出0、A。<00J換句話說，存在l階初等矩陣P,，Ps和m階初等矩陣Ps書，刀，使PPsAPs由R=A,于是1111PiP5AB=RPsAP3HtPtPtPsB=APPs+B=ABi,這里B1=RPsB。顯然，A1B1除了前r行外，其余各行的元素都是零，所以rank(A1B1)Wr。